II Lista GABARITO -- com correções 2012

II Lista de Exercícios – Gabarito
1 – r= raio do cilindro = 5cm e comprimento 2m. nas seguintes condições:
a) Num ponto a d=10 cm (=10x10-2m ) do eixo central do condutor
Aproximação para cilindro infinito (eliminando as bordas):
│E│=1/ε0(Q/S),
Onde no caso S = área de uma casca cilíndrica que passa pelo ponto a 10 cm,
S=2.π.d.l = 2.π.(10x10-2).l, sendo l=comprimento
Como Q=σ.𝐴𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = σ. 2.π.r.l = σ. (2.π.(5x10-2).l), carga distribuída no cilindro
desprezando as tampas (para cilindro “infinito”),
1Q
E=
𝜀0 A
𝜎(2𝜋𝑟. 𝑙)
𝜎𝑟
𝜎 (5 ∗ 10−2 )
𝜎
𝐸=
=
=
∗
−2 =
𝜀0 (2𝜋𝑑. 𝑙) 𝜀0 𝑑 𝜀0 (10 ∗ 10 ) 2𝜀0
b) Num ponto sobre o condutor na parte externa
No caso como d=r teríamos
𝜎(2𝜋𝑟. 𝑙)
𝜎𝑟
𝜎
𝐸=
=
=
𝜀0 (2𝜋𝑟. 𝑙) 𝜀0 𝑟 𝜀0
c) Num ponto no interior do condutor
│E│=0

2 – Existe na Terra um Campo Elétrico uniforme vertical E  2,00x103N/C.
Estamos interessados em fazer flutuar neste campo uma esfera de enxofre
com 4,4N de peso carregando-a eletricamente.
a)Qual deve ser a carga da esfera (sinal e valor absoluto)?
Como F=qE, no caso:
4,4=Q.2,00x103;
4.4 = 𝑄 ∗ 2 ∗ 103
−3
Q= 2.2 × 10 𝐶
b) Porque a molécula não ficaria estável.
3 - Uma gota d’água esférica com 1,2 μm de diâmetro está suspensa no ar
devido a um campo elétrico atmosférico vertical cujo módulo é E=462N/C
a)Qual é o peso da gota?
Sabemos que:
1(decímetro)3 =(10-1)3 de água -------- 1kg
(4/3)π(0,6x10-6)3 --------------------- Mgota
4
∗ 𝜋 ∗ (0.6 ∗ 10−6 )3
3
Mgota =
10−3
≈ 9.05 · 10−16 𝑘𝑔
Mgota=9,05x10-16kg
P=Mgota .g = 8,87x10-15N
b)Quantos elétrons em excesso esta gota possui?
No equilíbrio:
P=qgotaE
qgota=P/E= 8,87x10-15/462 =1,9x10-17C
Nelétrons= qgota/ qelet.= 1,9x10-17/1,6x10-19
Nelétrons≈ 119 elétrons
4 – No tempo bom, o campo elétrico no ar em uma determinada posição
imediatamente acima da superfície da Terra é de 120N/C orientado para baixo.
Considerando a Terra como sendo um condutor:
a)Qual é a densidade de carga por unidade de superfície sobre a superfície da
Terra? É positiva ou negativa?
a) │E│=1/ε0(Q/As)
Sobre a superfície terrestre As=ATerra e portanto Q/As= Q/ATerra= σ
Desta forma:
120 = │E│= σ/ ε0 → σ =120x8,854x10-12 ≈ 1,06x10-9 C/m2
b)Se o clima fosse bom em toda parte e se a densidade de carga por unidade
de superfície fosse uniforme, qual seria a carga toda da Terra? Quantos
elétrons (ou prótons) excedentes estariam sobre toda a superfície da Terra
para produzir um campo atmosférico de 120N/C orientado para baixo?
Q= σ.ATerra=1.06 ∗ 10−9 ∗ 4 ∗ 𝜋 ∗ (6.37 ∗ 106 )2
≈5,4x105C
c)Como no exercício anterior:
Nelétrons= qTerra/ qelet.= 5,4x105/1,6x10-19
Nelétrons≈ 3,38 x 1024 elétrons
5 – Sobre uma região particular do ar a 500m acima do solo, o campo elétrico é
de 120N/C dirigido para baixo. A 600m acima do solo, devido a presença de
uma camada carregada de ar entre estas alturas, o campo é de 100N/C para
baixo. Qual a densidade média de carga por unidade de volume desta camada
de ar entre estas duas elevações? É positiva ou negativa?
100 = ETerra – Ecamada
ECamad
a
ETerra
ECamada
120 = ETerra + Ecamada
Ecamada = 10 N/C =1/ ε0 * [Q/S] (Campo gerado por placa “Infinita”)
Onde no caso fazendo aproximação para plano infinito (campo constante) S=2A camada
Q/ Acamada=2 ε0* 10
Desejamos calcular a densidade volumétrica de carga que é definida por:
γ = Q/Vcamad , onde Vcamad é o volume da camada de ar.
Como Vcamad = h.Acamada
γ= Q/Vcamad = Q/ h.Acamada .
Substituindo na equação acima a razão Q/ Acamada=2 ε0* 10 e h=100m (pois 120N/C é o
campo a 500m e 100N/C é o campo a 600m) teremos:
γ= Q/Vcamad = 2 ε0* 10 /h =
(2∗8.854∗10−12 ∗10)
100
≈ 1.77 × 10−12 𝐶⁄𝑚3
(Camada carregada positivamente)
6 – O Campo elétrico nas vizinhanças do tambor carregado de uma
fotocopiadora tem módulo E de 2,3 x 105 N/C. Qual a densidade superficial de
cargas, supondo que o tambor seja feito de material condutor?
b)Considere tal tambor com 42 cm de comprimento e 12 cm de diâmetro. Qual
a carga total do tambor?
c)O fabricante deseja produzir uma versão mais compacta da máquina. Para
isto é necessário reduzir o comprimento do tambor para 28 cm e o diâmetro
para 8,0cm. O Campo elétrico na superfície do tambor deve permanecer o
mesmo. Qual deve ser a carga do novo tambor?
a) Sobre o condutor teremos
E=σ/ ε0 (onde σ=Q/A onde A é a área do cilindro, desprezando o efeito das
bordas)
σ=E. ε0 = 2,3 x 105x8,854x10-12=20,36x10-7C/m2
b) Desprezando as tampas 𝐴 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑟 ∗ ℎ, portanto 𝑄 = 20.36 ∗ 10−7 ∗ 2 ∗
𝜋 ∗ 6 ∗ 10−2 ∗ 42 ∗ 10−2 𝐶
= 20.36 ∗ 10−7 ∗ 2 ∗ 𝜋 ∗ 6 ∗ 10−2 ∗ 42 ∗ 10−2
𝑄 ≈ 3,23 × 10−7 𝐶
c) Para manter E inalterado σ/ ε0 deve ficar inalterado ou seja a densidade sup. de carga
σ é a mesma. Então considerando a mesma densidade para que E seja o
mesmo:
𝑄𝑛𝑜𝑣𝑜 = 20.36 ∗ 10−7 ∗ 2 ∗ 𝜋 ∗ 4 ∗ 10−2 ∗ 28 ∗ 10−2 𝐶
𝑄𝑛𝑜𝑣𝑜 ≈ 1,43 × 10−7 𝐶
7 – Temos uma folha condutora carregada com densidade superficial de carga
σ. Um grânulo cai sobre a folha e após o contato é imediatamente repelido.
Considere o grânulo como sendo um condutor (aproximadamente idêntico à
folha) de raio 1mm, e a folha de dimensões muito superiores que as da mosca
(ops, grânulo), com densidade σ = 1,0x10-15C/m2.
a) Considerando que após o contato, a carga total se redistribuirá ao longo da
folha e do grânulo, qual deve ser aproximadamente a carga adquirida pelo
grânulo, considerando as densidades finais iguais?
b)Qual o campo elétrico gerado pela folha?
c)Quanto vale a força elétrica sobre o grânulo após este adquirir a carga
calculada acima?
d)Qual deveria ser a massa e a densidade de massa do grânulo para que este
pudesse ficar flutuando no campo do papel?
a)Assumindo que a carga se distribuirá homogeneamente a densidade do
grânulo deve ser a mesma da folha. Mas considerando que as dimensões do
grânulo são muito menores que a da folha, a densidade de carga da folha fica
praticamente inalterada.
Então a q do grânulo será q = σ.4πr2 = (1.0 ∗ 10−15 ) ∗ 4 ∗ 𝜋 ∗ (1 ∗ 10−3 )2
≈ 1,26 × 10−20 𝐶
c) O campo gerado pela folha na aproximação de campo constante será
(como já foi visto):
1
𝑄
E= 𝜀 2𝐴
0
𝑓𝑜𝑙ℎ𝑎
Como σ=Q/2Afolha pois a carga se divide nas duas faces da folha em
condutores, então:
E= σ / ε0
−15
E=1.0 ∗ 10 ⁄8.854 ∗ 10−12
≈ 1,13 × 10−4 𝑁⁄𝐶
c) 𝐹 = 𝑞𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 . 𝐸𝑝𝑎𝑝𝑒𝑙
1.26 ∗ 10−20 ∗ 1.13 ∗ 10−4
≈ 1.42 · 10−24 𝑁
d) Considerando 𝐹𝑒𝑙𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 = 𝐹𝑔𝑟𝑎𝑣
1.42 · 10−24 = 𝑚 ∗ 10
𝑚 ≈ 1.42 · 10−25kg
𝛾 = 𝑚⁄𝑉
1.42 · 10−25
4 ∗ 𝜋 ∗ (1 ∗ 10−3 )3
𝑘𝑔
≈ 1,13 × 10−13 ⁄𝑚3
8 – Considere uma casca esférica condutora com raio interno 5cm e espessura
1cm neutra. Colocamos no interior dela uma esfera dielétrica de raio 1cm
carregada com uma carga q = (+)10-3C .
a) Qual a densidade de induzida, a carga e o sinal das cargas na parede
interna e externa da casca esférica?
Pela lei de Gauss o campo interno à casca condutora deve ser nulo. Portanto,
as cargas internas à superfície devem ser nulas. Como temos uma carga
q=(+)10-3C, devemos ter uma carga induzida negativa na parte interna de –q.
+q
Logo:
σ=-q/Sint = -10-3/4.π.(5x10-2)2=3,18C/m2
b) Qual o Campo Elétrico num ponto interno (porém não no centro) da esfera
(supondo densidade volumétrica de carga constante), num ponto entre a esfera
menor e a casca esférica e num ponto externo à casca?
i)Usando a Lei de Gauss teremos:
 
Q
E
 .nds  int
S
0
 
E.n  E n cos   E cos 
 
E
 .nds   E cos ds
S
S
Devemos tomar uma superfície S que passe sobre um ponto que dista r do
centro da esfera, r<1cm. Para que o produto escalar no interior da integral seja
simples de calcular e para que o módulo do campo elétrico seja constante,
tomamos uma superfície que acompanhe a simetria do problema, sobre a qual
a densidade de linhas de campo seja constante.
Desta forma tomamos a superfície S como uma casca esférica de raio r. Sobre
esta teremos.
 E cos ds
S
  0;
 E cos ds  E  ds 
S
S
E (4r 2 ) 
E 
Qint
Qint
0
 0 .(4r 2 )
Qint  cargas internas a S 
  .Vint   . 4 r 3
3
3
Q
Como :   total
 10
Vtotal
4  (10 2 )3
3
3
10
 
1
4  (10 2 )3 
3
4  10 3
3
 
 
Logo :
4 r 3
3
3
Qint   . 4 r 
 10r  C
3
4  10 3
3
PS:Note que como o ponto é interno, r<10-2, e portanto (10r)3<10-3 que é o
valor da carga total na esfera.
ii)E=0
iii) E=1/ε0(q/4.π.D2) D = distância do centro ao ponto em questão
(pois a carga líquida é somente q pois a esfera condutora é neutra.
3
 