matemática

01/06/2015
MATEMÁTICA
w
w
w
.c
on
cu
rs
ov
irt
u
al
.c
om
.b
r
PROFESSOR: CRISTIANO JORGE
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
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Sequência ou sucessão:
A palavra “seqüência” sugere a ideia de termos sucessivos e
pode ser finita ou infinita. Toda sequência pressupõe determinada
ordem entre seus elementos.
N*
.b
r
Representação Formal:
(a1, a2, a3,..., an-1, an)
a1: primeiro termo
a2: segundo termo

............................
an: enésimo termo, com n
.c
.c
on
cu
rs
ov
irt
u
al
Sequência infinita: (a1, a2, a3, ..., an)
Ex: (3, 5, 7, 11, 13, 17,...)
om
Sequência finita: (a1, a2, a3, ..., an)
Ex: (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19)
Termo geral de uma sequência
w
w
w
O termo geral de uma sequência permite determinar qualquer
elemento an da sequência, conhecendo-se apenas sua posição n na
sequência.
Exemplo:
Escreva os quatro primeiros termos das sequências dadas pelos
termos gerais, sendo n Є N*.
a) an = 3n – 1
Para n = 1, temos: a1 = 3.1 – 1 = 2
Para n = 2, temos: a2 = 3.2 – 1 = 5
Para n = 3, temos: a3 = 3.3 – 1 = 8
Para n = 4, temos: a4 = 3.4 – 1 = 11 Conclusão: (2, 5, 8, 11)
b) an = 2n - 3
Para n = 1, temos: a1 = 2.1 – 3 = -1
Para n = 2, temos: a2 = 2.2 – 3 = 1
Para n = 3, temos: a3 = 2.3 – 3 = 3
Para n = 4, temos: a4 = 2.4 – 3 = 5
Conclusão: (-1, 1, 3, 5)
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Progressão Aritmética (PA)
É toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é
obtido pela adição do anterior a uma constante r, chamada razão da
progressão. Para calcular essa razão basta calcular a diferença entre
qualquer termo pelo seu antecessor.
Exemplos:
1) (1, 3, 5, 7, 9)
r = 3 -1 = 2
2) (-3, -7, -11,…)
.b
r
r = -11 – (-7) = -4
om
3) (9, 9, 9, 9)
cu
rs
ov
irt
u
al
.c
r=9–9=0
.c
on

w
w
Classificação de uma PA
r>0
w
1º Caso: Crescente
Ex: (2, 7, 12,…)
r=5
2º Caso: Decrescente
Ex: (9, 4, -1,…)
r = -5
3º Caso: Constante
Ex: (3, 3, 3,…)
r=0
r<0
r=0
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Termo geral de uma PA
Descrevendo alguns termos de uma PA, podemos obter a fórmula do
termo geral.
1º termo
a1 = a1 + 0r
2º termo
a2 = a1 + 1r
3º termo
a3 = a1 + 2r
4º termo
a4 = a1 + 3r
………….
………….
nº termo
an = a1 + (n – 1)r
, onde:
an = a1 + (n – 1).r
a1: primeiro termo
r: razão
.c
on
cu
rs
ov
irt
u
al
.c
om
.b
an: termo geral (último
termo)
r
n: número de termos
w
Exemplos
w
1) Determine o vigésimo termo da PA (1, 8, 15, …).
an = a1 + (n – 1).r
r=7
an = 1 + (20 – 1).7
n = 20
an = 1 + 133
an = ?
an = 134
w
a1 = 1
2) Determine o número de termos da PA ( -6, -9, -12, …, -66).
a1 = -6
an = a1 + (n – 1).r
an = -66
-66 = -6 + (n – 1).(-3)
r = -3
-66 = -6 -3n + 3
n=?
n = 21
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EXERCÍCIOS
.c
om
.b
r
1) Durante quinze dias observou-se o crescimento do caule de uma
semente germinada. No primeiro dia sua altura era de 10 mm e no último,
de 80 mm. Qual foi seu crescimento diário, sabendo-se que esse valor foi
constante?
.c
on
cu
rs
ov
irt
u
al
GABARITO: 5 mm
w
w
w
2) Uma avenida tem 4000 m de extensão e vai receber em seu canteiro
central o plantio de palmeiras imperiais. A distância entre as mudas
deverá ser de 15 m, a primeira planta vai ficar a 10 m do início da
avenida e a última no final da avenida. Quantas palmeiras serão
plantadas?
GABARITO: 267 palmeiras
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om
.b
r
3) Um corpo, caindo livremente, percorre 4,9 m durante o 1º segundo;
no segundo seguinte, percorre 14,7 m; no 3º segundo, 24,5 m.
Continuando assim, quanto percorrerá no 11º segundo?
.c
on
cu
rs
ov
irt
u
al
.c
GABARITO: 102,9 m
w
Interpolação Aritmética
w
w
Seja a sequência (a1, a2, a3, …, an), os termos a1 e an, são chamados extremos, e os demais
são chamados meios.
Na PA (2, 5, 8, 11, 14, 17), temos:
• extremos: 2 e 17
• meios: 5, 8, 11 e 14
Ex: Interpole sete meios aritméticos entre os números 1 e 17.
Podemos observar que a PA, possui 9 termos, pois são 7 (meios) + 2 (extremos), fazendo:
a1 = 1
an = a1 + (n – 1).r
como r = 2, logo:
an = 17
17 = 1 + (9 – 1).r
PA (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17)
n=9
r=?
r=2
OBS: Em casos de interpolação, devemos descobrir a
razão, pois assim, perceberemos a construção da PA.
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Propriedades de uma PA
1ª) A soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma PA finita é
igual à soma dos extremos.
Ex: (3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31)
3 + 31 = 34
7 + 27 = 34
11 + 23 = 34
r
2ª) Considerando-se três termos consecutivos de uma PA, o termo
do meio é a média aritmética dos outros dois.
.b
Ex: (1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)
al
.c
13  21
2
.c
on
cu
rs
ov
irt
u
17 =
om
5= 1  9
2
w
Exemplos
w
1) Encontre o termo desconhecido em cada caso:
w
a) (56, x, 70)
56  70
x = 2
x = 63
Não é possív el apresentar esta imagem de momento.
b) (y, 8, 1)
y 1
8 = 2
y = 15
c) (3, 12, z)
12 = 3  z
2
z = 21
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Soma dos termos de uma PA
Sn = (a  a ).n
2
1
n
, onde:
a1: primeiro termo
an: último termo
.b
r
n: número de termos
.c
on
cu
rs
ov
irt
u
al
.c
om
Sn: Soma dos termos
Exemplos
w
1) Calcular a soma dos dez primeiros termos da PA (4, 7, 10, …)
(a  a ).n
a1 = 4 an = a1 + (n – 1).r Sn = S
n = 175 r = 3 an = 4 + (10 – 1).3 2
n = 10 an = 31 Sn = ?
( 4  31).10
an = ? Sn = 2
n
w
w
1
2) Qual é a soma dos cinquenta primeiros números ímpares?
PA ( 1, 3, 5, …)
(a  a ).n
a1 = 1 an = a1 + (n – 1).r Sn = Sn = 2500
2
n = 50 an = 1 + (50 – 1).2
r = 2 an = 99
Sn = ?
(1  99).50
an = ? Sn= 2
1
n
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EXERCÍCIOS
om
.b
r
1) Qual é a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 11 e 100?
.c
on
cu
rs
ov
irt
u
al
.c
GABARITO: 1665
w
w
w
2) A família de João é composta de 10 pessoas sucedendo-se com 2 anos de
intervalo. Sabendo-se que o mais velho tem o dobro da idade do mais novo,
calcule a soma das idades dos componentes dessa família.
GABARITO: 270 ANOS
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