Simetria em Mecânica Quântica - Departamento de Física

Simetria em Mecânica Quântica
Márcio H. F. Bettega
Departamento de Física
Universidade Federal do Paraná
[email protected]
CF703–Física Quântica I – Simetria em Mecânica Quântica
Simetrias e Leis de Conservação
I
Simetrias em física clássica:
X Lagrangiana: L = L(qi , q̇i ; t) = T − V , onde qi (q̇i ) são as coordenadas
(velocidades) generalizadas e q̇i = dqi /dt.
X Equações de Lagrange:
∂L
d ∂L
−
=0
∂qi
dt ∂ q̇i
X Se L não depender de qi (coordenada cíclica ou ignorável), temos:
d ∂L
∂L
=0→
= constante
dt ∂ q̇i
∂ q̇i
Definimos o momento conjugado à coordenada qi , pi , como:
pi =
∂L
∂ q̇i
Como consequência, pi = constante.
P
X Hamiltoniana: H = H(qi , pi ; t) = i pi q̇i − L
X Equações de Hamilton:
∂H
∂H
; ṗi = −
∂pi
∂qi
X Se L (ou H) não depender explicitamente de qi , então pi é uma constante de
movimento ⇒ Lei de Conservação.
q̇i =
Simetrias e Leis de Conservação
I
Transformação canônica infinitesimal:
X transformação identidade: F2 (q, P ) = qP
p=
∂F2 (q, P )
∂F2 (q, P )
= P, Q =
=q
∂q
∂P
X transformação infinitesimal: F2 (q, P ) = qP + G(q, P ), ( 1)
p=
∂F2 (q, P )
∂G(q, P )
∂F2 (q, P )
∂G(q, P )
=P +
,Q =
=q+
∂q
∂q
∂P
∂P
X fazendo = dt, H(q, P ) ≈ H(q, p) temos (evolução temporal)
P = p − dt
∂H(q, p)
= p + dt ṗ = p(t + dt)
∂q
Q = q + dt
∂H(q, p)
= q + dt q̇ = q(t + dt)
∂p
Simetrias e Leis de Conservação
I
Teorema de Noether: (de forma bastante simplificada) simetrias na Lagrangiana
levam a constantes de movimento:
X p → translação
X L → rotação
X H → evolução temporal
X Simetria (escondida) no problema de Kepler: vetor de Laplace-Runge-Lenz
p×L
r
− Ze2
m
r
Em mecânica quântica, a simetria associada ao operador
M=
p×L−L×p
r
− Ze2
m
r
é uma simetria SO(4) associada a uma rotação em 4 dimensões e explica a
degenescência acidental (E = En ) no átomo de hidrogênio
M=
Simetrias e Leis de Conservação
I
Simetria em mecânica quântica (H é o Hamiltoniano do sistema):
X S: operador unitário definido como:
S = 11 −
i
G; G† = G
~
onde G é um operador gerador de simetria. Se [H, S] = 0 → S † HS = H. Isso
implica em:
i
i
i
11 + G H 11 − G = H + [G, H] + O(2 )
~
~
~
Como consequência, se [H, G] = 0 → dG/dt = 0 (equação de Heisenberg), ou
seja, G é uma constante de movimento (vimos os casos em que G = p, G = J e
G = H).
I
Vamos considerar os autokets de G, |g 0 i: G|g 0 i = g 0 |g 0 i. No tempo t:
|g 0 , t0 ; ti = U (t, t0 )|g 0 i
Se [H, G] = 0 → [G, U ] = 0, |g 0 i são autokets de energia e portanto
G|g 0 , t0 ; ti = g 0 |g 0 , t0 ; ti e H|g 0 , t0 ; ti = Eg0 |g 0 , t0 ; ti
Simetrias e Leis de Conservação
I
Degenerescências: [H, S] = 0; |ni são os autokets de energia, H|ni = En |ni.
Neste caso S|ni também é um autoket de energia:
S|ni → HS|ni = SH|ni = En S|ni
Supondo que |ni 6= S|ni, |ni e S|ni são autokets de energia associados ao mesmo
autovalor En ⇒ degenerescência.
I
Se S = S(λ), onde λ é um parâmetro contínuo, temos:
X rotação: S(λ) = D(R)
[D(R), H] = 0 → [J, H] = 0, [J2 , H] = 0
Neste caso |n; j, mi são autokets simultâneos de H, J2 , Jz . D(R)|n; j, mi são
autokets de H com mesmo autovalor En :
D(R)|n; j, mi =
X
m0
|n; j, m0 ihn; j, m0 |D(R)|n; j, mi =
X
Dm0 m (R)|n; j, m0 i
(j)
m0
Neste caso há (2j + 1) valores possíveis para m0 , o que acarreta uma
degenerescência de ordem (2j + 1). Exemplo: V (r) + VLS (r)L · S. No caso da
presença de campos externos a degenerescência pode ser removida (total ou
parciamente). Veremos isso em CF704–Física Quântica II (teoria de perturbação).
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I
Vamos agora considerar simetrias discretas, como paridade (inversão espacial).
Chamos de Π o operador paridade, exigindo que:
|αi → Π|αi : hα|Π† xΠ|αi = −hα|x|αi
Com isto:
Π† xΠ = −x → {x, Π} = 0
Vamos considerar os autokets de posição |x0 i. Proposta: Π|x0 i = exp(iδ)| − x0 i.
Para provar isso fazemos:
xΠ|x0 i = −Πx|x0 i = (−x0 )Π|x0 i → Π|x0 i ∝ | − x0 i
Adotamos exp(iδ) = 1. Π2 = 11, de tal forma que seus atovalores ±1.
Simetrias e Leis de Conservação
J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Revised Edition, Addison Wesley.
Simetrias e Leis de Conservação
I
O que acontece com o operador p sob paridade? (p = mdx/dt, ímpar?). Sabemos
que p é um gerador de translação. Podemos ver pela figura que translação +
paridade = paridade + translação no sentido contrário. Isso se traduz como
ΠT (dx0 ) = T (−dx0 )Π → ΠT (dx0 )Π† = T (−dx0 ). Temos então que:
p · dx0
p · dx0
Π 11 − i
Π† = 11 + i
~
~
ou
ΠΠ† −
i
i
ΠpΠ† · dx0 = 11 + p · dx0
~
~
Comparando: ΠΠ† = 11, {Π, p} = 0.
O que acontece com o operador J sob paridade? Dica: L = |{z}
x × p → par.
|{z}
ímpar
ímpar
Traduzimos isso como [Π, L] = 0. Isso vale para S? A resposta é sim. A matriz que
representa uma operação de paridade é R = −11, que comuta com as matrizes de
rotação 3 × 3. Postulamos então que: ΠD(R) = D(R)Π, onde D(R) é o operador
de rotação infinitesimal. Com isso [Π, D(R)] = 0 → [Π, J] = 0 → Π† JΠ = J
Simetrias e Leis de Conservação
I
Comentários:
X x e J se transformam da mesma maneira sob rotação: vetores (ou tensores
esféricos de ordem 1);
X x e p são ímpares sob paridade (vetores polares);
X S · x: se transforma sob rotação como escalar, assim como S · L e x · p. Sob
paridade temos: Π−1 S · xΠ = −S · x (pseudoescalar) e Π−1 S · LΠ = S · L (escalar)
I
Funções de onda sob paridade:
|αi → hx0 |αi = ψα (x0 )
Π|αi → hx0 |Π|αi = h−x0 |αi = ψα (−x0 )
Se Π|αi = ±|αi temos:
hx0 |Π|αi = ±hx0 |αi = ±ψα (x0 ) = ψα (−x0 )
Logo:ψα (−x0 ) = +ψα (x0 ) (par); ψα (−x0 ) = −ψα (x0 ) (ímpar). Exemplo:
Y`m (θ, φ) → (−1)` Y`m (θ, φ) → Π|α; `, mi = (−1)` |α; `, mi.
Simetrias e Leis de Conservação
I
Teorema: “Suponha que [H, Π] = 0 e que |ni é um autoket de energia não
degenerado com autovalor En . Então |ni também é um autoket de paridade.
Note que (11 ± Π)/2|ni é um autoket de paridade (Π2 = Π). Logo:
1
1
H
(11 ± Π) |ni = En
(11 ± Π) |ni
2
2
Simetrias e Leis de Conservação
I
Vamos considerar como exemplo o poço duplo simétrico de potencial, como mostra
a figura. Neste caso V (−x0 ) = V (x0 ) e portanto [H, Π] = 0. Assim temos:
X H|Si = ES |Si: estado fundamental (simétrico),
X H|Ai = EA |Ai: primeiro estado excitado (antissimétrico),
Podemos definir os estados |Ri e |Li, que são estados localizados nos lados direito
e esquerdo do poço como
1
|Ri = √ (|Si + |Ai)
2
e
1
|Li = √ (|Si − |Ai)
2
Os estados |Ri e |Li não são autoestados de paridade. Note que Π|Si = |Si e
Π|Ai = −|Ai, e como consequência Π|Ri = |Li e Π|Li = |Ri.
Simetrias e Leis de Conservação
J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Revised Edition, Addison Wesley.
Simetrias e Leis de Conservação
I
Vamos agora olhar a evolução temporal considerando o estado inicial como |Ri.
Assim:
1
|R, t0 = 0; ti = U (t, 0)|Ri = √ (U (t, 0)|Si + U (t, 0)|Ai) =
2
exp(−iES t/~)
√
=
{|Si + exp[−i(EA − ES )t/~]|Ai}
2
t=
T
~
= 2π
→ |R, t0 = 0; t = T /2i = exp(−iES T /2~)|Li
2
2(EA − ES )
t = T = 2π
~
→ |R, t0 = 0; t = T i = exp(−iES T /~)|Ri
(EA − ES )
Ou seja, o sistema fica oscilando estre os estados |Ri e |Li com frequência
ω = (EA − ES )/~.
Tornando a barreira infinita, não há mais possibilidade de tunelamento. Neste caso
|Si e |Ai são degenerados e |Ri e |Li são autokets de energia. Se agora em t0 = 0
o sistema encontra-se no estado |Ri, permanecerá em |Ri (agora a frequência de
oscilação ω é infinita). O estado fundamental agora pode ser antissimétrico, embora
H seja simétrico, o que significa uma quebra de simetria. Quando há
degenerescência os autokets de energia físicos não precisam ser autokets de
paridade.
Simetrias e Leis de Conservação
J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Revised Edition, Addison Wesley.
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I
Vamos discutir agora a regra de seleção de paridade. Considerando que
Π|αi = εα |αi e Π|βi = εβ |βi, onde εα , εβ = ±1, podemos mostrar que hβ|x|αi = 0
a menos que εα = −εβ . Isso significa que o operador x (ímpar sob paridade)
conecta apenas estados com paridades opostas. A demostração desta regra de
seleção fica como exercício.
I
Vamos considerar agora um autoket de energia |ni, tal que H|ni = En |ni, onde En
é não degenerado. Se [H, Π] = 0, temos que
hn|{x, Π}|ni = hn|xΠ|ni + hn|Πx|ni = ±hn|x|ni = 0 → hn|x|ni = 0
Simetrias e Leis de Conservação
I
Vamos considerar agora a simetria de reversão temporal. Antes, vamos considerar
e sujeita à condição
uma operação de simetria tal que |αi → |e
αi e |βi → |βi
e αi = hβ|αi
hβ|e
Isso pode ser alcançado por um operador unitário U (translação, rotação, paridade
e = U |βi, tal que:
etc), onde |e
αi = U |αi e |βi
e αi = hβ|U † U |αi = hβ|αi
hβ|e
Vamos considerar uma condição mais fraca para o caso da reversão temporal:
e αi| = |hβ|αi|
|hβ|e
a qual é satisfeita pelo operador unitário U . Esta condição também é satisfeita se
e αi = hβ|αi∗ = hα|βi
hβ|e
Simetrias e Leis de Conservação
I
Definimos uma transformação antiunitária θ como
e = θ|βi
|e
αi = θ|αi; |βi
tal que
e αi = hβ|αi∗
hβ|e
onde
θ(c1 |αi + c2 |βi) = c∗1 θ|αi + c∗2 θ|βi
e θ é denominado operador antiunitário.
I
Vamos escrever θ como: θ = U K, onde U é um operador unitário e K é o operador
que forma o complexo conjugado de qualquer coeficiente que multiplica um ket
(Kc|αi = c∗ K|αi). K não altera os kets de base:
|αi =
X
a0
|a0 iha0 |αi → K|αi = K
X
a0
|a0 iha0 |αi =
X 0 ∗
X 0 ∗ 0
ha |αi K|a0 i =
ha |αi |a i
a0
a0
Simetrias e Leis de Conservação
I
Cuidado, pois o efeito de K muda de acordo com a base escolhida. Para ver isso,
vamos considerar spin 1/2:
1
{|±i} → |sy , ±i = √ (|+i ± i|−i)
2
1
K|±i = |±i → K|sy , ±i = √ (|+i ∓ i|−i)
2
No entanto, se considerarmos |sy , ±i como base temos K|sy , ±i = |sy , ±i.
Simetrias e Leis de Conservação
I
Vamos retornar a θ = U K:
θ(c1 |αi + c2 |βi) = U K(c1 |αi + c2 |βi) = c∗1 U K|αi + c∗2 U K|βi = c∗1 θ|αi + c∗2 θ|βi
X 0 ∗
ha |αi U |a0 i
|αi → |e
αi = θ|αi = U K|αi = U K
X
a0
a0
e = θ|βi = U K|βi = U K
|βi → |βi
X
X 0 ∗
|a0 iha0 |βi =
ha |βi U |a0 i
a0
a0
e αi =
hβ|e
|a0 iha0 |αi =
X X 00
(ha |βiha00 |U † )(ha0 |αi∗ U |a0 i) =
a00
a0
X X 00
†
∗
0
=
ha |βihα|a0 i ha00 | U
| {zU} |a i = hα|βi = hβ|αi
a00
a0
11
|
{z
δa0 a000
}
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J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Revised Edition, Addison Wesley.
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I
Vamos definir agora o operador de reversão temporal Θ:
|αi → Θ|αi
De acordo com a figura temos:
X |αi = |p0 i → Θ|p0 i = | − p0 i
X |αi = |x0 i → Θ|x0 i = |x0 i
iH
11 −
δt |αi
~
iH
δt Θ|αi
|α, t0 = 0; t = δti = 11 −
~
t = 0 ⇒ |αi −→δt |α, t0 = 0; t = δti =
t = 0 ⇒ Θ|αi −→δt
A simetria sob reversão temporal exige que o ket acima seja o mesmo que:
iH
Θ|α, t0 = 0; t = −δti = Θ 11 +
δt |αi
~
iH
iH
11 −
δt Θ|αi = Θ 11 +
δt |αi
~
~
iHΘ
ΘiH
Θ−
δt |αi = Θ +
δt |αi
~
~
Simetrias e Leis de Conservação
I
Isto resulta em:
−iHΘ|αi = ΘiH|αi
ou, para qualquer ket
−iHΘ|i = ΘiH|i
Se Θ for unitário: −HΘ = ΘH
H|ni = En |ni ⇒ HΘ|ni = −ΘH|ni = −En Θ|ni
Neste caso, Θ|ni é um autoket de H com autovalor −En , o que não faz sentido
(pense em uma partícula livre). Portanto Θ é um operador antiunitário:
ΘiH|i = −iΘH|i ⇒ ΘH = HΘ
hβ|Θ|αi → hβ|(Θ|αi) −−−→ (hβ|Θ)|αi
não
Não vamos definir (hβ|Θ).
Simetrias e Leis de Conservação
I
Vamos analisar agora como os operadores lineares ⊗ se comportam sob reversão
temporal.
e = Θ|βi
|e
αi = Θ|αi; |βi
Neste caso:
e
hβ| ⊗ |αi = he
α|Θ ⊗† Θ−1 |βi
A prova fica como exercício. No caso em que ⊗ = A; A† = A temos:
e
hβ|A|αi = he
α|ΘAΘ−1 |βi
No caso em que ΘAΘ−1 = ±A (A pode ser par ou ímpar sob reversão temporal)
temos:
e = ±he
e = ±hβ|A|e
e α i∗
hβ|A|αi = he
α|ΘAΘ−1 |βi
α|A|βi
Fazendo |βi = |αi temos (valor esperado):
hα|A|αi = ±he
α|A|e
α i∗
Simetrias e Leis de Conservação
I
Exemplos:
XA=p
hα|p|αi = −he
α|p|e
αi∗ → ΘpΘ−1 = −p
pΘ|p0 i = (−ΘpΘ−1 )Θ|p0 i = −Θp|p0 i = −p0 (Θ|p0 i) ⇒ Θ|p0 i = | − p0 i
XA=x
hα|x|αi = he
α|x|e
αi∗ → ΘxΘ−1 = x
xΘ|x0 i = (ΘxΘ−1 )Θ|x0 i = Θx|x0 i = x0 (Θ|x0 i) ⇒ Θ|x0 i = |x0 i
Simetrias e Leis de Conservação
I
Vamos olhar agora como ficam as relações de comutação [xi , pj ] = i~δij e
[Ji , Jj ] = i~ijk Jk sob reversão temporal:
[xi , pj ]|i = i~δij |i → Θ[xi , pj ]|i = Θi~δij |i →
→ Θ[xi , pj ](Θ−1 Θ)|i = −i~δij Θ|i →
→ [xi , −pj ]Θ|i = −i~δij Θ|i → [xi , pj ] = i~δij
e a relação é preservada. Para preservar [Ji , Jj ] = i~ijk Jk é necessário que
ΘJΘ−1 = −J.
I
Vamos agora considerar uma partícula sem spin, e olhar o comportamento da
função de onda sob reversão temporal:
t = 0 → |αi ⇒ hx0 |αi = ψ(x0 )
Z
|αi =
Z
d3 x0 |x0 ihx0 |αi → Θ|αi = Θ d3 x0 |x0 ihx0 |αi =
Z
Z
= d3 x0 hx0 |αi∗ Θ|x0 i = d3 x0 hx0 |αi∗ |x0 i
Simetrias e Leis de Conservação
I
Temos assim:
X Se ψ(x0 , t) = u(x0 ) exp(−iEt/~) ⇒ ψ ∗ (x0 , −t) = u∗ (x0 ) exp(−iEt/~);
t = 0 → u(x0 ) = u∗ (x0 )
X Se ψ(x0 ) = R(r)Y`m (θ, φ) ⇒ Y`m ∗ (θ, φ) = (−1)m Y`−m (θ, φ)
|`mi → Θ|`mi = (−1)m |` − mi
I
Teorema: “Suponha que o Hamiltoniano seja invariante sob reversão temporal
(ΘHΘ−1 = H) e que o autoket de energia |ni seja não degenerado; então a
autofunção correspondente é real (ou, de forma mais geral, uma função real
multiplicada por um fator de fase independente de x0 ).
HΘ|ni = ΘH|ni = En Θ|ni
Neste caso |ni e Θ|ni tem o mesmo autovalor de energia (não degenerado). Logo
|ni ∝ Θ|ni e |ni → hx0 |ni; Θ|ni → hx0 |ni∗ ⇒ hx0 |ni = hx0 |ni∗
Como fica hp0 |αi?