análise de campos eletromagnéticos em linhas de transmissão de

ANÁLISE DE CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS EM LINHAS DE
TRANSMISSÃO DE 440 KV
Jovanio S. S. Jr, Carlos E. A. Henrique, Rogério M. Silva, Carlos A. T. C. Jr.
Universidade Federal de Rondônia, Departamento de Engenharia Elétrica, Porto Velho – RO, [email protected],
[email protected], [email protected], [email protected],
Resumo - O objetivo deste trabalho é contribuir com os
estudos de mapeamento de campos eletromagnéticos
produzidos por linhas de transmissão. Para realizar o
estudo foi elaborado um programa em MATLAB®
utilizado o Método de Simulação de Cargas (MSC), em
uma análise quase-estática dos campos elétrico e
magnético. Para que o programa fosse validado, os
resultados foram comparados com outros artigos, nos
quais há tanto a simulação computacional quanto a
medição em campo dos valores dos campos
eletromagnéticos, o que proporciona uma maior
confiabilidade no programa desenvolvido.
Palavras-Chave – Análise quase-estática, campos
eletromagnéticos, limites de exposição, linha de
transmissão, método de simulação de cargas.
ANALYSIS OF ELETROMAGNETIC
FIELDS IN A 440 KV TRANSMISSION LINE
Abstract - The objective of this work is to contribute
with the studies of the mapping of electromagnetic fields
produced by transmission lines. In order to do the
research, a program in MATLAB ® was produced using
the Charge Simulation Method (CSM), in a quasi-static
analysis of the electromagnetic fields. To validate the
program, the results were compared with other papers, in
which the authors present measured values of the
electromagnetic fields, what brings a higher confiability
to the program.
1
Keywords
–
Charge
simulation
method,
electromagnetic fields, exposure limits, quasi-static
analysis, transmission line.
NOMENCLATURA
[Q ] matriz de cargas complexas [C/m];
[C ] matriz dos coeficientes de capacitância [F/m];
[V ] matriz das tensões complexas das fases [V];
p ii é o coeficiente de potencial próprio em relação ao
condutor i gerado pela sua própria carga [m/F];
p ij
p ji é o coeficiente de potencial mútuo do condutor i
hi
gerado pela carga do condutor j [m/F];
altura do condutor [m];
ri
raio do condutor [m];
'
D ij distância entre o condutor i e a imagem do condutor j
D ij
[m];
é a distância entre o condutor i e a o condutor j [m];
x i e x j são as coordenadas horizontais dos condutores i e j,
respectivamente.
y i e y j são as coordenadas verticais dos condutores i e j,
T0
respectivamente.
é a tração no ponto mais baixo do cabo condutor;
T
p
é a tração em um dado ponto no condutor;
é o peso do condutor;
L
é o comprimento do cabo.
I. INTRODUÇÃO
Para cada tipo de linha de transmissão, DC ou AC
(monofásica, trifásica e outras), os campos elétrico e
magnético possuem diferentes características. Para uma linha
DC, por exemplo, esses campos são vetores constantes em
cada posição no espaço. Para uma linha AC, em regime
alternado senoidal, a amplitude dos campos eletromagnéticos
varia ciclicamente na mesma frequência da tensão e da
corrente, sendo perpendiculares às superfícies de contorno,
tais como os condutores da linha ou a superfície da terra, a
qual é considerada como sendo um plano infinito de
potencial nulo e de permeabilidade relativa unitária. No caso
dos condutores de uma linha trifásica, as três componentes
espaciais do campo elétrico estão defasadas em -120º, 0º e
+120º, de modo que o vetor resultante de cada campo
assume, a cada instante, diferentes intensidades e direções.
[1]
II. CARACTERÍSTICAS DOS CAMPOS
ELETROMAGNÉTICOS GERADOS POR LINHAS DE
TRANSMISSÃO
Em regime alternado senoidal, a amplitude dos campos
elétrico e magnético varia ciclicamente na mesma frequência
das tensões e correntes que geram tais campos. Na presença
de mais fontes (como no caso dos condutores de uma linha
trifásica), as três componentes espaciais dos campos podem
não estar em fase, de modo que o vetor resultante assume, a
cada instante, diferentes intensidades e direções. [1]
Graficamente, esses vetores do campo elétrico e
magnético são representados por vetores que giram em torno
do seu ponto de aplicação, descrevendo com a outra
extremidade uma elipse (Figura 1). Diz-se, portanto, que o
campo está polarizado elipticamente, em que o plano de
polarização, situado sob a elipse, é definido como um plano
de polarização do campo. [1]
Fig. 1. Elipse de polarização do campo elétrico no espaço (para o
campo magnético, tem-se uma elipse idêntica).
Matematicamente, o campo elétrico pode ser representado
por componentes na vertical e na horizontal, e em cada
direção, uma parte real e uma parte imaginária, que também
podem ser definidas por sua magnitude e ângulo:

E
[ (Ex )
j ( E x )]u x
[ (Ey )
j ( E y )]u y (1)
Para o campo magnético, as mesmas hipóteses podem ser
feitas, uma vez que a sua polarização também se dá de forma
elíptica [1].
No entanto, convém destacar que o campo elétrico é
sempre perpendicular à superfície do condutor
(equipotencialidade). Isto acontece em especial para a terra,
que, para fins eletrostáticos, pode ser considerada como um
elemento condutor. Com relação ao campo magnético, ele
não sofre influência, em uma primeira aproximação, pela
presença de terrenos ou de condutores que não possuam
características magnéticas.
III. CÁLCULO DOS CAMPOS ELÉTRICO E
MAGNÉTICO GERADO POR LINHAS DE
TRANSMISSÃO
Para que se possa calcular o campo elétrico e a indução
magnética, a linha de transmissão é considerada como sendo
um conjunto de condutores paralelos entre si, onde o solo é
considerado como um plano condutor, com permeabilidade
relativa unitária e de extensão infinita.
A modelagem é feita considerando a tensão simétrica e a
corrente equilibrada (situação normalmente observada na
operação normal de linhas de transmissão). Além disso, o
modelo descrito permite o cálculo do campo elétrico e
magnético em qualquer seção transversal da linha,
considerando a altura real do condutor na seção analisada, e,
consequentemente, a catenária formada pela linha aérea. As
modelagens são feitas de acordo com [1]-[6].
Normalmente, os cálculos são realizados para o ponto no
qual a distância cabo-solo é mínima, não necessariamente no
ponto médio do vão entre torres. O programa desenvolvido
faz o mapeamento dos campos considerando que a máxima
flecha ocorre no meio do vão entre torres. O cálculo dos
perfis transversais dos campos elétrico e magnético são
agrupados a cada metro e, dessa forma, um gráfico
tridimensional desses campos é apresentado.
A. Cálculo do Campo Elétrico
Para o cálculo do campo elétrico, utilizou-se o método de
simulação de cargas (MSC), o qual é consagrado na literatura
técnica. No MSC, para uma linha de transmissão, o potencial
elétrico complexo instantâneo de cada fase é convertido em
cargas elétricas fictícias para a respectiva fase. As cargas são
obtidas por meio da multiplicação da matriz de capacitâncias
próprias e mútuas das fases da linha e dos cabos pára-raios
pela matriz de potenciais. Essas cargas, determinadas pelo
método das imagens e considerando que o solo seja um plano
infinito de potencial nulo, representam as cargas de um
condutor cilíndrico de comprimento infinito que gera o
mesmo campo elétrico dos cabos reais.
Com as cargas calculadas, o campo elétrico é obtido pela
resolução do teorema de Gauss para um cilindro de
comprimento infinito.
O cálculo do campo elétrico de linhas de transmissão por
meio do MSC consiste em duas etapas:
Cálculo da carga equivalente por unidade de
comprimento do condutor;
Cálculo do campo elétrico produzido por essas
cargas.
No cálculo do campo elétrico algumas simplificações
foram consideradas:
As cargas são uniformemente distribuídas no cabo;
Os cabos são paralelos entre si, homogêneos, de
superfície lisa;
A superfície do solo é plana, infinita e de potencial
nulo;
As torres da linha de transmissão não distorcem o
campo elétrico;
1) Cálculo das cargas equivalentes no condutor: Os
potenciais entre as fases e a terra podem ser representados
como cargas equivalentes distribuídas uniformemente nos
condutores das fases. O método das imagens é utilizado para
fazer a conversão dos potenciais em cargas, para que se
possa calcular as capacitâncias próprias e mútuas da linha.
O solo é considerado um condutor elétrico ideal (σ = ∞).
Os condutores da linha de transmissão estão isolados e a uma
altura h do solo, de modo que seu campo elétrico é
influenciado pela proximidade do solo. Para o condutor q, há
no solo uma carga –q, que pode ser concentrada em um
condutor cilíndrico a uma profundidade –h da superfície do
solo (Figura 2).
Fig. 2. Convenção utilizada para o cálculo dos coeficientes de
potencial - Método das imagens.
Para o cálculo do campo elétrico, deve-se substituir a
carga que está uniformemente distribuída na superfície do
condutor por n cargas lineares, ou seja, os condutores serão
modelados como se fossem cargas elétricas, utilizando o
princípio do método de simulação de cargas (MSC).
Para a determinação da magnitude dessas cargas, é
necessário a escolha de n pontos de teste na superfície do
condutor, sendo que em qualquer desses pontos, o potencial
resultante deve ser igual ao potencial do condutor.
Com a obtenção da densidade linear de carga nos
condutores, é possível calcular o campo elétrico gerado
fazendo a sobreposição dos efeitos dos condutores e de suas
respectivas imagens.
2) Cálculo do campo elétrico produzido pelas cargas
equivalentes: Com a aplicação da lei de Gauss na forma
integral, para o caso de um condutor de comprimento infinito
com densidade linear de carga constante, obtém-se o
seguinte:
n
p i ( t ).Q i ( t )
V (t )
(2)
q
E
i 1
2
0
d

ur
(10)
Ou, utilizando uma notação matricial:
[ Q ( t )]
(3)
[ C ( t )][ V ( t )]
Em que:
[ C ( t )]
[ P ( t )]
1
Considerando o sistema de referência apresentado na
Figura 2, e fazendo a superposição dos efeitos de todos os
condutores presentes, inclusive de suas respectivas imagens,
obtém-se as componentes fasoriais do campo do campo
elétrico:
(4)
E xi
Para a determinação dos elementos da matriz de
potenciais, tem-se:
1
p ii
p ij
D ij
'
D ij
D ji
'
D ji
ln
2
p ji
2 hi
(5)
ln
0
xj)
( xi
xj)
2
2
D ij
(6)
D ij
( yi
yj)
( yi
yj)
2
2
(7)
(8)
A matriz [C] é constante, simétrica e depende somente da
configuração geométrica dos condutores, o que é atestado
pela inversão da matriz [P].
No caso de um feixe de condutores, emprega-se o raio
equivalente, o qual expressa o raio do condutor imaginário
formado pelos subcondutores (Figura 3).
R .n
0
(X )
q i
2
X
(Y )
2
(X )
2
Y
0
'
(Y )
Y
'
' 2
(12)
(Y )
X
x
xi
(13)
Y
y
yi
(14)
y
yi
(15)
(X )
2
(11)
2
(X )
2
2
(Y )
Nas quais:
'
1
( xi
req
2
X
2
ri
0
2
E yi
q i
n .r
R
(9)
Y
'
Deve-se salientar que ao introduzir-se o fasor de tensão
em termos do valor eficaz, obtém-se o fasor de densidade
linear de carga e as componentes de campo elétrico também
em termos do valor eficaz. Analogamente, for utilizado o
valor máximo de tensão, o campo elétrico resultante também
será máximo. Também é importante destacar que as normas
internacionais fixam os limites de exposição humana a
campos elétrico e magnético para valores eficazes.
B. Cálculo do Campo Magnético
Nesta seção, demonstra-se o cálculo do campo magnético
gerado por um fio condutor infinito e logo após o cálculo da
indução magnética em linhas de transmissão.
Considera-se a seguinte equação de Maxwell, do campo
magnético conservativo:

B
Fig. 3. Determinação do raio equivalente de um conjunto de
subcondutores.
0
(16)
A relação constitutiva entre a indução magnética e o
campo magnético é dada por:

B
0

H
(17)
Relacionando-se as equações (16) e (17), obtém-se:

H
B ya
Aplicando o rotacional em ambos os lados:

H
.
2
(18)
0
Ia ( x
0
(x
xa )
2
xa )
( ya
y)
2
(25)
Para obtenção das componentes fasoriais, empregou-se a
Figura 4.
(19)
0
Para continuidade da corrente, tem-se:

J
(20)
0
A partir das Equações 19 e 20 é possível observar de
forma qualitativa e quantitativa a formação do campo
magnético a partir da densidade de corrente.
Matematicamente:

H

J
(21)
Que é a lei de Ampère, onde consideram-se apenas as
correntes de condução, uma vez que, no regime quase
estático, as correntes de deslocamento são muito menores
que as correntes de condução.
Integrando ambos os lados e aplicando o teorema de
Stokes, chega-se à forma integral da lei de Ampère:
 
H dl
I
B
I
(23)
2 R
A equação (23) é a que será utilizada para o cálculo da
indução magnética em linhas de transmissão, considerandose que B e I são quantidades fasoriais.
Na modelagem matemática acima, foram consideradas
apenas as correntes nos cabos-fase, não sendo consideradas
as correntes induzidas nos cabos do sistema. O solo é
considerado como tendo a permeabilidade relativa unitária.
As componentes fasoriais horizontal e vertical da
intensidade da indução magnética em um dado ponto do
espaço, geradas pela corrente que percorre um condutor a,
são, respectivamente:
B xa
Ia ( y a
0
2
(x
xa )
2
Para n condutores, considera-se o princípio da
superposição, obtendo a indução magnética resultante, que
apresenta componentes horizontal e vertical dadas,
respectivamente, por:
(22)
Para o caso de linhas de transmissão, cada condutor será
avaliado como sendo um fio infinito de seção transversal
circular, percorrido por uma corrente e considerando-se a
catenária que este condutor descreve, na medida em que se
percorre a linha de transmissão.
Para que haja uma simplificação dos cálculos, é possível
utilizar a simetria e fazer com que a superfície de integração
para cada condutor seja um círculo de raio R.
Portanto, como o campo magnético é constante sobre a
superfície S e tendo o fato de que o campo magnético e o
comprimento infinitesimal são colineares e de mesmo
sentido, tem-se a equação para a indução magnética:
0
Fig. 4. Condutor a e respectivos vetores de indução magnética
associados à corrente que o percorre.
y)
( ya
y)
2
(24)
B xt
B yt
n
0
2
i 1
n
0
2
Ii
i 1
Ii
( yi
(x
(x
y)
2
( yi
(x
xi )
2
( yi
xi )
xi )
y)
2
y)
2
(26)
(27)
A indução magnética resultante é:
B
B xt
2
B yt
2
(28)
IV. MODELAGEM DA VARIAÇÃO DA ALTURA DOS
CONDUTORES AO LONGO DO VÃO ENTRE TORRES
No mapeamento dos campos considera-se a variação da
altura dos condutores em relação ao solo, visto que essa
variação influencia diretamente nos valores dos campos
elétrico e magnético para determinado perfil transversal de
medição. A modelagem é baseada na referência [7].
Quando os cabos condutores são instalados nas torres de
transmissão e sofrem deformações devido ao vento, o próprio
peso, a corrente de operação, temperatura, humidade relativa
no momento da medição e outros, descrevendo a forma de
uma catenária.
Para a demonstração do cálculo da catenária, deve-se
analisar a Figura 5. Fazendo a consideração com relação aos
eixos OX e OY, seja M um ponto da curva limitando um
comprimento de condutor OM = s.
Esse segmento de condutor estará em equilíbrio estático
com as forças que estão atuando sobre ele, a saber, o peso do
segmento, a tração no ponto O e a tração T.
V. SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL E RESULTADOS
Para a simulação computacional, foi
configuração de torre apresentada na Figura 6.
utilizada
a
Fig. 5. Condutor suspenso em dois suportes de mesma altura.
Projetando essas forças sobre o eixo OY, tem-se:
Tsen
'
(29)
ps
E sobre o eixo OX, tem-se:
T cos
Fig. 6. Modelo de torre utilizada na simulação computacional.
'
(30)
TO
Fazendo a consideração para meio vão, o ponto M sofrerá
um deslocamento até o ponto B, e a força T passará a ser
tangente à curva em B. Nessas condições, as Equações 29 e
30 passam a ser:
pL
Tsen
(31)
2
T cos
(32)
TO
Uma vez que a força T é responsável pelo equilíbrio das
demais, tal força representa a reação da estrutura ao sistema
de forças atuantes. Da Equação 34, tem-se:
TO
T
(33)
'
cos
Essa torre é uma torre típica para a transmissão da classe
de tensão de 440 kV. A altura dos condutores na torre é de 23
metros, sendo que a distância entre as fases é de 11,2 metros.
A altura dos cabos guarda é de 32,4 metros e a distância
entre eles é de 16,2 metros. Essa torre utiliza um feixe de
condutores de 4X954 MCM – 45/7 rail, sendo que o tipo de
cabo empregado nos pára-raios é EHS. A distância entre
torres é de 374 metros, sendo que nos pontos de flecha
máxima, os cabos das fases apresentam uma altura de 13.08
metros e os cabos pára-raios apresentam uma altura de 23,44
metros.
Nas Figuras 7, 8 e 9 são apresentados os resultados da
simulação realizada para as condições acima descritas.
Dividindo a Equação 31 por 32:
'
tg
1
ps
(34)
TO
O que mostra que a força T varia, à medida que se
percorre a distância entre torres. Após manipulação
matemática, obtém-se:
y
TO
p
cosh
x
Fig. 7. Resultados computacionais bidimensionais para o campo
elétrico e a indução magnética no meio do vão.
1
(35)
TO / p
Que descreve a catenária para cabos em linhas de
transmissão.
Fig. 8. Modelo tridimensional do campo elétrico distribuído ao longo do vão.
Fig. 9. Modelo tridimensional da indução magnética distribuída ao longo do vão.
VI. CONCLUSÃO
Comparando com outras referências da área [8] e [9], o
programa mostrou-se uma boa opção para o cálculo do
campo elétrico e da indução magnética. A validade do
programa está justamente no fato de ele apresentar resultados
coerentes dentro de tolerâncias para as alturas dos cabos
condutores. Percebe-se que, no limite da faixa de servidão, os
valores para o campo elétrico e para a indução magnética não
ultrapassam os limites determinados por normas (ICNIRP e
resolução ANEEL 298), que são de 5 kV/m e de 0,1 mT,
ambos em valores eficazes.
AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem a Universidade Federal de
Rondônia, ao Núcleo de Ciência e Tecnologia e ao
Departamento de Engenharia Elétrica pelo apoio recebido.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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PAS, vol.95, nº 5, p. 600-611, September/October. 1976.
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Matthew
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de transmissão da CTEEP. In: XVI – SNTEEP,
Campinas SP. 2001.
[8] DOMINGUES, L. A. M. C.; Mpalatinos Neto,
Athanasio; Barbosa, Amon Filho, J.; Esmeraldo, P. C. V.
Mapeamento de Campos Eletromagnéticos em linhas do
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kV). In: XVII – SNTEEP, 2003, Uberlândia MG.