mom - UFSJ

étodos
uméricos
MÉTODO DOS MOMENTOS - MOM
Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO
TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA
2016
Introdução
O método dos momentos é uma técnica numérica, analiticamente
simples e versátil, usada para solucionar equações integrais lineares.
A idéia básica associada ao MOM é reduzir uma equação integral em
uma equação matricial.
Suas soluções nos casos práticos são aproximadas, porém com elevada
precisão para os propósitos da engenharia.
O MOM requer grande esforço computacional, levando-o a ter
limitações que são a velocidade de simulação e a capacidade de
armazenamento de dados no computador. Assim a utilização dessa
técnica numérica é “limitada” para geometrias complexas.
MOM
Seja a equação:
L f   g
Onde:
• L é um operador qualquer (conhecido)
• g é a fonte ou excitação (conhecida)
• f é o campo ou resposta (função desconhecida).
A função desconhecida f é expandida em uma combinação linear de
N funções, no domínio do operador L:
N
f  1 f1   2 f 2  ...   n f n   n f n
n 1
Onde
• n são constantes desconhecidas
• fn é conhecida como função de base (ou de expansão).
MOM
Substituindo a última equação na penúltima tem-se:
N

L   n f n   g 
 n1

Onde, f e g são funções complexas.
N
  L  f   g
n 1
n
n
MOM
Assumindo um produto escalar ajustável <f, g> a solução do problema
indicado pode ser determinada. Para isso definem-se funções de peso
(ou de teste) da forma w1,w2,…,wm, no domínio de L, e faz-se o
produto escalar da última equação para cada wm, tem-se:
 
N
n 1
n

 wm , L  f n   wm , g m  1, 2,3,..., N
Tal equação transportada para a forma matricial gera:
 I mn    n    gm 
 w1 , L  f1 

 I mn   

 wm , L  f1 
w1 , L  f n  



wm , L  f n  
 w1 , g
 gm   
 wm , g




1 
 n    
 n 
MOM
Se a matriz [Imn ] é não singular então [Imn]-1 existe, assim n é dado
por:
 n    I mn    gm 
1
com o valor de n encontrado determina-se o valor de f.
f   f n    n    f n    I mn    g m 
1
A solução para f pode ser mais ou menos aproximada dependendo das
escolhas do tipo das funções de base e de peso, fn
e wm,
respectivamente.
Por um lado, para se ter soluções mais exatas pode-se assumir um
número maior de funções de base e de peso.
MOM
• Uma das principais tarefas na solução pelo MOM é a escolha de fn e
wm apropriadas.
• Um caso particular, conhecido como Método de Galerkin, é quando
fn=wm.
• A função fn deve ser linearmente independente e escolhida de modo
a aproximar a função de f relativamente bem quando for superposta.
• A função wm também deve ser linearmente independente e escolhida
de maneira tal que os produtos escalar <wm, g> sejam relativamente
independentes das propriedades de g.
• É vantajoso escolher funções de base e de peso que minimizem os
esforços computacionais para o cálculo da integral e do produto
escalar respectivamente.
MOM
Outros fatores a serem considerados:
• Precisão da solução desejada
• Facilidade de avaliação dos elementos da matriz.
• Tamanho da matriz a ser invertida .
• Obtenção de uma matriz [Imn ] bem comportada.
MOM
De acordo com a equação:
 w1 , L  f1 

 I mn   

 wm , L  f1 
w1 , L  f n  



wm , L  f n  
têm-se N2 termos para avaliar. Cada termo exige duas ou mais
integrações, uma para o calculo de L(f) e uma no produto escalar.
Quando se utiliza a integração numérica uma grande capacidade
computacional é requerida, ou seja, é exigido um grande tempo de
simulação.
MOM
Para diminuir o esforço computacional é possível utilizar um grupo de
funções de peso que reduzem o número de integrais a serem
resolvidas. Essas wm são conhecidas como funções de teste Delta de
Dirac e são definidas como:
 wm     p  pm     p  p1  ,   p  p2  ,...
Onde p é a posição de referência e pm é a posição onde a condição de
contorno é forçada.
N
  p  pm  , g    n    p  pm  , L  f n  m  1, 2,3,..., N
n 1
f , g   f  g  ds
N
   p  p   g  ds     p  p   L  f   ds
m
n
n 1
m
n
N
g p p   n  L  fn  p p
m
n 1
m
m  1, 2,3,..., N
m  1, 2,3,..., N
MOM
Deste modo observa-se que a única integral a ser calculada é L(fn).
Tal simplificação possibilita algumas soluções que são impraticáveis
com o uso de outras funções de teste. Fisicamente o uso das funções
delta de Dirac são tidas como a relaxação das condições de
contorno, que fazem com que sejam forçados pontos discretos na
superfície da estrutura analisada.
MOM
Funções de Base
As funções de base que são utilizadas, na prática, nos problemas
determinísticos numéricos dividem-se em duas classes. A primeira
classe são as funções de subdomínio que são não nulas apenas sobre a
uma parte da superfície da estrutura analisada. A segunda classe são
as funções de domínio-inteiro que existem ao longo de todo o domínio
da função desconhecida.
MOM
Funções de Subdomínio
São as mais comuns entre as funções de expansão. Sua vantagem
reside no fato de sua utilização ser possível sem o conhecimento
prévio da natureza das funções que devem representar. Ao contrário
das funções de domínio-inteiro.
A abordagem dessa classe envolve a subdivisão da estrutura em N
segmentos não coincidentes. Para tornar mais claro o entendimento,
os segmentos são colineares e de igual comprimento, embora essa
condição não seja necessária.
As funções fn são definidas em conjunto com os limites de um ou
mais segmentos.
MOM
A função de base mais comum dessa classe e conceitualmente mais
simples é ao pulso, definido como:
1 xn 1  x  xn
f n  x  
0 caso contrário
f n  x 
Uma vez que os coeficientes n associados a fn são determinados,
então está função produz uma representação em escada da função
desconhecida.
  f  x 
n n
n
1 f1  x 
 2 f 2  x 
3 f3  x 
MOM
Outra função comum nesse grupo são as triangulares, definidas como:
 x  xn 1
xn 1  x  xn
 x  x
 n n 1
 x  x
f n  x    n 1
xn  x  xn 1
 xn 1  xn
0 caso contrário


f n  x 
O aumento das funções de
subdomínio para além da função
triangular não se justifica, pois
a melhora da precisão não
compensa, tendo em vista o
aumento
da
complexidade
computacional. Contudo outras
funções podem ser usadas em
casos específicos.
MOM
Outra função comum nesse grupo são as Senoidais, definidas como:
 sin    x  xn 1  
xn 1  x  xn

 sin    xn  xn 1  

 sin    xn 1  x  
f n  x   
xn  x  xn 1


 sin    xn 1  xn  
0 caso contrário



f n  x 
1 f1  x 
 2 f 2  x 
3 f3  x 
MOM
Também podem ser definidas funções truncadas:
f n  x 
  
xn  xn 1  

cos  x 
f n  x     
2  
0 caso contrário

xn 1  x  xn
1 f1  x 
 2 f 2  x 
3 f3  x 
MOM
Funções de Domínio-inteiro
São definidas não nulas ao longo de toda a estrutura considerada.
Segmentações não são utilizadas nessa classe. Uma função comum
dessa classe é a senoidal representada por:

2n  1 x 

f n x  cos

l



l
l
 x 
2
2
A principal vantagem dessas funções está associada à problemas onde a
função desconhecida tem inicialmente um padrão.
A representação de uma função cosseno e/ou seno de domínio-inteiro é
semelhante à expansão da série de Fourier para funções arbitrárias.
Por meio dessas funções é difícil modelar funções desconhecidas
complicadas ou arbitrárias.
MOM
Método do Ponto de Observação (Point Matching)
A transformação da integral na matriz é geralmente difícil em
problemas práticos. Assim desenvolveu-se uma maneira simples para
se obter soluções aproximadas.
A função fn é escolhida para cada L(fn), onde seu valor possa ser
convenientemente especificado, em forma fechada preferencialmente
ou numericamente.
Têm-se uma equação com N partes desconhecidas, mas somente isso
não é suficiente para que seja calculado o valor da constante
desconhecida n. Para se encontrar a resposta desse último problema
é necessário se obter N equações lineares independentes, o que pode
ser feito por avaliação em N pontos discretos e distintos. Esse
procedimento é denominado método dos pontos de observação (point
matching method).
MOM - Aplicações
Eletrostática:
MOM - Aplicações
Considere um fio fino condutor de raio a e comprimento L (L>>a)
localizado no espaço livre:
Estando o fio em um potencial Vo deseja-se determinar a densidade
de cargas ao longo do fio e os valores do campo em qualquer ponto.
Da equação de Poisson tem-se:
V0  
L
0
 L dl
4 0 R
MOM - Aplicações
Para um ponto fixo Yk no fio, tem-se:
V0 
1
40

L
0
 L  y dy
yk  y
Se y é pequeno, pode-se considerar a seguinte aproximação:
 f  y dy  f  y 
L
1
0

y
 f  y2  y  ...  f  y N  y
N
 f  y 
k 1
k
y
MOM - Aplicações
Com o fio dividido em n segmentos de comprimento , tem-se:
V0 
40V0 
1
40
1
yk  y1


L
0
 L  y dy
yk  y
2
yk  y2
 ... 
N 
yk  y N
=L/N = y
MOM - Aplicações
Sendo a densidade de carga desconhecida k e como a equação
anterior deve ser válida para todos os pontos sobre o fio, tem-se:
40V0 
40V0 
1
y1  y1
1
y2  y1


2
y1  y2
 ... 
2
y2  y2
N 
y1  y N
 ... 
N 
y2  y N

40V0 
1
y N  y1

2
y N  y2
 ... 
N 
yN  yN
Funções de base: Pulso
Funções de Peso: Delta de Dirac (point matching)
A integral foi aproximada
MOM - Aplicações
Ou seja:
MOM - Aplicações
Para os termos da diagonal principal, cuidado ! Singularidades !
Escrevendo de uma forma mais rigorosa,
tem-se:
Para minimizar a
singulariadade uma opção é:
pontos de observação no
centro e fonte na superfície.
Proceder a avaliação da
integral de forma numérica ou
fechada.
MOM - Aplicações
Como o fio é condutor, a densidade de carga superficial aparece
somente na superfície. Pode-se considerar a seguinte solução:
 >> a:
MOM - Aplicações
O campo pode ser calculador por:
MOM - Aplicações
MOM - Aplicações
MOM - Aplicações
Sendo V0=1 V, L = 1m, a = 1 mm e N = 10, tem-se:
MOM - Aplicações
Sendo V0=1 V, L = 1m, a = 1 mm e N = 10, tem-se:
MOM - Aplicações
Sendo V0=1 V, L = 1m, a = 1 mm e N = 10, tem-se:
MOM - Aplicações
De forma mais rigorosa tem-se:
Função de base
MOM - Aplicações
MOM - Aplicações
MOM - Aplicações
Considerando outra geometria de condutor:
MOM - Aplicações
MOM - Aplicações
Eletrostática: Determine a capacitância de um capacitor de placas
paralelas. Seja a = 1m, b = 1 m, d = 1m e r = 1.
q    s ds
Q Q
C

V0 2
Para determinar s a placa P1 foi dividida em n subáreas S1, S2, ...,
Sn e a placa P2 em n subáreas Sn+1, Sn+2, ..., S2n.
MOM - Aplicações
O potencial no centro de cada subárea,Vi, é:
 j dS
 S dS 2 n 1
Vi  

40 R j 1 40 S Rij
S
i
2n
 j
j 1
1
40 Si
dS
Rij
Assumindo que a densidade de carga é uniforme:
2n
Vi    j Aij
j 1
Aij 
1
4 0

S i
dS
Rij
MOM - Aplicações
2n
V1    j A1 j  1
j 1
2n
V2    j A2 j  1
j 1

2n
Vn    j Anj  1
 A11
A
 21
 

 A2 n ,1
A12
A22
A2 n , 2
  1   1 
   
  2    1 
      
   
 A2 n , 2 n    2 n   1

A1, 2 n
A2, 2 n
j 1
2n
Vn 1    j An 1, j  1
j 1

2n
V2 n    j A2 n , j  1
j 1
Funções de base: Pulso
Funções de Peso: Delta de Dirac
(point matching)
MOM - Aplicações
Para determinar Aij as subáreas podem estar sobre a mesma placa ou
placas diferentes.
Aij 
y2
1
x2
dx dy
40 y y1 x x1 Rij
Rij  ( x j  xi ) 2  ( y j  yi ) 2  ( z j  zi ) 2
Assumindo:
x2  x1  l  y2  y1
Pode-se mostrar que:

Si
l 
Aij 

40 Rij 40 Rij
2
i j
Aii 
l
0


ln 1  2 
l
0
0.8814
i j
MOM - Aplicações
MOM - Aplicações
MOM - Aplicações
N = 9 C= 26.51 pF
N= 16 C=27.27 pF
N=25 C=27.74 pF
Referencias Bibliográficas
SADIKU, M. N. O. Elemens of Eletromagnetics. 3rd ed. New York, USA:
Oxford University Press. 769p.
BALANIS, C. A. Advanced Engineering Electromagnetics. 1st ed. USA:
John Wiley &Sons, 981p.
HARRINGTON, R.F. Field Computation by Moment Methods. New
York: IEEE Press. 225p.