Formulações da Óptica Geométrica

Óptica
Formulações da Óptica Geométrica
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Introdução
Podemos formular as leis da óptica geométrica de maneiras várias e bastante distintas.
Uma primeira formulação, apresentada no ensino médio, é baseada na ideia de que as leis que
regem os fenômenos de interesse da óptica geométrica são leis empíricas e, portanto, baseadas
em observações; assim, não nos interessa saber como derivá-las. Elas apenas expressam comportamentos da natureza. Elas derivam, portanto, da observação dos fenômenos.
Podemos resumir essa formulação a três leis da óptica geométrica:
• Lei da propagação retilínea da luz;
• Leis da refração da luz;
• Leis da reflexão da luz.
As leis são tidas como independentes umas da outras.
A formulação fenomenológica, baseada em enunciar as leis que regem os fenômenos, limita, no
entanto, o entendimento dos fenômenos associados à luz. Além de nos impedir de tratar efeitos
como interferência e difração da luz (que é comum a todas as formulações da óptica geométrica),
ela limita o estudo da propagação da luz a meios ditos homogêneos (meios nos quais o índice de
refração é constante). Além disso, não se entende, quando nos restringimos a essa formulação da
óptica geométrica, em que sentido as leis derivam de princípios mais gerais.
Podemos formular a óptica geométrica, no entanto, recorrendo a princípios gerais. Existem muitas
formulações nessa categoria. Elas partem de princípios bastante gerais a partir dos quais derivamos
toda a fenomenologia. Através dessas formulações podemos derivar as três leis acima, bem como
a extensão das referidas leis para meios não homogêneos. Podemos ter uma compreensão muito
melhor a respeito de imagens produzidas por sistemas ópticos e entender o problema das
aberrações de imagens.
Neste capítulo, apresentaremos quatro formulações da óptica geométrica. Nessas formulações,
ficará claro que podemos definir a óptica geométrica como aquela que se dedica a estudar os
fenômenos associados à luz, cuja explicação pode ser dada a partir da ideia da natureza corpuscular
(como fez Newton) ou da natureza ondulatória da luz (como fez Huygens). Ela pode ainda ser
formulada sem levarmos em conta a sua natureza, impondo apenas um postulado de que a luz viaja
entre dois pontos de tal forma a minimizar o tempo gasto no percurso. Nessa última formulação
(a de Fermat), não fazemos qualquer referência à natureza da luz. Nela fazemos referência apenas
a uma propriedade associada à sua propagação.
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Desnecessário dizer que todos os fenômenos ópticos podem ser deduzidos a partir das leis
do eletromagnetismo. Nesse caso, é importante a análise das condições de contorno dos campos
quando analisamos a incidência de uma onda na superfície de separação entre dois meios.
Essa seria, portanto, a formulação mais refinada e rigorosa dessas leis.
Teoria Corpuscular da Luz
Essa teoria foi formulada primeiramente por Newton e com base nela podemos deduzir as três
leis acima. Na teoria corpuscular a luz seria composta por partículas.
A propagação retilínea resultaria do fato de que, na ausência de forças, a trajetória da partícula
seria em linha reta. Ela cabe bem na ideia da luz constituída por fótons.
Sendo a luz constituída por partículas, a reflexão resultaria da colisão das partículas constituintes
com a superfície de separação entre os dois meios, sendo um deles uma superfície rígida. É algo
parecido com a colisão de uma bola de tênis (ou outra bola) com uma parede. O fenômeno da
colisão da bola com a parede obedece às mesmas leis da reflexão da luz. Numa colisão de uma bola
de bilhar com algum lado da mesa de bilhar, o “ângulo de incidência” é igual ao “ângulo de reflexão”.
Finalmente, Newton explicava, com base em sua teoria corpuscular, a lei da refração.
Uma partícula, ao incidir sobre a interface entre dois meios, sofre uma descontinuidade na componente normal da velocidade, sem alterar, no entanto, sua componente tangencial. Comparando as
componentes tangenciais que são preservadas, teremos:
2
1
1
2
Vt ( ) = Vt ( ) → V ( ) sin θ 2 = V ( ) sin θ1
 (1)
( 1 )
 ( 2)
onde V e V são as velocidades da partícula no meio (1) e (2), respectivamente. Da relação acima
segue-se que:
 ( 2)
sin θ1 V
n
=  (1) ≡ 2
sin θ 2 V
n1
( 2 )
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O Princípio de Fermat
A base para o estudo da propagação da luz através de meios não homogêneos é o principio de
Fermat. Ele foi estabelecido por Pierre de Fermat, em 1662, e se constitui num princípio bastante
geral na medida em que ele é enunciado tomando como base uma propriedade da propagação da luz.
É uma propriedade da luz relativa ao tempo despendido ao se deslocar entre dois pontos do
espaço. Não se faz referência aqui ao meio material no qual ela se propaga. Esse princípio estabelece que, qualquer que seja a natureza do meio,
a luz se propaga de forma a despender o menor tempo possível
ao percorrer um caminho que interliga dois pontos.
Algo semelhante ao princípio de Fermat teria sido formulado por Hirão de Alexandria, mais ou
menos no ano 60 da nossa era. No caso, Hero analisava as leis da reflexão, Hirão teria demonstrado
que, se a luz se propaga entre dois pontos de tal forma que no percurso ela experimenta apenas
reflexões especulares, o percurso seguido pela luz tem o menor comprimento entre todos os caminhos
que se pode considerar.
Para um meio homogêneo, o tempo despendido pela luz para percorrer uma distância d, onde d
é a distância relativa a um segmento de reta interligando os dois pontos, é dado por:
=
t
d nd
=
v
c
( 3 )
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onde v é a velocidade da luz no meio e n é o seu índice de refração. Definimos o caminho óptico da
luz que se propaga no meio como o produto:
d opt = nd
( 4 )
Considerando-se o caso em que o meio é composto de N diferentes materiais caracterizados por
diferentes índices de refração, o tempo necessário para a luz efetuar todo o trajeto é dado pela
soma dos tempos necessários para atravessar cada um dos meios. Temos então:
N
N
i =1
i =1
t = ∑ ti = ∑
di 1 N
= ∑ ( di )opt
vi c i=1
( 5 )
De acordo com a expressão acima, esse princípio pode também ser pensado como o princípio
do caminho óptico mínimo.
Figura 2.4: Raio que se propaga numa série de meios homogêneos com índices de refração diferentes.
O princípio de Fermat aplicado a um meio não homogêneo nos remete a um problema matemático de minimizar o tempo gasto, levando-se em conta todos os possíveis caminhos a serem
perseguidos pela luz. Ao aplicarmos esse princípio para a luz que incide na interface de separação
de dois meios, obteremos a lei da refração.
Para um meio no qual o índice varia continuamente, a soma passa a ser uma integral ao longo
de um caminho. Se escrevermos o índice de refração para cada ponto ao longo do caminho como
uma função do arco de comprimento da curva, o parâmetro s, então, uma vez que ds é arco de
comprimento infinitesimal ao longo da curva, o caminho óptico para a curva Γ é dado por:
d opt = ∫ n ( s )ds
Γ
onde n é o índice de refração como função da distância ao longo da curva Γ.
( 6 )
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O tempo despendido pela luz para percorrer esse percurso seria:
∆t =
1
n ( s )ds
c ∫Γ
( 7 )
O princípio de Fermat estabelece que, entre todos os caminhos possíveis que interligam dois
pontos, a luz utiliza aquele para o qual o tempo definido em (000) é mínimo.
Faremos várias aplicações do princípio de Fermat posteriormente.
O Princípio de Huygens
A teoria ondulatória de Huygens (de 1678), voltada para explicar a propagação de uma perturbação
como um fenômeno ondulatório, é baseada num só princípio:
“Cada ponto numa frente de onda se comporta como fonte de ondas secundárias:
a frente de ondas num instante posterior é a envoltória dessas ondas secundárias.”
Consideremos, primeiramente, a propagação de ondas esféricas, já que todo ponto atingido
pela onda se torna a origem de fontes secundárias esféricas.
Se em algum instante de tempo temos uma onda esférica como aquela da figura (000), então,
depois de um tempo t, e considerando-se cada ponto como a origem de fontes secundárias, teremos
depois desse intervalo de tempo várias ondas secundárias, pois cada ponto
sobre a superfície se converte em fontes de ondas secundárias. Vê-se que a
envoltória dessas ondas secundárias é também uma onda esférica.
Na realidade, temos a formação de duas envoltórias esféricas. Temos
como resultado, no entanto, um grande número de ondas secundárias.
O que acontece com essas ondas secundárias? Huygens foi capaz de
demonstrar que, no volume entre as superfícies Σ e Σ‘, as ondas secundárias se cancelam. Como resultado temos, depois de um tempo t, uma outra
perturbação esférica, pois só na região da envoltória Σ o resultado é não nulo.
Geralmente, isto é, para qualquer tipo de onda, vale o princípio de que
os vários pontos de uma superfície arbitrária (S) se tornam centros de ondas
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secundárias. A envoltória geométrica dessas ondas em qualquer tempo posterior representa a
posição da frente de ondas. Essa é a base da construção de Huygens.
O lugar geométrico varrido pelas frentes de onda é a região iluminada.
A construção de Huygens nos leva à ideia de raios luminosos. Isso acontece porque podemos
pensar a luz como se propagasse ao longo de raios, os quais, por definição, são perpendiculares às
frentes de onda.
Nos meios homogêneos, a luz tem a mesma velocidade em qualquer direção. Pela construção
de Huygens, podemos facilmente verificar que a luz se propaga em linha reta. Isso pode ser verificado facilmente para ondas esféricas ou planas.
Consideremos agora a incidência de luz como uma frente de onda na interface de separação
entre dois meios. Consideremos o caso geral de raios AB atingindo dois pontos sobre a superfície,
pontos esses que denominamos A e C. A luz atinge o ponto A primeiro e atinge o ponto C após um
intervalo de tempo dado por BC , onde v1 é a velocidade da luz no meio 1.
v1
As frentes de onda, associadas às ondas secundárias, ao longo dos pontos intermediários entre
esses dois pontos, têm raios proporcionais à distância entre esses pontos e o ponto C. Esse é o caso
tanto da onda refratada quanto da onda refletida (veja figura).
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Nesse intervalo de tempo, entre a chegada da frente de onda nos pontos A e C, a onda secundária
gerada no ponto A atingiu o ponto D (ou D´ no caso da refração). Essa é a situação geral que é
ilustrada na figura (000).
O ângulo de incidência será denominado θ1. O ângulo do raio refratado será denominado θ2.
Primeiramente, consideraremos a reflexão da luz. No caso da reflexão, temos AD = BA e, portanto,
os dois triângulos ABC e CDA são congruentes. Isso decorre do fato de que eles têm a mesma
hipotenusa (AC) e catetos iguais (AD e BC). Consequentemente, como resultado da igualdade dos
triângulos, podemos afirmar que os ângulos das ondas incidente e refletida são iguais (θ1 = θ1‘).
No caso da refração, consideramos os triângulos ABC e AD´C, os quais são triângulos retângulos
e têm a mesma hipotenusa.
O tempo para a luz percorrer os lados BC e AD´ é o mesmo. Portanto, podemos escrever que
esses lados são proporcionais às velocidades da luz para percorrê-las.
AD v2
=
BC v1
( 8 )
A partir da figura acima podemos escrever as relações
BC = AC sin θ1
AD = AC sin θ 2
( 9 )
Donde inferimos que
sin θ 2 v2
=
sin θ1 v1
( 10 )
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ou, analogamente,
sin θ 2 n1
=
sin θ1 n2
( 11 )
Assim, o princípio de Huygens é suficiente para explicar o princípio da propagação retilínea da
luz, as leis da reflexão e as leis da refração.
O princípio de reversibilidade da luz é assegurado pelo princípio de Huygens.
Óptica Geométrica como limite da Óptica Física
Nessa formulação, bastante geral e rica, procura-se entender a óptica geométrica como uma
aproximação da óptica física, isto é, da óptica derivada diretamente das equações de Maxwell.
Nessa formulação, a óptica geométrica é uma aproximação da óptica física para comprimentos de
onda pequenos.
No limite de pequenos comprimentos de onda, procuramos soluções harmônicas da forma
 
 
 
  i k S ( r )−ωt )
E (r ,t ) = e (r )e ( 0
  i k S ( r )−ωt )
 
B (r ,t ) = b (r )e ( 0
( 12 )

Os campos e ( r ) e b ( r ) podem ser determinados a partir da função S ( r ), (mais precisamente,


o gradiente de S ( r )). Assim, nesse limite, tudo que devemos fazer é determinar a função S ( r )
que é conhecida como função eikonal. Nesse limite, toda a complexidade das equações para os
campos eletromagnéticos fica reduzida ao problema de se determinar a eikonal. Essa função satisfaz
à equação da Eikonal:
∇S ( r )i∇S ( r ) ≡ ∇S ( r )
(
)
2
= n2 ( r )
( 13 )

onde n ( r ) é o índice da refração do material, o qual assumimos ter a dependência mais geral
possível em relação aos pontos do espaço.
Nessa formulação, a equação da Eikonal é a equação fundamental da óptica geométrica.
As superfícies para a qual a função eikonal é constante

S ( r ) = S0
( 14 )
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são denominadas frentes de onda geométricas.
Raios luminosos têm agora uma definição geométrica bastante precisa. Os raios luminosos são
as linhas ortogonais às frentes de ondas geométricas. De acordo com (00), a direção dos raios lumi 
nosos é aquela do gradiente da função eikonal. Definindo o vetor unitário s ( r ) como o dado pelo
gradiente dessa função dividido pelo índice de refração:
 
   ∇S ( r ) 
s ( r ) ≡ 
 
 n(r ) 
( 15 )
vemos que esse versor é tangente ao raio luminoso em cada ponto do espaço.
O vetor infinitesimal definido por:
 
dl ≡ s ( ds )
( 16 )
é um vetor que dá o deslocamento infinitesimal ao longo da curva cujo comprimento de arco seja ds.
O comprimento óptico, definido para qualquer curva Γ, será dado, portanto, sob a forma da integral
d opt
  2
 ∇S ( r ) 
≡ ∫ n ( s )ds = ∫ n ( s ) 
  ds
n
r
(
) 
Γ
Γ

( 17 )
De (000), segue-se que o comprimento óptico será dado por:
d opt = ∫ ∇S ( r )idl
( 18 )
Γ
Consequentemente, o caminho óptico entre dois pontos pode sempre ser expresso como a
diferença entre a função eikonal calculada num ponto e no outro.


d opt = S ( rB ) − S ( rA )
( 19 )
Vamos agora escrever a equação para cada ponto da trajetória. Utilizando o comprimento de

arco do raio como parâmetro, o vetor de posição de um ponto sobre o raio será escrito como r ( s ).
Consideremos a derivada, com respeito a essa variável, do produto do vetor associado à taxa de
variação do raio, com respeito ao elemento de comprimento, vezes o índice de refração:
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dr ( s ) 

d  n(s)

ds  d ( ∇S ) d ( r ) 
=
=
i∇ ∇S =
ds
ds
ds
1 1 ∇S =
i∇ ∇S = ∇ ∇S i∇S = ∇n 2
n
2n
2n
( )
( )
(
Da equação acima, segue-se a equação do raio:
( 20 )
)

dr ( s ) 

d  n(s)

ds  

= ∇n
ds
( 21 )
Para meios homogêneos, da equação acima, segue-se que:

d 2 ( r (s) )
=0
ds 2
( 22 )



r ( s ) = a0 s + r (0)
( 23 )
cuja solução é:
ou seja, em meios homogêneos, a luz se propaga em linha reta.
Uma aplicação bastante geral da equação dos raios diz respeito ao encurvamento dos raios.
Propriedades dos Raios

O vetor t definido por:


dr dx( s )  dy ( s )  dz ( s ) 
tˆ ( s ) ≡ =
i+
j+
k
ds
ds
ds
ds
( 24 )

ˆ 2
dr 2
t =
1
(s) =
ds 2
( 25 )
é tal que

E, portanto, o vetor tˆ é um versor (módulo unitário).
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Além disso, pode-se verificar que esse vetor é tangente ao raio luminoso em cada ponto.
A velocidade de propagação do raio luminoso pode ser definida por:

 dr dx( s )  dy ( s )  dz ( s ) 
v≡
=
i+
j+
k
dt
dt
dt
dt
( 26 )
Levando-se em conta que as coordenadas dependem do parâmetro s, podemos escrever:
  dx( s )  dy ( s )  dz ( s )   ds
v =
i+
j+
k
ds
ds  dt
 ds
( 27 )
Lembrando a definição (000), vemos que a velocidade, de acordo com (000), é dada por:
 ds 
v = tˆ
dt
( 28 )
Donde se infere que a velocidade do raio luminoso é tangente à curva e o seu módulo é a
velocidade escalar.
vs =
ds
dt
( 29 )
Circunferência Osculadora e Raio de Curvatura
Uma circunferência osculadora de uma curva, na geometria diferencial, é um círculo que
tangencia a curva por aquele ponto. Ósculo é um quase sinônimo para beijo. Assim, a circunferência
osculadora toca, ou beija, a curva por um determinado ponto. Daí a razão do termo.
Para construir essa circunferência consideramos, primeiramente, três pontos suficientemente
próximos e por eles fazemos um círculo. Tal círculo sempre existe e é univocamente determinado.
Em seguida, tomamos o limite em que os três pontos coincidam.
O vetor tangente à circunferência osculadora é igual ao vetor tangente à curva por aquele ponto.
O raio de curvatura num determinado ponto da curva é igual ao raio da circunferência osculadora.
Define-se um vetor normal à curva como o vetor que aponta para o centro da circunferência
osculadora, sendo, portanto, perpendicular ao vetor tangente à curva.
Um vetor normal pode sempre ser obtido a partir do vetor curvatura.
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dt ( s ) d 2 x ( s ) d 2 y ( s ) d 2 z ( s ) =
i+
j+
k
K (s) ≡
ds
ds 2
ds 2
ds 2
( 30 )

Tendo em vista que o versor t ( s ) tem módulo igual a 1, tem-se:
( ) =0

d tˆ tˆ
( 31 )
ds
Consequentemente, de (000), obtemos:
()

d tˆ   
tˆ K=
tˆ 0
=
ds
( 32 )

Daí fica provado que o vetor de curvatura dos raios K ( s ) é um vetor perpendicular ao vetor

tangente que dá a direção dos raios t ( s ). O vetor de curvatura indica, portanto, quanto o raio se curva.
Define-se a curvatura (κ ( s )) do raio luminoso (de uma curva em geral) com igual ao módulo do

vetor de curvatura K ( s ). Dessa forma, temos:
2
2
2

 d 2x(s)   d 2 y (s)   d 2z (s) 
κ (s) = K (s) = 
 +
 +

2
2
2
ds
ds
 
  ds 

O raio de curvatura da circunferência osculadora (R(s)) é dado pelo inverso da curvatura:
R(s) =
1
κ (s)
( 33 )
( 34 )
E, portanto, uma vez conhecida a forma da curva dada pelas funções x, y e z como função do
parâmetro s, podemos determinar o raio de curvatura em cada ponto. De (000), segue-se que:
2
2
 d 2x(s)   d 2 y (s)   d 2z (s) 
1
= 
 +
 +

2
2
2
R(s)
ds
ds
 
  ds 

2
Os centros das circunferências osculadoras formam a evoluta da curva.
( 35 )
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Desvio do Raio Luminoso
O efeito da variação do índice de refração é o de gerar uma curvatura para os raios luminosos: o
quanto eles se curvarão pode ser obtido a partir da equação dor raios. Da equação (000), segue-se que:


dn ( s ) dr ( s )
d 2r (s)
+ n(s)
= ∇n
ds
ds 2
ds
( 36 )


dn ( s ) dr ( s )
n ( s ) K ( s ) = ∇n −
ds
ds
( 37 )
De (000), segue-se que:
Efetuando o produto escalar da equação acima pelo vetor de curvatura, e utilizando a propriedade (000), obtemos que o raio de curvatura do raio será dado por:
K (s) 1
i∇ ln n( s )
= R(s) K (s)
( 38 )
Assim, quanto maior for o gradiente da densidade menor será o raio de curvatura. O raio de
curvatura é infinito para meios homogêneos. Ademais, o raio se curva em direção ao meio com
maior índice de curvatura.
Fonte: imagem baseada na original (Wikipedia, de Brocken Inaglory):
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Fada_morgana_graphnn.JPG
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Créditos
Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).
Autoria: Gil da Costa Marques.
Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.
Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.
Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.
Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.
Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,
Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.
Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.
Fotografia: Jairo Gonçalves.
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