Apostila

Simetria de Figuras Planas e
Espaciais
Introdução
A maioria das pessoas acreditam que a simetria está ligada mais a
pensamentos sobre Arte e Natureza do que sobre Matemática. De fato, nossas
ideias de beleza estão intimamente relacionadas a princípios de simetrias, que
são encontradas por toda a parte no mundo que nos rodeia.
Na natureza podemos observar vários exemplos de simetria.
Figura 1
O homem também utiliza a simetria.
Figura 2
Simetria
A simetria é definida como a correspondência, em grandeza, forma e posição
relativa, de partes situadas em lados opostos de uma linha ou plano médio, ou
ainda, que se acham distribuídas em volta de um centro ou eixo.
Embora seja fácil reconhecer e compreender simetrias intuitivamente, é um
pouco mais difícil defini-la em termos matemáticos mais precisos.
Para Simetria no plano, a ideia básica é bastante clara: uma figura no plano é
simétrica se podemos dividi-la em partes de alguma maneira, de tal modo que
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as partes resultantes desta divisão coincidam perfeitamente, quando
sobrepostas.
Figura 3
Uma das primeiras coisas que notamos a respeito de simetrias é que elas
podem ser de diferentes tipos. Os dois tipos principais são as simetrias axiais e
as simetrias centrais.
Veremos um pouco mais sobre esses dois tipos de simetria.
Simetrias axiais ou em relação a retas:
São aquelas onde pontos, objetos ou partes de objetos são a imagem
espelhada um do outro em relação à reta dada, chamada eixo de simetria. O
eixo de simetria é a mediatriz do segmento que une os pontos
correspondentes.
Na figura 4 observa-se o aplicativo desenvolvido para esse tipo de simetria,
utilize-o e aprenda ainda mais!
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o aplicativo
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Figura 4
Simetrias Centrais:
São aquelas em que um ponto, objeto ou parte de um objeto pode ser girado
em relação a um ponto fixo, central, chamado centro da simetria, de tal maneira
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que essas partes ou objetos coincidam um com o outro um determinado
número de vezes.
Na figura 5 observa-se o aplicativo que foi desenvolvido para que você aprenda
ainda mais! Utilize-o.
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Figura 5
Simetrias Especiais:
As simetrias cujos eixos são os eixos coordenados ou o centro, a origem do
sistema de coordenadas, são muito fáceis de caracterizar. Nestes casos
especiais, conhecidas as coordenadas de um ponto é possível determinar, sem
grandes dificuldades, as coordenadas de seu simétrico.
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Figura 6
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Transformações
Em matemática, são regras especiais que transformam pontos do plano em
outros pontos do plano.
A qualquer hora que você pegue um objeto qualquer e o mova para qualquer
outro lugar, há uma transformação geométrica que descreve o movimento da
antiga posição para a nova.
Entretanto, as transformações que aparecem no mundo físico são de um tipo
muito especial. Não importa de que maneira você mova uma xícara, por
exemplo, ela será sempre a mesma xícara.
Em matemática ou em computação gráfica, ao contrário, se escolhermos uma
transformação ao acaso, é quase certo que ela, ao mover o objeto, provocará
também uma distorção na sua forma e/ou no seu tamanho.
Em matemática, tais transformações ou
de isometrias (do grego, mesma medida).
movimentos
são
chamados
Movimentos rígidos ou isometrias devem ser as transformações que preservam
o comprimento dos segmentos e, consequentemente a distância entre dois
pontos quaisquer do plano e da realidade.
TIPOS ISOMERIAS
Reflexão
Ocorre quando uma é a imagem espelhada da outra em relação à reta
considerada, chamada eixo de simetria. As duas figuras são simétricas em
relação a este eixo.
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Figura 7
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Translação
A mais comum das isometrias é a chamada translação. Uma figura sofre uma
translação quando se desloca, sem se deformar, paralelamente a uma direção
fixada.
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Figura 8
Rotação
Esse tipo de isomeria é obtido quando fixamos um ponto do plano e giramos a
figura de um ângulo qualquer, ao redor deste ponto.
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Figura 9
TRANSFORMAÇÕES DE SEMELHANÇA
Translações, reflexões e rotações são isometrias, isto é, são transformações
que preservam a distância entre dois pontos do plano. A partir desta
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propriedade podemos provar que isometrias mudam a posição do desenho,
mantendo a forma e o tamanho da figura original. Por isso, figuras obtidas a
partir de isometrias são ditas congruentes.
Homotetia
Homotetias são transformações que, mantendo um ponto fixo O, chamado
centro da homotetia, multiplicam a medida de qualquer segmento de reta que
passe por este ponto, por um fator constante a, chamado razão da homotetia.
Esta propriedade das homotetias é usada para "ampliar" ou "diminuir" o
tamanho das figuras.
Deformações
Além dessas transformações, existem outras que deformam a figura original.
Com isso tem-se uma desproporcionalidade de toda figura.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BUENO, M. S. Simetria de Figuras Planas ou Espaciais. Col. de Aplic. da
Universidade
do
Rio
de
Janeiro.
2011.
Disponível
em:<
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaColecaoAula.html?id=614
>.
Acesso em 29 maio 2012.
Projeto Novas Tecnologias no Ensino. Universidade Federal do Rio de Janeiro.
Módulo
II
–
Cap.
I.
Disponível
em:<
http:
//www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap21
s3.html >. Acesso em: 29 maio 2012.
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