Lista de exercícios – Análise Combinatória – Tipos de agrupamentos

Lista de exercícios – Análise Combinatória – Tipos de agrupamentos
1- Uma comissão de três membros deve ser escolhida entre sete pessoas. De quantos modos
diferentes pode-se escolher a comissão, sabendo que as pessoas que formarem a comissão
terão funções idênticas? Resp: 35
2- Quantos números de algarismos distintos e compreendidos entre 100 e 1000, podem ser
obtidos utilizando os algarismos 1, 2, 3, 5 e 6? Resp: 60
3- Cinco pessoas querem se acomodar em um automóvel de cinco lugares; de quantas
maneiras isso pode ser feito? Resp: 120
4- Quantos são os anagramas da palavra AEROPORTO? Resp: 30240
5- Um fabricante de doces dispõe de embalagens com capacidade de 4 doces cada uma.
Sabendo-se que ele fabrica 10 tipos diferentes de doces, pergunta-se: quantos tipos de
embalagens com 4 doces diferentes ele pode oferecer? Resp: 210
6- Sobre uma reta marcam-se 6 pontos e sobre uma outra reta, paralela à primeira, marcam-se
5 pontos. Determine o número de triângulos que podem ser formados unindo-se 3 quaisquer
desses pontos. Resp: 135
7- De uma urna contendo exatamente 90 fichas, numeradas de 1 a 90, são retiradas quatro
fichas, sucessivamente e sem reposição. Qual o número de seqüências distintas possíveis
para essas quatro fichas tal que a segunda ficha tenha o número 40? Resp: A 89,3
8- O mapa de uma cidade é formado por seis bairros distintos. Deseja-se pintar esse mapa com
as cores vermelha, azul e verde, do seguinte modo: um bairro deve ser vermelho, dois
bairros azuis e os demais verdes. De quantas maneiras distintas isso pode ser feito? Resp:
60
9- Em um programa de rádio serão apresentadas sete músicas diferentes: quatro brasileiras e
três estrangeiras. Em quantas seqüências diferentes essas músicas podem ser apresentadas
de modo que a primeira e a última música do programa sejam brasileiras? Resp: 1440
10- Calcule o número de anagramas da palavra CLUBE que apresentam as vogais em ordem
alfabética, juntas ou não. Resp: 60
11- Num hospital, há três vagas para trabalhar no berçário, 5 no banco de sangue e 2 na
administração. Se 6 funcionários se candidatam para o berçário, 8 para o banco de sangue e
5 para a administração, de quantas maneiras distintas essas vagas podem ser preenchidas?
Resp: 11200
12- Uma comissão de quatro pessoas, contendo pelo menos uma mulher, será escolhida dentre
5 homens e 5 mulheres. Quantas comissões diferentes podem ser formadas? Resp: 205
13- As n pessoas que entraram em um banco para pagar suas contas podem formar uma fila
indiana de 5040 maneiras diferentes. Determine n. Resp: 7
14- Em uma sessão de cinema, 3 mulheres e 4 homens vão assistir ao filme ocupando uma
fileira com exatamente 7 cadeiras. De quantas maneiras diferentes essas pessoas podem se
distribuir nas cadeiras de modo que as mulheres fiquem juntas e os homens também fiquem
juntos? Resp: 288
15- Efetuando-se uma multiplicação com os fatores 5 e 3, com uma calculadora, lê –se no visor
o resultado 1125. Para que isso aconteça, digitam-se algumas vezes as teclas 3 e 5,
intercaladas pela digitação da tecla X e, finalmente, digita-se a tecla =. Determine o número
de seqüências de teclas que podem ser digitadas. Resp: 10
16- A equação A n , 2 + A n 1, 2 =18:
a) possui infinitas raízes distintas
b) possui duas raízes distintas
Resp: Alternativa C
c) possui uma única raiz
d) não possui raiz
1ª Lista de Exercícios
Análise Combinatória
1) Quantas são as diagonais de um decágono? E de um polígono de n lados?
2) Com 5 alunos da turma M35 e 6 alunos da turma M32, quantos são os grupos de 7 alunos que
podemos formar com no mínimo 2 alunos da M35?
3) De quantas maneiras podem ser escolhidos 3 números naturais distintos, de 1 a 30, de modo
que sua soma seja par?
4) Numa cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não podem começar por 0. Os três
primeiros constituem o prefixo. Sabendo-se que em todas as farmácias os quatro últimos
dígitos são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos , determine o número de telefones que
podem ser instalados nas farmácias.
5) Um homem possui em sua casa 4 coleções (matemática, física, química e história) com dez
volumes numerados cada. Este homem deseja colocar 3 livros de cada coleção na estante de
forma agrupada. De quantas maneiras distintas ele pode colocá-los na estante?
6) Quantos são os grupos que podem ser formados com os 33 alunos da turma M-37?
7) Considere os números obtidos do número 12345 efetuando-se todas as permutações de seus
algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupado pelo número
43521?
8) Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6
dessas substâncias se, entre as dez, duas somente não podem ser misturadas porque produzem
mistura explosiva?
9) Em um determinado jogo de baralho, todas as 52 cartas são distribuídas igualmente entre os 4
jogadores. Quantas são as possíveis distribuições das cartas?
10)Sabe-se que o número total de vértices de um dodecaedro regular é 20 e que as faces são
pentágonos. Quantas retas ligam dois vértices do dodecaedro não pertencentes à mesma face?
11)Dados 10 pontos do espaço, sendo que qualquer 4 deles nunca são coplanares, qual é o
número de planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos? E se
exatamente 6 pontos forem coplanares?
12)Numa congregação de 20 professores, 6 lecionam Matemática. De quantos modos podemos
formar uma comissão de 5 pessoas, com pelo menos um professor de Matemática?
13)Qual é o número de maneiras distintas possíveis que dois alunos terão para escolher duas das
cinquenta cadeiras de uma sala de aula?
14)Quantos números de três algarismos, sem repetição, podemos formar com os algarismos 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, incluindo sempre o algarismo 4?
15)Em uma reunião social haviam n pessoas; cada uma saudou as outras com um aperto de mão.
Sabendo-se que houveram ao todo 66 apertos de mão, determine o número de pessoas que
estavam na reunião?
16)Um conjunto tem k elementos. O número de seus subconjuntos de p elementos é 136, e o
número de seus subconjuntos ordenados de p elementos distintos é 272. Determinar k e p.
17)Uma embarcação deve ser tripulada por 8 homens, 2 dos quais só remam do lado direito e 1
apenas do lado esquerdo. De quantos modos podemos formar uma tripulação, se de cada lado
devemos ter 4 tripulantes? ( a ordem dos tripulantes em cada lado distingue as tripulações.)
18)Na festa de formatura, como uma enorme honraria, 4 alunos dos 23 da turma M-36, serão
escolhidos para ter o enorme prazer de sentarem a mesa circular do professor Airton. De
quantas maneiras distintas estas 5 pessoas poderão se sentar à mesa?
19)O “grande” professor Tonhão pede que se monte um grupo de trabalho de 6 alunos, dos 27
da M36. Sabendo-se que o Israel não trabalha em grupos que tenham mulheres (as acha
pouco inteligentes) e elas são em número de 17, de quantas maneiras distintas tal grupo pode
ser montado?
2ª Lista de Exercícios
Análise Combinatória
1) São dados 12 pontos em um plano, dos quais 5 e somente 5 estão alinhados. Quantos
triângulos distintos podem ser formados com vértices em três quaisquer dos 12 pontos?
2) Quantos anagramas podemos fazer com a palavra PARANAPIACABA? Quantos começam
com P e terminam com A? Em quantos aparece a palavra PIABA?
3) De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em uma fila, sendo que temos 6 homens e
4 mulheres e que a fila terá:
a) os homens e as mulheres agrupados.
b) homens e mulheres misturados
c) homens e mulheres alternados
1) Qual é o total de números inteiros, com todos os algarismos distintos, compreendidos entre
11 e 1000?
2) Uma palavra tem 7 letras sendo que uma delas aparece n vezes e as outras comparecem sem
repetição. Sabendo que o número de anagramas que se obtém permutando as letras desta
palavra é 210, calcule n.
3) Com 7 pontos distintos, 5 sobre uma reta r e 2 sobre uma paralela s, quantos triângulos com
a base sobre r podemos formar?
4) Uma prova consta de 3 partes, cada uma com 5 questões. Cada questão, independentemente
da parte a que pertença, vale 1 ponto, sendo o critério de correção “certo ou errado”. De
quantas maneiras diferentes podemos alcançar 10 pontos nessa prova, se devem ser
resolvidas pelo menos 3 questões de cada parte e 10 questões no total?
5) Designando-se por A, B, C, D, E e F seis cidades, qual será o número de maneiras possíveis
para se ir de A até F, passando por todas as demais cidades?
6) Dados 10 pontos do espaço, sendo que apenas 4 deles são coplanares, qual é o número de
planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos?
7) Num tribunal, dez réus devem se julgados isoladamente num mesmo dia; três são paulistas,
dois mineiros, três gaúchos e dois baianos. Qual é o número de formas de se julgar
consecutivamente os três paulistas?
8) Um vendedor de livros tem oito livros de assuntos distintos para distribuir a três professores
A, B, e C. De quantos modos poderá fazer a distribuição, dando três livros ao professor A,
quatro ao B e um livro ao professor C?
9) Um sistema de códigos é formado por sequências compostas pelos símbolos + e -. Cada
sequência contém n símbolos iguais a + e dois símbolos iguais a -. Qual é o mínimo valor de
n de modo que cada uma das 26 letras do alfabeto e cada um dos dez algarismos do nosso
sistema decimal sejam representados por uma dessas sequências?
10) Na TV Minas há um programa de entrevistas, chamado “Roda Viva”. Os entrevistadores
sentam-se em volta de uma grande roda e o entrevistado senta-se no centro da roda em uma
cadeira giratória. Dos oito entrevistadores do próximo programa: dois serão da Folha de São
Paulo, dois da Veja e dois de O Canal. Sabendo-se que os jornalistas serão dispostos em
torno da roda de modo que colegas de trabalho permaneçam juntos, quantas disposições
serão possíveis?
11) De quantos modos diferentes podem ser dispostos em fila (p+q) pessoas, sendo p homens de
alturas diferentes e q mulheres também de alturas diferentes, de modo que, tanto no grupo
dos homens como no das mulheres, as pessoas estejam dispostas em ordem crescente de
altura?
12) Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5 desejamos formar números com cinco algarismos não repetidos,
de modo que o 1 sempre preceda o 5. Qual é a quantidade de números assim constituídos?
13) Como prêmio pelo “excelente comportamento” nas aulas, será oferecida, a 5 dos 29 alunos
da turma M31, uma sensacional viagem para conhecer o Presidio de Neves. Sabendo-se que
os inseparáveis, Francisco e Vinícius só viajam juntos, de quantas formas distintas podemos
selecionar o grupo felizardo?
14) Em um jantar deve-se acomodar cinco pessoas ( A, B, C, D e E) em mesa circular. Sabendose que A e B nunca se sentam lado a lado, quantas são as maneiras de se dispor as pessoas na
mesa?
3ª Lista de Exercícios
Análise Combinatória
1. Calcule quantos múltiplos de 3, de 4 algarismos distintos, podem ser formados com
2,3,4,6 e 9 (Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é um
número divisível por 3).
2. Uma urna contém 12 bolas: 5 pretas, 4 brancas e 3 vermelhas. Determine o número de
maneiras possíveis de se tirar simultaneamente dessa urna grupos de 6 bolas que
contêm pelo menos uma de cada cor.
3. Seis times de futebol, entre os quais estão A e B, vão disputar um campeonato. Suponha
que na classificação final não existam empates. Um indivíduo fez duas apostas sobre a
classificação final. Na primeira, apostou que A não seria campeão; na segunda, apostou
que B não seria o último colocado. Em quantas das 720 classificações possíveis esse
indivíduo ganha as duas apostas?
4. Um condomínio tem 5 torres ou pilotis (todas tem comunicação) onde cada torre tem
dois elevadores de serviço e um elevador social. O síndico do condomínio resolveu por
questão de economia de energia deixar apenas dois elevadores sociais e três elevadores
de serviço ligados tendo um elevador de serviço de cada torre. De quantas maneiras
distintas podem fazer isto?
5. Dos 33 alunos da M37, seis serão escolhidos para participar de um debate em uma mesa
circular. Antônio, L.Felipe, Camila e Milena só irão se forem juntos; de tal forma que
Camila e Milena vão sentar lado a lado e o Antônio e o L.Felipe nunca irão sentar lado
a lado à mesa. De quantas maneiras distintas podem se sentar?
6. Os alunos da turma M37 resolveram formar uma banda para tocarem na formatura. A
banda será formada por um guitarrista, um vocalista, um baterista e um back vocal.
Como o Jonas, o Juliano e a Ana Carolina são super pontuais eles não podem, os três,
estarem juntos. De quantas maneiras distintas será possível formar a banda?
7. Calcule quantos múltiplos de seis, de quatro algarismos distintos, podem ser formados
com 2,3,4,6 e 9 (Um número é divisível por 6, quando o mesmo é divisível por 2 e por
3 ao mesmo tempo. Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos
será um número divisível por 3).
8. Usando-se os algarismos 1,3,5,7 e 9, existem x números de 4 algarismos de modo que
pelo menos 2 algarismos sejam iguais. Determine o valor de x.
9. Seis pessoas A, B, C, D, E e F, ficam em pé uma ao lado da outra, para uma fotografia.
Se A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer uma ao lado da
outra, determine o número de possibilidades distintas para as seis pessoas se disporem.
10. Entre os 20 professores de uma escola, devem ser escolhidos três para os cargos de
diretor, vice diretor e orientador pedagógico. De quantas maneiras a escolha pode ser
feita?
11. Uma sala tem seis lâmpadas com interruptores independentes. De quantos modos
pode-se ilumina-la, se pelo menos uma das lâmpadas deve ficar acesa?
12. Dos 35 alunos da M32, 4 serão escolhidos para tirar uma foto a ser publicada. Os
inseparáveis Luiz Eduardo, Rafael e Max ( os três mosqueteiros), só vão tirar a foto se
forem juntos; de tal forma que Max fique entre o Luiz Eduardo e o Rafael. De quantas
maneiras podem posicionar-se para tirar a foto?
13. Numa excursão irão cinco adolescentes, dois guias e os gêmeos do programa
O+(idênticos e lindos),todos com a mesma camisa, de quantas maneiras todos podem
posicionar, sendo que pelo menos um dos gêmeos deve aparecer na extremidade.
14. Determine a quantidade de número de três algarismos que tem pelo menos dois
algarismos repetidos.
15. Dos alunos da M32 serão escolhidos seis para irem a uma viagem. Dentre eles o
Marco e a Lívia só irão se forem juntos. De quantas maneiras distintas podemos
montar o grupo que irá viajar?
16. Uma bandeira é formada de 7 listras que devem ser formadas de 3 cores diferentes. De
quantas maneiras distintas será possível pinta-la de modo que duas listras adjacentes
nunca estejam pintadas da mesma cor?
17. Para fazer uma prova os alunos Michael, Tiago, Gustavo, Hudson, Aléxis e Ana Paula
resolveram sentar na mesma fila de tal forma que o Aléxis nunca esteja à frente do
Hudson e o Michael deve ficar entre o Gustavo e o Tiago. De quantas maneiras
distintas eles podem se sentar?
18. No Hall de um prédio existem 7 lâmpadas, 4 de 20W e 3 de 40W. Devido ao
racionamento pretende-se consumir 60W. De quantas maneiras distintas pode-se
iluminar o hall?
19. Uma equipe brasileira de automobilismo tem 4 pilotos de diferentes nacionalidades,
sendo um único brasileiro. Ela dispõe de 4 carros, de cores distintas, dos quais somente
um foi fabricado no Brasil. Sabendo-se que obrigatoriamente ela deve inscrever, em
cada corrida, pelo menos um piloto ou um carro brasileiro, determine o número de
inscrições diferentes que ela pode fazer para uma corrida onde irá participar com 3
carros.
20. Para se fazer uma foto oficial dos formandos de 2001 decidiu-se colocar, lado a lado,
todos os representates de turma e seu vice, além do diretor, a vice e o professor
paraninfo. Como os alunos de mesma turma devem estar juntos, a vice-diretora terá três
duplas de um lado e quatro de outro, e que ela terá o diretor de um lado e o paranifo do
outro. Quantas serão as maneiras que poderemos dispolos.
21. Dos nove alunos da M34 que estão em recuperação em Matemática exatamente três vão
ser reprovados. A Cyntia e a Ludmila estudaram juntas, assim a Cyntia passará se a
Ludmila passar. Dequantas maneiras distintas podemos ter a lista dos três reprovados.
22. Com os doze atletas de um time de Volley, de quantas maneiras distintas podemos
colocar na quadra seis jogadores, desconsiderando as posições geradas por rodízio?
23. Para organizar a entrega do diploma, na formatura, a comissão resolveu montar uma fila
aleatória para a entrada dos alunos, porém alguns alunos colocaram condições:
 Rômulo e Cotinho não entram juntos
 Mac Fly e Erika só entram juntos
Dessa forma de quantas maneiras distintas podera ser orgnizada a fila com os 23 alunos da
M36?
24. Após a colação de grau 6 alunos serão escolhidos para um jantar. A Talita só ira se a
Aline for, e vice e versa. Sabendo-se que amba não se sentarão juntas, de quantas
maneiras seria possível compor a mesa.
25. De quantas maneiras distintas posso colocar 10 homens e 10 mulheres em fila sendo
que tanto os homens quanto as mulheres se sucedem por ordem de altura? E se só os
homens obedessesem esta ordem?
26. Uma criança possui sete blocos cilíndricos, todos de cores diferentes, cujas bases
circulares têm o mesmo raio. Desses blocos, quatro têm altura igual a 20 cm e os outros
três têm altura igual a 10 cm. Ao brincar, a criança costuma empilhar alguns desses
blocos, formando um cilindro, cuja altura depende dos blocos utilizados. Determine
quantos cilindros distintos de 70 cm de altura a criança pode formar.
4ª Lista de Exercícios
Análise Combinatória
1. Formam-se comissões de três professores escolhidos entre os sete de uma escola. Qual o
número de comissões distintas que podem, assim, ser formadas?
2. Dados os conjuntos {1, 3, 5, 7, 9} e { 2, 4, 6, 8}, calcule o número de conjuntos com
elementos distintos que se pode formar, apresentando 3 números ímpares e 2 pares.
3. Determinar quantos são os números de três algarismos, múltiplos de 5, cujos algarismos das
centenas pertencem a {1, 2, 3, 4} e os demais algarismos a {0, 5, 6, 7, 8, 9}.
4. A figura abaixo representa parte do mapa de uma cidade onde estão assinalados as casas de
João (A), de Maria (B), a escola ( C) e um possível caminho que João percorre para,
passando pela casa de Maria, chegar à escola. Qual o número total de caminhos distintos que
João poderá percorrer, caminhando somente para o Norte ou Leste, para ir de sua casa à
escola, passando pela casa de Maria?
C
B
Nort
e
Leste
A
5. Qual o número de anagramas da palavra CARMO onde as letras C e A aparecem juntas?
6. Uma urna tem 5 bolas numeradas.
a) De quantas maneiras podemos retirar 3 bolas, sem reposição?
b) De quantas maneiras podemos retirar 3 bolas, com reposição?
c) De quantas maneiras podemos retirar 2 bolas simultaneamente?
7. Quantos números de 4 algarismos podem ser feitos com os dígitos de 1 a 7?
8. Com 8 professores, de quantos modos diferentes podemos formar uma banca com 3 membros
em que figure sempre um determinado professor?
9. Dentre 6 números positivos e 6 números negativos, de quantos modos podemos escolher
quatro números cujo produto seja positivo?
10. Dados 10 pontos do espaço, 4 dos quais nunca são coplanares, qual é o número de planos
que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos? E se exatamente 6 pontos forem
coplanares?
11. Uma organização dispõe de 8 economistas e 5 engenheiros. De quantos modos podemos
formar uma comissão com 6 membros, se cada comissão deve ter, no mínimo, 3 engenheiros?
GABARITO
Lista 1.
n 2  3n
1. a) 35 b)
2
4. 648
7. 90ª.
10. 100
2. 325
3. 2030
5. (10.9.8) 4 .4!
8. 140
6. 233  1
9. C52,13 .C39,13 .C 26,13 .C13,13
11.
C10,3
C10,3  C 6,3  1
14. 168
17. 5760
13. 2450
16. p  2; k  17
19. 230356
12. 13502
15. 12
18. 212520
Lista 2.
8!
13!
11!
b)
c) .9
2!6!
4!
5!
1. C12,3  C5 ,3
2. a)
impossível
4. 728
7. 1500
5. 4
8. 4!
6. 20
9. C10,3  C4 ,3  1
11. C8,3 .C5,4 .C1,1
( p  q)!
14.
p!q!
17. 12
12. 7
10. 7!.8.3!
13. 192
16. C 27,3  C 27,5
3. a) 6!.4!.2
b) 10!6!.4!.2
15. 60
Lista 3.
1. 72
4. 100
7. 48
2. 9
3. 504
5. C 29,6 .PC6  C 29, 2 ( PC5 .2  PC4 .4) 6. 30
8. 505
9. 144
10. 6840
11.
6
C
i 1
13. 30.7!
6
16. 3.2
19. 90
22. C12, 6 .PC6
25. a)
20!
.4
10!.10!
6 ,i
12. A31, 4  C32,1 .4
14. 252
15. C 33, 6  C 33, 4
17. 36
20. 2580480
23. 840.20!
18. C 4,3 .C 3, 0  C 4,1 .C 3,1
21. 63
24. C 21,6 .PC6  C 21, 4 ( PC6  PC5 .2)
b)
20!
.2
10!.10!
26. 14
c)