codificação de cores para resistores de 4 faixas

Eletricidade II
Sumário
1.0 – Conceitos gerais sobre Magnetismo .................................................................................. 3
2.0 - Campo Magnético gerado por corrente elétrica ................................................................ 3
3.0 – A natureza dos materiais magnéticos ............................................................................... 6
5.0 – Indução Eletromagnética ................................................................................................ 10
6.0 – Geração de Corrente Alternada ...................................................................................... 12
7.0 – Indutância Magnética (L) ............................................................................................... 14
8.0 – Acoplamentos Magnéticos .............................................................................................. 19
9.0 – Impedância (Z) ................................................................................................................ 21
2
Eletricidade II
1.0 – Conceitos gerais sobre Magnetismo
1.1 – Introdução
O magnetismo é uma forma de energia apresentada apenas por alguns materiais, tais como,
ferro, níquel, aço, cobalto,... Dentre outras propriedades, os corpos com magnetismo apresentam a
propriedade de atrair outros corpos. Os corpos que apresentam magnestismo são denominados de
imãs. Um imã pode ser temporário ou permanente. Um imã temporário é aquele que apresenta suas
propriedades magnéticas durante um determinado intervalo de tempo. Um imã permanente é formado
por um composto de ferro encontrado com facilidade na natureza conhecido como magnetita.
Os imãs são cercados por linhas de força magnéticas que saem do pólo norte para o pólo sul
do imã. No seu interior essas linhas não se cruzam, ou seja, são paralelas. Essas linhas formam um
estado de força em torno do imã que chamamos de campo magnético.
Atração e repulsão entre imãs
Pólos de nomes iguais – repulsão
Pólos de nomes diferentes - atração
2.0 - Campo Magnético gerado por corrente elétrica
2.1 – A experiência de Oersted
Foi o físico dinamarquês Hans Christian Oersted que observou pela primeira vez, por volta do
ano de 1820, que a corrente elétrica gera campos magnéticos. Ele verificou que quando um circuito é
alimentado, uma bússola colocada nas proximidades desse circuito sofre sua influência, desviando seu
ponteiro para outra posição. Com o condutor disposto paralelamente ao ponteiro da bússola, que até
então estará indicando a direção do campo magnético da Terra, fechamos a chave S e observamos que
quanto maior for a corrente fornecida pela fonte, maior será o deslocamento do ponteiro da bússola
em relação ao condutor.
2.2 – A Regra de Ampère
Depois da descoberta de Oersted, o cientista francês André Marie Ampère identificou a
configuração do campo magnético em torno do condutor. Utilizando-se de uma folha de papel
atravessada ao meio por um fio percorrido por corrente elétrica, Ampère jogou limalha de ferro sobre o
anteparo de papel que, então, adquiriu a forma de círculos concêntricos, ocorrendo uma concentração
maior próximo ao fio condutor.
Ampère também descobriu a relação entre o sentido da corrente e o sentido das linhas de
força, propondo uma regra para sua determinação. Em sua homenagem essa regra foi chamada de
“regra de Ampère” também conhecida como regra da mão direita, expressando o sentido convencional
da corrente. Segundo a regra, para se determinar o sentido das linhas de força em torno do condutor,
basta envolvê-lo com os dedos da mão direita, estando o polegar a indicar o sentido da corrente. Com
isso os dedos indicam o sentido das linhas de força.
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Eletricidade II
Se quisermos demonstrar um condutor segundo sua seção transversal, podemos utilizar a
seguinte convenção para indicar o sentido da corrente no mesmo:


círculo com um ponto – corrente saindo
círculo com um “X” – corrente entrando
2.3 – Intensidade de Campo Magnético (H)
Na experiência de Ampère a limalha de ferro se distribuiu sob a forma de círculos concêntricos,
ocorrendo uma concentração maior de limalha próximo ao fio condutor. Isso sugere que a
intensidade de campo deve variar com a distância em relação ao fio. Podemos afirmar que:
“A intensidade de campo magnético num determinado ponto é diretamente proporcional à
intensidade de corrente no condutor e inversamente proporcional da distância do centro do
condutor ao ponto considerado.”
H = __i___
2πr
Onde:
H => intensidade de campo (A / m)
I => intensidade de corrente (A)
r => raio do campo até o centro do condutor (m)
2.4 – Intensidade de campo no centro de uma espira
H = __I___
2r
Onde:
H => intensidade de campo (A / m)
I => intensidade de corrente (A)
R => raio da espira (m)
Para se determinar o sentido do campo no interior de uma espira, utiliza-se também a regra
da mão direita aplicada à qualquer parte da espira. Nesse caso seguimos a corrente contornando a
espira com os quatro dedos tendo o polegar apontando o sentido do campo.
2.5 – Intensidade de campo no interior de um solenóide
Um solenóide ou bobina, é conseguido com a disposição de várias espiras em série lado à
lado. Por essa razão, o campo magnético de um solenóide é o resultado da contribuição de
diversas espiras individualmente.
O sentido do campo magnético pode ser determinado pela regra da mão direita para espiras e
bobinas resultando em um campo uniforme. A densidade das linhas de força diminui a partir das
bordas da bobina; o que nos leva a concluir que o campo é mais intenso na parte interna.
4
Eletricidade II
Para se determinar a intensidade de campo no interior do solenóide, calcula-se:
H = ___N i_____
√ 4R2 + l2
Onde:
H => intensidade de campo magnético (A / m)
N => nº de espiras do solenóide
i => intensidade de corrente (A)
R => raio do solenóide (m)
l => comprimento do solenóide (m)
2.5.1 – Casos particulares:
a) Solenóide muito longo – comprimento maior que o raio (L > R)
H = _N i_
l
b) Solenóide muito curto – raio maior que o comprimento (R > L)
H = __N i__
2r
c) Solenóide toroidal – espiras enroladas em anel magnético
H = __N i__
2πR
Exercícios propostos
01) Com um condutor de 2m de comprimento faz-se uma espira circular com 0,3m de raio. Qual a
intensidade de campo magnético (H) em seu interior se aplicarmos uma corrente de 3A?
02) Em um solenóide de 300 espiras, com 2cm de raio e 15cm de comprimento é aplicada uma corrente
de 2 A. Determine a intensidade de campo magnético (H) em seu interior:
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Eletricidade II
03) Um solenóide toroidal com 10cm de raio possui 600 espiras. Determine a corrente necessária para
que em seu interior o campo magnético (H) seja igual a 1000 A/m:
04) Determine a intensidade de campo magnético em um solenóide toroidal com raio de 5 cm que é
atravessado por uma corrente de 2 A.
05) Que corrente será necessária para que se tenha um campo magnético de 1000 A/m em um solenóide
toroidal de 2 cm de raio e 125 espiras?
3.0 – A natureza dos materiais magnéticos
3.1 – Indução magnética (β)
Suponha um campo magnético H, uniforme, no vácuo. Se jogarmos uma barra de ferro
desmagnetizada em seu interior, ocorrerá uma orientação dos domínios magnéticos no material. A barra,
agora magnetizada, assume comportamento de um ímã, apresentando portanto seu próprio campo
magnético, que chamaremos de campo M ou magnetização.
Como conseqüência, haverá uma resultante entre o campo H inicial e o campo magnético
induzido na barra de ferro (campo M). Observamos que internamente à barra as linhas de força têm
sentidos coincidentes; enquanto que fora dela, os sentidos são exatamente opostos ou formam ângulo
entre si.
Resumindo, ao colocarmos uma barra de ferro em um campo H a orientação magnética
produz um campo M. A esse novo valor de campo produzido pela soma do campo H com o campo M,
dá-se o nome de indução magnética ou campo β. Logo:
“indução magnética é o campo magnético efetivo em um determinado meio.”
Observa-se que o campo β é a grandeza mais importante, pois é obtido pela soma das
outras duas, H e M. Poderíamos dizer, então que β = H + M. Nesse caso, em um meio sem a
presença de material magnetizável o campo M seria nulo e, portanto, β e H teriam o mesmo valor.
Infelizmente essa relação não é em todo verdadeira; isto porque foi atribuído ao campo β uma
unidade diferente da unidade de H e M, ou seja, enquanto H e M são medidos em A / m, β possui
como unidade o Tesla (T) no sistema internacional de unidades.
3.2 – Fluxo Magnético (Φ)
O fluxo magnético representa a quantidade total de linhas de força que
atravessam uma determinada superfície perpendicular ao campo magnético. As unidades para
medição do fluxo magnético são o Maxwell e o Weber. Um Maxwell corresponde a uma linha de
8
força e um Weber a 1 x 10 Maxwell, ou linhas de força.
Como a indução magnética é diretamente proporcional à concentração de linhas de força
2
por m , existe uma relação entre fluxo magnético e indução magnética (β):
β = _Φ_
S
Onde:
β => indução magnética em Tesla (T)
Φ => fluxo magnético em Weber (Wb)
2
S => área perpendicular ao fluxo (m )
6
Eletricidade II
2
Uma outra maneira de expressar a grandeza do fluxo magnético é em Maxwell por cm ,
8
2
também chamado de Gauss. Considerando que 1 Weber equivale 1 x 10 Maxwell e que 1 m
4
2
corresponde a 1 x 10 cm , podemos dizer que:
8
1 Weber = 1 x 10 Maxwell
2
4
2
m
1 x 10 cm
4
e que 1 Weber = 1 x 10 Maxwell
2
2
m
cm
4
Conclui-se então que 1 Tesla = 1 x 10 Gauss.
3.3 – Permeabilidade Magnética (µ)
Quando se fala em permeável, logo associamos à algo que permite a passagem. Por
exemplo: um solo permeável é aquele que absorve rapidamente a água, ou seja, deixa o fluxo
de água passar através dele. A permeabilidade magnética expressa a facilidade que um material
magnético oferece à passagem das linhas de força.
Sob a ótica da permeabilidade, podemos dizer que o ferro possui maior
permeabilidade que o vácuo. Por essa razão as linhas de força se concentram facilmente em torno
do ferro e não fora dele. Matematicamente a permeabilidade magnética, representada por µ, é
definida como a relação entre o campo β e o campo H.
µ = _β_
H
A unidade de medida da permeabilidade magnética é o Henry por metro (H / m)
3.3.1 – Permeabilidade do Vácuo (µ0)
Para o vácuo β e H tem o mesmo valor, apesar de expressos em unidades
diferentes. Por essa razão, para relacionar β e H em suas respectivas unidades a
permeabilidade do vácuo é dada por:
µ0 = 4 π x 10 – 7 H / m
Para efeitos práticos a permeabilidade do ar é considerada igual a do vácuo.
3.3.2 – Permeabilidade Relativa (µR)
A permeabilidade relativa é a razão entre a permeabilidade do material e a permeabilidade
do vácuo, sendo portanto adimensional.
µR = _µ_
µ0
A permeabilidade relativa de material ferromagnético não é constante. Depende do valor de
campo aplicado. Normalmente se utilizam os valores de permeabilidade relativa máxima e inicial para
caracterizar um material ferromagnético. Veja a tabela com alguns valores abaixo:
Material
Aço - silício
78 permalloy
Supermalloy
Ferrite Ni
µR inicial
7.500
8.000
100.000
2.500
µR máxima
55.000
100.000
1.000.000
5.000
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Eletricidade II
Exercícios propostos
01) Qual a indução magnética em um circuito que tem um fluxo de 10µWb em uma área
2
perpendicular ao fluxo de 0,25m ?
02) Em um cilindro de aço com 20 cm de comprimento e 3 cm de raio, são enroladas duas
espiras de fio de cobre. Sendo a permeabilidade relativa do cobre igual a 3000, calcule a indução
magnética (B) no cilindro quando for aplicada uma corrente de 5 A:
03) Um solenóide toroidal com 20 cm de raio interno, 25 cm de raio externo e 5 cm de
espessura, possui 1000 espiras por onde circula uma corrente de 6 A. Sabendo-se que sua indução
magnética (B) é de 0,9 T, determine:
a) o fluxo magnético produzido
Material Didático
b) a permeabilidade relativa do material
4.0 – Cálculo de circuitos magnéticos
4.1 – Circuito Magnético
Uma bobina com núcleo de ar alimentada por corrente elétrica, gera um campo magnético H
cujas linhas de força se distribuem simetricamente em relação ao seu eixo por todo o espaço ao seu
redor. Essa distribuição de linhas ocorre devido à sobreposição do campo produzido em cada partícula do
condutor que constitui a bobina e, portanto, sua
configuração só se altera através de uma mudança na geometria da bobina. Se essa bobina for
enrolada sobre um núcleo fechado, seu campo H será capaz de induzir um campo M através do
percurso ferromagnético. Esse campo gera um fluxo magnético através do núcleo, que se sobrepõe
ao fluxo gerado pelo campo H.
Como o fluxo magnético gerado pela magnetização M é infinitamente maior que o fluxo
gerado pelo campo H da bobina, para efeito de aplicações práticas, este último é desprezado.
Assim, considera-se um fluxo homogêneo através do percurso constituído pelo material
ferromagnético. Dessa forma podemos dizer que:
“Um circuito magnético é um percurso definido para o fluxo magnético, normalmente
constituído de material ferromagnético.”
4.2 – Força magnetomotriz (fmm)
Em um circuito elétrico série contendo apenas uma fonte e um fio condutor comprido
interligando os terminais dessa fonte, a corrente que atravessa o fio é dada pela Lei de Ohm:
i = _V_
R
R = _ρ l_
S
Se ao invés da resistividade (ρ) usarmos a condutividade (g) na equação da resistência do
fio teremos:
R = _l__
gs
pois
ρ = _ 1_
g
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Eletricidade II
Essa breve análise do que ocorre em um circuito elétrico serve de base para o estudo
do circuito magnético. Os circuitos magnéticos são constituídos de material ferromagnético que
oferecem um caminho de fácil transposição ao fluxo magnético.
Podemos comparar os circuitos magnéticos com os circuitos elétricos por analogia.
Por exemplo, no circuito elétrico circula corrente elétrica, que na verdade é um fluxo de cargas
elétricas. No circuito magnético é o fluxo magnético que circula. Portanto a corrente elétrica e o fluxo
magnético são grandezas análogas.
No circuito elétrico quem gera a corrente é a força eletromotriz (fem). No circuito
magnético a grandeza análoga é chamada de força magnetomotriz (fmm).
Sabemos que o fluxo magnético de uma bobina é gerado através de uma corrente
elétrica e que quanto maior o seu valor e maior o número de espiras, maior será o fluxo magnético.
Logo a força magnetomotriz será proporcional ao número de espiras e a intensidade de corrente que
passa por elas. Podemos dizer que:
“A força magnetomotriz é a grandeza responsável pela criação do fluxo
magnético em um circuito magnético.”
fmm = N i
Onde: fmm => força magnetomotriz (A)
N => número de espiras
i => intensidade de corrente (A)
4.3 – Relutância magnética (R)
Os circuitos magnéticos apresentam uma facilidade muito grande à passagem do fluxo
magnético. Mesmo assim eles não são perfeitos. Assim como o cobre, por exemplo, conduz muito
bem a corrente elétrica e, no entanto, apresenta uma resistência, os circuitos magnéticos
também apresentam uma oposição à passagem do fluxo. Essa oposição é chamada Relutância
magnética.
R=
L_
µS
Onde: R => relutância magnética (A / Wb)
l => comprimento médio do circuito magnético (m)
µ => permeabilidade do material que constitui o núcleo da bobina (H / m), sendo
calculada por µ= µ0 x µR
2
S => área de seção transversal do núcleo (m )
4.4 – Lei de Ohm para circuitos magnéticos
Podemos ainda, por analogia, chegar à uma relação entre o fluxo, a fmm e a relutância
magnética. No circuito elétrico a Lei de Ohm estabelece a seguinte relação:
i = fem
R
Então, usando as grandezas análogas do circuito magnético, temos:
Φ = fmm
R
Onde: Φ => fluxo magnético (Wb)
fmm => força magnetomotriz (A)
R => relutância magnética (A / Wb)
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Eletricidade II
Podemos obter mais uma equação para a força magnetomotriz a partir da equação de
campo H para um solenóide toroidal:
H = _N I _ =>
L
Logo: fmm
HL=NI
=> N I = fmm
=HI
Exercícios propostos
01) Quantas espiras são necessárias para que em uma bobina seja estabelecido um fluxo de 0,5Wb
quando ela é atravessada por uma corrente de 5A? A relutância desse circuito é de 500 A/Wb.
02) Que corrente será necessária para que um solenóide de 800 espiras produza um fluxo de 0,5
Wb em um circuito magnético com relutância de 500 A/Wb?
5.0 – Indução Eletromagnética
5.1 – Lei de Faraday
Depois que Oersted demonstrou em 1820 que correntes elétricas geram campos magnéticos,
Michael Faraday, um cientista inglês, manifestou sua convicção de que poderia através de campos
magnéticos produzir correntes elétricas.
Faraday só obteve sucesso em 1831, após dez anos de trabalho. Ele utilizou um circuito
magnético com dois
enrolamentos, uma bateria e um galvanômetro, que é um dispositivo que acusa pequenas correntes. Ele
percebeu que ao alimentar o circuito elétrico o ponteiro do galvanômetro deflexionava para um lado,
indicando que uma corrente elétrica passava por ele.
No entanto esta deflexão era momentânea e, mesmo estando o circuito elétrico fechado, o
galvanômetro nada indicava.
Como a bobina onde está ligado o galvanômetro é um circuito elétrico completamente
independente do circuito que contém a fonte CC, Faraday concluiu que finalmente havia gerado
corrente elétrica através do magnetismo, mesmo que momentaneamente.
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Eletricidade II
Faltava descobrir porque essa corrente só aparecia nos momentos em que se acionava
e desacionava o circuito elétrico. Analisando o que ocorria com seu circuito magnético, Faraday
descobriu o mistério: no instante em que o interruptor é acionado, a corrente elétrica que circula
pelo enrolamento conectado à fonte, que chamaremos de enrolamento primário, produz um fluxo que
fica confinado no circuito magnético. O sentido desse fluxo é determinado pela regra da mão direita
para bobinas.
Esse fluxo magnético acaba passando por dentro do enrolamento ao qual está
conectado o galvanômetro, que chamaremos de enrolamento secundário. Poderíamos então
concluir que o fluxo magnético é a causa da geração de corrente no enrolamento secundário.
Entretanto isto não pode ser verdade, uma vez que passado o instante inicial durante o qual a chave
está sendo fechada, deixa de existir corrente, muito embora o fluxo magnético continue existindo. O
galvanômetro só volta a acusar passagem de corrente no instante em que a chave é desligada.
Como a corrente no galvanômetro só surge nos instantes nos quais o circuito elétrico do
primário é acionado e desacionado e, nesses instantes o fluxo magnético está variando, concluímos
que é essa variação de fluxo a causa do surgimento de corrente na bobina secundária. Portanto não
é o fluxo magnético o responsável pela corrente induzida, mas sim a sua variação.
Podemos então enunciar o princípio que ficou conhecido como “Lei de Faraday”:
“Toda vez que um condutor fica sujeito a uma variação de fluxo magnético, nele se
estabelecerá uma força eletromotriz, enquanto durar essa variação”.
fem = - N ΔΦ
Δt
Onde: fem => força eletromotriz induzida (V)
ΔΦ => variação do fluxo magnético (Wb)
Δ t => variação de tempo do fluxo (s)
N => número de condutores ou espiras
Obs.: O sinal negativo da equação demonstra a oposição do induzido ao indutor.
5.2 – Força eletromotriz de movimento
No dispositivo utilizado por Faraday, a variação do fluxo ocorria devido ao surgimento ou
extinção de corrente na bobina primária. No entanto, existem outras formas de se variar o fluxo sobre um
condutor. Uma dessas formas se dá quando o condutor se move no interior de um campo magnético
constante, atravessando suas linhas de força. Um terceiro tipo de variação de fluxo seria uma combinação
dos dois primeiros, ou seja, um condutor em movimento dentro de um campo magnético variável.
Seja, então, um condutor de comprimento L, perpendicularmente às linhas de um campo β se
deslocando a uma velocidade v. Aplicando-se a Lei de Faraday, teremos:
fem = - N ΔΦ
Δt
fem = - l β ΔS
Δt
fem = - β l Δx
Δt
Logo:
Onde:
=>
=>
=>
ΔΦ = β ΔS
=>
N=l
ΔS = l Δx
Δx_ = v
Δt
fem = B l v
fem => força eletromotriz induzida (V)
Β => indução magnética (T)
l => comprimento do condutor que corta as linhas (m)
v => velocidade do condutor (m / s)
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Eletricidade II
6.0 – Geração de Corrente Alternada
6.1 – O Gerador elementar
Uma aplicação bastante interessante da Lei de Faraday é o “Gerador elementar”. Esse é o
nome dado ao mecanismo básico com o qual se consegue gerar corrente alternada senoidal. Trata-se
de uma espira que gira no interior de um campo magnético.
Ao efetuar o movimento de rotação, os lados da espira cortam as linhas de força e,
conseqüentemente, neles surgem tensões induzidas. O valor dessas tensões depende da posição em que
se encontra a espira. Vamos identificar a posição da espira através de um ângulo que chamamos de
alfa (α). Esse ângulo é formado entre a velocidade tangencial da espira (v) e o vetor campo (β).
A velocidade tangencial depende do número de rotações por minuto (rpm) com que a espira
está girando e do seu raio. Portanto, para um determinado gerador, a velocidade tangencial
é
uma constante. Entretanto a componente da velocidade perpendicular ao campo β não permanece
constante, mas varia em função do ângulo α.
Uma análise quanto a polaridade da força eletromotriz gerada em cada lado da espira nos
mostra que a força eletromotriz total gerada na espira, corresponde à soma das forças eletromotrizes
geradas em cada lado da espira em diferentes ângulos. Portanto a força eletromotriz total gerada na
espira é dada por:
fem = B l v sen α
Onde:
fem => força eletromotriz induzida (V)
β => indução magnética (T)
l => comprimento ativo da espira (m)
v => velocidade tangencial da espira (m / s)
α => ângulo entre o campo e a velocidade tangencial
Obs.: Entende-se por comprimento ativo da espira, a soma dos comprimentos de cada lado da
espira que fica sujeito ao campo, não contando portanto os comprimentos que não são cortados por linhas
de força.
Assim, da fórmula obtida para o gerador elementar, observamos que a força eletromotriz
depende não só de fatores intrínsecos ao gerador (β, L, v), como também da posição relativa da espira no
instante considerado, que é determinado pelo ângulo α.
Vamos, então, analisar a força eletromotriz produzida em diferentes posições da espira e
evidenciar, através de cálculos, a natureza senoidal da tensão obtida.
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Eletricidade II
Usando a fórmula e = B l v sen α, obtemos os seguintes valores de tensão induzida:
α = 0º
α = 90º
α = 180º
α = 270º
α = 360º
=> e = 0V.
=> e = tensão máxima.
=> e = 0V.
=> e = tensão máxima.
=> e = 0V.
Com os valores acima, podemos traçar o gráfico da tensão “e” em função do ângulo α:
6.2 – Lei de Lenz
A causa do aparecimento de uma corrente induzida em um circuito condutor fechado é a
variação do fluxo magnético, conforme a Lei de Faraday.
O fluxo magnético pode variar em um circuito fechado devido ao movimento relativo entre
esse circuito e um campo magnético constante. O fluxo pode também mudar devido as variações que a
corrente que lhe dá origem sofre. Nesse caso dizemos que o fluxo é variável no tempo. Dessa forma a Lei
de Lenz estabelece que:
“Os efeitos da corrente induzida se opõem às causas que a originam”.
6.3 – Defasagem entre tensão e corrente induzidas
Quando o fluxo varia senoidalmente, a força eletromotriz induzida também é senoidal. Como
o fluxo é produzido diretamente pela corrente elétrica, tanto a corrente como a tensão deveriam se
apresentar em fase. No entanto não é o que acontece, na prática.
Analisando o gráfico acima, concluímos que há uma defasagem de 90º entre a tensão (linha
cheia – que se encontra adiantada) e a corrente (linha tracejada – que se encontra atrasada). Isso
acontece porque uma bobina atrasa a corrente alternada em 90º em relação à tensão.
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Eletricidade II
Vamos analisar esse fenômeno aplicando em uma bobina uma tensão senoidal.
Admitindo-se que se trata de uma bobina ideal, ou seja, resistência interna nula, a corrente deveria
assumir um valor tendendo ao infinito, pois I = V / R (Lei de Ohm). Observa-se experimentalmente que
não é isso que ocorre. A corrente assume valores razoavelmente baixos, o que nos leva a concluir que
existe algo mais que limita a corrente e que não é a resistência elétrica.
Ocorre pois que, a corrente alternada ao circular pela bobina produz nela um fluxo também
alternado que, pela Lei de Faraday, induz uma força eletromotriz na bobina. Essa força eletromotriz, pela
Lei de Lenz, tem polaridade tal que a corrente que ela tende a produzir se opõe a corrente que deu
origem a ela. Supondo que a polaridade instantânea da tensão aplicada seja positiva no terminal
superior da gente, a força eletromotriz na bobina também terá polaridade instantânea positiva em
seu terminal superior.
Sendo assim, a tensão aplicada v produz uma corrente I no sentido horário, enquanto a
força eletromotriz da bobina e produz uma corrente I no sentido anti-horário. A corrente resultante na bobina
é a subtração das duas correntes e tem sentido horário, nesse exemplo. Caso a corrente induzida
assumisse o mesmo valor da corrente aplicada, a corrente resultante seria nula.
Logo: a corrente está atrasada em 90º em relação à tensão aplicada.
Exercícios propostos
01) Determine a fem média induzida em uma bobina de 800 espiras que tem seu fluxo variado de
10mWb em 0,1s.
02) Uma gerador elementar tem uma bobina de 10 cm de comprimento que gira em torno de um
campo de 0,2 T com velocidade de 100m/s. Determine a máxima tensão gerada.
7.0 – Indutância Magnética (L)
7.1 – Definição
A indutância, também chamada de coeficiente de auto-indução ou auto- indutância, é
uma grandeza que caracteriza uma bobina ou solenóide, definida como:
“A razão entre o número de enlaces de fluxo por unidade de corrente”.
L=N Φ
I
Onde: L => indutância em Henry (H)
N => número de vezes que o fluxo enlaça a corrente
Φ => fluxo magnético (Wb)
I => corrente (A)
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Eletricidade II
Obs.: Entende-se por enlace de fluxo a quantidade de espiras percorridas pela corrente em uma
bobina ou solenóide. Quando se trata de uma única espira, o fluxo total gerado enlaça uma única vez a
corrente.
Ao considerar na fórmula que é o fluxo total (Φ) que atravessa o interior da bobina,
devemos estar cientes de que isto é apenas uma aproximação da realidade, pois na maioria das situações
práticas o total de fluxo dependerá da geometria da bobina.
Considerando que a corrente que percorre a bobina seja variável, o fluxo produzido será
também variável. Dessa forma, mantendo-se constante o número de espiras da bobina, podemos
determinar a indutância como:
L = N ΔΦ_
ΔI
Onde: ΔΦ => variação do fluxo magnético (Wb)
Δ I => variação de corrente (A)
N => número de espiras constante
Valores típicos de indutância podem variar desde alguns micro-henry (µH) até algumas
dezenas de Henries. Por exemplo, as bobinas de um pequeno transformador podem apresentar uma
indutância alta, enquanto as bobinas retas com número de espiras em torno de 1000 e com núcleo de ar
podem apresentar apenas alguns milihenry (mH).
7.2 – Fatores que influenciam na indutância de uma bobina
Considerando que o fluxo magnético é devido ao campo β e este último, salvo os ímãs
permanentes, é criado pela corrente elétrica, podemos dizer que há uma dependência explícita
do fluxo com a corrente. Mais precisamente, o fluxo magnético é diretamente proporcional à corrente. Em
meios como o vácuo ou o ar, essa dependência é linear, ou seja, se a corrente aumenta em uma bobina
o fluxo magnético aumenta na mesma proporção. Entretanto, em material ferromagnético essa dependência
não é linear. Por exemplo, em uma bobina de 10 espiras com núcleo de ar, o fluxo gerado por uma
corrente de 1 Ampère é 1 µWb. Logo a indutância será 10 µH. Se a corrente dobrar de valor, sabemos
que o fluxo também dobrará, mas a indutância permanecerá a mesma.
Por outro lado, se essa mesma bobina estiver enrolada em um núcleo ferromagnético,
quando a corrente assumir determinado valor, teremos a indutância calculada por: L = NΦ / I. Se a
corrente dobrar de valor o fluxo aumentará mas não na mesma proporção, ou seja, não dobrará de valor,
pois não se trata de uma relação linear. Dessa forma podemos dizer que a indutância varia conforme a
corrente aplicada em meios ferromagnéticos.
Considera-se que a indutância de uma bobina com N espiras em material ferromagnético
pode ser dezenas de vezes superior a uma outra bobina com N espiras em núcleo de ar e mesma
indutância. Em situações práticas, onde se deseja indutância elevada, mas com valor constante, usa-se
núcleo ferromagnético com um pequeno entreferro. Isto torna a dependência do fluxo com a corrente
elétrica praticamente linear.
15
Eletricidade II
Pela definição de indutância, ou seja, número de enlaces de fluxo por unidade de corrente,
podemos esperar que o número de enlaces de fluxo seja diferente para bobinas com geometrias diferentes,
mesmo com igual número de espiras. Obviamente, o número de espiras também modifica o número de
enlaces de fluxo. Quanto à corrente, se a bobina for feita em núcleo de ar, seu valor não interfere no
número de enlaces de fluxo por unidade de corrente, visto que uma variação no valor da corrente
se reflete diretamente em uma mesma variação de fluxo magnético. Entretanto, em se tratando de
núcleos ferromagnéticos, essa proporcionalidade não se verifica; inclusive bobinas com núcleos
ferromagnéticos de natureza diferente apresentarão diferença na relação entre fluxo e corrente.
Podemos concluir que para bobinas com núcleo de ar, a indutância depende apenas da sua
forma geométrica e de seu número de espiras. Para bobinas com núcleo ferromagnético, além da forma
geométrica e do número de espiras, a indutância depende também do material empregado; mais
especificamente da curva magnetizante do material constituinte do núcleo.
Podemos, então, enumerar os fatores que influenciam na indutância em:
Número de espiras da bobina
Formato no qual as espiras são enroladas
Área de secção transversal da espira
Comprimento da bobina
Diâmetro da bobina
Tipo de núcleo (ar ou ferromagnético)
Espessura do fio empregado
Permeabilidade do núcleo, etc.
Assim, o comportamento do fluxo frente a corrente passa a ser um misto entre a bobina com
núcleo ferromagnético fechado e bobina com núcleo de ar.
7.3 – Tipos de bobinas ou indutores
7.3.1 – Indutor toroidal _ podemos deduzir a equação da indutância de um toroide
utilizando algumas equações já conhecidas. Considere um toroide com raio médio R, número de espiras
N uniformemente distribuídas ao longo de seu comprimento e
secção transversal circular S. Conforme já visto anteriormente, o campo H de um toroide é calculado por
H = N I / 2
R. Sendo o núcleo de material ferromagnético onde possa ser considerada uma
permeabilidade magnética
teremos um campo B dado por: B =
I / 2
R. O fluxo magnético que
atravessa a secção S, conforme a equação Ö = B S, será dado por: Ö = ì N I S / 2
R. A indutância
para o toroide, dada pela equação L = N Ö / I, pode finalmente ser obtida como:
2
L = µ N S_
2πr
7.3.2 – Indutor reto _ para um solenóide reto de comprimento l e secção circular de raio R, com
uma única camada de espiras, podemos obter a indutância através da seguinte equação:
2
2
L = 1,26 N π r _
6
l x 10
16
Eletricidade II
A equação acima só é válida para bobinas com núcleo de ar. Caso um núcleo de material
ferromagnético seja introduzido no interior da bobina, teremos um aumento significativo no valor da
indutância. Entretanto, não podemos prever o valor exato da indutância pela simples substituição da
permeabilidade do ar, que é aproximadamente igual µ0, pela permeabilidade do material do núcleo µ na
fórmula. Isso porque apenas parte do caminho do fluxo magnético seria feito pelo material ferromagnético
(apenas no interior da bobina). O restante do caminho seria feito pelo ar, o que o torna um caminho
mosto.
Mesmo para o núcleo de ar, a equação acima não fornece o valor exato da indutância, por
ser uma fórmula aproximada baseada em experimentos de laboratório. Pode haver variações no valor
da indutância dependendo do diâmetro do fio utilizado e das proporções entre o comprimento e o raio da
bobina.
7.4 – Indutância Mútua (M)
O número que exprime a possibilidade que um condutor tem de induzir em outro uma força
eletromotriz é chamado de coeficiente de indutância mútua (M) do par de condutores. Existe uma
indutância mútua de 1 Henry entre dois condutores, sempre uma força eletromotriz de 1V for induzida em
um deles na razão de 1 Ampère por segundo. Suponhamos que uma corrente I esteja produzindo um
fluxo Φ na bobina L1 e que essa corrente seja variada de seu valor máximo até zero. Isso fará com que o
fluxo magnético também varie de seu valor máximo até zero, produzindo uma força eletromotriz também
variável na bobina L2.
A indutância mútua entre duas bobinas depende da auto-indutância de cada uma delas e da
fração do fluxo magnético, produzido por uma delas, que é aproveitado pela outra. Chamamos de
coeficiente de acoplamento (K), à percentagem do fluxo produzido por uma das bobinas que é
aproveitada pela outra, ou seja, que vai influenciar na produção de uma força eletromotriz induzida
na outra bobina. Por definição, podemos dizer que:
“Coeficiente de acoplamento é a razão entre o fluxo mútuo e o fluxo total produzido em
um circuito magnético”.
O acoplamento magnético (ligação entre dois circuitos por meio de um campo magnético)
depende da distância entre as duas bobinas e da posição de uma em relação à outra. O coeficiente de
acoplamento é sempre menor que 1 e pode ser nulo (se uma bobina não estiver submetida ao campo
magnético da outra, ou se o enrolamento estiver colocado em ângulo reto com o campo indutor).
17
Eletricidade II
Podemos calcular a indutância mútua entre duas bobinas pela seguinte equação:
_____
M = K √L1 L2
Onde: M => coeficiente de mútua indutância (H)
K => coeficiente de acoplamento
L1 => indutância da bobina 1 (H)
L2 => indutância da bobina 2 (H)
7.5 – Associação de indutância
A associação de indutores deve ser considerada sob dois aspectos: sem indutância
mútua e com indutância mútua.
7.5.1 – Associação em série
Na associação em série sem indutância mútua, as bobinas estão dispostas de tal modo que o
campo magnético de uma não induz força eletromotriz na(s) outra(s). Como estão em série, a mesma
corrente fluirá em todas e elas estarão sujeitas a mesma variação de corrente. Logo, o valor da
indutância total equivalente será:
LT = L1 + L2 + L3 + ... Ln
Na associação em série com indutância mútua, os campos magnéticos das bobinas estão
interagindo entre si, influenciando nas forças eletromotrizes produzidas em cada bobina. Logo, o valor da
indutância total equivalente será:
LT = L1 + L2 +/- 2M (onde M é o valor de indutância mútua entre duas bobinas).
7.5.2 – Associação em paralelo
Na associação
em paralelo
sem
indutância
mútua
não há acoplamento
magnético entre as bobinas e a força contra-eletromotriz induzida será a mesma em todas elas. Cada
bobina do circuito apresentará uma razão da variação de corrente diferente
(exceto se todas possuírem o mesmo valor de indutância). Logo, o valor da indutância
total equivalente será:
_1_ _=
LT
_1 _ + _1_ _ + _1_ _ ..._1_
L1
L2
L3
Ln
18
Eletricidade II
Na associação em paralelo com indutância mútua, os campos magnéticos estão acoplados e,
portanto deve se levar em consideração o coeficiente de mútua indutância. Logo, a indutância total
equivalente será:
LT =
2
L1 L2 – M __
L1 L2 +/- 2M
Exercícios propostos
01) Duas bobinas de 3mH e 6mH são colocadas em paralelo. Calcule a indutância total sem indutância
mútua.
02) Cite 3 fatores que influenciam na indutância de uma bobina.
03) Qual a indutância mútua entre duas bobinas de 2mH e 8mH com coeficiente de acoplamento de
0,95.
8.0 – Acoplamentos Magnéticos
8.1 – O Transformador
O transformador é um dispositivo elétrico constituído, basicamente, por um núcleo de
ferro laminado no qual são enroladas duas bobinas, que originam os enrolamentos primário
(entrada) e secundário (saída).
Sob o ponto de vista elétrico, os enrolamentos são circuitos independentes. No entanto,
magneticamente, estão acoplados pelo núcleo de ferro.
Aplicando-se uma corrente alternada no primário, forma-se ao redor do mesmo um campo
magnético variável, que se expande e se contrai de acordo com a variação da componente aplicada,
produzindo uma tensão neste enrolamento, denominada força eletromotriz de auto indução. O
campo magnético, quando em expansão, enlaça a segunda bobina e produz na mesma uma tensão
denominada força eletromotriz de indução mútua (condição em que dois circuitos compartilham a
energia aplicada em um deles).
8.2 – Relações fundamentais no transformador ideal
Matematicamente, podemos demonstrar as relações que existem entre tensão,
corrente e o número de espiras entre primário e secundário, pela expressão a seguir:
_Np_ = _Vp_ =
Ns
Vs
_Is_
Ip
Onde: Np => número de espiras do enrolamento primário
Ns => número de espiras do enrolamento secundário
Vp => tensão em volts no enrolamento primário
Vs => tensão em volts no enrolamento secundário
Ip => corrente em Ampere no enrolamento primário
Is => corrente em Ampere no enrolamento secundário
19
Eletricidade II
Obs.: As correntes estão entre si inversas em relação ao número de espiras e sofrem
transformações opostas em relação às tensões, sendo este efeito justificado pelo princípio chamado
“Conservação da Energia”, onde a potência elétrica aplicada ao primário (Vp x Ip) é igual a
potência elétrica gerada no secundário (Vs x Is).
8.3 – Tipos de transformador
A classificação dos transformadores é feita a partir da relação existente entre o número
de espiras do enrolamento primário e o número de espiras do enrolamento secundário, como
se segue:
1º) Se Np > Ns => Vp > Vs => Ip < Is => abaixador de tensão e elevador de corrente
2º) Se Np < Ns => Vp < Vs => Ip > Is => elevador de tensão e abaixador de corrente
3º) Se Np = Ns => Vp = Vs => Ip = Is => transformador isolador.
Exemplo:
Seja um transformador com 500 espiras no primário e 1000 espiras no
secundário. Ao se aplicar uma tensão de 100V no primário, qual será a tensão obtida no
secundário?
_Np_ = _Vp_ => 500_ = 100
200V
NS
Vs
1000
Vs
Vs =
8.4 – Perdas no transformador
No transformador “Real” as perdas são bastante reduzidas, proporcionando um
rendimento superior a 90%, condicionando somente que o material empregado no núcleo seja de boa
qualidade.
No entanto algumas perdas são consideráveis, como:
a) Perdas no cobre – ocorre devido ao aquecimento nos enrolamentos pelo efeito térmico
da corrente (efeito joule), acarretando perda de energia elétrica transformada em calor.
b) Perda por histerese – o campo magnético muda de sentido de acordo com a variação
da componente AC aplicada ao primário; logo o núcleo deverá ser repolarizado nesta situação. A
redução do consumo de energia na repolarização do núcleo torna-se viável, caso o ferro
empregado permita essa modificação rapidamente, do contrário ocorrerá perda na transferência
de energia pelo efeito histerese.
c) Perda por corrente parasita (corrente de Foucault) – o campo magnético
transferido ao secundário age no núcleo, induzindo no mesmo uma corrente elétrica
(corrente parasita). Essa corrente não pode ser eliminada, no entanto, é possível
minimizar o seu valor através da laminação do núcleo. Esta técnica proporciona uma área de secção
transversal menor, reduzindo a tensão induzida efetiva através do aumento da indutância da bobina e
diminuindo a intensidade de corrente parasita no núcleo.
20
Eletricidade II
Exercícios propostos
1) Um transformador ideal tem um primário com 100 espiras e é atravessado por uma corrente
de 100mA quando aplicado uma tensão de 120 V. Qual a tensão, corrente e impedância do secundário?
Considere o número de espiras do secundário igual a 20.
2) Um transformador ideal tem uma relação de espiras 1:10 e é aplicado uma tensão no
primário de 12 V com uma corrente de 0,5 A. Determine a tensão, corrente e impedância do secundário.
9.0 – Impedância (Z)
9.1 – Reatância Indutiva (XL)
Define-se como reatância indutiva a oposição à variação de corrente alternada provocada pela
indutância de uma bobina. A reatância indutiva é expressa em Ohms e, além de limitar o valor de
corrente em um circuito, faz com que a corrente se atrase em relação à tensão. O cálculo do valor de
reatância indutiva de uma bobina em um circuito C A é dado pela equação:
XL = 2 π f L
Onde: XL => reatância indutiva (Ω)
f => freqüência alternada (Hz)
L => indutância da bobina (H)
Examinando a equação dada, verificamos que a freqüência da corrente alternada e a reatância
indutiva são grandezas diretamente proporcionais, ou seja, quando a freqüência aumenta, a
reatância também aumenta. Por essa razão as bobinas são comumente usadas para impedir a
entrada de corrente alternada em determinados circuitos, enquanto deixam livre a corrente contínua.
21
Eletricidade II
9.2 – Reatância Capacitiva (XC)
Define-se como reatância capacitiva a oposição à variação de tensão alternada provocada pela
capacitância de um capacitor. A reatância capacitiva é expressa em Ohms e, além de limitar o valor
da tensão alternada em um circuito, faz com que ela se atrase em relação à corrente. O valor de
reatância capacitiva que um capacitor apresenta em um circuito, é dado pela equação:
XC = ___1___
2πfC
Onde:
XC => reatância capacitiva (Ω)
f => freqüência alternada (Hz)
C => capacitância (F)
9.3 – Impedância em série
9.3.1 – Circuito RL série
Em todo circuito RL em série, a impedância total é o efeito combinado da resistência do
circuito (R) com a reatância indutiva da bobina (XL). Como a bobina atrasa a corrente em 90º, o vetor que
representa a tensão sobre a bobina (VL) e o vetor que representa a tensão sobre o resistor (VR), tendem
a ficarem defasados em 90º. Dessa forma a tensão total no circuito será a soma algébrica das tensões VR e
VL.
2
2
= R + XL
_________
2
2
Z = √ R + XL
Z
2
Onde: Z => impedância (Ω)
R => resistência (Ω)
XL => reatância indutiva (Ω)
VG
2
2
2
2
2
= VR + VL => VG = √ VR + VL
22
Eletricidade II
9.3.2 – Circuito RC série
Em todo circuito RC em série, a impedância total é o efeito combinado da resistência do
circuito (R) com a reatância capacitiva do capacitor (XC). Como o capacitor atrasa a tensão em 90º, o vetor
que representa a tensão sobre o capacitor (VC) e o vetor que representa a tensão sobre o resistor (VR),
tendem a ficarem defasados em – 90º. Dessa forma a tensão total do circuito será a soma algébrica das
tensões VR e VC.
2
2
= R + XC
_________
2
2
Z = √ R + XC
Z
2
Onde: Z => impedância (Ω)
R => resistência (Ω)
XC => reatância capacitiva (Ω)
VG
2
2
2
2
2
= VR + VC => VG = √ VR + VC
O ângulo de defasagem entre tensão e corrente, em ambos os casos, pode ser expresso pela
Lei dos Co-senos:
Arccos α =
_R_
Z
9.3.3 – Circuito LC série
Em todo circuito LC em série, a impedância total do circuito é o efeito combinado da reatância
indutiva (XL) com a reatância capacitiva (XC). Como a bobina atrasa a corrente em 90º e o capacitor
atrasa a tensão em 90º, a tensão total nos terminais do circuito é a diferença de tensões nos terminais de
cada componente.
Z = XL – XC (se XL > XC => impedância indutiva)
Ou
Z = XC – XL (se XC > XL => impedância capacitiva)
VG = VL – VC => VG = VC – VL
9.3.4 – Circuito RLC série
Em todo circuito RLC série, a impedância total é o efeito combinado da impedância RL
com a impedância RC. Dessa forma, a tensão total nos terminais do circuito é a soma algébrica da
tensão nos terminais do resistor, mais a diferença da tensão nos terminais do circuito LC.
_____________
2
2
2
2
2
Z = R + (XL – XC) ou Z = √ R + (XL – XC) (se XL > XC)
_______________
2
2
2
2
2
Z = R + (XC – XL) ou Z = √ R + (XC – XL) (se XC > XL)
23
Eletricidade II
2
2
2
2
VG = √ VR + (VL – VC) => VG = √ VR + (VC – VL)
Obs.: Em todos os casos de impedância em série, o valor do módulo da corrente é o mesmo
para toda malha do circuito, mas os valores de tensão poderão ser diferentes para cada ponto considerado
no circuito. Portanto, são válidas todas as regras da 1ª Lei de Ohm.
9.4 – Impedância em paralelo
9.4.1 – Circuito RL paralelo
Em todo circuito RL em paralelo, a tensão é a mesma para cada componente do circuito, mas as
correntes podem ser diferentes. Como a bobina atrasa a corrente em 90º em relação à tensão, a
impedância total do circuito será a resultante vetorial entre a corrente no resistor (0º) e a corrente na
bobina (- 90º).
Z=
__R x XL _
2
2
√ R + XL
9.4.2 – Circuito RC paralelo
Em todo circuito RC em paralelo, a tensão é a mesma para cada componente do circuito, mas as
correntes podem ser diferentes. Como o capacitor atrasa a tensão em 90º em relação à corrente, a
impedância total do circuito será a resultante vetorial da corrente no resistor (0º) e a corrente no capacitor
adiantada em 90º.
Z=
R x XC _
2
2
√ R + XC
24
Eletricidade II
9.4.3 – Circuito LC paralelo
Em todo circuito LC em paralelo, a intensidade de corrente total é a diferença entre as
correntes na bobina (IL) e no capacitor (IC). Como estas correntes se encontram defasadas em +90º e –
90º, a impedância será a resultante vetorial entre a maior e a menor.
Z=
XL x XC _
XL – XC
ou
Z=
XC x XL _
XC – XL
9.4.4 – Circuito RLC paralelo
Em todo circuito RLC em paralelo, a impedância total é dada pelo inverso da admitância.
Para este caso, especificamente, fica mais fácil se trabalhar com os cálculos de admitância (inverso da
impedância), condutância (inverso da resistência) e suscetância
(inverso da reatância).
Z=1/Y
=>
2
2
2
Y = G + (Sl – Sc)
ou
______________
2
2
Y = √ G + (Sl – Sc)
Onde: Z => impedância do circuito em ohm (Ω)
Y => admitância do circuito em siemens (S)
G => condutância do circuito em siemens (S)
Sl => suscetância indutiva em siemens (S)
Sc => suscetância capacitiva em siemens (S)
Exemplo:
Calcular a impedância de um circuito RLC em paralelo formado por um resistor
de 200Ω, um capacitor com reatância capacitiva de 20Ω e um indutor cuja reatância é de
50Ω.
G = 1 / R = 1 / 200 = 0,005 S Sc =
1 / XC =
1 / 20 = 0,05 S
Sl = 1 / XL = 1 / 50 = 0,02 S
___________________
2
2
Y = √ 0,005 + (0,05 – 0,02) = 0,03 S
Z = 1 / Y = 1 / 0,03 = 33,33 Ω.
25
Eletricidade II
Exercícios propostos
01) Uma bobina é ligada em série com um chuveiro elétrico de 3600 Watts para reduzir a potência
aplicada em seus terminais. A tensão aplicada ao conjunto é de 120 volts e a tensão somente
no chuveiro é de 96 volts. Determine a d.d.p. nos terminais da bobina:
02) Qual a reatância indutiva de um indutor de 5mH ligado a uma fonte de 120V, 50Hz?
03) Qual a reatância capacitiva de um capacitor de 100µF que está ligado a uma fonte de 220V, 50Hz?
04) No circuito abaixo, determine a corrente consumida. R = 40Ω e XL = 30Ω
Vg = 120 V
05) Em um circuito LC série qual a impedância vista pela fonte considerando XL = 50Ω e XC = 40Ω.
06) Um circuito RLC série contem uma resistência de 10 Ω, uma reatância indutiva de 30Ω e uma
reatância capacitiva de 70 Ω. Qual a impedância deste circuito?
07) Na questão anterior qual a corrente que circulará pelo circuito quando alimentado por 220V?
26
Eletricidade II
08) Em um circuito RL paralelo com uma resistência de 20Ω e uma reatância indutiva de 30Ω, qual a
sua impedância?
09) Em um circuito RC paralelo com uma resistência de 20Ω e uma reatância indutiva de 40Ω, qual a
sua impedância?
10) Na questão anterior qual a corrente que circulará quando for aplicada uma tensão de 120V?
11) Sobre o circuito abaixo, responda as próximas questões.
a.
qual a admitância de um circuito RLC em paralelo formado por um resistor de 200Ω, um
capacitor com reatância capacitiva de 20Ω e um indutor cuja reatância é de 50Ω.
b.
Calcule a impedância desse circuito.
c.
Calcule a corrente total quando o circuito é alimentado por 120V.
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