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1ªAula do cap. 10 Rotação Conteúdo: • Corpos rígidos em rotação; • Variáveis angulares; • Equações Cinemáticas para aceleração angular constante; • Relação entre Variáveis Lineares e Angulares; • Energia Cinética de Rotação e • Momento de Inércia. Referência: • Halliday, David; Resnick, Robert & Walker, Jearl. Fundamentos de Física, Vol 1. Cap. 11 da 6a. ed. ou cap. 10 da 7ª ed. Rio de Janeiro: LTC. • Tipler, Paul. Física, Vol 1 cap. 9. 4a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000. O corpo rígido •O corpo rígido é aquele no qual a distância entre duas partículas quaisquer é fixa! r rA = (x A , y A , z A ) r rB = (xB , y B , z B ) r rA r rB θ Ângulo de rotação ( x A − xB ) + ( y A − y B ) + ( z A − z B ) = r 2 2 2 2 • estamos interessados em estudar a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo O corpo rígido • estamos interessados em estudar a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo ẑ • por conveniência vamos fixar esta direção ao longo do eixo ẑ • o eixo de rotação não precisa ser um dos eixos de simetria do corpo ŷ θ x̂ Variáveis rotacionais • a linha de referência é perpendicular ao eixo de rotação e fixa ao corpo. O seu deslocamento define o ângulo de rotação do corpo rígido. ẑ • o sentido da rotação é dado pela regra da mão direita. ŷ x̂ Linha de referência Δθ Variáveis rotacionais • cada ponto do corpo rígido executa movimento circular •Em geral as rotações em um plano podem ser facilmente descritas por um ângulo e um intervalo de tempo. •Considere o comprimento S do segmento de um círculo (arco) contido em ângulo θ. Se o círculo tem um raio r, o comprimento de sua circunferência é dado por L = 2 π r. t2 r a) t1 θ1 θ S θ2 o S=θr b) "Relação 1 rad = 57,3o ou 2π rad = 360o. x Variáveis rotacionais r r = (x , y) Velocidade tangencial r Δs 2πr Δθ = = = 2π rad r r Vetor velocidade v, no MCU, tem módulo constante, sendo tangente a trajetória em cada ponto. v = distância percorrida = 2π r tempo gasto t Unidade: m/s rΔθ v= =rω Δt O tempo necessário para percorrer uma volta completa, chama-se período do movimento. O inverso do período é a freqüência do movimento. Variáveis rotacionais A velocidade angular média (ω) do corpo, no intervalo entre t1 e t2, é definida como a razão entre o deslocamento angular dθ = θ2 - θ1 , e o intervalo de tempo dt = t2 - t1 : Δθ ω= Δt 2π ω= T ω = 2π F A coordenada angular que descreve a posição de um corpo na trajetória circular (MCU) pode ser dada por: θ = θo + ω t Em uma volta completa o ângulo é 2π rad.: Δs 2πr Δθ = = = 2π rad r r Variáveis rotacionais Um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo possui apenas duas possibilidades de rotação: no sentido horário (-) ou anti-horário (+). O sentido do vetor velocidade angular é dado pela regra da mão direita: " Posiciona-se a mão direita aberta com os dedos maiores no mesmo sentido da rotação do disco. Então, o polegar indicará o sentido do vetor velocidade angular." Eixo Z Eixo z Eixo d motor Δθ ω= Δt ω Variáveis rotacionais V1 = 2πR1 T V2= 2πR2 T ω1 = ω2 = 2π T T 1 = T2 e f1 = f2 Variáveis rotacionais Exemplo Cálculo da velocidade angular da Terra em torno do seu eixo A Terra completa uma revolução a cada 23h56min (dia sideral). O módulo da sua velocidade angular é 2π rad 6,28 rad − 5 rad ω= = = 7,289 ×10 86160 s dia s e a sua direção aponta para o norte ao longo do eixo de rotação. r ω Variáveis rotacionais Velocidade Angular Instantânea: A velocidade angular instantânea ω é definida como o limite de ω para o qual dt tende → 0 dt aproxima-se de zero : ω = lim Δθ = dθ Δt -0 Δt dt Unidade: É o radiano por segundo ( 1rad/s). Outras unidades: rotações por minuto (r.p.m.) ou 1 r.p.s. = 2π rad/s. Variáveis rotacionais Força no Movimento Circular A força que age e modifica a direção da velocidade de um corpo é chamada força centrípeta. Qualquer tipo de força pode funcionar como força centrípeta. Exemplo: Lua gira em torno da Terra devido à interação gravitacional. Variáveis rotacionais Força centrípeta provoca a aceleração centrípeta no Movimento Circular v2 ac = = ω .v r v=rω aceleração angular média é definida como: α = Δω Δt A unidade de aceleração angular é 1 rad/s2 = 1/s2. aceleração angular instantânea a é definida como limite desta razão quando Δt tende a zero : α = lim Δω = Δt -0 Δt d2θ dt2 Variáveis rotacionais Principais Equações Movimento com Movimento com aceleração aceleração linear constante angular constante a = constante α = constante v = vo + at w = wo + α t x (t)= xo + vot + 1/2 at2 θ(t) = θo + wo t + 1/2 α t2 2 v = v0 + 2α (x − x0 ) 2 2 ω = ω0 + 2α (θ − θ0 ) 2 θ (t ) ↔ x(t ) , ω (t ) ↔ v(t ) e α (t ) ↔ a (t ) Relação entre Variáveis Lineares e Angulares: v=wr at = r α ac = v2/r = w2 r = w v Variáveis rotacionais no espaço: • cada ponto do corpo rígido executa movimento circular ẑ • módulo do vetor posição do ponto r r =r • r ρ r r r = (x , y, z) r ρ θ r r ϕ distância do ponto ao eixo de rotação ρ = ρ = r sin θ x̂ s • distância percorrida pelo ponto s= ρϕ ϕ = ângulo de rotação em radianos Representação θ = ângulo de rotação no plano ŷ Variáveis rotacionais no espaço: • O deslocamento angular ẑ Δϕ = ϕ 2 − ϕ1 Esta variável tem módulo ( Δϕ ) , direção ( ẑ ) e sentido (regra da mão direita) a ela associados Será um vetor ? ρ r r ϕ1 x̂ Δϕ r ŷ ϕ2 Δϕ Δϕ Será um vetor ? Na figura abaixo aplicam-se dois deslocamentos angulares de 90º a um livro inicialmente na horizontal; primeiro a rotação em torno do eixo x e depois a rotação em relação ao y. Inverte-se os deslocamentos angulares no segundo caso, isto é, primeiro rotação em y depois em x. O livro acaba chegando a diferentes orientações no final. Portanto, a soma de dois deslocamentos angulares depende da ordem em que é efetuada, eliminando a possibilidade de eles serem vetores. exemplo Δϕ não é um vetor ! rotações sucessivas de um livro pag. 208. Lembrando, para as variáveis lineares... O cálculo de x(t) a partir de v(t) t x − x0 = ∫ v (t ) dt t0 O cálculo de v(t) a partir de a(t) t v − v0 = ∫ a (t ) dt t0 • • Resumo dos Conceitos Problema direto, – x(t) →(derivada) → v(t) – v(t) →(derivada) → a(t) Problema inverso – a(t) →(integral) → v(t) – v(t) →(integral) → x(t) Newton Variáveis rotacionais no espaço: zˆ ≡ nˆ r r ω Deslocamento angular ρ r r Δϕ (t ) = ϕ (t+Δt ) − ϕ (t) Velocidade angular (escalar) média Δϕ ω= Δt Velocidade angular instantânea (vetor) r Δ ϕ dϕ ω = lim = dt Δt → 0 Δ t ϕ (t ) x̂ ϕ (t + Δt ) ŷ Δϕ (t ) Variáveis rotacionais no espaço: Deslocamento angular Δϕ ( t ) r ω ρ Velocidade angular instantânea (vetor) r r r Δ ϕ dϕ ω = lim = dt Δt → 0 Δ t Deslocamento angular Δϕ obtido através da ω velocidade angular: zˆ ≡ nˆ r ϕ (t ) x̂ t2 ϕ (t + Δt ) ϕ(t 2 ) − ϕ(t 1 ) = Δϕ = ∫ ω(t) dt t1 ŷ Δϕ (t ) Variáveis rotacionais no espaço: r r r Δω = ω (t+Δt ) − ω (t) r v Δω α= Aceleração angular média Δt r r Δω dω r Aceleração angular instantânea = α = lim Δt → 0 Δt dt r • A aceleração angular instantânea é um vetor paralelo a // Variação da velocidade angular ω Variação da velocidade angular: r r t2 r ω ( t 2 ) − ω ( t 1 ) = Δω = ∫ α ( t ) dt t1 Energia Cinética na Rotação Referência: • Halliday, David; Resnick, Robert & Walker, Jearl. Fundamentos de Física, Vol 1. Cap. 11 da 6a. ed. Ou Vol 1. cap. 10 da 7ª ed. Rio de Janeiro: LTC. • Tipler, Paul. Física, Vol 1 cap. 9. 4a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000. Energia Cinética na Rotação A Energia cinética total de um corpo em rotação é a soma das energia cinéticas de todas as partículas que constituem o corpo. energia cinética translacional Kt = 1/2 mv2 energia cinética rotacional (rotação) Kr = ? Energia Cinética na Rotação Energia cinética de translação Kt = 1/2 mv2 substituindo v = wr cada partícula m do corpo K = 1/2 m(wr)2 Kr= 1/2 ( Σmr2 ) w2 A grandeza Σmr2 é denominada Inércia à rotação - momento de inércia I = Σ m r2 Momento de Inércia energia cinética translacional Kt = 1/2 mv2 energia cinética rotacional (rotação) Kr = 1/2 I w2 Exemplo: Quatro partículas de massa m, estão ligadas por hastes de massa desprezível formando um retângulo de lados 2a e 2b. O sistema gira em torno de um eixo no plano da figura. Calcular o momento de inércia, nas situações apresentadas. Momento de Inércia: I = Σ m r2 = m1 r12 + m2 r22 + m3 r32 + m4 r42 I = m a2 + m a2 + m a2 + m a2 = 4ma2 I = 2 4ma Momento de Inércia: I = Σ m r2 = m1 r12 + m2 r22 + m3 r32 + m4 r42 I = m 02 + m 02 + m (2a)2 + m (2a)2 = 8ma2 I = 8ma2 Cálculo do Momento de Inércia: Anel homogêneo de massa M e densidade linear λ M M λ= ⇒ dm = R/ dϕ 2π R 2π R/ dϕ dl = R dϕ R Aro 2π M I = ∫ R dm = ∫ R dϕ = MR 2 2π 0 2 2 Cilindro ou Disco homogêneo de massa M e densidade superficial σ M M ⇒ dm = 2π/ r dr σ= 2 2 πR π/ R dr 4 R R 2M 2M r I = ∫ r dm = ∫ r r dr = 2 2 R R 4 0 2 R 2 0 r ds = 2π r dr 1 = MR 2 2 Momento de inércia I = 52 MR 2 I = 75 MR 2 I = 23 MR 2 Ver tabela 11.2 pag. 213 Halliday 6ª ed. Casca esférica Esfera sólida Aro em torno do eixo central Haste fina em torno do do eixo que passa pelo centro, perpendicular ao comprimento Barra circular em relação ao eixo transversal pela ponta. O teorema dos eixos paralelos Lista 20 exercício2) I = I CM + Mh 2 a) Calcule o momento de inércia de uma barra delgada de ferro de 2 m de comprimento e 8,7 kg de massa, em torno de um eixo perpendicular à barra e localizado a 30 cm do centro da barra. b) O momento de inércia é uma grandeza escalar ou vetorial e qual sua unidade? CM . h O trabalho e Energia cinética no deslocamento angular 1 1 2 2 ⇒ ΔW = I ω f − I ω i 2 2 O trabalho total é igual à variação da energia cinética de rotação.
