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UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 4 VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 4.1 A DISTRIBUIÇAO NORMAL E AS DISTRIBUIÇOES DE AMOSTRAGEM 5 ESTIMATIVA DO INTERVALO DE CONFIANÇA por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR Sumário 4 VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE ..1 4 VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE ......3 4.1 Exercicios.........................................................................................................................3 4.3 Exercicios..............................................................................................................................8 solução: ......................................................................................................................................8 b) que proporção de reações quimicas é completada dentro de 200 milissegundos?.................9 A média de uma variável aleatória contínua uniforme X é:.....................................................12 Distribuição Cumulativa..........................................................................................................12 4.5 A DISTRIBUIÇAO NORMAL E AS DISTRIBUIÇOES DE AMOSTRAGEM...............14 4.5.1 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL...................................................................................14 PADRONIZAR.....................................................................................................................15 4.5.2 Exercicios...............................................................................................................16 4.5.3 AVALIANDO A PREMISSA DA NORMALIDADE.................................................18 4.5.4 Exercicios....................................................................................................................19 A média de uma variável aleatória contínua uniforme X é:.....................................................22 36) Suponha que as contagens sigam um processo de distribuição exponencial com uma média de 2 contagens por minuto. .......................................................................................24 4.6 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS...............................................................................24 4.6.1 Introdução às Distribuições de Amostragem...............................................................24 5.8 EXERCICIOS................................................................................................................30 5.9 DISTRIBUIÇAO DE AMOSTRAGEM DA PROPORÇÃO.........................................31 5.10 EXERCICIOS..............................................................................................................32 5 ESTIMATIVA DO INTERVALO DE CONFIANÇA............................................................34 5. 1 INTRODUÇAO.............................................................................................................34 5.2 ESTIMATIVA DO INTERVALO DE CONFIANÇA DA MEDIA ARITMETICA.......34 ( conhecido-desvio padrão).................................................................................................34 5.3 EXERCICIOS................................................................................................................35 5.4 estimativa do intervalo de confiança da média aritmética ...........................................37 (σ desconhecido)..................................................................................................................37 6. 5 EXERCICIOS...............................................................................................................38 5.6 estimativa do intervalo de confiança para a proporção..................................................40 5.7 EXERCICIOS................................................................................................................40 5.8 DETERMINANDO O TAMANHO DE UMA AMOSTRA..........................................41 5.9 EXERCICIOS................................................................................................................42 5.10 EXERCICIOS..............................................................................................................43 5.11 ATIVIDADES PRÁTICAS PEDAGÓGICAS............................................................44 REFERENCIAS .......................................................................................................................46 Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 2 por MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR UTFPR 4 VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE MONTGOMERY (2003, p.74-75) Definição: para uma variavel aleatória continua X, uma função densidade de probabilidade é uma função tal que f (x )⩾0 ( não negativa) 1) ∞ ∫ f ( x ) dx=1 2) −∞ ∞ 3) P (a⩽ X ⩽b)= ∫ f ( x ) dx=area sob f (x ) de a a b para qualquer a e b. −∞ Se X for uma variavel aleatória contínua , então para qualquer x1 e x2, P ( x1⩽X ⩽ x2)=P ( x1< X ⩽ x2)=P ( x1⩽ X < x2)=P ( x1< X < x2) * fique de olho no domínio da função 4.1 Exercicios 1) Faça a variavel aleatória contínua X denotar a corrente em um fio delgado de cobre, medida em miliampéres. Suponha que a faixa X seja de (0;20 mA) e considere que a função densidade de probabilidade de X seja f(x)=0,05 para 0⩽x⩽20 . Qual é a probabilidade de que uma medida de corrente seja menor que 10 miliampéres.? x f(x) 0 10 20 0,05 0,05 0,05 função densidade de probabilidade 0,06 0,05 0,04 f(x) 0,03 0,02 0,01 0 0 5 10 15 Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM 20 ES34MTEC 25 3 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR solução: 10 P ( X <10)=∫ f ( x )dx =0,5 pode ser escrito x>X 0 15 outra solução: P (5< X < 15)=∫ f ( x) dx=0,5. 5 2) Faça a variavel aleatória contínua X denotar o diametro de um orificio perfurado em uma placa com um componente metálico. O diametro que se quer atingir, o chamado diametro alvo, é 12,5 mm. A maioria dos disturbios aleatórios no processo resulta em diametro maiores. Dados históricos mostram que a distribuição de X pode ser modelada por uma função densidade de probabilidade ∞ solução: P(X>12,6)= ∫ 12,6 f (x )=20 exp (−20( x−12,5)) , x >12,50 ∞ f ( x ) dx= ∫ 20exp (−20( x−12,5))dx=0,135 area acima 12,6 Que proporçao de peças está entre 12,5 e 12,6 mm? Resposta: 0,865 Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 4 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 3) Suponha que f(x)=e-x =exp(-x) para x>0. Determine as seguintes probabilidades a) P(X>1) b)P(1<X<2,5) c)P(X=3) wxmaxima: F(x):=-exp(-x); F(3); -%e^(-3)= -0.049787068367864 d) P(X<4) e) P(X>=3) respostas a) 0,3679 b)0,2858 c)0 d)0,9817 e)0,0498 4) Suponha que f(x)=e-x para x a) determine x tal que P(X>x)=0,10 area acima dica: F(x)-F(0)=0,90 calcular a area abaixo resposta: 2,30 b) Determine x tal que P(X<=x)=0,10 area abaixo resposta:0.10536051565783 Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 5 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 5) Suponha que f(x)= exp(-(x-4)) para x>4. Determine as seguintes probabilidades. a) P(X>4) b) P (4⩽ X < 5) c)P(X>5) d) P(8<X<12) e)Determine x tal que P(X<x)=0,90 area abaixo dica: F(x)-F(1)=0,90 ( ache a primitiva) respostas: a)1 b )0,6321 c)0,3679 d)0,018 e)6,303 6) Suponha que f(x)=1,5x2 para -1<x<1. Determine as seguintes probabilidades: *olho no domínio a)P(X>0) b)P(X>0,5) c) P (−0,5⩽ X ⩽0,5) d) P(X<-2) e)P(X<0 ou X>-0,5) f) Determine x tal que P(x<X)=0,05 area acima Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 6 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR * calcular area abaixo 0,95 7) A função densidade de probabilidade do comprimento de uma dobradiça para fechar uma porta é f(x)=1,25 para 74,6 < x<75,4 mm. Determine o seguinte. a) P(X<74,8) b) P(X<74,8 ou X >75,2) c) Se as especificações para este processo forem de 74,7 a 75,3 mm , que proporção das dobradiças se ajusta às especificações? Respostas:a) 0,25 b) 0,5 c)0,75 8) A função densidade de probabilidade do tempo ( em horas) de falha de componente eletrônico de uma copiadora é f (x )= exp(−x /1000) para x>0. Determine a probabilidade 1000 de que: a) um componente dure mais de 3000 horas antes da falha. b)um componente falhe no intervalo de 1000 a 2000 horas. Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 7 por MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR UTFPR c) um componente falhe antes das 1000 horas. d) determine o numero de horas em 10% de todos os componentes falharam. Respostas:a)0,05 ; b)0,233 c)0,632 d) 105,36 4.2 FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÕES CUMULATIVAS Definição: a função distribuição cumulativa de uma variavel aleatória contínua X é: x F (x)=P ( X ≤x )=∫ f ( u) du para −∞< x <∞ −∞ 4.3 Exercicios 9) Faça a variavel aleatória contínua X denotar a corrente em um fio delgado de cobre, medida em miliampéres. Suponha que a faixa X seja de (0;20 mA) e considere que a função densidade de probabilidade de X seja f(x)=0,05 para 0⩽x⩽20 .Ache a função distribuição cumulativa. solução: x F (x)=∫ 0,05 du 0 F(x)=0,05x para 0⩽x <20 e x F (x)=∫ f (u)du=1 para x⩾20 0 função distribuição cumulativa F(x)= 0 x<0 0,05 x x F(x) 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0,25 10 0,5 15 0,75 20 1 25 1 30 1 0⩽x⩽20 1 x>20 1,2 1 0,8 0,6 Coluna C 0,4 0,2 0 0 5 10 15 Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM 20 25 ES34MTEC 30 35 8 por MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR UTFPR 10) Faça a variavel aleatória contínua X denotar o diametro de um orificio perfurado em uma placa com um componente metálico. O diametro que se quer atingir, o chamado diametro alvo,é 12,5 mm. A maioria dos disturbios aleatórios no processo resulta em diametro maiores. Dados históricos mostram que a distribuição de X pode ser modelada por uma função densidade de probabilidade f (x )=20 exp (−20( x−12,5)) , x >12,50 .Ache a função distribuição cumulativa. Solução: F(x)= 0 x<12,5 1-exp(-20(x-12,5)) x>=12,5 11) O tempo em milésimo de segundos ate que uma reaçao quimica esteja completa é aproximado pela função de distribuição cumulativa. F (x)= 0 se x <0 1−exp (−0.01∗x )se x≥0 a) determine a função densidade de probabilidade de X. resposta: f ( x )= 0 se x <0 0.01∗exp(−0.01∗x ) se x≥0 b) que proporção de reações quimicas é completada dentro de 200 milissegundos? Resposta: a) 0 se x<0 ; 0,01exp(-0,01x) se x>=0 b)0,8647 Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 9 por MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR UTFPR 12) Suponha que a função distribuição cumulativa da variavel aleatoria X: F(x)= 0 x<0 0,2x 0<=x<5 1 x>=5 x F(x) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 8 9 0 0 0 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1 1 1 função distribuição cumulativa 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -6 -4 -2 F(x) 0 2 4 6 8 10 determine: a) P(X<2,8) b) P(X>1,5) c) P(X<-2) d)P(X>6) respostas : a)0,56 b)0,7 c)0 d)1 13) Suponha que a função distribuição cumulativa da variavel aleatória X seja : F(x)= 0 x x<-2 F(x) 0,25x +0,5 -2 <=x<2 -4 0 -3 0 -2 0 -1 0,25 1 função distribuição cumulativa 0 0,5 1,5 1 0,75 x>=2 2 1 1 3 1 4 1 0,5 5 1 Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 6 1 0 8 1 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 9 1 F(x) 10 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR determinar: a) P(X<1,8) b) P(X<-1,5) c) P(X<-2) d) P(-1<X<1) respostas: a) 0,95 b)0,125 c) 0 d)0,50 14) Determine a função distribuição cumulativa de f(x)=exp(-x) para x>0. Resposta: 0, x<0; 1-exp(-x) x>=0 15) Determine a função distribuição cumulativa para a distribuição f(x)=exp(-(x-4) x>4 resposta: 16) Determine a função densidade de probabilidade para uma das seguintes funções de distribuição cumulativa. a) F(x)= 1-exp(-2x) x>0 solução : 0 se x<0 f(x)=2*exp(-2*x) se x>0 Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 11 por MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR UTFPR 4.3 MÉDIA E VARIANCIA DE UMA VARIAVEL ALEATORIA CONTÍNUA MONTGOMERY(2003, p.75) Definição: Suponha que X seja uma variavel aleatória contínua com função de densidade de probabilidade f(x). A média ou valor esperado de X denotado por E(x) é: ∞ μ=E ( x )= ∫ xf ( x) dx −∞ Variancia de X, é denotada por V(X) é : ∞ σ 2=V ( X )=∫ ( x−μ)2 f (x ) dx −∞ 4.4 Exercicios 17) Para a medida de corrente no fio de um cobre é f(x)=0,05 , calcule a média e a variância entre 0⩽x⩽20 . resposta: media: 10 variancia :33,3 18) f(x)=20exp(-20(x-12,5) x>=12,5, calcule a média e a variancia. Resposta:12,55 ;0,0025 19) Suponha que f(x)=0,25 para 0<x<4. Determine a média e a variancia de X. 20) Suponha que f(x)=0,125x para 0<x<4. Determine a média e a variancia de X. 21) A espessura em micrometros , de um revestimento condutivo tem uma função densidade de 600x-2 para 100 <x<120. a)Determine a média e a variancia de X. b)se o revestimento custa R$0,50 por micrometro de espessura em cada peça, qual será o custo médio de revestimento por peça. 4.4 DISTRIBUIÇÃO UNIFORME CONTÍNUA MONTGOMERY (2003, p.78) Definição : uma variável aleatória contínua X com uma função densidade de probabilidade f ( x )= 1 , b−a a≤x≤b tem uma distribuição uniforme contínua. Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 12 por MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR UTFPR fonte:http://s3.amazonaws.com/magoo/ABAAAAEK4AF-2.jpg A média de uma variável aleatória contínua uniforme X é: b b μ=E ( x )=∫ xf (x )dx=∫ a a b+a x dx = 2 b−a b 2 A variancia de X é: σ =V ( X )=∫( x−μ) f (x) dx = 2 a (b−a) 12 2 4.4.1 Exercicios 22) Faça uma variavel aleatória contínua de X denota a corrente medida um fio delgado de cobre em miliampéres.. Considere que a faixa de X seja [0; 20 mA] e suponha que a função densidade de probabilidade de X seja f(x)=0,05 0≤x≤20 . a) qual é a probabilidade da medida da corrente entre 5 e 10 mA?R:0,25 b)Calcule E(x) do seguinte intervalo 0≤x≤20 R:10 mA c) Calcule V(x) do seguinte intervalo 0≤x≤20 .R:33,33 A função distribuição Cumulativa de uma variavel aleatória contínua uniforme é obtida x pela integração , se a< x <b então F (x)=∫ a 1 dx b−a Distribuição Cumulativa 0 x−a F (x)= b−a 1 x <a a≤x≤b x≥b Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 13 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 23) Suponha que X tenha uma distribuição contínua uniforme no intervalo [1,5;5,5]. a) a média, variancia e o desvio padrão de X. b) P(X<2,5) 24) Suponha que X tenha uma distribuição contínua uniforme no intervalo de [-1;1]. a) média, V(x) , V2(x) ( desvio padrão). b)determine o valor de x , tal que P(-x<X<x)=0,90 R:0,8 R : 0;1/3;2,887 Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 14 por MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR UTFPR 25) O peso liquido , em libras , de um pacote com herbicida quimica é uniforme para 49,75<x<50,25 libras. a) E(x(esperança) ;V(x) (variancia) b)distribuição cumulativa 0 x−a F (x)= b−a 1 grafico x F(x) 49,75 49,75 50,25 60 70 0 0 1 1 1 x <a a≤x≤b x≥b 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 F(x) 45 50 Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM 55 60 ES34MTEC 65 70 75 15 por MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR UTFPR 26) A espessura de um flange em um componente de espaçonave é uniformente distribuída entre 0,95 e 1,05 mm. a) determine a função distribuição cumulativa da espessura do flange. 0 x−a F (x)= b−a 1 x x <a a≤x≤b x≥b F(x) 0,95 0,95 1,05 2 3 0 0 1 1 1 determine a proporção de 1,2 b) 1 0,8 0,6 F(x) 0,4 0,2 flanges que 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 excedem 1,02 mm. R:0,3 c) qual o valor da espessura que é excedida por 90% dos flanges? R:0,96 d) determine a média, variancia da espessura do flange. R:1; 0,00083 4.5 A DISTRIBUIÇAO NORMAL E AS DISTRIBUIÇOES DE AMOSTRAGEM 4.5.1 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Segundo LEVINE (2005, p.206), a distribuição normal envolve uma variável contínua, pode ser chamada de Distribuição de Gauss. Dentre varias distribuições e conhecidas como funções de densidade de probabilidade contínua. Dois tipos de variáveis: Variáveis contínuas (são medidas) peso, altura, mudanças diárias no preço de fechamento de ações, tempo de atendimento ao cliente, tempo de buscas em site da Web... Variáveis discretas (são contadas) Exemplo: tempo – medido e não contado. Importância da distribuição normal: – Inúmeras variáveis continuas parecem segui­las, ou podem ser aproximadas através dela. Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 16 por UTFPR – MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR a distribuição normal pode ser utilizada para aproximar várias distribuições de probabilidades – a distribuição normal oferece base para a inferência estatística clássica a sua relação com o teorema do limite central. LARSON & FARBER ( 2009, p.193) Propriedades da distribuição normal • a média , moda e a mediana são iguais. • Tem a forma de sino e é simétrica em torno da média. • A medida que a curva normal se distancia cada vez mais da média , ela se aproxima do eixo x, mas nunca o toca. • LEVINE (2005, p.206)Sua dispersão média(amplitude interquartil Q=Q3­Q1) é igual a 1,33 desvio padrão. Significa que a amplitude interquartil está contida dentro de um intervalo de 2/3 de um desvio padrão abaixo da media, até dois terços de um desvio padrão acima da media aritmética. • Sua variável possui amplitude entre ( −∞< x <∞ ) LEVINE ( 2005, p.208­209) o modelo ou expressão matemática que representa a função densidade de probabilidade é representada por f(X). FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE NORMAL f X = e −1 X − 2 2 σ [ ] σ 2 e = neperiano 2,71828 π = 3,14159 μ =media aritmética da população σ = desvio padrão X= qualquer valor entre ( −∞< x <∞ ) Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 17 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR FORMULA DE TRANSFORMAÇÃO Z= X − PADRONIZAR Converte uma variável aleatória em um valor normalizado. Sintaxe PADRONIZAR(Número; MÉDIA; STD) Número é o valor que deverá ser padronizado. MÉDIA é a média aritmética da distribuição. STD é o desvio padrão da distribuição. A FUNÇÃO DE DENSIDADE DA PROBABILIDADE NORMAL PADRONIZADA −1 1 f Z = e2 2 Z2 • essa função f(Z) calcula os valores pontuais e não area abaixo da curva. Comando • DIST.NORM(B9;B4;B6;falso()) • DIST.NORM(B9;B4;B6;VERDADEIRO()) calcula area abaixo da curva • dist.normp ( não pode ser utilizada para fazer o grafico por que calcula a função da distribuição acumulada) Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 18 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 4.5.2 Exercicios 27) MONTGOMERY (2003, p.83) O diametro de um eixo drive optico de armazenagem é normalmente distribuida com média 0,2508 polegada e desvio padrao de 0,0005 polegada. Calcule P(0,2485 <X<0,2515) R:0,91924 28) Determine as seguintes probabilidades: ( média zero e desvio padrão 1) a) P(Z<1,32) b)P(Z<3,0) c) P(Z>1,45) d) P(Z>­2,15) e)P(­2,34<Z<1,76) 28) MONTGOMERY (2003, p.84) Suponha que Z tenha uma distribuição normal padrão. Determine o valor de Z : a) P(­z<Z<z)=0,95 b)P(­z<Z<z)=0,99 c) P(­z<Z<z)=0,68 d) P(­z<Z<z)=0,9 Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 19 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR e)P(­1,24<Z<z)=0,8 29)Suponha que X seja distribuida normalmente, com média de 10 e um desvio padrao de 2. Determine o valor de x : a) P(X>x)=0,50 b)P(X>x)=0,95 c)P(x<X<10)=0,2 d)P(­x<X­10<x)=0,95 e)P(­x<X­10<x)=0,99 30) Muitos problemas industriais envolvem a precisão nas junções de peças dos equipamentos, tais como hastes dentro de orifícios de válvulas. Um determinado projeto exige uma haste com diâmetro de 22 mm; entretanto, hastes com diâmetro entre 21,9mm e 22,010 mm são aceitáveis. Suponha que o processo de fabricação produza hastes com diâmetros normalmente distribuídos, com média aritmética igual a 22,002 mm e desvio padrão igual a 0,005 mm. a) para este processo, qual a proporção de hastes com um diâmetro entre 21,9 mm e 22 mm? R: 0,344578 b) qual é a probabilidade de uma haste aceitável com diametro de até 22,010 mm? R: 0,945201 c)qual é o diâmetro que será excedido por somente 2% das hastes? R: 21,99173 d)quais seriam as respostas em (a) – (c) se o desvio padrão dos diâmetros das hastes fosse igual a 0,004? respostas: a) 0,344578 b) 0,945201 c) 21,99173 d) 0,308538 ; 0,97725 ; 21,99379 Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 20 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 4.5.3 AVALIANDO A PREMISSA DA NORMALIDADE • Para LEVINE (2005),nem todas as variáveis aleatórias continuas são normalmente distribuídas. • Portanto a analise descritiva de qualquer conjunto de dados a questão pratica permanece. • Como e possível determinar se os dados estão aproximadamente distribuídos de forma normal possa ser utilizada? • Duas abordagens descritivas exploratórias serão adotadas, para avaliar se o conjunto de dados parece ser aproximado da distribuição normal: • Comparação entre as características relativas ao conjunto de dados e as propriedades de uma distribuição normal subjacente. • A construção de um gráfico de probabilidade. Verificando a Normalidade construa gráficos e observe sua aparência. Para conjuntos de dados de tamanho pequeno ou moderado, construa uma disposição de ramos e folhas e um Box­plot. Para um conjunto de dados grande, construa a distribuição de freqüência e elabore um histograma. calcule as medidas descritivas resumidas e compare com as características dos dados com as propriedades teóricas e práticas da distribuição normal. obtenha a média aritmética e a mediana, e observe as semelhanças ou diferenças entre essas medidas de tendência central. obtenha a amplitude interquartil e o desvio padrão observe o quanto o intervalo interquartil pode se aproximar de 1,33 vezes o desvio padrão. obtenha a amplitude e observe o quanto ela pode se aproximar de 6 vezes o desvio padrão. verifique se aproximadamente 2/3 das observações se encontram entre a X ±σ verifique se aproximadamente 4/5 das observações se encontram entre a X±1,28 verifique se aproximadamente 19 em cada 20 observações se encontram X±2σ Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 21 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR CONSTRUINDO O GRÁFICO DA NORMAL DE PROBABILIDADE Um gráfico da normal de probabilidade é um gráfico bidimensional dos valores dos dados observados no eixo vertical, com seus correspondentes valores de quantis, a partir de uma distribuição normal padronizada no eixo horizontal. Passos utilizados na construção de um gráfico da normal de probabilidade. 1. disposição ordenada dos dados 2. calcular os valores padronizados dos quantis 3. nos eixos vertical – dados observados e eixo horizontal –quantis padronizados 4. para normalidade dos dados­ evidencias de uma linha reta i Amostra Quantis De dados n=tamanho (ordenada y) 1 x1 2 x2 n Padronizados da (abscissa) amostra Qi = Invnormp(Qi) i n1 xn 4.5.4 Exercicios 31) Problemas relacionados com uma linha telefônica, que impedem o cliente de receber ou fazer ligações , são desagradáveis tanto para o cliente como para a companhia telefônica.Estes problemas podem ser de dois tipos: aqueles que estão localizados dentro de uma central telefônica e o equipamento do cliente. Os dados a seguir representam amostras de 20 problemas informados a duas diferentes centrais telefônicas de uma companhia, e o tempo para a solução destes problemas em minutos, a partir das linhas dos clientes: tempo para a solução dos problemas (em minutos) na central telefonica I 1,48 1,75 0,78 1,02 0,53 0,93 0,52 1,6 4,15 0,8 1,05 6,32 1,48 5,45 3,1 2,85 1,6 3,97 3,93 0,97 tempo para a solução dos problemas (em minutos) na central telefonica II 7,55 1,92 0,52 3,75 1,1 4,23 1,48 0,58 Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 22 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial 3,75 0,65 0,1 0,6 0,6 1,53 3,3 0,08 2,1 UTFPR 1,65 4,02 0,72 a)construa um gráfico normal de probabilidade grafico central telefonica 1 7 f(x) = 1,78x + 2,21 6 R² = 0,85 5 4 Coluna E Linear (Coluna E) 3 2 1 -2,0000 0 0,0000 -1,0000 1,0000 2,0000 grafico central telefonica 2 8 7 6 5 + 2,01 f(x) = 1,94x R² = 0,83 4 Coluna E Linear (Coluna E) 3 2 1 -2,0000 -1,0000 0 0,0000 1,0000 2,0000 4.5.5 A DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL • Em LEVINE (2005), e uma distribuição de probabilidade contínua, quando são avaliados processos de produção e serviços. Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 23 por MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR • UTFPR A distribuição exponencial também utilizada na teoria das filas e linhas de espera, para medir o tempo decorrido entre chegadas de clientes em locais de prestação de serviços, tais como caixa eletrônicos e lanchonetes, chegadas de pacientes em pronto socorro e buscas em site da internet. DEFINIÇÃO: MONTGOMERY(2003, p.90) , a variavel aleatória X, que é igual entre contagem sucessivas de um processo de Poisson, com média λ>0, tem distribuição exponencial com parâmetro λ. A função densidade de probabilidade de X é: f ( x )=λ exp(−λ x) 0≤x <∞ . Se a variavel aleatória X tiver uma distribuição exponencial, com parametro λ , então: A média de uma variável aleatória contínua uniforme X é: ∞ μ=E ( x )=∫ xf (x )dx= 0 1 λ ∞ 2 2 A variancia de X é: σ =V ( X )=∫ ( x−μ) f ( x)dx = 0 1 2 λ A função cumulativa da exponencial é: integrate(k*exp(­k*x), x, 0, x); P tempo de chegada X =1−e− X λ=media aritmética da população de números de chegadas por unidade. X=qualquer valor da variável contínua , 0<X<∞ * caso for dado apenas o λ não é a media e calcula-se pela formula Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC E ( x )= 1 λ 24 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 4.5.6 Exercicios 32) Suponha que clientes cheguem a uma caixa eletrônico de um banco, numa taxa de 20 por hora.Se um cliente acabou de chegar, qual e a probabilidade de que o próximo cliente chegue dentro de 6 minutos ( ou seja 6/60=0,1 hora)? Dados Média Valor de X 20 0,1 Resultados P(<=X) 0,8647 Resposta:a probabilidade de um cliente chegue dentro de 6 minutos e igual a 0,8647 ou 86,47%. 33) MONTGOMERY (2003, p.90­91) Seja X o tempo entre detecções de uma particula rara em um contador geiger e considere que X tenha uma distribuição exponencial com λ=1,4 minuto. A probabilidade de detectarmos uma particula dentro de 30 segundos a partir do 30 começo de contagem é P(X<0,5). Qual é a probabilidade de uma particula ser detectada nos próximos 30 segundos? E (x )= 1 =1/1,4=0,71 λ resposta:0,2988 34) Dada uma distribuição exponencial com média de λ=10, qual é a probabilidade de que: a) tempo de chegada menor do que X=0,1? b) tempo de chegada maior do que X=0,1? c)o tempo de chegada esteja entre 0,1 e 0,2? d)o tempo de chegada seja menor do que X=0,1 ou maior do que X=0,2? Respostas: a) 0,6321 b)0,3679 c)0,2326 d)0,7674 35) Um acidente de trabalho ocorre uma vez cada 10 dias, em média, em uma montadora de automóveis. Qual é a probabilidade de que o próximo acidente de trabalho irá ocorrer em : a) 10 dias ? λ=0,1 b) 5 dias? λ=0,05 c) 1 dia? λ=0,01 Respostas: a) 0,6321 b)0,3935 c)0,0952 36) Suponha que as contagens registradas por um contador geiger sigam um processo de distribuição exponencial com uma média de 2 contagens por minuto. a) Qual é a probabilidade de não haver contagens em um intervalo de 30 segundos?X=30/60 Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 25 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR b)Qual é a probabilidade de que a primeira contagem ocorra em menos de 10 segundos? X=10/60 c) Qual é a probabilidade de que a primeira contagem ocorra entre 1 e 2 minutos depois do inicio? Respostas: a) 1-0,6321=0,3679 b)0,2835 c) 0,117 4.6 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 4.6.1 Introdução às Distribuições de Amostragem Conforme LEVINE (2005, p.232), um dos principais objetivos da analise de dados é: utilizar estatísticas tais como media aritmética da amostra e a proporção da amostra, para estimar os parâmetros das referidas populações. Tirar conclusões sobre a população e não sobre a amostra. Uma pesquisa sobre intenções de votos eleitorais estaria interessada nos resultados da amostra, somente como um meio de estimar a real proporção de votos que cada candidato receberia, a partir de uma população de eleitores. MÉDIA ARITMÉTICA DA POPULAÇAO N ∑ Xi = Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM i=1 N ES34MTEC 26 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR DESVIO PADRÃO σ= N= tamanho da população N ∑i=1 X i−μ 2 N MONTGOMERY (2003, p.127) Na inferencia estatística – impossível ou impraticavel observar a população inteira. Definição: As variaveis aleatórias (X1,X2,X3,...Xn) são uma amostra aleatória de tamanho n se: a) os Xi 's forem variaveis aleatórias independentes b) cada Xi tiver a mesma distribuição de probabilidades. Definição: Uma estatística é qualquer função das observações em uma amostra aleatória. Exemplo: X1,X2,X3,…,Xn amostra aleatória de tamanho (n) então a média da amostra X , a variancia da amostra S2 e o desvio padrão da amostra S, são estatísticas. O parâmetro θ-valor numérico de uma estatística amostral será usado com estimativa. Definição: uma estatística pontual de algum parâmetro θ da população é um único valor ̂ . numérico Ê de uma estatística Θ^ Θ exemplo : o estimador de μ é X , assim x1=25 , x2=30 , x3=29 , x4=31, então a estimativa de μ é: Estimativas razoáveis dos parâmetros média, variancia, proporção, diferença entre a médias de duas populações, diferença nas proporções de duas populações: Para μ ̂ A estimativa μ=x Para σ 2 2 A estimativa σ=s ̂ Para p A estimativa é ̂p = x proporção da amostra n x=numero de itens de uma amostra aleatórias de tamanho n. Para μ1 −μ 2 Para p1-p2 A estimativa é μ̂1 −̂μ̂2= x̄1− x̄2 A estimativa é p̂ 1−̂p̂ 2 , a diferença entre duas proporções amostrais, calculadas a partir de duas amostras aleatórias independentes. 4.6.2 Propriedades de estimadores Estimadores não tendenciosos Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 27 por UTFPR • MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR um estimador deve estar perto de algum modo do valor verdadeiro parâmetro desconhecido. Definição: O estimador Θ^ é um estimador não tendencioso para o parâmetro θ , se E(Θ^)= θ. Se o estimador for tendencioso, então diferença E(Θ^)-θ é chamada de tendencia do estimador Θ^. Quando o estimador for não tendencioso a, tendencia será zero, ou seja ,E(Θ^)-θ =0. MONTGOMERY (2003, p.129) Suponha uma amostra aleatória de tamanho n=10, proveniente de uma população normal : 12,8 9,4 8,7 11,6 13,1 9,8 14,1 8,5 12,1 10,3 a) média: 11,04 b) mediana:10,95 c) descartando um valor maior e uma menor a média é :10,98 * uma estimativa não tendenciosa de u. 4.6.3 Variancia de um estimador MONTGOMERY (2003, p.129)Definição: se considerarmos tendenciosos de θ , aquele com a menor variancia será todos os estimadores não chamado de estimador não tendencioso de variancia mínima. TEOREMA: Se X1,X2,..., Xn for uma amostra aleatória de tamanho n, proveniente de uma distribuição normal com média u e variancia σ2, então a média da amostra , X , será o estimador não tendencioso de variancia mínima para u. 4.6.4 Erro padrão Reportando uma estimativa MONTGOMERY (2003, p.130) Definição: o erro padrão de um estimador Θ ^ é o seu desvio ̂ . Se o erro padrão envolver parametros desconhecidos que possam ser ̂ √ V ( Θ) σ= estimados, então a substituição daqueles valores em σ̂Θ̂ produzirá um erro padrão padrão estimado , denotado por σ̂Θ̂ * sigma téta chapéu. Erro padrão estimado distribuição normal com média μ e variancia σ2. σ X= σ √n σ X= S (amostra) √n * quando o estimador seguir uma distribuição normal , podemos confiar que o valor verdadeiro do parametro estará entre dois erros-padrão da estimativa. Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 28 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 37) Um artigo no Journal of Heat Transfer ( Trans,ASME, SEC C,96,1974, p.59) descreveu um novo método de medir a condutividade térmica de ferro Armco. Usando uma temperatura de 100o F e uma potencia de 550 W, as 10 medidas seguintes de condutividade térmica em ( BTU/h ft oF) foram obtidas: 41,6 42,18 41,48 41,72 42,34 42,26 41,95 41,81 41,86 42,04 a) média amostral b) erro­padrão da média amostral c) calcule o intervalo da média com relação ao erro­padrão. respostas: média: 41,924 erro padrão:0,0898 ; [41,744;42,104] 4.6.5 Estimativa Bootstrap do Erro­Padrão • erro­padrão do estimador desconhecido • uma amostra a partir de uma população que possa ser modelada pela distribuição de probabilidades f (x ;θ ) • e partir dessa amostra podemos estimar a média, variancia,... 38) O tempo de falha de um módulo eletrônico, usado em um controlador de um motor de carro, é testado a uma temperatura elevada para acelerar o mecanismo de falha. O tempo de exposição é distribuido exponencialmente com um parâmetro desconhecido λ. Seja a amostra: 11,96 5,03 67,4 16,07 31,5 7,73 11,1 22,38 solução: a média μ=1/λ média amostral E ( X )=1/λ e para estimar λ=1/ X R:0,0462 Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 29 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial amostra bootstrap observações estimativa bootstrap ̂ 1 x1,x2,x3,x4,..xn λ 2 x1,x2,x3,x4,..xn UTFPR Lambda chapeú= 1/média da amostra B 39) Admite­se que os defeitos em uma painel metálico, usado na fabricação de um automóvel , sigam uma distribuição de Poisson ( le­se: poassom) . Os defeitos em 10 painéis são contados, com os seguintes resultados: 2 7 15 8 7 6 3 7 3 4 Distribuição de Poisson E ( X )=λ=np Média esperada p= λ probabilidade de que um subintervalo contenha uma falha n σ 2=λ=np variancia a) Encontre uma estimativa do parâmetro λ de Poisson. R:6,2 b) Encontre o erro­padrão bootstrap para λ̂ * lambda chapéu. CONTINUAÇAO DA ESTIMAÇÃO AMOSTRAGEM A PARTIR DE POPULAÇÕES NORMALMENTE DISTRIBUÍDAS Encontrando z para a distribuição de amostragem da média aritmética Z= X −μ x σx = X −μ σ n X =media da amostra =média da população =desvio padrão da população Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 30 por MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR UTFPR 5.7 EXERCICIOS 76) FABER( 2010, p.225) A tabela a seguir mostra o periodo que as pessoas passam dirigindo todos os dias. Seleciona aleatoriamente 50 motoristas com idade entre 15 e 19 anos. Qual é probabilidade de que a média de tempo que eles passam dirigindo todos os dias seja entre 24,7 e 25,5 minutos? Suponha que σ=1,5 minutos tempo atras do volante media de tempo gasto por dia, dirigindo, por faixa etaria 15-19 20-24 25-54 55-64 65 mais 25 minutos 52 minutos 64 minutos 58 minutos 39 solução 1: o tamanho da amostra é maior que 30, então pode-se usar o teorema do limite central para concluir que a distribuição de médias das amostras é aproximadamente normal. Solução 2: X=27,7 e X= 25,5 z1=-1,4142 e z2=2,3570 Z= X −μ x σx = X−μ X −25 = σ 1,5 √ n √(50) resposta:0,9121 Solução 3: interpretação• na amostra de 50 motoristas de idade entre 15 e 19 anos, 91,21% terá uma média entre 24,7 e 25,5 minutos dirigindo. • Supõe-se que μ=25 esteja correto, somente 8,79% da amostra estará fora do intervalo dado. 77) FARBER (2010, p.227) Um auditor de banco declara que as contas de cartões de credito são normalmente distribuidas, com média de $2870 e um desvio padrão de $ 900. a) qual é a probabilidade de que um titular de cartão de credito aleatoriamente selecionado tenha uma conta menor que $2500? R; P(z<-0,4111)=0,3405 b) Selecionar 25 titulares de cartões de credito de forma aleatoria. Qual é a probabilidade de que a média da conta deles seja menor que $ 2500? R:P(z<-2,06) =0,0197 c) compare as probabilidades de (a) e (b) e interprete sua resposta nos termos da declaração do auditor.R: • Tem uma chance de 34% de que um indivíduo tenha uma conta menor que $2500. Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 31 por UTFPR • MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR E há somente uma chance de 2% de que a média de uma amostra de 25 pessoas tenha uma conta menor que $ 2500. • Como há somente uma chance de 2% que a média de uma amostra de 25 tenha uma conta menor que $2500 , este é um evento incomum. • È possível que a declaração do auditor de que a média $2870 seja incorreta. Amostragem a partir de populações cuja distribuição não é normal • Para LEVINE (2005, p.239), como regra geral, estatísticos acham que em muitas distribuições de população quando o tamanho da amostra é pelo menos igual a 30, com isso a distribuição de amostragem da media aritmética estará próxima da normal. • • Quando a população for normalmente distribuída a distribuição de amostragem da media será normalmente distribuída , independentemente do tamanho da amostra. σ A medida que o tamanho da amostra cresce, a variabilidade descrita σ X= √ n (erro padrão da media) decresce. • Portanto a ausência de viés a media de qualquer distribuição de amostragem e sempre igual a media da população. Teorema do limite central • Afirma que a medida que o tamanho da amostra ( ou seja, o numero de observações em cada amostra) se torna suficientemente grande, a distribuição de amostragem da media aritmética pode ser aproximada pela distribuição normal. • Independe do formato da distribuição dos valores individuais na população. Algumas conclusões sobre o teorema do limite central são mostradas : A normalidade e a distribuição de amostragem da media aritmética 1. Para maior parte das distribuições de população , não dependendo do formato , a distribuição de amostragem da media será distribuída de forma aproximadamente normal, se forem selecionadas de pelo menos 30 observações. 2. Caso a população seja relativamente simétrica, e forem selecionadas pelo menos 15 observaçoes , também será uma aproximação da normal. 3. Se a população é normal a distribuição da media tem uma distribuição normal. O EFEITO DO TAMANHO DE AMOSTRA (n) NO AGRUPAMENTO DE MÉDIAS ARITMÉTICAS NA DISTRIBUIÇÃO DE AMOSTRAGEM Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 32 por MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR Z= X−μ x σx = UTFPR X −μ σ √n 5.8 EXERCICIOS 78) Dada uma distribuição normal =50 e =5, se uma amostra de n =100 e selecionada: a) qual é a probabilidade de X seja menor do que 47? * padronizar os dados Solução: X −μ x Z= σx = X −μ 47−50 −3 = = =−6 σ 5 0,5 n 100 Z<­6 Probabilidade de X <= Valor de X Valor de Z P(X<=-6) -6 -6,0000 0,000000000987 b) qual e a probabilidade de X esteja entre 47 e 49,5? Z= Z= X −μ x = σx X −μ x σx = X −μ 47−50 −3 = = =−6 σ 5 0,5 n 100 X −μ 49,5−50 −0,5 = = =−1 σ 5 0,5 √n √100 P(­6<z<­1)=0,1587 c) qual e a probabilidade de X esteja acima de 51,1? resposta:0,0139 d) qual e a probabilidade de X esteja entre 49 e 51? R: 0,9544 e)existe uma chance de 35% de que X esteja acima de que valor? Solução:calcular o valor de z para area abaixo de 65% z=0,3853 , então tem ­se 35% de area acima. 0,3853= X −50 X =50,195 0,5 f) quais seriam as respostas (a) ate (e) se n=25. Respostas: 0,00135 ;0,30715; 0,1357; 0,6826; 50,39. Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 33 por MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR UTFPR 5.9 DISTRIBUIÇAO DE AMOSTRAGEM DA PROPORÇÃO LEVINE( 2005, p.245) Na variável categórica pode­se trabalhar como possuidor ou não possuidor de uma determinada característica. A proporção da amostra p a= X n o de sucessos = n tamanho da amostra erro padrão da proporção p = a • p 1−p n A média aritmética da amostra é um estimador , sem viés , da média aritmética da populaçaõ μ . • A estatística pa é um estimador, sem viés, da proporção da população p é a media da amostra e um estimador sem viés da media da população (u). • Ao realizar a amostragem com reposição , a partir de uma população finita , a distribuição de amostragem da proporção segue uma distribuição binomial. • LEVINE(2005, p.246) a distribuição normal pode ser utilizada para aproximar a distribuição binomial , quando μ=E ( x )=np ( media aritmetica da binomial) e n(1­p) são pelo menos 5. DIFERENÇA ENTRE A PROPORÇÃO DA AMOSTRA E A PROPORÇÃO DA POPULAÇÃO EM UNIDADES NORMAIS PADRONIZADAS Z= pa −p √ p(1−p ) n 5.10 EXERCICIOS 79) LEVINE(2005, p.246) Distribuição de amostragem da proporção. Suponha que um gerente de banco afirme que 40% de todos os depositantes possuem contas multiplas no banco. Se for selecionado uma amostra aleatoria composta de 200 depositantes, a probabilidade de que a proporção da amostra de depositantes com contas multiplas não seja maior do que 0,30. Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 34 por MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR solução 1: μ=E ( x )=np =200*0,40=80 UTFPR n(1­p)=200(1­0,40)=120 , como 80≥5 e 120≥5 a distribuição de amostragem da proporção é distribuida de forma aproximadamente normal. Solução 2 : Z= p a−p p 1−p p=0,40 pa=0,30 z=­2,89 P(z<­2,89) =0,0019 n A probabilidade de ser obtida uma proporção de amostras que não seja maior do que • 0,30 ( 60 pessoas) igual 0,0019 – um evento improvável. Isto significa que se a verdadeira proporção de sucessos na população fosse igual a • 0,40, então menos do que 1/5 de 1% das amostras (1/5*0,01=0,002) , de tamanho 200, seria previsto como tendo proporções de amostras menores do que 0,30. 80) De acordo com um artigo de American Demographics , 19% da população total dos EUA ouvem radio pela internet. Se a amostra aleatórias de tamanho 200 fossem selecionadas: a) que proporção terá entre 14% e 24% de ouvintes de radio pela Internet. Resposta:a) 0,9282 Z= p a−p p 1−p n resultado 1 p=0,19 pa=0,14 Z1= ­1,80 DISTRIBUICAO DE AMOSTRAGEM DA PROPORÇAO tamanho da amostra proporçao da populacao proporcao da amostra 1 proporcao da amostra 2 n p pa pa Z Z RESULTADO 200 0,19 0,14 0,24 -1,8025 1,8025 0,9285 resultado 2: p=0,19 pa=0,24 Z2=1,80 Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 35 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR c)que proporção terá entre 9% e 29% de ouvintes pela internet? tamanho da amostra proporçao da populacao proporcao da amostra 1 proporcao da amostra 2 n p pa pa Z Z 200 0,19 0,09 0,29 -3,6049 3,6049 RESULTADO 0,9997 d)que proporção terá mais do que 30% de ouvintes de radio pela internet+ e)se amostras aleatórias de tamanho 100 fossem selecionadas como isso modificaria suas respostas em (a) ate (c)? CAPITULO 5 5 ESTIMATIVA DO INTERVALO DE CONFIANÇA 5. 1 INTRODUÇAO Para LEVINE (2005, 260), a inferência estatística visa tirar conclusões sobre características de uma população através de uma amostra. Existem dois tipos de estimativas: Estimativa de ponto ­estimar o verdadeiro valor de um parâmetro de uma população. Exemplo: X é uma estimativa do ponto da media aritmética da população Estimativa de intervalo – é relacionado com a verdadeira media aritmética da população, é desenvolvida, e é relacionada com a distribuição de amostragem da media aritmética. Segundo WITTE (2005), o intervalo de confiança é a amplitude entre valores que, com um grau conhecido de certeza, inclui uma característica desconhecida da população , tal como a média aritmética da população. Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 36 por MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR UTFPR 5.2 ESTIMATIVA DO INTERVALO DE CONFIANÇA DA MEDIA ARITMETICA ( conhecido­desvio padrão) • Em LEVINE (2005), a estimativa do intervalo de confiança de 95% é interpretada da seguinte forma: • Se todas as possíveis amostras de igual tamanho n forem extraídas e suas médias aritméticas de amostra forem calculadas, • significa que 95% dos intervalos incluem a verdadeira média da população, em algum lugar dentro dos limites do intervalo em torno de suas médias aritméticas de amostra, • X ±Z e somente 5% não estão na verdadeira média aritmética da população. n Onde Z =1− 2 O nível de confiança é através de (1-α) e a proporção das caudas é de α/2. Então 95% de intervalo de confiança estão incluídos e 5% não estão incluídos no intervalo, portanto o valor de Z=1-0,05/2=97,5% =1,96 e Z=0,025=-1,96 Para 95% Z=[-1,96;1,96] e para 99% Z=[-2,58;2,58] Retorna o inverso da distribuição cumulativa normal padrão. Sintaxe INV.NORMP(Número) Número é a probabilidade para o qual a distribuição normal padrão inversa será calculada. Exemplo INV.NORMP(0,908789) retornará 1,3333. NOTA: OS VALORES SÃO SIMETRICOS [-1,96 E 1,96] LEVINE( 2005, p.263) Na figura 1 o nivel de confiança de 95% de confiança acarreta um valor de z igual a ±1,96 . FIGURA 1: CURVA NORMAL PARA DETERMINAR O VALOR DE Z NECESSÁRIO PARA 95% DE CONFIANÇA Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 37 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR fonte:http://www.apis2.com.br/wp-content/uploads/2011/12/Graphic57-b.jpg 5.3 EXERCICIOS 80) Se X =85 (média), σ=8 e n=64, construa uma estimativa para o intervalo de confiança de 95% da media aritmética da população. R:[83,04:86,96] 81) O gerente de uma loja de tintas deseja estimar a verdadeira quantidade de tinta, contida em latas de 1 galão, adquiridas de um fabricante nacionalmente conhecido. Sabe-se, através das especificações do fabricante, que o desvio padrão da quantidade de tinta é igual a 0,02 galão. Uma amostra aleatória de 50 latas é selecionada, e a média aritmética da amostra de tinta, por lata é de 1 galão, é igual a 0,995 galão. a) construa uma estimativa para o intervalo de confiança de 99% da verdadeira média aritmética da população relativa à quantidade de tinta contida em latas de 1 galão. b)com base em seus resultados, você acredita que o gerente tem o direito de reclamar com o fabricante? por que? c) a média aritmética da população da quantidade de tinta, por lata, precisa ser distribuída de forma normal neste caso? Explique. Sim, para que a media da amostra reflita a verdadeira media da população. d) explique por que um valor observado de 0,98 galão, para uma lata individual, não é incomum, embora esteja fora do intervalo de confiança que você calculou. Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 38 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR Resposta:A pretensão da industria é produzir 1 galão(3,6 litros) de tinta por lata, portanto pode-se encontrar latas de tintas com a capacidade máxima ou fora do intervalo de confiança. e) suponha que você tenha utilizado uma estimativa de intervalo de confiança de 95%. Quais seriam suas respostas para (a) e (b)? 5.4 ESTIMATIVA DO INTERVALO DE CONFIANÇA DA MÉDIA ARITMÉTICA (σ DESCONHECIDO) Para LEVINE (2005), a media aritmética da população desvio padrão da população , é geralmente desconhecida e , também. DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT 1. Seculo XX 2. Estatistico William S. Gosset 3. Funcionário Guinness Breveries –Irlanda 4. Interessado em realizar inferencias sobre a média aritmética, quando σ desconhecido 5. Não era autorizado para publicar 6. Adotou o nick de Student Propriedades 1. É bastante similar a distribuição normal padronizada 2. n>120 pode-se usar a distribuição normal 3. O CONCEITO DE GRAUS DE LIBERDADE 4. n-1 valores da amostra estão livre para variar, significa n-1 graus de liberdade. σ desconhecido da população Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 39 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR VERIFICANDO PREMISSAS • Supõe que a variável aleatória Xi na distribuição t seja distribuída de forma normal. • Quando a amostra for grande o suficiente e a população não for muito assimétrica, a distribuição t pode ser utilizada para estimar a media aritmética da população quando sigma (desvio padrão) for desconhecido. • A premissa da normalidade na população pode ser analisada através da avaliação do formato dos dados da amostra, utilizando um histograma, uma disposição ramo e folha, um box plot ou gráfico da normal de probabilidade. A declaração do intervalo de confiança X t n1 tn-1 é o valor S n critico da distribuição t, com n-1 graus de liberdade, para uma área correspondente a α/2 na cauda superior. S= desvio padrão da amostra * os valores de t são simétricos INVT Retorna o inverso da distribuição t. Sintaxe INVT(Número: alfa ; graus de liberdade) Número é a probabilidade associada à distribuição t bicaudal. Graus de liberdade (n-1) :representa o número de graus de liberdade para a distribuição t. Exemplo =INVT(0,1; 6) retorna 1,94 6. 5 EXERCICIOS 82)Determine o valor critico de t para cada uma das circunstâncias a seguir: A) 1­α=0,95 n=10 alfa= 1­0,95=0,05 sintaxe : INVT( 0,05; 9) Resposta:2,2622 B) 1­α=0,90 n=16 Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 40 por MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR UTFPR Resposta:1,7531 83) Se X =75, S=15(desvio padrão da amostra) , n=16, e admitindo que a população seja normalmente distribuída, construa uma estimativa do intervalo de confiança de 99%, correspondente à media aritmética do população u. R:[63,95;86,05] 84) Construa uma estimativa do intervalo de confiança de 95% da média aritmética da população, com base em cada um dos seguintes conjuntos de dados, a admitindo que a população seja normalmente distribuídas: Conjunto 2 Conjunto 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 8 8 8 8 a)Explique por que estes conjuntos de dados possuem diferentes intervalos de confiança, embora possuam a mesma média aritmética e amplitude. R: sendo que a média de cada conjuntos 2 e 1 é de 4,5 . Portanto o conjunto 2 a margem de erro é de 2,483 e do conjunto 1 a margem de erro é de 3,1267 como consequencia os dois conjuntos tem intervalos de confiança diferentes ou seja o conjunto 02 é [2,4567;6,5483] e o conjunto 01 é [1,3733;7,6267]. 2,4500 4,5000 8 95% Dados Desvio Padrão da Amostra Média da Amostra Tamanho da Amostra Nível de Confiança 3,7400 4,5000 8 95% Cálculos Intermediários Erro Padrão da Média margem de erro- E Graus de Liberdade Valor t Metade da Amplitude do Intervalo 0,8662 2,0483 7 2,3646 2,0483 Cálculos Intermediários Erro Padrão da Média margem de erro- E Graus de Liberdade Valor t Metade da Amplitude do Intervalo 1,3223 3,1267 7 2,3646 3,1267 Intervalo de Confiança Limite Inferior do Intervalo Limite Superior do Intervalo Intervalo de Confiança Limite Inferior do Intervalo 2,4517 Limite Superior do Intervalo 6,5483 1,3733 7,6267 Dados Desvio Padrão da Amostra Média da Amostra Tamanho da Amostra Nível de Confiança Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 41 por MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR UTFPR 85) Construa uma estimativa do intervalo de confiança de 95%, da média aritmética da população , com base nos números 1,2,3,4,5,6 e 20. Altere o valor de 20 para 7, e recalcule o intervalo de confiança. Utilizando estes resultados, descreva o efeito de um outlier ( ou seja , um valor extremo) sobre o intervalo de confiança. Dados Desvio Padrão da Amostra Média da Amostra Tamanho da Amostra Nível de Confiança 6,4660 5,8571 7 95% Cálculos Intermediários Erro Padrão da Média margem de erro- E Graus de Liberdade Valor t Metade da Amplitude do Intervalo 2,4439 5,9801 6 2,4469 5,9801 Intervalo de Confiança Limite Inferior do Intervalo Limite Superior do Intervalo -0,1230 11,8372 Dados Desvio Padrão da Amostra Média da Amostra Tamanho da Amostra Nível de Confiança 2,1602 4,0000 7 95% Cálculos Intermediários Erro Padrão da Média margem de erro- E Graus de Liberdade Valor t Metade da Amplitude do Intervalo 0,8165 1,9979 6 2,4469 1,9979 Intervalo de Confiança Limite Inferior do Intervalo Limite Superior do Intervalo 2,0021 5,9979 Respostas: dados originais : [­0,1229;11,8371]; dados alterados: [2,022;5,9978]. A presença de um dado extremo (outlier) nos dados originais aumenta o valor da media aritmética da amostra, e inflaciona sobremaneira o desvio padrão da amostra e consequentemente altera a margem de erro. 5.6 ESTIMATIVA DO INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO • Segundo LEVINE (2005), o conceito de intervalo de confiança é estendido para dados categóricos, para estimar a proporção da população p, a partir da proporção da amostra pa= • X . n Para que a distribuição binomial possa ser aproximada da distribuição normal é que ambos np e n(1­p) são pelo menos iguais a 5. Então a estimativa do intervalo de confiança (1­alfa)100% para a proporção da população , p, pode ser definida através da equação: p a proporção da amostra X sucessos n amostra p proporção da população Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC Z normal padronizada n tamanho da amostra 42 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 5.7 EXERCICIOS 86) Se n =200 e X = 50, construa uma estimativa do intervalo de confiança de 95%, correspondente à proporção da população. Solução: pa=50/200=0,25 Sample size:200 number sucess:50 confidence level :95 Resposta:[0.19;0.31] 87) Uma agencia de automóveis deseja estimar a proporção de clientes que ainda possuem carro adquirido há 5 anos. Uma amostra aleatória de 200 clientes, selecionada a partir dos registros da agencia de automóveis, indica que 82 deles ainda possuem os carros que adquiriram a 5 anos. a) construa um intervalo de confiança de 95% da proporção da população de todos os clientes que ainda possuem carros, 5 anos após aquisição. R:[0,3418;0,4782] b) como os resultados de (a) podem ser utilizados pela agencia de auto, para estudar a satisfação com carros adquiridos na agencia. 5.8 DETERMINANDO O TAMANHO DE UMA AMOSTRA • Em LEVINE (2005), com relação a estimativa do intervalo de confiança, o tamanho da amostra foi selecionado sem levar em conta a amplitude do intervalo de confiança. • No mundo dos negócios , determinar o tamanho da amostra apropriado é um procedimento complicado, sujeito a restrições de orçamento , tempo e facilidade de seleção. Determinação do tamanho de uma amostra para a média aritmética Na determinação do tamanho da amostra para estimar a média aritmética, é necessário considerar o volume de erro da amostragem e algumas informações sobre o desvio padrão. Z= valor critico por exemplo Z=1,96 (95% de confiança) e=erro de amostragem aceitável ( diferença entre a média amostral e a média populacional) Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 43 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR σ= desvio padrão Determinação do tamanho da amostra para a média aritmética Z= X − Z∗ X −= n n n= Z∗ erro= X− X− O tamanho da amostra, n , é igual ao produto entre o valor de Z ao quadrado e a variância, , dividido pelo erro de amostragem, e, ao quadrado. Z22 n e2 Para determinar o tamanho da amostra,tem que conhecer três fatores: • o nível de confiança desejado, que determina o valor de Z, que representa o valor critico a partir da distribuição normal padronizada. • • o erro de amostragem aceitável, e. • o desvio padrão , . Z é utilizado, em vez de t , porque para determinar o valor de critico de t, o tamanho da amostra precisa ser conhecido, mas ainda não é conhecido. Na maioria dos estudos o tamanho da amostra necessário será grande o suficiente para que a distribuição normal padronizada seja uma boa aproximação da distribuição t. 5.9 EXERCICIOS 88)Se você deseja ter 95% de confiança e estar estimando a média aritmética da população , dentro dos limites de um erro de amostragem de ±5 , e o desvio padrão for admitido igual a 15, que tamanho da amostra é necessário? R:35 89)Se o gerente de uma loja de tintas deseja estimar a média aritmética da quantidade de tinta em uma lata de 1 galão, dentro dos limites de ±0,004 galão, com 95% de confiança, e tambem admite que o desvio padrão é de 0,02 galão, que tamanho da amostra se faz necessário? R:97 DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA PARA UMA PROPORÇÃO Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 44 por MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR • UTFPR Para LEVINE (2005), os métodos para determinação do tamanho da amostra, para estimar uma proporção da população , são semelhantes para estimar a média arimética. • Para determinar o tamanho da amostra utiliza­se a equação: Z= p a− p p 1− p n O erro de amostragem (e) è igual a (pa­ p) a diferença entre a proporção da amostra (pa) e o parâmetro a ser estimado , (p). Isolando­se pa – p , o erro de amostragem é: Determinação do tamanho da amostra para uma proporção 2 n= Z p 1− p e 2 e=Z p 1− p n p a = proporção da amostra = X sucessos = n amostra p= proporção de sucessos Z = normal padronizada n=tamanho da amostra é o proximo valor inteiro 5.10 EXERCICIOS 90) Se voce deseja ter 95% de confiança de estar estimando a proporção da população, dentro dos limites de um erro de amostragem de ±0,02, e houver evidencia histórica de que uma proporção da população é aproximadamente igual a 0,4, que tamanho de amostra é necessário? Solução: e=0,02 z=1,96 (95%) p=0,4 Dados Estimativa da Verdadeira Proporção Erro de Amostragem Nível de Confiança Cálculos Intermediários Valor de Z Tamanho Calculado da Amostra Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC Resultado Tamanho de Amostra Necessário 0,4000 0,0200 95% -1,96 2304,88 2305 45 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 91)Um orgão de pesquisa de opinião pública deseja estimar a proporção de eleitores que irá votar no candidato democrata, em uma campanha eleitoral para a presidência dos EUA. O orgão de pesquisa de opinião pública deseja ter 90% de confiança de que sua previsão está correta, dentro de um intervalo de ±0,04 da proporção da população. a) que tamanho da amostra é necessário? R:423 b) se o órgão de pesquisa de opinião pública deseja ter 95% de confiança, que tamanho de amostra é necessário? c) se ele desejar ter 95% de confiança e um erro de amostragem correspondente a ±0,03, que tamanho de amostra é necessário? d)com base em suas respostas para (a) –(c) , que conclusões gerais podem ser tiradas sobre os efeitos do nível de confiança desejado e o erro de amostragem aceitável, em relação ao tamanho da amostra necessário? discuta Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 46 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 5.11 ATIVIDADES PRÁTICAS PEDAGÓGICAS 5-a distribuição normal e as distribuições de amostragem 6-estimativa do intervalo de confiança CAPITULO 5 14. Para uma distribuição normal padronizada, determine as seguintes probabilidades: a) P(Z >1,08 )= b) P(Z<-0,21)= c) P(-1,96<Z<1,08)= 15. Qual é o valor de Z se: a) 50% de todos os valores possíveis de Z forem menores do que ele próprio? b) somente 15,87% de todos os valores possíveis de Z forem maiores do que ele próprio? 16. A disposição ordenada ilustra a quantidade de dinheiro em dólares retirada de um caixa eletrônico por 25 clientes em um banco local: 40 50 50 70 70 80 80 90 100 100 100 100 100 100 110 110 120 120 130 140 140 150 160 160 200 decida se os dados parecem ser distribuídos aproximadamente de forma normal: b) escreva a expressão que ajusta a reta. a) construa o gráfico ( pode ser a mão com uma régua) 17.distribuição exponencial (probabilidade continua).Automóveis chegam a uma cabine de pedágio localizada na entrada de uma ponte a uma taxa de 50 por minuto, no intervalo entre 5 e 6 horas da tarde. a) se um automóvel acabou de chegar, qual é a probabilidade de que o próximo automóvel chegue dentro de 3 segundos (0,05 minuto)? b) se um automóvel acabou de chegar, qual é a probabilidade de que o próximo automóvel chegue dentro de 1 segundos (0,0167 minuto)? 18.Dada uma distribuição normal com µ=100 e σ=10, se uma amostra de n=25 é selecionada. * padronizar pela formula : Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 47 por UTFPR Z= MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR X −μ σ n a) qual é a probabilidade de X seja menor do que 95? b) qual é a probabilidade de X esteja entre 95 e 97,5? c) qual é a probabilidade de que X esteja acima de 102,2? 19. O serviço de atendimento on-line ao cliente é peça chave no comercio varejista on – line. De acordo com o WSJ Market Data Group, 37,5 % dos clientes da Priceline.com utiliza estes serviço. Formula para padronizar os dados Z= p a− p p 1− p n a) se as amostras aleatórias de 200 clientes da Priceline.com fossem selecionadas, que proporção das amostras teria possibilidade de estar entre 35% e 40% daqueles que utilizam o serviço on line para clientes? CAPITULO 6 20. Uma papelaria deseja estimar a média aritmética do preço de varejo de cartões de felicitações que estão em seu estoque. Uma amostra aleatória de 20 cartões de felicitações indica um valor médio de $ 1,67 e um desvio padrão de $ 0,32. a) admitindo que existe uma distribuição normal, construa uma estimativa do intervalo de confiança de 95% da média aritmética do valor de todos os cartões de felicitações no estoque da papelaria. 21. Uma empresa de telefonia deseja estimar a proporção de domicilios que poderiam vir adquirir uma linha telefonica adicional, caso este se tornasse disponível, mediante um custo de instalação substancialmente reduzido. Uma amostra aleatória de 500 domicílios foi selecionada. Os resultados indicam que 135 dos domicílios comprariam a linha telefonica adicional, mediante um custo de instalação substancialmente reduzido. a) construa uma estimativa do intervalo de confiança de 95% da proporção da população, dos domicilios que poderiam adquirir a linha telefonica adicional. 22) Se voce deseja ter 99% de confiança de estar estimando a proporção da população p=0,5, dentro dos limites de um erro de amostragem de ± 0,04, que tamanho de amostra se faz necessário? Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 03:36 PM ES34MTEC 48 por UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR REFERENCIAS • MONTGOMERY, D.C. e RUNGER,G.C. Estatística Aplicada e Probabilidade Para Engenheiros. 2a edição RJ. Editora LTC.2003. • LEVINE, David M. et. al. Estatística –Teoria e Aplicações Usando o Microsoft Excel em Português. 3a ed.RJ Editora LTC. 2005. • CRESPO, A. Estatística Fácil. 14a ed .SP. Editora Saraiva.1994 • LibreOffice • LARSON & FARBER. Estatística Aplicada. 4a edição.SP.Pearson Education.2009. • DOMENICO, Luiz Carlos De. MATEMATICA 3 em 1. Artes Gráficas e EditoraUnificado. Curitiba.PR. • FARBER, Betsy. LARSON, Ron. Estatística Aplicada. São Paulo. 4 edição.2009. Pearson. • MILONE, Giuseppe. 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