AULA 1 - Curso Apogeu

CURSO APOGEU
MATEMÁTICA BÁSICA
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
AULA 1
Um sistema de equações do 1º grau é
formado por duas ou mais equações lineares.
Resolver um sistema de equações do 1º grau
a duas incógnitas consiste em se obter dois
valores que satisfaçam simultaneamente cada
equação do sistema.
Existem dois processos principais de
resolução:
EQUAÇÕES E SISTEMAS
DO 1º GRAU
EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Uma equação é classificada como sendo do
1º grau quando puder ser escrita na forma
ax + b = 0
onde a e b são reais com a ≠ 0.
Uma equação do 1º grau admite apenas
uma solução que pode ser obtida isolando-se a
variável x, ou seja:
ax + b = 0
ax = −b
x=
ENSINO SUPERIOR
−b
• Processo da Substituição
Consiste em isolar uma incógnita em uma
equação e substituí-la na outra equação do
sistema dado, recaindo-se numa equação do
1ºgrau com uma incógnita.
• Processo da Adição
Consistem em deixar os coeficientes de uma
mesma incógnita opostos. Desta forma,
somando-se membro a membro as duas
equações recai-se em uma equação com uma
única incógnita.
APLICAÇÕES:
1) Resolva os seguintes sistemas:
a
APLICAÇÕES:
x −1 x
= +6
1)
2
3
2)
x −1
3
+
5
6
=
x +1
2
2) Numa chácara destinada à criação, existem
somente veados e galinhas, ao todo 40 animais.
Determine o número de veados e galinhas,
sabendo-se que o total de pés é 110.
3) 3(x + 1) − 2(x − 1) = x + 5
4) A soma de dois números inteiros consecutivos
é 87. Encontre esses números.
5) Achar um número inteiro tal que os seus
4
5
3) A soma das idades de um pai e um filho é 38.
Calcule as idades do pai e do filho, sabendo-se
que daqui a 7 anos a idade do pai será o triplo
da idade do filho.
diminuídos de 7, seja igual a metade aumentada
de 2.
-1-
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AULA 02
ENSINO SUPERIOR
APLICAÇÕES:
1) Desenvolva:
PRODUTOS NOTÁVEIS E
FATORAÇÃO
PRODUTOS NOTÁVEIS
Alguns produtos entre expressões algébricas
podem ser obtidos de maneira mais simples, sem
a necessidade de se efetuar todos os cálculos.
Esses produtos são chamados de PRODUTOS
NOTÁVEIS. Pela sua aplicação, três se destacam:
O quadrado de uma soma
O quadrado da soma de dois termos é o
quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o
primeiro pelo segundo, mais o quadrado do
segundo termo.
(a + b) = a + 2ab + b
2
2
2
O quadrado de uma diferença
O quadrado da diferença de dois termos é o
quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o
primeiro pelo segundo, mais o quadrado do
segundo termo.
(a − b) = a − 2ab + b
2
2
2
O produto da soma pela diferença
O produto da soma de dois termos pela sua
diferença é igual ao quadrado do primeiro termo,
menos quadrado do segundo termo.
(a + b)(a − b) = a − b
2
2
2) Fatore as seguintes expressões algébricas:
a) 3x − 9y =
b) 2x 7 + 3x 4 =
c) 8ax 3 − 4a 2 x 2 =
d) 3a 2 + 3 + ba 2 + b =
e) x 3 + x 2 + x + 1 =
f) x 2 − 36 =
g) x 2 + 20x + 100 =
h) x 2 − 6x + 9 =
3) Simplifique as frações algébricas
4x + 4x
3
FATORAÇÃO
Fatorar significa transformar em produto uma
soma ou diferença de expressões algébricas.
Sempre que fatoramos uma expressão,
facilitamos sua simplificação.
Fator Comum
a)
x +1
x −9
x − 6x + 9
2
c)
= x(a + b) + y(a + b) =
d)
=
a + 4a + 4
2
a+2
Agrupamento
ax + bx + ay + by =
=
2
b)
2
ax + bx = x(a + b)
2
(x + y)
x −y
2
=
2
2
=
= (a + b)(x + y)
-2-
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AULA 03
ENSINO SUPERIOR
APLICAÇÕES:
1) Calcule:
a) 1 =
3
POTENCIAÇÃO
=
b) 0
4
g) 2
32
DEFINIÇÃO
Dado um número real “a”qualquer, e sendo “n”
um número natural, define-se “a elevado a n”
como o produto de a por a n vezes, ou seja:
Casos particulares:
=
( )
h) 2
3
2
=
Conseqüências da definição:
k) 2 − 2 =
5
PROPRIEDADES
Observação: (2
)
2 3
=2
3
2) Simplifique:
6
e
Logo
MÚLTIPLOS DE 10:
2
23
=2
3) Calcule
8
a) 0,5 4 =
b) 0,23 + 0,16 2 =
−3
−4
8
c)
6.10 .10 .10
d)
0,0001.(0,01) .100
−1
6.10 .10
4
=
2
SUBMÚLTIPLOS DE 10:
=
0,001
-3-
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AULA 04
ENSINO SUPERIOR
h)
13 +
7+
2+
4 =
RADICIAÇÃO
DEFINIÇÃO
Define-se como raiz de índice n de um
número a. Ao número x tal que x elevado a n
resulta a.
n
i)
a = x ⇔ xn = a
PROPRIEDADES
j) 7 12 − 3 + 75 =
k)
5 −3
2
2
=
APLICAÇÕES:
1) Simplifique
a)
12 =
b)
18 =
c)
75 =
d)
3
8
2) Transforme em um único radical
a)
23 5 =
b)
5. 3 5=
=
27
c)
e)
6
81
5
8. 3 4 =
=
16
3) é correto afirmar que:
f)
3
4
a =
a)
16 = ±4
b)
16 = 4
c)
16 = −4
d) − 16 =
g)
x 2 .y 3 =
e)
4
−16 ∈ℜ
-4-
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AULA 05
RACIONALIZAÇÃO
ENSINO SUPERIOR
2− 3
8)
2+
=
3
RACIONALIZAÇÃO
Racionalizar uma fração consiste em
eliminar o radical que estiver no denominador.
Esta operação é obtida multiplicando o
numerador e o denominador da fração pelo fator
de racionalização.
APLICAÇÕES:
1)
5
5 −1
5 +1
5
e) 2 5
10) O valor da expressão
4
2)
5 −1
+
a) 2
b) 3
c) 5
d)
=
2
5 +1
9) Determine o valor da expressão
2−
=
5 3
a)
2
2 −1
é:
2
1
b)
2
c) 2
3)
2
3
d)
=
5
1
2
11) Racionalizando o denominador da fração
1
4)
3
5
3
2
5 −2
=
obtemos:
a) 2 + 5
b) 2 − 5
5)
c)
2
2 −1
=
d) 3 + 5
e)
6)
7)
5 −3
12) Racionalize e simplifique
5
3+
2+
5 −2
3
2− 3
=
3
4
5
8
2
=
-5-
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AULA 06
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
ENSINO SUPERIOR
Observação:
Com essas relações, podemos compor a
equação do 2º grau a partir da soma e do
produto das raízes.
2
x − Sx + P = 0
DEFINIÇÃO
Uma equação do 2º grau é toda equação que
pode ser escrita na forma
2
ax + bx + c = 0
onde a, b e c são reais e a ≠ 0.
Completando os quadrados é possível isolar
o x na equação do 2º grau. Expressão conhecida
como FORMULA DE BHÁSKARA.
x=
−b± ∆
2a
onde ∆ = b 2 _ 4ac .
Muitas vezes é possível resolver uma equação
do 2º grau utilizando a soma e produto das
raízes.
APLICAÇÕES:
Resolva mentalmente:
1) x 2 − 9x + 8 = 0
2) x 2 + 7x − 8 = 0
3) x 2 + 9x − 10 = 0
NATUREZA DAS RAÍZES
2_
A
expressão
∆ = b 4ac
chama-se
discriminante e conforme o sinal de ∆ (delta)
temos:
4) x 2 − 50x + 400 = 0
5) x 2 − 30x + 125 = 0
6) x 2 − x − 2 = 0
EQUAÇÕES INCOMPLETAS
APLICAÇÕES:
1) 2x 2 − 7x + 3 = 0
2) 4x 2 + 5x − 6 = 0
Uma equação do 2º grau é dita incompleta
quando b = 0 ou c = 0. Nestes casos é possível
resolver a equação sem a aplicação da fórmula
de Báskara.
•
b=0
•
c=0
3) 2x 2 − 5x = 0
SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES
Soma das raízes
Produto das raízes
APLICAÇÕES:
1) 3x 2 − 27 = 0
2) x 2 + x = 0
3) 2x 2 − 5x = 0
4) 5x 2 − 1 = 0
-6-