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Computação e Programação 2006/07
Aula Prática 1 (Laboratório 1)
Introdução ao sistema MATLAB
Esta aula prática tem como objectivo a apresentação do sistema MATLAB e algumas das suas
capacidades. Começamos por ver o MATLAB como uma máquina de calcular gráfica com
inúmeras funcionalidades.
Para começar a utilizar o sistema MATLAB em ambiente Windows basta invocar o programa a
partir do seu ícone. (no Desktop ou em StartPrograms)
O espaço de trabalho do MATLAB divide-se em várias janelas. Para já concentramo-nos na
janela de comandos. Nesta janela introduzimos as expressões a avaliar (input) e visualizamos os
resultados (output).
As expressões são introduzidas na janela de comandos na linha assinalada por >> e avaliados
premindo enter.
Comece por invocar o MATLAB
Avalie a expressão 1+1
1+1
Começamos por utilizar o MATLAB como uma simples calculadora.
Avalie as expressões
123+456*789
(123-456)*789
8/4
8\4
2^2*2
2^(2*2)
O MATLAB possui também funções trigonométricas e reconhece números complexos.
Avalie as expressões
pi
pi/4
Nota: As funções trigonométricas do MATLAB aceitam apenas valores em radianos.
sin(pi/6)+cos(pi/3)
tan(pi/4)
cos(pi/4)\sin(4\pi)
atan(1)
cosh(0)
asinh(0)
Ao lidar com números complexos o MATLAB aceita indistintamente i e j como unidade imaginária.
i
j
1+3i + 3+ j
i*i
3+4i * 1+2i
(3+4i) * (1+2i)
abs(3+4i)
conj(1+2j)
real(5+7i)
imag(5+7i)
2*angle(i)
Estão também disponíveis as funções exp, log e log10.
exp(1)
log(exp(3))
log10(10)
Vamos ver agora como podemos utilizar o MATLAB para desenhar o gráfico de uma função. Para
desenhar o gráfico precisamos de dois vectores, uma para as abcissas e outro para as ordenadas. No final
invocamos o comando plot.
O vector das abcissas é construido com a função linspace. Esta função gera um vector com 100 pontos
igualmente espaçados entre os dois valores dados.
A informação relativa a uma função pode ser obtida escrevendo help seguido do nome da função.
Obtenha informação acerca da função linspace
help linspace
Desenhe o gráfico da função seno no intervalo [-10,10]
x1=linspace(-10,10);
y1=sin(x1);
plot(x1,y1)
Desenhe o gráfico da função arco tangente no intervalo [-10,10]
x2=linspace(-10,10);
y2=atan(x2);
plot(x2,y2)
Sobreponha os dois gráficos
plot(x1,y1,x2,y2)
É importante reparar que em alguns dos comandos anteriores usámos ";" no final. O ponto e vírgula no
final de uma expressão diz ao MATLAB para avaliar a expressão e não apresentar o resultado.
Vejamos o que acontecia se não usássemos o ponto e vírgula.
linspace(-10,10)
O MATLAB também desenha gráficos 3D.
Experimente introduzir no MATLAB os seguintes exemplos
x3=-10:.5:10;
y3=x3;
[u,v]=meshgrid(x3,y3);
r=sqrt(u.^2+v.^2)+eps;
z3=sin(r)./r;
mesh(x3,y3,z3)
surf(x3,y3,z3)
Programar em MATLAB
Agora vamos criar, editar e avaliar ficheiros MATLAB (M-Files ou guiões). Estes ficheiros permitem a
submissão de uma sequência de comandos de uma só vez. O MATLAB avalia sequencialmente os
comandos de um ficheiro como se tivessem sido introduzidos directamente na janela de comandos.
À esquerda da janela de comandos encontra-se a janela Current Directory (caso não esteja, torne-a visível
indo na barra de ferramentas a View  Current Directory). A partir desta janela temos acesso a ficheiros
.m que estejam na directoria indicada.
O MATLAB só procura ficheiros em directorias que tenham sido previamente adicionadas à lista path. Por
isso, é importante começar por acrescentar a directoria onde vamos trabalhar a esta lista. Tal é possível
seleccionando File  Set Path na barra de ferramentas.
Para criar um ficheiro basta seleccionar na barra de ferramentas do MATLAB a opção FileNewM-file;
em alternativa, carregar em Ctrl-N produz o mesmo efeito.
Crie um novo ficheiro com os comandos que se seguem.
%
%Programa que soma os 50 primeiros naturais
%
I=1;
R=0;
while (I<=50)
R=R+I;
I=I+1;
end
R
Grave o código acima com o nome soma.m e de seguida avalie-o escrevendo soma na janela de
comandos.
Qual o resultado? O que aconteceu?
Adicione a pasta onde guardou o ficheiro ao path do MATLAB.
Tente avaliar de novo o ficheiro soma.m.
Nota: Para facilitar a leitura, o código deverá estar bem dividido e correctamente identado. É importante
que consigamos ler o nosso código e que os outros também o consigam. É igualmente importante comentar
o código.
Modifique o programa de modo a somar os primeiros 25 naturais e avalie novamente.
Experimente retirar o ";" do final do comando que incrementa a variável I (I=I+1;), grave e volte a
avaliar, agora somando até 7.
O que é que acontece?
Não é cómodo estar sempre a alterar o ficheiro quando queremos alterar o valor de N; podemos tornar o
programa interactivo.
Recorra agora às funções input e fprintf e modifique o programa que soma os N primeiros
naturais de modo a pedir interactivamente N e a devolver o resultado.
Nota: O novo programa é de certo modo mais geral; uma vez que o comentário deve reflectir a
funcionalidade do programa, altere-o.
Desenvolva um programa que resolva equações de segundo grau. O programa deverá pedir ao
utilizador os coeficientes do polinómio e devolver as soluções, caso existam, ou um aviso, caso não
haja soluções.
Expressões Booleanas
Uma expressão booleana é uma expressão que quando avaliada retorna um valor lógico. Em MATLAB os
valores lógicos true e false são representados por 1 e 0, respectivamente.
Experimente os seguintes exemplos, tentando prever antecipadamente qual o resultado da avaliação
de cada expressão.
2 < 3
(8+5) ~= 13
a= (1==1) & (2==2) & (3==4)
b= (0 <= -10) | (sin(pi/2)==1)
~b
~b & ~a
Os resultados obtidos estão de acordo com o esperado?
Matrizes
Crie duas matrizes M e N com dimensão 3x3. Por exemplo:
M=[1 -1 0;1 1 0;0 0 1]
N=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
Calcule M+N, M-N e M*N
M+N
M-N
Crie a matriz identidade ID de dimensão 3. Calcule ID*N e ID.*N.
ID=[1 0 0;0 1 0;0 0 1]
ID*N
ID.*N
Qual a diferença entre * e .* ? Por analogia, como deve proceder para dividir matrizes elemento a
elemento? Como multiplicar uma matriz por um escalar?
Experimente com as matrizes M e N e com outras matrizes à sua escolha. Tente multiplicar duas
matrizes não compatíveis e observe o que acontece.
O MATLAB também disponibiliza funções para resolver sistemas lineares. A solução do sistema linear
Ax=b é dada por x=A-1b. Vejamos um exemplo:
O sistema linear
x + 2 y + 3 z = 366
4 x + 5 y + 6 z = 804
7 x + 8 y = 351
é representado através de uma matriz e um vector.
A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0]
b=[366;804;351]
Logo a solução do sistema é
x=inv(A)*b
Podemos verificar que x é realmente a solução:
A*x
Tente resolver os sistemas Mx=u e Ny=u onde u é o vector [1; 2; 3]. Verifique e comente os resultados
que obteve.
u=[1; 2; 3]
x=inv(M)*u
M*x
y=inv(N)*u
N*y
Crie um ficheiro que quando avaliado gera uma matriz com n linhas e m colunas em que todos os
elementos são x. Os parâmetros n, m e x devem ser pedidos interactivamente. Sugestão: use a função
ones.
Aula Prática 2
Programação imperativa sobre números
1.
Defina a função Contadivisores que recebe como argumento um número natural e devolve o número
de divisores desse número.
2.
Defina a função PrimoQ que recebe como argumento um número natural e devolve verdadeiro
se esse número é primo e falso caso contrário.
3.
Defina a função Somaprimos que recebe como argumento um número natural N e devolve a
soma dos números primos até N.
4.
Defina a função Mdifpconsec que recebe como argumento um natural N e devolve a maior diferença
entre dois números primos consecutivos até N.
5.
Defina a função Mdc que recebe como argumento dois números naturais e que calcula o máximo
divisor comum desses dois números, usando o algoritmo de Euclides.
6.
Defina a função Contaperfeitos que recebe como argumento um número natural N e que devolve
o número de números perfeitos até N. Um número perfeito é tal que a soma dos seus divisores
próprios é igual ao próprio número. Por exemplo, 6 é um número perfeito: os divisores próprios
de 6 são {3,2,1} e 3+2+1=6.
7.
Defina a função Quadrados que recebe como argumento um número natural N e devolve um
vector com os quadrados perfeitos que existem entre 1 e N.
8.
Defina a função QuadradosInv que recebe como argumento um número natural N e devolve um
vector com os quadrados perfeitos que existem entre N e 1.
9.
*Defina a função PrimAlg que recebe como argumento um número natural N e devolve o
primeiro algarismo da representação decimal de N.
10. *Defina a função Potencia que recebe como argumento um algarismo K (diferente de 0) e
devolve o menor natural N tal que 2^N começa por K.
Aula Prática 3
Programação imperativa sobre vectores
1. Programação imperativa sobre vectores
1.1 Defina a função MembroQ que dado um número N e um vector V de números devolve
verdadeiro se N pertence a V e falso caso contrário.
1.2 Defina a função Ocorrencias que dado um número N e um vector V conta quantas vezes N
ocorre em V.
1.3 Defina a função PosMax que dado um vector V devolve a soma dos índices das posições onde o
máximo de V ocorre.
1.4 Defina uma função que dado um vector V e um número N devolve um triplo [A,B,C] tal que A é
o número de elementos de V maiores que N, B é o número de elementos de V iguais a N e C é o
número de elementos menores que N.
1.5 Defina a função Junta que recebe dois vectores V e W e devolve um vector com os elementos de
V seguidos dos elementos de W.
1.6 Defina uma função CarPrimos que recebe um vector V e devolve um vector com 1 nas posições
onde V contém um número primo e 0 nas restantes.
1.7 Defina a função Compmsuccresc que recebe como argumento um vector de inteiros e devolve o
comprimento da maior sucessão estritamente crecente que ocorre no vector.
1.8 Desenvolva uma função f em MATLAB que recebe como argumento um vector de números
inteiros, percorre elemento a elemento o vector dado recorrendo a um ciclo while e calcula o par
[x,y] tal que x é o produto das posições pares em que ocorrem elementos pares e y é o menor
desses elementos (o produto de 0 elementos é 1 e caso não ocorram números pares no vector y
deve ser 0).
1.9 Desenvolva uma função f em MATLAB que recebe como argumento um vector de números
inteiros, percorre elemento a elemento o vector dado recorrendo a um ciclo while e calcula o par
[x,y] tal que x é o número de elementos que são iguais às posições onde ocorrem e y é a primeira
dessas posições (caso não exista nenhum número igual à posição onde ocorre y deve ser 0).
1.10 Desenvolva uma função f em MATLAB que recebe como argumento um vector de números
inteiros, percorre elemento a elemento o vector dado recorrendo a um ciclo while e calcula o
vector do mesmo comprimento em que cada posição tem o elemento do vector dado, desde que o
módulo da diferença para o elemento seguinte (caso exista) seja par, e 0 nas outras posições.
1.11 Desenvolva uma função f em MATLAB que recebe como argumento um vector de números
inteiros, percorre elemento a elemento o vector dado recorrendo a um ciclo while e calcula o
vector do mesmo comprimento com 1 nas posições onde ocorrem quadrados perfeitos e 0 nas
outras posições.
2. Estudo de uma função
Sejam X=[x1,...,xn] e Y=[y1,...,yn] dois vectores, tais que f(xi)=yi para alguma função f. Assuma que o
vector X está ordenado.
2.1 Defina a função Maximo que calcula o máximo da função f, para a representação discreta da
função.
2.2 Defina a função Monotonia que devolve 1 se a função f é crescente, –1 se é decrescente e 0 caso
contrário, para a representação discreta da função.
2.3 Defina a função Tvm que calcula a taxa de variação média de f em cada intervalo. Esta função
deverá devolver um vector de comprimento n-1 em que na i-ésima posição do vector ocorre a
tvm de f no intervalo [xi,xi+1].
Aula Prática 4
Programação imperativa sobre matrizes
1. Defina a função Mediamatriz que recebe como argumento uma matriz e devolve a média dos seus
elementos. No caso da matriz vazia devolve uma mensagem de erro.
2. Defina a função IgualmatrizQ que recebe como argumento duas matrizes de igual dimensão e
devolve verdadeiro se ambas as matrizes são iguais elemento a elemento e falso caso contrário.
3. Defina a função MenormatrizQ que recebe como argumento duas matrizes M1 e M2 de igual
dimensão e devolve verdadeiro se todos os elementos da primeira matriz são menores que os
elementos na mesma posição da segunda matriz, i.e., M1<M2 se para todo i,j M1(i,j)<M2(i,j).
4. Defina a função Pimatriz que recebe como argumento duas matrizes M1 e M2 de igual dimensão
e calcula a soma dos M1(i,j)*M2(i,j) para todo i e todo o j.
5. Defina a função Matrizdiagonal que recebe como argumento um vector V de comprimento L e
devolve a matriz LxL em que na diagonal principal ocorrem os elementos de V e nas restantes
posições ocorrem zeros.
6. Defina a função Colunasnm que recebe como argumento uma matriz NxM e devolve um vector de
dimensão M em que na i-ésima posição ocorre 1 se na i-ésima coluna ocorre um elemento maior
que N*M e 0 caso contrário.
7. Defina a função Linhapar que recebe como argumento um vector de inteiros e devolve verdadeiro
se a soma dos elementos é par e falso caso contrário. Generalize esta função de modo a receber
como argumento uma matriz e a devolver um vector em que na i-ésima posição ocorre 1 se a linha
satisfizer Linhapar e 0 caso contrário.
8. Defina a função Triangsupinf que recebe como argumento uma matriz quadrada e devolve 1 se
esta for triangular superior, 2 se for triangular inferior, 3 se for triangular superior e inferior (ou
seja, se for matriz diagonal) e 0 caso contrário.
Aula Prática 5
Programação recursiva
1.
Defina a função SomaNatR que recebe como argumento um número natural N e devolve a soma de
todos os naturais até N.
2.
Defina a função MdcR que recebe como argumento dois números naturais e devolve o seu máximo
divisor comum, calculado através do algoritmo de Euclides.
3.
Defina a função ContaperfeitosR que recebe como argumento um número natural N e que devolve o
número de números perfeitos até N.
4.
Defina a função PrimAlgR que recebe como argumento um número natural e devolve o primeiro
algarismo na sua representação decimal.
5.
Defina a função TresNMaisUmR que recebe como argumento um número natural e devolve o número
de iterações da função x  if (x par) then x/2 else 3x+1 necessárias para atingir o valor 1.
6.
Defina a função MembroQR que recebe como argumento um vector e um número e devolve
verdadeiro se o número ocorre no vector e falso caso contrário.
7.
Defina a função OcorrenciasR que dado um vector e um número conta quantas vezes o número ocorre
no vector.
8.
Defina a função MediamatrizR que recebe como argumento uma matriz e devolve a média dos seus
elementos.
9.
Defina a função PrefixoR que recebe como argumento dois vectores U e V e devolve verdadeiro se U é
prefixo de V e falso caso contrário.
10. Defina a função Pesquisabin que recebe como argumento um vector V de números ordenado de forma
crescente e um elemento X, e que retorna verdadeiro se X pertence a V e falso caso contrário.
Aula Prática 6
Laboratório - Programação em F
3. Programação imperativa em F
3.1. Escreva um programa contadivisores que recebe interactivamente um número natural e
apresenta no ecrã o número de divisores desse número.
3.2. Escreva um programa contaprimos que recebe do utilizador um número natural N e
apresenta no ecrã o número de números primos até N. Comece por definir uma função
auxiliar primoq que pode usar no programa principal. (Relembre a inclusão de funções
auxiliares nos programas em F.)
3.3. Escreva um programa fresolve que recebe do utilizador os coeficientes de um polinómio
do segundo grau e que apresenta no ecrã as raízes reais desse polinómio, caso existam; caso
o polinómio não possua raízes reais, o programa deverá avisar o utilizador.
3.4. Escreva um programa mdc que recebe interactivamente dois números naturais e que
calcula o máximo divisor comum desses dois números usando o algoritmo de Euclides,
apresentando-o de seguida no ecrã.
4. Debugging de programas
É indispensável que saibamos perceber porque é que o nosso programa não compila correctamente. Na
grande maioria das vezes basta ler com atenção os erros gerados durante a compilação (mal sucedida).
Devemos ter sempre atenção aos erros pela ordem em que são gerados, pois pode haver uma
interdependência entre eles e apenas os primeiros serem realmente erros.
4.1. Copie para a pasta aula5 os ficheiros disponíveis a partir da página da cadeira, que contêm
alguns erros típicos. Tente compilá-los e observe atentamente as mensagens de erro. Corrija os
programas de modo a que compilem sem erros (só assim é que o executável é gerado).
program erros1
integer :: x, i, y
print *,"Introduza um numero"
read *, x
do i=1,x
r=r+i
end
print *," A soma ate",x,"e:",r
end erros1
program erros2
integer :: x, y, z
print *,"Introduza um numero"
read *,x
print *,"O quadrado e",f(x)
print *,"Introduza um numero"
read *,y
print *,"O cubo e",g(y,z)
contains
function f(x) result(y)
integer :: x
integer :: y
y=X**2
end f
subroutine g(x,y)
integer, intent(in) :: x, y
y=x**3
end g
end program erros2
Aula Prática 7
Programação em F
5. Programação imperativa sobre vectores
1.12 Defina a função MembroQ que dado um número N e um vector V de números devolve
verdadeiro se N pertence a V e falso caso contrário.
1.13 Defina a função Ocorrencias que dado um número N e um vector V conta quantas vezes N
ocorre em V.
1.14 Defina a função PosMax que dado um vector V devolve a soma dos índices das posições onde o
máximo de V ocorre.
1.15 Defina uma função que dado um vector V e um número N devolve um triplo [A,B,C] tal que A é
o número de elementos de V maiores que N, B é o número de elementos de V iguais a N e C é o
número de elementos menores que N.
1.16 Defina a função Junta que recebe dois vectores V e W e devolve um vector com os elementos de
V seguidos dos elementos de W.
1.17 Defina uma função CarPrimos que recebe um vector V e devolve um vector com 1 nas posições
onde V contém um número primo e 0 nas restantes.
1.18 Defina a função Compmsuccresc que recebe como argumento um vector de inteiros e devolve o
comprimento da maior sucessão estritamente crecente que ocorre no vector.
6. Programação imperativa sobre matrizes
2.1 Defina a função Mediamatriz que recebe como argumento uma matriz e devolve a média dos
seus elementos.
2.2 Defina uma função IgualmatrizQ que recebe como argumento duas matrizes de igual dimensão
e devolve verdadeiro se ambas as matrizes são iguais elemento a elemento e falso caso contrário.
2.3 Defina a função MenormatrizQ que recebe como argumento duas matrizes M1 e M2 de igual
dimensão e devolve verdadeiro se todos os elementos da primeira matriz são menores que os
elementos na mesma posição da segunda matriz, i.e., M1<M2 se para todo i,j M1(i,j)<M2(i,j).
2.4 Defina a função Pimatriz que recebe como argumento duas matrizes M1 e M2 de igual dimensão
e calcula a soma dos M1(i,j)*M2(i,j) para todo i e todo o j.
2.5 Defina a função Matrizdiagonal que recebe como argumento um vector V de comprimento L e
devolve a matriz LxL em que na diagonal principal ocorrem os elementos de V e nas restantes
posições ocorrem zeros.
2.6 Defina a função Colunasnm que recebe como argumento uma matriz NxM e devolve um vector
de dimensão M em que na i-ésima posição ocorre 1 se na i-ésima coluna ocorre um elemento
maior que N*M e 0 caso contrário.
2.7 Defina a função Linhapar que recebe como argumento um vector de inteiros e devolve
verdadeiro se a soma dos elementos é par e falso caso contrário. Generalize esta função de modo
a receber como argumento uma matriz e a devolver um vector em que na i-ésima posição ocorre
1 se a linha satisfizer Linhapar e 0 caso contrário.
2.8 Defina a função Triangsupinf que recebe como argumento uma matriz quadrada e devolve 1 se
esta for triangular superior, 2 se for triangular inferior, 3 se for triangular superior e inferior
(ou seja, se for matriz diagonal) e 0 caso contrário.
2.9 Defina a função ProdM que recebe como argumentos duas matrizes e calcula o respectivo
produto. Sugestão: Comece por definir a função recorrendo a uma função auxiliar para calcular
o produto interno de uma linha por uma coluna. Em seguida, desenvolva a função sem recorrer
a funções auxiliares.
2.10 Defina uma subrotina Gauss que recebe como argumento uma matriz quadrada e devolve a
matriz resultante da eliminação de Gauss. Pretende-se que a subrotina actue directamente sobre
a matriz argumento.
7. Programação recursiva
3.1 Defina a função SomaNatR que recebe como argumento um número natural N e devolve a soma de
todos os naturais até N.
3.2 Defina a função MdcR que recebe como argumento dois números naturais e devolve o seu máximo
divisor comum, calculado através do algoritmo de Euclides.
3.3 Defina a função ContaperfeitosR que recebe como argumento um número natural N e que devolve o
número de números perfeitos até N.
3.4 Defina a função PrimAlgR que recebe como argumento um número natural e devolve o primeiro
algarismo na sua representação decimal.
3.5 Defina a função TresNMaisUmR que recebe como argumento um número natural e devolve o número
de iterações da função x  if (x par) then x/2 else 3x+1 necessárias para atingir o valor 1.
3.6 Defina uma função MembroQR que recebe como argumento um vector e um número e devolve
verdadeiro se o número ocorre no vector e falso caso contrário.
3.7 Defina uma função OcorrenciasR que dado um vector e um número conta quantas vezes o número
ocorre no vector.
3.8 Defina uma função Prefixo que recebe como argumento dois vectores U e V e devolve verdadeiro se
U é prefixo de V e falso caso contrário.
3.9 Defina uma subrotina ProdEscalar que recebe como argumento um vector V e um escalar X e calcula o
produto escalar de V por X, alterando directamente V.
3.10 Defina a função MediamatrizR que recebe como argumento uma matriz e devolve a média dos seus
elementos.
3.11 Defina a função Pesquisabin que recebe como argumento um vector V de números ordenado de forma
crescente e um elemento X, e que retorna verdadeiro se X pertence a V e falso caso contrário.
Aula Prática 8
Tipos de dados em F
8. Pilhas
Recorde o módulo das pilhas mbstacks.
a)
Desenvolva sobre esta camada as seguintes operações sobre pilhas:
 noc(x,s): devolve o número de ocorrências do número x na pilha s;
 inverte(s): devolve a pilha s invertida;
 prefixo(s1,s2): devolve .true. se a pilha s1 for prefixo da pilha s2 . Uma pilha s1 dizse prefixo de s2 se s2 é igual a s1 ou s2 pode ser obtida de s1 sobrepondo-lhe alguns elementos.
b) Enriqueça o módulo mbstacks com funções ou subrotinas que implementem as operações anteriores,
tirando partido da implementação das pilhas nesse módulo.
9. Pilhas navegáveis
Uma pilha navegável é uma pilha enriquecida com um cursor e operações para aceder ao elemento
apontado pelo cursor e para movimentar o cursor. Após a alteração do conteúdo da pilha, o cursor
fica sempre no topo.
a) Desenvolva em F um módulo que disponibilize as seguintes operações sobre pilhas navegáveis:
 new() é uma função sem parâmetros que devolve a pilha vazia;
 push(x,s) é uma subrotina que sobrepõe o elemento x na pilha s;
 pop(s) é uma subrotina que retira o elemento que está no topo de s;
 top(s) é uma função que devolve o topo da pilha s;
 emptyQ(s) é uma função que testa se a pilha s está vazia;
 down(s) é uma subrotina que desloca o cursor uma posição para baixo na pilha s;
 up(s) é uma subrotina que desloca o cursor uma posição para cima na pilha s;
 curr(s) é uma função que devolve o elemento de s apontado pelo cursor;
 topQ(s) é uma função que devolve .true. se o cursor estiver no topo de s e .false. no
caso contrário;
 bottomQ(s) é uma função que devolve .true. se o cursor estiver no fundo de s e .false.
no caso contrário.
b) Desenvolva sobre a camada anterior as seguintes operações:


noc(x,s): devolve o número de ocorrências do número x na pilha navegável s;
prefixo(s1,s2): devolve .true. se a pilha navegável s1 for prefixo da pilha navegável
s2 . Uma pilha navegável s1 diz-se prefixo de s2 se s2 é igual a s1 ou s2 pode ser obtida de
s1 sobrepondo-lhe alguns elementos. Esta operação não deve alterar o conteúdo das pilhas
s1 e s2, podendo no entanto alterar as posições dos cursores.
10.Filas de espera
a)
Desenvolva em F um módulo que disponibilize as seguintes operações sobre filas:
 new() é uma função sem parâmetros que devolve a fila vazia;
 enter(x,q) é uma subrotina que coloca o elemento x no fim da fila q;
 leave(q) é uma subrotina que retira o primeiro elemento da fila q;
 first(q) é uma função que devolve o primeiro elemento da fila q;
 emptyQ(q) é uma função que testa se a fila q está vazia;
 len(q) é uma função que devolve o comprimento da fila q.
b) Desenvolva sobre a camada anterior as seguintes operações:
 retiraN(n,q): retira os primeiros n elementos da fila q (caso não existam n elementos, retira
os elementos todos deixando a fila vazia);
 noc(x,q): devolve o número de vezes o número x ocorre na fila q;
 junta(q1,q2): acrescenta os elementos da fila q2 ao fim da fila q1, mantendo a ordem e
deixando a fila q2 vazia;
 distribui(q,q1,q2): distribui alternadamente os elementos da fila q pelas filas q1 e q2,
deixando a fila q2 vazia;
 prefixo(q1,q2): devolve .true. no caso de q1 ser um prefixo de q2 e .false. no caso
contrário;
 subfila(q1,q2): devolve .true. no caso de q1 ser uma subfila de q2 e .false. no caso
contrário. Uma fila q1 diz-se subfila de q2 se q1 é igual a q2 ou q2 pode ser obtida de q1
acrescentando-lhe alguns elementos no ínicio e outros no fim.
Aula Prática 9
Tipos de dados em F
11.Pilhas navegáveis – implementação dinâmica
Recorde o tipo de dados das pilhas navegáveis.
c)
Desenvolva em F um módulo que disponibilize o tipo xstack das pilhas navegáveis (recorrendo
a uma implementação com apontadores) e as seguintes operações sobre pilhas navegáveis:
 new(): função sem parâmetros que devolve a pilha vazia;
 push(x,s): subrotina que sobrepõe o elemento x na pilha s;
 pop(s): subrotina que retira o elemento que está no topo de s;
 top(s): função que devolve o topo da pilha s;
 emptyQ(s): função que testa se a pilha s está vazia;
 down(s): subrotina que desloca o cursor uma posição para baixo na pilha s;
 up(s): subrotina que desloca o cursor uma posição para cima na pilha s;
 curr(s): função que devolve o elemento de s apontado pelo cursor;
 topQ(s): função que devolve .true. se o cursor estiver no topo de s e .false. no caso
contrário;
 bottomQ(s): função que devolve .true. se o cursor estiver no fundo de s e .false. no
caso contrário.
d) Desenvolva sobre a camada anterior as seguintes operações:


noc(x,s): devolve o número de ocorrências do número x na pilha navegável s;
prefixo(s1,s2): devolve .true. se a pilha navegável s1 for prefixo da pilha navegável
s2 . Uma pilha navegável s1 diz-se prefixo de s2 se s2 é igual a s1 ou s2 pode ser obtida de
s1 sobrepondo-lhe alguns elementos. Esta operação não deve alterar o conteúdo das pilhas
s1 e s2, podendo no entanto alterar as posições dos cursores.
12.Conjuntos finitos
a) Desenvolva em F um módulo que disponibilize o tipo conjunto finito de inteiros (fset) e as
seguintes operações sobre conjuntos:
 emptyset(): função sem parâmetros que devolve o conjunto vazio;
 insert(x,s): subrotina que acrescenta o elemento x ao conjunto s;
 remove(x,s): subrotina que retira o elemento x do conjunto s;
 emptyQ(s): função que devolve .true. se s for o conjunto vazio e .false. caso contrário;
 memberQ(n,s,b): subrotina que devolve em b .true. se n for um elemento de s e
.false. caso contrário;
 union(s,r,u): subrotina que devolve em u a união dos conjuntos s e r;
 intersect(s,r,u): subrotina que devolve em u a intersecção dos conjuntos s e r;
 diff(s,r,u): subrotina que devolve em u a diferença entre os conjuntos s e r, isto é, o
conjunto dos elementos que estão em s e não estão em r;
 min(s,n): subrotina que devolve em n o menor elemento de s, caso s não seja vazio;
 max(s,n): subrotina que devolve em n o maior elemento de s, caso s não seja vazio;
 nelem(s,k): subrotina que devolve em k o número de elementos de s.
b) Desenvolva sobre a camada anterior as seguintes operações:
 subsetQ(s,r,b): subrotina que devolve em b o valor .true. se s for um subconjunto de r;
 supersetQ(s,r,b): subrotina que devolve em b o valor .true. se s for um sobreconjunto
de r;
e)
Defina as operações union, intersect e diff assumindo que estas não são disponibilizadas pelo
módulo anterior.
Aula Prática 10
Tipos de dados em F
13.Listas
Considere o tipo de dados abstracto lista de inteiros.
f)
Desenvolva em F um módulo que disponibilize as operações a seguir descritas sobre listas de
inteiros, escolhendo a implementação seguinte para o tipo lista:
type, public :: lista
private
type(elem), pointer :: prim
integer :: comp
end type lista
type, private :: elem
integer :: val
type(elem), pointer :: seg
end type elem









nil(): função sem parâmetros que devolve a lista vazia;
first(w,x): subrotina que recebe no parâmetro de entrada/saída w uma lista de inteiros e
devolve no parâmetro de saída x o primeiro elemento da lista, caso esta não seja vazia;
prepend(w,x): subrotina que recebe no parâmetro de entrada/saída w uma lista de inteiros e no
parâmetro de entrada x e acrescenta x no inicio da lista;
rest(w): subrotina que recebe no parâmetro de entrada/saída w uma lista de inteiros e lhe retira
o primeiro elemento, caso esta não seja vazia;
last(w,x): subrotina que recebe no parâmetro de entrada/saída w uma lista de inteiros e
devolve no parâmetro de saída x o último elemento da lista, caso esta não seja vazia;
append(w,x): subrotina que recebe no parâmetro de entrada/saída w uma lista de inteiros e no
parâmetro de entrada x e acrescenta x no fim da lista;
most(w): subrotina que recebe no parâmetro de entrada/saída w uma lista de inteiros e lhe retira
o último elemento, caso esta não seja vazia;
join(w1,w2,w3): subrotina que recebe nos parâmetros de entrada/saída w1 e w2 duas listas de
inteiros e devolve em w3 a lista resultante de juntar w1 com w2;
emptyQ(w): função que recebe no argumento w uma lista de inteiros e devolve .true. se a
lista estiver vazia e .false. caso contrário.
g) Desenvolva sobre a camada anterior a seguinte operação:


noc(x,w): devolve o número de ocorrências x na lista de inteiros w;
merge(w1,w2,w3): operação que recebe duas listas ordenadas w1 e w2 e devolve em w3 o
resultado de juntar ordenadamente os elementos de w1 e de w2.
14.Pilhas sobre listas
Recorde o tipo de dado abstracto pilha de inteiros. Implemente esse tipo de dados sobre listas de inteiros.
Pretende-se que uma pilha seja representada por uma lista e que as operações sobre pilha sejam
implementadas recorrendo às operações sobre listas.
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