Aula 26 Prismas Especiais

Aula 27 – mtm B
GEOMETRIA ESPACIAL
Prismas Especiais
Paralelepípedo
Prisma cujas bases são paralelogramos.
Paralelepípedo Retângulo ou Ortoedro
Prisma cujas bases são retângulos.
c
a
b
Prismas Especiais
Cubo
Paralelepípedo retângulo cujas arestas são congruentes ou
paralelepípedo reto de bases quadradas.
a
a
a
Romboedro
Paralelepípedo cujas faces são losangos.
Altura (h)
a
a
a
aresta lateral ≠ altura
Prismas Especiais
Dimensões em Estado Especial
x
PA: (x – r, x, x + r)

PG :  , x, x.q 
q

Consecutivos: (x, x + 1, x + 2)
Consecutivos Pares/Ímpares: (x, x + 2, x + 4)
Proporcionais:
a
x
=
b
y
=
c
z
=k
Inversamente Proporcionais: a.x = b.y = c.z = k
Prismas Especiais
Diagonais de um Prisma
Paralelepípedo
c
b
D
d
a
d2 = a2 +b2
d = a2 + b2
D2 = c2 + d2
D =c +
2
2
(
a +b
2
D2 = a2 +b2 + c2
D = a2 + b2 + c2
2
)
2
Prismas Especiais
Diagonais de um Prisma
Cubo
D2 = a2 + d2
a
a
D
d
a
2
D2 = a2 + 2a2
d2 = a2 + a2
D2 = 3a2
d2 = 2a2
D=a 3
d= a 2
(
D =a + a 2
2
)
2
Prismas Especiais
Áreas e Volumes de um Prisma
Paralelepípedo Retângulo
Cubo
c
a
b
a
a
a
Área Lateral
Al = 2.(a.c + b.c)
Al = 4.a²
Área Total
At = 2.(a.b + a.c + b.c)
At = 6.a²
Volume
Vp = a.b.c
Vc = a³
Prismas Especiais
Problemas
Exemplo 1: (UFSC) A área total de um paralelepípedo reto
retângulo é de 376m² e suas dimensões são proporcionais aos
números 3, 4, 5.
Determine a décima parte do volume desse paralelepípedo.
Resolução:
c
b
a
a
=
b
=
3 4
a = 3k
b = 4k
c = 5k
c
=k
5
= 3(2) = 6
= 4(2) = 8
= 5(2) = 10
At = 2.(a.b + a.c + b.c)
At = 2.(3k.4k + 3k.5k + 4k.5k)
376 = 2.(3k.4k + 3k.5k + 4k.5k)
376 = 2.(12k² + 15k² + 20k²)
Vp = a.b.c
Vp = 6.8.10
376 = 2.(12k² + 15k² + 20k²)
Vp = 480m³
376 = 2.(47k²)
376 = 94k² (÷ 94)
Gabarito: 48
k² = 4
⇒
k=2
Prismas Especiais
Problemas
Exemplo 2: (UFSC) Para dobrar o volume de um cubo, basta
dobrar as medidas dos seus lados.
Resolução:
Vcubo maior = (2a)³
a
a
2a
a
Vcubo menor = a³
Vcubo maior = 8a³
Oito vezes maior.
2a
2a
Falso
Prismas Especiais
Problemas
Exemplo 3: (UFSC) Na figura a seguir, que representa um cubo, o
perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1 + √2) cm. Calcule o
volume do cubo em cm³.
Resolução:
2P = 2a + 2a√2
8(1 + √2) = 2a + 2a√2
B
8(1 + √2) = 2a(1 + √2)
8 = 2.a
a
A
a=4
a
a
C
a√2
a
a
D
a√2
Vc = a³
Vc = 4³
Vc = 64 cm³
Gabarito: 64
Prismas Especiais
Girard X Geometria Espacial
Ax³ + Bx² + Cx + D = 0
Se as dimensões do paralelepípedo são raízes da equação.
Somatório das dimensões: a+b + c = -B
A
Somatório das arestas: 4. ( a+b + c ) = 4. -B
A
Área: 2. ( a.b + a.c +b.c ) = 2. C
A
Volume: a.b.c = -D
A
Prismas Especiais
Girard X Geometria Espacial
Exemplo 4: (Fuvest) As dimensões, em metros, de um
paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes do equação :
2x³ – 16x² +21x – 36 = 0
Determine:
a) o volume desse paralelepípedo
b) a área total
c) a soma das suas dimensões
a+b+c= -B
A
d) o seu perímetro
c
a
b
ab + bc + ac = C
A
a.b.c = - D
A
Prismas Especiais
Girard X Geometria Espacial
Exemplo 4: (Fuvest) As dimensões, em metros, de um
paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes do equação :
2x³ – 16x² +21x – 36 = 0
Determine:
a) o volume desse paralelepípedo
Resolução:
a) Vp = a.b.c
a+b+c= -B
A
-D
c
Vp =
C
A
ab + bc + ac =
A
- (- 36)
b
= 18 m³
V
=
a
p
2
a.b.c = - D
A
Prismas Especiais
Girard X Geometria Espacial
Exemplo 4: (Fuvest) As dimensões, em metros, de um
paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes do equação :
2x³ – 16x² +21x – 36 = 0
Determine:
b) a área total
Resolução:
b) At = 2(ab + bc + ac)
a+b+c= -B
A
c
At = 2. C
C
ab + bc + ac =
A
A
b
At = 2. 21 = 21 m²
a
2
a.b.c = - D
A
Prismas Especiais
Girard X Geometria Espacial
Exemplo 4: (Fuvest) As dimensões, em metros, de um
paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes do equação :
2x³ – 16x² +21x – 36 = 0
Determine:
c) a soma das suas dimensões
Resolução:
c) ∑dimensões = a + b + c
a+b+c= -B
A
c
a
b
ab + bc + ac = C
A
∑dimensões =
-B
A
a.b.c = - D
A
∑dimensões =
- (-16)
=8m
2
Prismas Especiais
Girard X Geometria Espacial
Exemplo 4: (Fuvest) As dimensões, em metros, de um
paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes do equação :
2x³ – 16x² +21x – 36 = 0
Determine:
d) o seu perímetro
Resolução:
d) 2P = 4(a + b + c)
a+b+c= -B
A
c
2P = 4. - B
C
ab + bc + ac =
A
A
b
- (-16)
a
2P
=
4.
= 32 m
D
2
a.b.c =
A
Aula 27 – mtm B
FIM