Centro de Massa

Curso: Engenharia
Disciplina: complementos de Física
Professor: Douglas
Assunto: Centro de Massa E Momento de Inércia
Centro de Massa
O centro de massa de um sistema de partículas é o ponto que se move como se toda a massa do
sistema estivesse concentrada nesse ponto e como se todas as forças externas estivessem aplicadas nesse
ponto.
Podemos pensar no centro de massa de um corpo qualquer como sendo um ponto que se comporta
como se simplesmente toda a massa do corpo estivesse concentrada nele. Consideramos que é este ponto
que possui a aceleração resultante, ou então, que apresenta momento igual ao momento total do sistema,
seja ele um corpo simples, como um dado, ou complexo, como uma galáxia.
A posição do centro de massa do corpo em relação a O é dada pelo vetor R definido pela
relação:
Reescrevendo esta equação teremos:
Quando as partículas estão dispostas de tal forma que sua distribuição seja em três dimensões, a
posição do centro de massa deve ser especificada por três coordenadas. Assim temos:
∑
∑
∑
Exemplo:
1) Três partículas de massas m1 = 1,2 Kg , m2 = 2,5 Kg e m3 = 3,4 Kg formam um triângulo
equilátero de lado a = 140 cm. Onde fica o centro de massa desse sistema?
Resolução:
Para facilitar os cálculos escolhemos os eixos x e y de tal forma que uma das partículas esteja na origem e
um dos lados do triângulo esteja em um dos eixos. Assim temos:
Partículas
Massas ( KG )
X (cm )
Y (cm )
1
1,2
0
0
2
2,5
140
0
3
3,4
70
120
Agora calculamos o centro de massa em relação ao eixo x e depois em relação ao eixo y.
∑
∑
(
)( )
(
(
)( )
)(
(
)( )
)
(
(
)(
)(
)
)
A segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas
Agora que já sabemos determinar a posição do centro de massa de um sistema de partículas,
vamos discutir a relação entre as forças externas e o centro de massa.
Embora o centro de massa seja apenas um ponto, ele se move como uma partícula cuja a massa é
igual a massa total do sistema ; podemos atribuir-lhe uma posição, uma velocidade e uma aceleração,
assim temos:
(
)
Esta equação é a segunda lei de Newton para o movimento do centro de massa de um sistema de
partículas. Contudo, as três grandezas que aparecem devem ser usadas com algum critério:
1 é a força resultante de todas as forças externas que agem sobre o sistema, as forças
internas devem ser desconsideradas;
2- M é a massa total do sistema. Supomos que nenhuma massa entra ou sai do sistema durante o
movimento, de modo que M permanece constante. Nesse caso dizemos que o sistema é fechado.
3 é a aceleração do centro de massa do sistema, pois a equação não fornece nenhuma
informação a respeito da aceleração de outros pontos do sistema.
Exemplo:
1) As três partículas da figura abaixo estão inicialmente em repouso. Cada uma sofre a ação de um
força externa devido a agentes fora do sistema das três partículas. As orientações das forças estão
indicadas e os módulos são: F1 = 6,0 N , F2 = 12 N , F3 = 14 N . Qual é a aceleração do centro de massa
do sistema e em que direção ele se move?
Resolução:
Como as partículas estão inicialmente em repouso, o centro de massa também deve está em
repouso. Quando o centro de massa começa a acelerar, ele se move na direção da
e da
.
Assim podemos calcular:
(
(
Assim , o módulo de
√(
)
(
)
)
é dado por:
)
= 1,16 m/
E o ângulo ( em relação ao semi – eixo x positivo ) é dado por θ =
2) Três pontos materiais, A, B e D, de massas iguais a m estão situados nas posições indicadas na
figura ao lado. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema de pontos materiais.
VELOCIDADE DO CENTRO DE MASSA
Considere um sistema de pontos materiais cujas massas são m1, m2, ..., mn, e sejam v1, v2, ..., vn,
respectivamente,
suas velocidades num certo instante. Neste instante, o centro de massa possui velocidade
vC dada por uma média ponderada das velocidades dos pontos materiais do sistema, sendo os pesos
dessa média as respectivas massas, ou seja:
Chamemos de m a massa total do sistema, isto é:
Substituindo-se a expressão _ na expressão _, resulta:
Mas
pontos
materiais (Qsistema). Logo:
representa a quantidade de movimento total do sistema de
Portanto:
A quantidade de movimento de um sistema de pontos materiais é igual à quantidade de
movimento do centro de massa, considerando que toda a massa do sistema está concentrada nele.
ACELERAÇÃO DO CENTRO DE MASSA
Considere um sistema de pontos materiais m1, m2, ..., mn, e sejam a1, a2, ..., an, respectivamente,
suas acelerações num certo instante. Neste instante, o centro de massa possui aceleração aC dada por uma
média ponderada das acelerações dos pontos materiais do sistema, sendo os pesos dessa média as
respectivas massas, ou seja:
Seja m a massa total do sistema, isto é:
Substituindo-se a expressão 2 na expressão 1, resulta:
Mas m1a1, m2 a2, ..., mnan representam, respectivamente, as forças resultantes F1, F2, ..., Fn, que agem
nos pontos materiais. Portanto:
Entretanto,
representa a resultante de todas as forças externas que agem no
sistema de pontos materiais (Fext.), uma vez que a resultante das forças que uma partícula do sistema
exerce sobre as outras (forças internas) é nula, devido ao princípio da ação e reação. Assim, temos:
Portanto:
O centro de massa se move como se fosse uma partícula de massa igual à massa total do sistema
e sob ação da resultante das forças externas que atuam no sistema.
Momento Linear
O momento linear de uma partícula é uma grandeza vetorial ⃗ definida através da equação:
⃗⃗
⃗ ( momento de uma partícula)
Onde m é a massa e ⃗ a velocidade da partícula. Como m é uma grandeza escalar positiva a equação
acima mostra que ⃗⃗ e ⃗ têm a mesma orientação. A unidade de momento no SI é o quilograma – metro
por segundo ( kg . m/s ).
A taxa de variação com o tempo do momento de uma partícula é igual a força resultante que atua
sobre a partícula e tem a mesma orientação que essa força.
⃗
⃗
Em outras palavras podemos afirmar que a força resultante aplicada a uma partícula faz variar o
momento linear ⃗⃗ da partícula. Na verdade , o momento linear da partícula só pode mudar se a partícula
estiver sujeita a uma força. Se não existir força nenhuma força, ⃗ não pode mudar.
Momento Linear de um sistema de partículas:
O momento linear de um sistema de partículas é igual ao produto da massa total do sistema pela
velocidade do centro de massa.
⃗⃗
⃗⃗
Impulso
Definimos Impulso, como sendo à força resultante que atua sobre uma partícula num determinado
intervalo de tempo
I =ΣF ⋅Δt
Aplicando a 2ª Lei de Newton e dado que ∑ ⃗ é constante teremos que
portanto:
⃗
⃗
∑
⃗
também será constante,
Logo o impulso será:
⃗
∑⃗
⃗
Impulso de uma força, F, é igual à variação do momento linear da partícula.
Exemplo:
Num curto ensaio de colisão, um automóvel de massa 1500 kg, colide com um muro, como se
representa na figura. A velocidade inicial do automóvel era vi = -15,0 m/s e a final vf = 2,6 m/s, se a
colisão durar 0,150 s, achar o impulso provocado pela colisão, e a força média exercida sobre o
automóvel.
Momento de Inércia
Nesta aula vamos estudar a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo. Um corpo rígido
é um corpo que pode girar com todas as partes ligadas rigidamente e sem mudar de forma. Um eixo fixo
significa que o eixo não muda de posição.
Rotação Pura: Significa que todos os pontos do corpo se movem ao longo de circunferências
cujo o centro está sobre o eixo de rotação, e todos os pontos descrevem um mesmo ângulo em um mesmo
intervalo de tempo.
Translação Pura: Significa que todos os pontos se movem ao longo de linhas retas e todos os
pontos sofrem o mesmo deslocamento linear em um mesmo intervalo de tempo.
Em Mecânica, o momento de inércia mede a distribuição da massa de um corpo em torno de um
eixo de rotação.Quanto maior for o momento de inércia de um corpo, mais difícil será fazê-lo girar.
Energia Cinética de Rotação: quando o disco de uma serra elétrica está girando ele certamente
possui uma energia cinética associada à rotação. Porém não podemos aplicar a fórmula convencional
ao disco como uma todo, pois isso nos daria apenas a energia cinética do centro de massa
do disco, que é zero.
Em vez disso vamos tratar o disco como um conjunto de partículas com diferentes velocidades e
somar as energias cinéticas dessas partículas para obter a energia cinética do corpo como um todo.
Então temos:
∑
Como mi é a massa da partícula de ordem i e vi é a velocidade da partícula. A soma se estende a
todas as partículas do corpo. O problema é que vi não é igual para todas as partículas, porém podemos
resolver este problema usando o valor de vi. ( vi= ϖ.r ). Onde é o mesmo para todas as partículas.
Assim a teremos:
∑
(
)
(∑
)
A grandeza entre parênteses no lado direito da equação depende da forma como a massa do corpo
está distribuída em relação ao eixo de rotação. Chamamos essa quantidade de momento de inércia do
corpo em relação ao eixo de rotação.
O momento de inércia, representado pela letra I, depende do corpo e do eixo em torno do qual
está sendo executada a rotação. ( O valor de I tem significado apenas quando se sabe em relação a que
eixo o valor foi medido.)
I=∑
( Momento de Inércia )
Assim voltando a equação da energia cinética temos:
K=
( ângulo em radianos)
Cálculo do Momento de Inércia: Se o corpo contém um número pequeno de partículas, podemos
calcular o momento de inércia em torno de um eixo de rotação usando a equação I = ∑
mr2 para cada partícula e depois fazer o somatório.
Se um corpo rígido contém um número muito grande de partículas ( se é contínuo)
substituímos o somatório por uma integral e definimos o momento de inércia do corpo como:
∫
Desta forma abaixo temos uma tabela que mostra os resultados dessa integração para nove formas
geométricas comuns e para os eixos de rotação indicados.
Anel fino
em torno
de um
eixo
central
Cilindro
maciço em
torno de
um
diâmetro
central
Cilindro
oco em
torno de
um eixo
central
Cilindro
maciço em
torno de um
eixo central
Barra fina em
torno de um
eixo central
perpendicular
esfera
maciça
em torno
de um
diâmetro
Exemplos:
1) Uma varinha delgada de 1 m de comprimento tem uma massa desprezível. São colocados 5
massas de 1 kg cada uma, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, e 1.0 m de um dos extremos.
Calcular o momento de inércia do sistema relativo a um eixo perpendicular a varinha que
passa através de:
a) Um extremo
b) Da segunda massa
c) Do centro de massa
Resolução:
a)
Placa fina
Casca
Anel fino em
em torno de
esférica
torno de um
um eixo
fina em
diâmetro
O momento de inércia torno
relativo
é:
perpendicul
de a um eixo perpendicular a varinha e que passa pela primeira partícula
ar
passando
2 um
IA=1·02+1·0.252+1·0.5diâmetro
+1·0.752+1·12=1.875 kgm2
pelo centro
b)
O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular a varinha e que passa pela segunda partícula é:
IB=1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752=0.9375 kgm2
c)
O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular a varinha e que passa pela terceira partícula
(centro de massas) é:
IC=1·0.52+1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52=0.625 kgm2
Em vez de calcular de forma direta os momentos de inércia, podemos calcular de forma indireta
empregando o teorema dos Eixos Paralelos. Conhecido IC podemos calcular IA e IB, sabendo as
distâncias entre os eixos paralelos AC=0.5 m e BC=0.25 m.
A fórmula que temos que aplicar é
I=IC+Md2




IC é o momento de inércia do sistema relativo a um eixo que passa pelo centro de massa
I é o momento de inércia relativo a um eixo paralelo ao anterior
M é a massa total do sistema
d é a distância entre os dois eixos paralelos.
IA= IC + 5·0.52 = 0.625+1.25=1.875 kgm2.
IB = IC + 5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.
2) Vamos calcular o momento de inércia de uma varinha de massa Me comprimento L
relativo a um eixo perpendicular a varinha que passa pelo centro de massas.
Resolução: Sendo a barra de material homogêneo os
comprimentos são proporcionais às massas, isto é, a cada
elemento de massa corresponderá um elemento de
comprimento.
O momento de inércia da barra é a soma dos momentos de
inércia de cada elemento da barra, ou seja:
Assim temos:
dm é a massa do elemento de comprimento da varinha , a densidade linear de massa é dado por
=
,
então podemos determinar a densidade linear do pedaço escolhido na varinha =
, isso nos dá dm =
. dx.
Como = temos que ( dm = . dx ), assim o momento de inércia pode ser calculado:
I=∫
⁄
∫
⁄
[
]
⁄
⁄
∫
⁄
⁄
|
3 ) calcular o momento de inércia de uma barra retilínea de material homogêneo em relação a um eixo
perpendicular à barra, passando pela sua extremidade?
Resolução: Lembrando que a densidade linear de massa
é dado por = e que dm é a massa do elemento de
comprimento da barra temos:
dm = ƛ . dx
=
dm =
. dx
Logo o momento de inércia é dado pela integral:
∫
∫
∫
4)Aplicando o teorema dos eixos paralelos, calcule o momento de inércia do exemplo anterior.
Resolução:
( )
5) Calcular o momento de inércia de uma barra circular de material homogêneo em relação a
um eixo perpendicular à barra, passando pelo Centro de Massa?
Resolução:
A densidade linear de massa da barra é dada por ƛ=
e dm = ƛ . ds, onde ds = R.dθ então:
O momento de inércia da barra é a soma dos momentos de inércia de cada elemento da barra,
ou seja
, onde r2 é a distância entre o
∫
∫
∫
eixo de rotação e a distribuição de massa que é igual a R; assim temos:
∫
⌉
Exercícios:
1) Uma partícula de 2kg tem coordenadas xy ( -1,20 m ; 0,500 m ) e uma partícula de 4,00kg tem
coordenadas xy ( 0,600 m ; -0,750 m ). Ambas estão em um plano horizontal. Em que
coordenada (a) x e (b) y deve ser posicionada uma terceira partícula de 3,00kg para que o
centro de massa do sistema de três partículas tenha coordenadas ( -,500 m ; -0,700 m ).
2) Determine as coordenadas do centro de massa da placa homogênea de espessura constante, cujas
dimensões estão indicadas na figura.
3)
As partículas A e B, de
massas m e 2 m,
deslocam-se ao longo do eixo Ox, com velocidades escalares vA _ 5,0 m/s e vB _ 8,0 m/s. Qual é a
velocidade escalar do centro de massa?
4)As partículas A e B, de massas 1,5 kg e 1,0 kg, deslocam-se com velocidades vA e vB perpendiculares
entre si e de módulos vA _ 2,0 m/s e vB _ 4,0 m/s. Calcule o módulo da velocidade do centro de massa do
sistema constituído pelas duas partículas.
5) As esferas A e B possuem massas m e 3m, respectivamente. A esfera A é abandonada de uma altura h _
0,45 m do solo e B está em repouso. Seja g _ 10 m/s2 a aceleração da gravidade. Determine:
a) o módulo da aceleração do centro de massa do sistema constituído pelas esferas A e B, enquanto A
estiver em queda livre.
b) o módulo da velocidade do centro de massa do sistema, no instante em que a esfera A atinge o solo.
6) Dois patinadores, um com 65 kg de massa e o outro com 40 kg, estão de pé em um rinque de patinacão
no gelo segurando uma vara de massa desprezível com 10 m de comprimento. Partindo das extremidades
da vara, os patinadores se puxam ao longo da vara até se encontrarem. Qual a distância percorrida pelo
patinador de 40 kg?
7) Uma pedra é deixada cair em t = 0. Uma segunda pedra, com uma massa duas vezes maior, é
deixada cair do mesmo ponto em t = 100ms.
a) A que distância do ponto inicial da queda está o centro de massa das duas pedras em t = 300 ms
( suponha que as duas pedras ainda não chegaram ao solo)
b) Qual é a velocidade do centro de massa das duas pedras nesse instante?
8) Um automóvel de 1000 kg está parado em um sinal de trânsito. No instante em que o sinal abre o
automóvel começa a se mover com uma aceleração constante de 4 m/ . No mesmo instante um
caminhão de 2000 kg, movendo-se no mesmo sentido com velocidade constante de 8,0 m/s, ultrapassa o
automóvel.
a) Qual é a distância entre o CM do sistema carro – caminhão e o sinal de trânsito em t = 3s?
b) Qual é a velocidade do centro de massa nesse instante?
9) Uma bola de 0,70 kg está se movendo horizontalmente com uma velocidade de 5,0 m/s quando se
choca com uma parede vertical e ricocheteia com uma velocidade de 2,0 m/s. Qual é o módulo da
variação do momento linear da bola?
10) Um caminhão de 2100 kg viajando para o norte a 41 km/h vira leste e acelera até 51 km/h.
a) Qual é a variação da energia cinética do caminhão?
b) Qual é o módulo da variação do momento?
11) Uma força no sentido negativo de um eixo x é aplicada por 27 ms a uma bola de 0,40 kg que estava
se movendo a 14 m/s no sentido positivo do eixo. O módulo da força é variavel e o impulso tem um
módulo de 32,4 N . S. Quais são (a) o módulo e (b) o sentido da velocidade da bola imediatamente após a
aplicação da força? Quais são (c) a intensidade média da força .
12) Em uma brincadeira comum, mas muito perigosa, alguém puxa uma cadeira quando uma pessoa está
prestes a se sentar, fazendo com que a vítima se estatele no chão. Suponha que a vítima tem 70 kg, cai de
uma altura de 0,50 m e a colisão com o piso dura 0,082 s. Quais são os módulos (a) do impulso e (b) da
força média aplicada pelo piso sobre a pessoa durante a colisão?
13) Em fevereiro de 1995 um paraquedista saltou de um avião, caiu 370 m sem conseguir abrir o
paraquedas e aterrissou em um campo de neve, sofrendo apenas pequenas escoriações. Suponha que sua
velocidade imediatamente antes do impacto era de 56 m/s (velocidade terminal), que sua massa (incluindo
os equipamentos) era de 85 kg e que a força da neve sobre ele tenha atingido o valor (relativamente
seguro) de 1,2 x 105 N. Determine (a) a profundidade mínima da neve para que escapasse sem ferimentos
graves e (b) o módulo do impulso da neve sobre ele.
14) Uma bola de 1,2 kg cai verticalmente em um piso com uma velocidade de 25 m/s e ricocheteia com
uma velocidade inicial de 10m/s. (a) Qual é o impulso recebido pela bola durante o conato com o piso?
(b) Se a bola fica em contato com o piso por 0,020s, qual é a força média exercida pela bola sobre o piso?
15) No tae Kwon do, a mão de um atleta atinge o alvo com uma velocidade de 13 m/s e para após 5,0 ms.
Suponha que durante o choque a mão é independente do braço e tem uma massa de 0,70 kg. Determine os
módulos (a) do impulso e (b) da força média que a mão exerce sobre o alvo.
16) Um bandido aponta uma metralhadora para o peito do Super-homem e dispara 100 balas/min.
Suponha que a massa de uma bala é de 3 g, que a velocidade das balas é de 500 m/s e qe as balas
ricocheteiam no peito do super-herói sem perder velocidade. Qual é o módulo da força média que s balas
exercem sobre o peito do Super- homem?
17) Calcule o momento de inércia de uma régua de um metro, com massa de 0,56 kg, em relação a um
eixo perpendicular à régua na marca de 20 cm. ( trate a régua como uma barra fina).
18) A figura mostra três partículas de 0,01 kg que foram coladas em uma barra de comprimento L =
6,0 cm e massa desprezível. O conjunto pode girar em torno de um eixo perpendicular que passa
pelo ponto O na extremidade esquerda. Se removermos uma das partículas ( ou seja 33% da
massa), de que porcentagem o momento de inércia do conjunto em relação ao eixo de rotação
diminui se a partícula removida for:
a) A mais interna;
b) A mais externa.
19) Dois cilindros uniformes, ambos girando em torno do eixo central ( longitudinal ) com uma
velocidade angular de 235 rad/s, tem a mesma massa de 1,25 kg e raios diferentes. Qual é a
energia cinética de rotação:
a) Do cilindro menor, de raio 0,25 m;
b) Do cilindro maior de raio 0,75 m.
20) A figura abaixo mostra um disco que pode girar em torno de um eixo perpendicular à sua face a
uma distância h do centro do disco. O gráfico mostra o momento de inércia I do disco em relação
ao eixo em função da distância h, desde o centro até a borda do disco. A escala do eixo I é
definida por IA = 0,05 Kg . m2 e IB = 0,150 Kg. m2 . Qual a massa do disco?
21) Como calcular o momento de inércia de uma chapa circular de material homogêneo em relação a
um eixo perpendicular à chapa, passando pelo Centro de Massa?
22) Duas partículas, ambas de massa m = 0,85 kg, estão ligadas uma à outra e a um eixo de rotação
em O por duas barras finas, ambas de comprimento d = 5,6 cm e massa M = 1,2 kg. O conjunto
gira em torno do eixo de rotação com velocidade angular = 0,30 rad/s. Em relação a O quais
são:
a) O momento de inércia do conjunto?
b) A energia cinética do conjunto?