EXEMPLO 1 S: O movimento de duas partículas, A e B, é descrito

EXEMPLO 1
S: O movimento de duas partículas, A e B, é descrito pelos
vetores posição
rA = [3t i + 9t(2 – t) j] m e
rB = [3(t2 –2t +2) i + 3(t – 2) j] m .
P: O ponto em que as partículas colidem e os módulos de suas
velocidades escalares, imediatamente antes da colisão.
E: 1)As partículas irão colidir quando seus vetores posição
forem iguais, ou seja, quando rA = rB .
2)Os módulos de suas velocidades escalares podem ser
determinados pela derivação de seus vetores posição.
EXEMPLO 1 (cont.)
Solução:
1) O ponto de colisão requer que rA = rB, de modo que xA = xB e
yA = yB .
componentes em x: 3t = 3(t2 – 2t + 2)
simplificando: t2 – 3t + 2 = 0
resolvendo: t = {3  [32 – 4(1)(2)]0,5}/2(1) => t = 1 ou 2 s
componentes em y: 9t(2 – t) = 3(t – 2)
simplificando: 3t2 – 5t – 2 = 0
resolvendo: t = {5  [52 – 4(3)(–2)]0,5}/2(3)
=> t = – 1/3 ou 2 s
Então, as partículas colidem quando t = 2 s. Substituindo esse
valor em rA ou rB, tem-se que
xA = xB = 6 m e yA = yB = 0 m .
EXEMPLO 1 (cont.)
2) A derivação de rA e rB resulta nos vetores velocidade.
vA = drA/dt = x• A i + y• A j = [3i + (18 – 18t) j] m/s
Em t = 2 s: vA = [3i – 18 j] m/s
vB = drB/dt = x• B i + y• B j = [(6t – 6)i + 3j] m/s
Em t = 2 s: vB = [6i + 3j] m/s
O módulo da velocidade escalar é igual à magnitude do vetor
velocidade. Portanto,
vA = (32 + 182)0,5 = 18,2 m/s e
vB = (62 + 32)0,5
= 6,71 m/s .
EXEMPLO 2
S: Uma partícula se desloca ao longo de uma trajetória descrita
pela parábola y = 0,5x2. O componente x da velocidade é
dado por vx = (5t) m/s. Quando t = 0, x = y = 0.
P: A distância da partícula com relação à origem e a magnitude
de sua aceleração, quando t = 1 s.
E: Observe que vx é dado como uma função do tempo.
1) Determinar o componente x da posição e da aceleração pela
integração e derivação de vx, respectivamente.
2) Determinar o componente y da posição a partir da equação
parabólica e derivar sucessivamente para obter ay.
3) Determinar as magnitudes dos vetores posição e aceleração.
EXEMPLO 2 (cont.)
Solução:
1) componentes em x:
velocidade:
•
vx = x = dx/dt = (5t) m/s
x
posição:

t
dx =
0
aceleração:

0
••
5 t dt => x = (5/2)t2 = (2,5t2) m
•
ax = x = vx = d(5t)/dt = 5 m/s2
2) componentes em y:
posição:
y = 0,5x2 = 0,5(2,5t2)2 = (3,125t4) m
velocidade:
vy = dy/dt = d (3,125t4) /dt = (12,5t3) m/s
aceleração:
ay = vy = d (12,5t3) /dt = (37,5t2) m/s2
EXEMPLO 2 (cont.)
3) A distância com relação à origem é dada pela magnitude do vetor
posição. Portanto,
r = x i + y j = [2,5t2 i + 3,125t4 j] m
em t = 1 s, r = (2,5 i + 3,125 j) m
distância: d = r = [(2,52 + 3,1252)]0,5 = 4,0 m .
A magnitude do vetor aceleração em t = 1 s é calculada por
vetor aceleração: a = [5 i + 37,5t2 j ] m/s2
magnitude: a = [(52 + 37,52)]0,5 = 37,8 m/s2 .