2007 Circuitos de CC

6. CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Força Electromotriz
Resistências em Série e em Paralelo.
As Regras de Kirchhoff
Circuitos RC
Instrumentos Eléctricos
• Análise de circuitos simples que incluem baterias, R e C,
diversamente combinados.
• A análise é simplificada pelo uso das (duas) Regras de
Kirchhoff.
• As regras são consequência das leis da conservação da energia
e da conservação da carga.
6.1 Força Electromotriz
• Uma fonte de força electromotriz (fem) é um dispositivo
qualquer (uma bateria ou um gerador) que aumenta a energia
potencial das cargas que circulam num circuito.
• A fem, ε, duma fonte é medida pelo trabalho feito sobre uma
carga unitária. A unidade SI de fem é o volt.
•
Vamos admitir que os fios de ligação
têm R desprezável.
•
Se desprezássemos a resistência interna
(r) da bateria ⇒ ∆V na bateria (a V entre
os terminais) = à fem da bateria.
• Uma bateria real tem sempre uma certa r, por isso V entre
os terminais ≠ da fem da bateria.
-+ r
a ε
b
bateria
I
R
d
c
• Uma carga (+) deslocando-se entre “a” e “b” ⇒ quando
passa do terminal (–) para o terminal (+) da bateria, o seu
V aumenta de ε; ao deslocar-se através de r, o seu V
diminui de Ir (I= corrente no circuito)
⇒
V = Vb – Va = ε - Ir
← entre os terminais
da bateria
• ε é a voltagem em circuito aberto, a voltagem entre os
terminais quando a corrente é nula.
V
ε
r
R
ε
Ir
IR
a
b c
d
• Variações de V quando o circuito for percorrido no
sentido a, b, c, d.
• A voltagem, V, entre os terminais da bateria = à diferença
de potencial na R, que é muitas vezes denominada a resistência
de carga, V = IR
V = ε - Ir
V = IR
ε = IR + Ir ,,
I=
ε
R+r
! I depende de r e da R
! Quando R >> r ⇒ podemos desprezar r na análise.
Iε = I2 R + I2 r
A potência total debitada pela fonte de fem, Iε, converte-se em
potência dissipada pelo efeito Joule na resistência de carga, I2R,
mais a potência dissipada na resistência interna, I2r.
! Se R >> r ⇒ a maior parte da P da bateria transfere-se para a
resistência de carga.
6.2 Resistências em Série e em Paralelo
Resistências em Série
a
I
R1
b
R2
V
+ -
c
I
• A corrente é a mesma através de ambas as resistência, pois
qualquer carga que passa por R1 também passa por R2
• Queda de potencial entre a e b = IR1
Queda de potencial entre b e c = IR2
⇒ A queda de potencial de a para c:
V = IR1 + IR 2 = I ( R1 + R2 )
• Podemos substituir os dois R em série por uma única
resistência equivalente Req,
Req = R1 + R2
• Req é equivalente à combinação em série R1 + R2 porque I no
circuito será a mesma se Req substituir R1 + R2
• Três ou mais resistências ligadas em série:
Req = R1 + R2 + R3 + ...
• A Req de resistências em série é sempre maior do que qualquer
das resistências individuais.
Resistências em Paralelo.
R1
I1
a
I
R2
I2
b
+ V
• A diferença de potencial é a mesma em todas as resistências.
• A corrente não é, em geral, a mesma en todas as resistências.
• Quando I atinge “a” (um nó), divide-se em duas partes, I1 pelo
ramo R1, e I2 pelo ramo R2. Se R1 > R2 ⇒ I1 < I2. A carga
tende a seguir a via de menor R.
• A carga dever ser conservada ⇒ I = I 1 + I2 (a corrente I que
entra no nó “a” deve ser igual à corrente que sai deste nó,
I1 + I2 )
• Uma vez que a queda de potencial em cada R é a mesma, a lei
de Ohm dá:
⎛1
V V
1 ⎞ V
= V ⎜⎜ + ⎟⎟ =
I = I1 + I 2 = +
R1 R2
⎝ R1 R2 ⎠ Req
1
1
1
→
=
+
⇒
Req R1 R2
R eq =
R1 R 2
R1 + R 2
• Para três ou mais resistências
1
1
1
1
=
+
+
R eq
R1 R 2 R3
• Cada nova R ligada em paralelo com uma ou mais resistências
diminui a Req do conjunto.
6.3 As Regras de Kirchhoff
•
•
Muitas vezes não é possível reduzir um circuito a uma
simples malha que possa ser analisada pela Lei de Ohm e as
regras das ligações das R em série ou em paralelo.
A análise de circuitos mais complicados pode simplificar-se
pelo uso de duas regras simples, as regras de Kirchhoff:
1.
A soma das correntes que entram num nó é igual à soma das
correntes que saem desse nó. (Um nó é qualquer ponto do
circuito onde é possível a divisão da corrente.)
2.
A soma algébrica das variações de potencial em todos os
elementos duma malha fechada do circuito é igual a zero.
•
A primeira regra é um enunciado da conservação da carga:
qualquer q que chega a um dado ponto do circuito, deve
abandonar esse ponto, pois não pode haver acumulação de q
em nenhum ponto.
I1
•
I2
I3
I1=I2+I3
A segunda regra é consequência da conservação da energia:
qualquer q que se desloque ao longo de qualquer malha
fechada num circuito (começa e termina o deslocamento no
mesmo ponto) deve ganhar tanta energia como aquela que
perder.
•
Aplicação da segunda regra de Kirchhoff
Regras de cálculo:
1.
Se uma R for atravessada na direcção da I, a variação do
potencial (∆V) na R é -IR
I
a
2.
b
∆V = Vb – Va = -IR
Se R for atravessada numa direcção oposta à de I ⇒
a ∆V no R é +IR
I
a
∆V = Vb – Va = +IR
b
3.
Se uma fonte de fem for atravessada na direcção da fem (do
terminal (-) para o (+)), a ∆V é +ε
a
4.
- +
ε
∆V = Vb – Va = +ε
Se uma fonte de fem for atravessada na direcção oposta à da
fem (do (+) para (-)), a ∆V é - ε
+
a
!
b
ε
b
∆V = Vb – Va = - ε
A regra das nós pode ser utilizada tantas vezes quantos os
nós no circuito.
!
A regra das malhas pode ser usada desde que em cada nova
equação apareça um novo elemento do circuito (R ou
+ - ) ou uma nova I.
*
Em geral o número de vezes que a regra dos nós deve ser
usada é uma unidade menor que o número de nós no
circuito.
•
•
•
!
O número de equações independentes de que se precisa deve
ser pelo menos igual ao número de incógnitas, para que um
certo problema seja solúvel.
Redes complicadas ⇒ grande número de eq. lineares
independentes e grande número de incógnitas ⇒ álgebra de
matrizes (ou programas de computador)
Admite-se que os circuitos estejam em estado estacionário, e
as I nos diversos ramos sejam constantes.
Se um C aparecer como componente dum ramo, esse C actua
como um interruptor aberto no circuito, e a I no ramo onde
estiver será nula.
Estratégia e sugestões para a resolução de problemas:
1.
2.
3.
4.
*
Faça o diagrama do circuito e identifique, com nomes ou
símbolos, todas as grandezas conhecidas e desconhecidas.
Em cada parte do circuito, atribua uma direcção a I. (*)
Aplique a regra dos nós (fácil!)
Aplique a segunda regra. Tenha atenção aos sinais!!!
Resolva o sistema de equações.
Não fique preocupado se fizer uma escolha incorrecta do
sentido duma corrente: nesse caso, o resultado terá o sinal
negativo, mas o seu valor estará correcto. Embora seja
arbitrária a fixação inicial da direcção de I, a partir daí é
indispensável respeitá-la RIGOROSAMENTE ao aplicar as
regras de Kirchhoff.
6.4 Circuitos RC
!
Até agora: circuitos com as correntes constantes, os
circuitos em estado estacionário.
!
Agora: circuitos com C, nos quais as correntes podem variar
com o tempo.
Quando se aplica uma diferença de potencial a um C
descarregado, a velocidade de carga do C depende da sua
capacidade e da resistência do circuito.
Carregando um Condensador
• C inicialmente descarregado.
t<0
• Quando S estiver aberto ⇒ não há I no
C
circuito.
ε
R
• Se S for fechado (t=0) ⇒ estabelece-se
uma I ⇒ principia a carga do C.
S
• Durante esse processo, as cargas não
passam através do C.
+q
I
C
• Há transferência de q duma para outra
-q
placa através de R, S e ε, até que o C
ε
R
adquira a plena carga.
S
• O valor da qmax depende da fem da bateria.
• Uma vez atingida esta qmax → I no circuito é nula.
t>0
Discussão Quantitativa:
Aplicamos a regra das malhas (Kirchhoff), ao circuito depois
de S ter sido fechado ⇒
1
ε − IR −
q
=0
C
queda de potencial no C
queda de potencial na R
!
q e I são valores instantâneos durante o processo de carga
do C.
Podemos usar 1 para achar a I inicial no circuito e a qmax no
condensador:
• Em t = 0, S é fechado ⇒ a carga no C é zero.
⇒ 1 → a I inicial no circuito, I0, é um máximo I 0 = ε R
(I em t = 0)
! Nesse instante, a queda de potencial ocorre inteiramente na
resistência.
• Quando o C estiver com a sua qmax = Q ⇒ cessa o
movimento das q, I = 0 ⇒ ! A queda de potencial ocorre
inteiramente no C
I=0+ 1 →
Q = Cε (q máxima)
• Dependência temporal da q e da I:
1
d
1 dq
q
dI
⎛
⎞
ε − − IR ⎟ = 0 −
−R
=0
dt ⎜⎝
C
C dt
dt
⎠
dq
I=
dt
dI
I
R
=−
dt
C
dI
1
=
dt
I
RC
dε
ε = cte ⇒
=0
dt
R e C são constantes ⇒ esta equação pode ser integrada, com a
condição inicial.
I = I0 em t = 0
∫
I
I0
dI
−1
=
I
RC
∫
t
0
dt
⎛ I ⎞
t
⎜
⎟
= −
, ln ⎜
⎟
RC
⎝ I0 ⎠
I (t ) = I 0e
−t
RC
=
ε
R
e
−t
RC
2
A fim de achar q no C, em função de t, podemos substituir
dq
na Eq 2
e integrar:
I=
dt
dq ε −t RC
= e ,
dt R
dq =
ε
R
e
−t
RC
dt
Usando q = 0 em t = 0 ⇒
∫
q
0
dq =
ε
t
R ∫0
e
−t
RC
dt e , usando ∫ e
−α x
dx = −
1
α
−t
−t
⎡
⎡
RC ⎤
q (t ) = Cε 1 − e
= Q 1 − e RC ⎤
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
e −αx , vem :
3
q max no C
I
q
Cε
I0
0.63Cε
I0 = E R
τ = RC
τ
0.37 I0
t
3
τ
t
2
! q = 0 em t = 0; q → qmax = Cε quando t → ∞
! Imax = I0 = ε/R em t = 0 e decai exponencialmente até zero
quando t → ∞
• A grandeza RC das Eqs. é a constante de tempo, τ, do circuito
→ O tempo necessário para I decrescer para o valor 1/e do
seu valor inicial.
• No tempo τ, I = e-1 I0= 0.37 I0
No tempo 2τ I = e-2 I0= 0.135 I0
• Da mesma forma, no tempo τ a carga aumentará de zero até
[
]
C ε 1 − e − 1 = 0 .63 C ε
•
[τ ] = [RC ] = ⎡⎢V × Q ⎤⎥ = ⎡⎢
⎣I
V⎦
Q ⎤
= [T ]
⎥
⎣Q T ⎦
← Dimensão de tempo
• Trabalho feito pela bateria no processo de carga Qε = C ε2
C completamente carregado → energia no C: ½ Qε = ½Cε2 =
metade do W feito pela bateria.
→ A outra metade é dissipada como calor na R, por efeito de
Joule.
Descarga de um Condensador
C
+Q
-Q
s
R
t<0
• Carga inicial no C → Q
• t < 0, interruptor (S) aberto ⇒
C
+q
-q
I
R
t>0
V = Q/C no C
V = 0 na R (I = 0)
• t = 0, interruptor (S) fechado ⇒ o C principia a descarregar-se
através da R.
• Num certo instante t ⇒ corrente = I, carga = q
• 2ª regra de Kirchhoff ⇒ IR = q/C → a queda de potencial na R
= à diferença de potencial no C.
A corrente no circuito é igual à taxa de diminuição da carga no C,
I = -dq/dt
→
− R
dq
q
=
,
dt
C
dq
1
= −
dt
q
RC
Integrando, com a condição inicial q = Q em t = 0
1
dq
∫Q q = RC
q
⎛q⎞
t
∫0 dt , , ln ⎜⎜⎝ Q ⎟⎟⎠ = − RC →
t
q(t ) = Qe
−t
RC
Derivando a Eq. em ordem ao tempo ⇒
−t
dq Q −t RC
I (t ) = − =
e
= I 0e RC
dt RC
Onde I0 = Q/RC (corrente inicial)
A carga no C e a I no circuito decrescem exponencialmente a uma
taxa caracterizada pela constante de tempo τ = RC
6.5 Instrumentos Eléctricos
• O Amperímetro → aparelho que mede corrente eléctrica
+A No caso ideal, um amperímetro deve ter resistência nula, de
modo a não alterar a corrente a ser medida.
• O Voltímetro → dispositivo que mede diferenças de
potencial.
V
Um voltímetro ideal tem resistência infinita, de modo que não
haja passagem de corrente através dele.
! Ter sempre em conta a polaridade do instrumento.
• O Galvanómetro → é o principal componente dos
amperímetros e dos voltímetros.
• A operação do galvanómetro baseia-se no facto de haver
um momento sobre uma espira de corrente na presença
dum campo magnético.
• O momento sobre a bobina é proporcional à corrente na
bobina: a deflexão angular da bobina é proporcional à
corrente.
• Galvanómetro típico ⇒ R ~ 60 Ω
Galvanómetro num Amperímetro
60 Ω
RP – resistência shunt
RP << RG
RP
Exemplo: para medir uma I = 2A com um galvanómetro,
RG = 60 Ω ⇒ RP ~ 0.03 Ω
Galvanómetro num Voltímetro
60 Ω
RS
RS >> RG
Exemplo: para medir uma Vmax = 100V com um galvanómetro,,
RG = 60 Ω ⇒ RS~ 105 Ω