EEL211_Lab9 -- Resposta em frequência

EEL211 - LABORATÓRIO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS II
LABORATÓRIO NO 9: RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA (BW)
FILTROS
Filtros são circuitos que permitem a passagem
do sinal alternado para uma determinada faixa de
frequência.
Dependendo da faixa de passagem são classificados como: Passa-baixa, Passa-alta, Passa-faixa
e Corta-faixa.
A Figura 1 apresenta filtros passivos RC e RL de
1ª ordem. Observe a dualidade entre o circuito capacitivo e o circuito indutivo.
Vo
Xc
=
+R
Vi
Xc
=
1
1 + jωRC
= 1
Xc
jω C
ω = 2πf
1
Eq. Normalizada
1 + j(f/fc)
1
fc =
2πRC
Vo
1
=
Modulo
Vi
1 + (f/fc) 2
=
φ = -arctn(f/f c )
Fase
A equação do módulo informa que para freqüência muito menor que a freqüência de corte o ganho
de tensão permanece praticamente constante (faixa
de resposta plana). AV=1 para f<fc e a defasagem é
nula (φ=0o)
Para freqüência maior que a freqüência de corte
o ganho de tensão diminui com o aumento da freqüência. O ganho de tensão diminui 10 vezes com
o aumento na freqüência em 10 vezes (-20dB uma
década acima). Em outras palavras, o ganho de
tensão diminui numa taxa de -20dB/DECADA.
a
Figura 1 – Filtros Passivos RC e RL de 1 ordem.
1 - FILTRO RC PASSA-BAIXA
-20dB/DECADA é o mesmo que -6db/OITAVA. O
ganho de tensão diminui duas vezes (-6dB) ao dobramos a freqüência (freqüência uma oitava acima).
A VdB = 20 Log(Vo /Vi )
OBJETIVOS
20dB/DECADA= 6dB/OITAVA,
Desenhar a curva de resposta em freqüência.
Determinar a frequência de corte.
LISTA DE MATERIAL
Osciloscópio de dois canais.
Gerador de funções: 2-2MHz, 20Vpp
Proto Board
Capacitor de poliéster metalizado:
10nF/250V (1) 2E103J ou 2E103K
Resistores 1/3 W:
15kΩ(1)
A análise de “Resposta em Frequência” consiste
em medir o ganho de tensão, módulo e fase, para
uma faixa de freqüência, ou seja, medir o desempenho do circuito em regime senoidal em função da
freqüência.
Para uma excitação senoidal temos:
Exatamente na freqüência de corte, f=fC, o ganho
de tensão vale 0,707 do valor inicial, ou seja, -3dB.
Vo
1
=
= 0, 707
Vi
2
20.Log(0, 707) = - 3dB
φ = - arctn(1) = -45°
Modulo
Fase
1.1 – CURVA DE RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
Uma variação de 0,001 para 0,01 pode parecer
nada, mas é uma grande variação, é uma variação
significativa de 10 vezes, 20 dB, uma variação de
900%.
Portanto, é necessária uma técnica para analisar
estes circuitos em uma faixa de freqüência tão ampla assim. A Figura 2 mostra vários tipos de gráficos
que representam o “Ganho de tensão Vo/Vi” em
função da freqüência entre 1Hz e 1MHz.
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Laboratório No 9
Para uma variação muito ampla de freqüência a
curva de resposta em freqüência plotada em um
gráfico linear seria inútil como mostra a Figura 2(a).
O gráfico terá melhor resolução e utilidade se utilizarmos escala logarítmica no eixo X como mostra
o gráfico Semilog (ou Monolog) apresentado na Figura 2(b).
ATENÇÃO: Não existe o valor ZERO na escala logarítimica.
Para obter uma definição maior no eixo Y devemos utilizar escala Logarítmica para o eixo Y também. Observe a curva no gráfico Bilog da Figura
2(c).
Neste gráfico podemos observar uma característica interessante: podemos representar a curva de
resposta em freqüência com duas retas. Uma com
ganho de tensão constante (Vo/Vi=1) e outra com
inclinação 10x/DECADA. Esta duas retas são denominadas “Assíntotas”
A Figura 2(d) mostra a curva de resposta em freqüência do ganho de tensão em dB (eixo Y em escala linear) no gráfico SemiLog Observe que a curva do ganho em decibéis no gráfico SemiLog (Figura 2d) tem o mesmo aspecto que a curva do ganho
absoluto no gráfico BiLog (Figura 2c)
As duas assíntotas se cruzam exatamente na
freqüência de corte fc.
1.2 – VARREDURA (FREQUÊNCIA)
Para uma variação ampla de frequência é necessário escolher cuidadosamente as frequências
de teste. Uma variação de 1Hz, de 1Hz para 2Hz
representa uma variação de 100%, de 10Hz para
11Hz (10%), de 1000Hz para 1001Hz (0,1%)
Portanto, para evitar amostragens desnecessárias, é necessário fazer uma “varredura logaritmica”
definindo o número de pontos por oitava ou o número de pontos por década Para racionalizar o trabalho de laboratório devemos utilizar o menor número de amostragem possível.
Ajustar a frequência na sequência 1-2-5 para obter um espaçamento uniforme na escala logarítmica.
Obs. A amostragem padrão do programa PSpice
é 100 pontos por oitava ou década
Figura 2 – Curva de resposta em freqüência do filtro
passa baixa. Módulo e Fase. fc=1kHz
2
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Para quem estiver utilizando osciloscópio analógico e gerador de funções sem frequencímetro, podemos aproveitar a seqüência 1-2-5 da base de
tempo do osciloscópio ajustando a freqüência de
forma manter constante o produto freqüência x base de tempo. Observaremos dois ciclos completos na tela do osciloscópio.
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TABELA 1 R=15kΩ
f Hz
Vopp
C=10nF
Vo/Vi
dB
Fase
10
A Figura 4 apresenta as curvas de resposta em
freqüência normalizada dos filtros RC passa baixa,
passa alta e passa faixa. X=f/fc
0dB
20
Passa Alta
+90o /0o
50
Passa Baixa
100
Passa Faixa
200
-20
Fase
500
1k
2k
-40
5k
0o /-90o
10k
10-2
10
-1
1
1= 100
10
102
20k
Figura 4 – Gráfico Normalizado (f/fc) dos Filtros RC.
50k
1.4 – CONSTANTE DE TEMPO E RISE TIME
100k
1.3 - FREQÜÊNCIA DE CORTE – MÉTODO 7/5 DIV
Para determinar a freqüência de corte mais rapidamente siga os seguintes passos:
1) Observe o sinal de saída através do canal CH2
e ajuste a freqüência em pelo menos uma década abaixo da freqüência de corte (na resposta
plana). Observe que a amplitude não se altera
para pequenas variações de freqüência.
2) Ajuste a amplitude de forma que ocupe 7 divisões pico a pico na tela do osciloscópio.
3) Ajuste a posição vertical de forma que o sinal
ocupe as 7 divisões inferiores.
4) Aumente a freqüência até que a amplitude do
sinal de saída ocupe 5 DIV pico a pico. Nesta
freqüência tensão de saída estará atenuada
3dB e apresentará uma defasagem de 45°.
Podemos associar freqüência de corte fc com
constante de tempo τ e conseqüentemente com Rise Time tR.
ATENÇÃO: É muito importante que o sinal entre
“em regime permanente”, ou seja, que ultrapasse o
tempo de “transição”
f < 1/(5τ)
1
1
=
=1,06kHz
2πRC 2π.15k.10n
τ = RC = 15kΩ.10nF = 150µs
τ = 0,4552.tR tR =RiseTime
fc = 0.35/tR =
fc =
fc =
kHz
τ=
µs
Rise Time tR =
µs
7 DIV x 0,707 = 4,95 DIV ≅ 5 DIV
Trig:CH1
Filtro Passa − Baixa
Figura 3- Oscilograma do filtro passa baixa na freqüência de corte.
UNIFEI / IESTI
CH1:5V/DIV
CH2:5V/DIV
H:1mSEC/DIV
Figura 5 - LAG Resposta a degrau
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3
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R=15kΩ
4
C=10nF
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2 - FILTRO RC PASSA- ALTA (LEAD)
OBJETIVOS
Desenhar a curva de resposta em freqüência.
Determinar a frequência de corte.
Abaixo da freqüência de corte o ganho de tensão
aumenta com o aumento da freqüência numa taxa
de +20dB/DECADA . O sinal mais significa que o
ganho aumenta com o aumento da freqüência.
f Hz
Vopp
Vo/Vi
dB
Fase
10
LISTA DE MATERIAL
Osciloscópio de dois canais.
Gerador de funções: 2-2MHz, 20Vpp
Proto Board
Capacitor de poliéster metalizado:
10nF/250V (1)
Resistores 1/3 W:
15k (1)
20
50
100
200
500
1k
2k
5k
10k
20k
50k
Figura 6- Filtro Passa-Alta (LEAD ou avançador de
fase).
Em regime senoidal, temos
Vo
R
jω RC
ω = 2π f
=
=
+ R 1 + jω RC
Vi
Xc
j ( f / fc)
1
=
fc =
1 + j ( f / fc)
2π RC
Vo
1
=
MODULO
2
Vi
1 + ( fc / f )
φ = arctn ( f c / f )
100k
fc =
kHz
τ=
µs
φ=
Para onda quadrada percebemos um impulso de
corrente (tensão no resistor R) evidenciando o efeito derivativo do filtro passa-alta.
Trig:CH1
FASE
Exatamente na freqüência de corte o ganho de
tensão é -3dB e a sinal de saída está adiantado 45°
em relação ao sinal de entrada.
fc =
1
1
==
= =1,06kHz
2π RC
2π .15k.10n
Vo
1
=
= 0,707
Vi
2
φ = arctn (1) = + 45°
MODULO
FASE
CH1:5V/DIV
CH2:5V/DIV
H:1mSEC/DIV
Figura 7 - Resposta à degrau do Filtro Passa-Alta
Ajustando a freqüência em 100kHz verificamos
que o sinal de saída tem a mesma amplitude que o
sinal de entrada, ou seja, Av=1 ou 0 dB e a tensão
de saída não se altera com a variação da frequência. Estamos na região de freqüência de resposta
plana (flat).
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R=15kΩ
6
C=10nF
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3- FILTRO RC PASSA-FAIXA (LEAD-LAG)
OBJETIVOS
Determinar a freqüência central fo
Determinar a largura de banda BW
Calcular Fator de Qualidade Q
Desenhar a curva de resposta em freqüência
(módulo e fase).
Para determinar a freqüência central com maior
precisão mude o comando do osciloscópio para o
modo XY. Ajuste a freqüência até a elipse se tornar
uma reta com inclinação positiva.
Vi = 12Vpp
f = 1,061kHz
Trig:CH1
LISTA DE MATERIAL
Osciloscópio de dois canais.
Gerador de funções: 2-2MHz, 20Vpp
Proto Board
Indutor: 27mH/20mA
Capacitor de poliéster metalizado:
10nF/250V (2) 100nF/250V (2)
Resistores 1/3 W:
100Ω (1) 300Ω (1) 1k (2)
15kΩ (2)
CH1:2V/DIV CH2:2V/DIV
H:200uSEC/DIV
Figura 8 - Filtro Passa-faixa (LEAD-LAG)
Neste filtro RC passa faixa, para freqüência
menor que a freqüência central o circuito tem comportamento avançador de fase e para freqüência
maior, atrasador de fase.
A defasagem varia desde +90° até -90° com o
aumento da freqüência.
Na freqüência central fo o ganho do circuito é
máximo e o ângulo de fase é 0°.
1
2π R1C1R2C2
1
=
p/ R1=R2=R e C1=C2=C
2π RC
fo =
Figura 9 - LEAD-LAG na freqüência central
Uma vez determinado a freqüência central, aumente a freqüência até o ganho cair 3dB em relação ao ganho máximo (A=0,2356 ou -12,54dB) para
determinar a frequência de corte superior fH .
Em seguida diminua a freqüência até o ganho
cair 3dB(em relação ao ganho máximo) novamente
para determinar a freqüência de corte inferior fL.
Ao =Vo/Vi=
Ao(dB) =20Log(Vo/Vi) =
dB
fo=
Hz
f H (ALTA) =
Hz
Para componentes iguais, R1=R2=R e C1=C2=C a
amplitude do sinal de saída, na freqüência central, é
1/3 da amplitude do sinal de entrada.
Ao = Av ( f o ) = 0,3333 ou
− 9,54dB
fL (BAIXA) =
1
2π RC
BW = f H − f L
f
Q= o
BW
fo =
UNIFEI / IESTI
φH=
Hz
φL=
BW =
Hz
Q=
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R=15kΩ
f Hz
4 - FILTRO PASSA-FAIXA (RLC SÉRIE)
C=10nF
Vopp
Vo/Vi
dB
Fase
10
20
O circuito RLC série pode funcionar como filtro
passa-faixa e como passa-alta e passa-baixa de
segunda ordem (40dB/Decada ou 12 dB/Oitava)
Como Filtro Passa-Faixa quanto menor for o valor da resistência R maior será o Fator de Qualidade do filtro.
50
100
Como filtro passa-baixa e passa-alta, quanto
menor a resistência R maior será o “pico de ressonância” e o “over-shoot”
200
500
1k
CH1 A
2k
5k
+ VC −
+
E
10k
20k
B
CH2 C
+ VL −
-
-
50k
+
VR
GND/GF: Isolado
GND/Osciloscopio
100k
Figura 11- filtro Passa-Faixa RLC-série.
f = 200Hz
Trig:CH1
Observações:
1) A amplitude da tensão no capacitor e no indutor
pode ser maior que a amplitude do sinal da fonte E se R<RCrítico. Quanto menor o valor de R
maior será a amplitude de VL e VC.
2) Abaixo da freqüência de ressonância “fo” o circuito se comporta como circuito capacitivo –
corrente adiantada da tensão E.
CH1:5V/DIV CH2:5V/DIV
3) Acima da freqüência de ressonância o circuito
se comporta como circuito indutivo – corrente
atrasada da tensão E.
H:1mSEC/DIV
0
dB
+90o
fo =
Fase
Passa Faixa
1
2π LC
=
4) O circuito oscila para resistência menor que a
resistência crítica (RCritico=1,0394kΩ para
L=27mH e C=100nF)
-20
0o
R Critico = 2
L
C
RLC Serie
-40
-90o
10-2
10
-1
1= 100
1
10
10 2
Figura 10- Resposta à degrau e Curva de Resposta
em Freqüência do filtro LEAD-LAG
8
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BW = f H − f L
f
Q= o
BW
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R=
1KΩ
300Ω
1. Observe na Figura 13 que não existe oscilação
uma vez que o “sistema” é superamortecido.
2. Observe que a tensão no capacitor é “mais suave”, propriedade do filtro passa-baixa (atenua
altas freqüências)..
3. Por outro lado a tensão no indutor apresenta
descontinuidades porque o indutor impede variação brusca de corrente, absorvendo todo
transiente de tensão, propriedade do filtro pasas-alta..
100Ω
Ao =Vo/Vi =
pu
AodB =
dB
f o=
Hz
φo=
f H (ALTA) =
Hz
φH=
fL (BAIXA) =
R = 1kΩ
Hz
f = 100Hz
Trig:CH1
φL=
BW =
Hz
Q=
VC/E=
pu
VL/E=
pu
RCritico=1,0394kΩ
L=27 mH
C=100nF
R
fo
BW
Q
1kΩ
3,062kHz
5,90kHz
0,52
300Ω
3,062kHz
1,77kHz
1,72
100Ω
3,062kHz
0,60kHz
5,09
1
2
3
5
8
1
2
3
5
8
1
2
3
5
CH1:5V/DIV CH2:5V/DIV
8
1
Figura 12- Curva de Resposta em Frequência do filtro
passa-faixa RLC série.
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H:1mSEC/DIV
Figura 13- Resposta à degrau do filtro passa-faixa
RLC-série R=1kΩ.
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1. Observe que a amplitude da onda senoidal “filtrada” corresponde a componente harmônica
da onda quadrada 4/π=1,27.
ସ
ସ
ସ
݂ሺ‫ݐ‬ሻ = గ sinሺ߱‫ݐ‬ሻ+ ଷగ sinሺ3 ߱‫ݐ‬ሻ + ହగ sinሺ5 ߱‫ݐ‬ሻ + ⋯
5 - FILTROS RLC SÉRIE PASSA-BAIXA E PASSA-ALTA
O circuito RLC série pode funcionar como Filtro
Passa-baixa (40dB/década), Passa-alta (40
dB/década) e Passa-faixa (Q em função do valor de
R) .
2. O capacitor absorve toda componente contínua do circuito
3. O indutor não apresenta componente contínua
de tensão.
4. Quanto mais seletivo for o filtro passa –faixa,
maior é a sensibilidade no ângulo de fase.
R = 100Ω
f = 100Hz
CH1:5V/DIV CH2:2V/DIV
Trig:CH1
H:1mSEC/DIV
Figura 15- Filtros RLC-série: a) passa- faixa,
b) passsa-alta e c) passa-baixa
f Hz
Vopp
Vo/Vi
10
20
50
100
200
500
1k
2k
3k
5k
10k
20k
Figura 14- Resposta à degrau do filtro passa-faixa
RLC-série R=100Ω - Sistema sub amortecido
50k
100k
10
UNIFEI / IESTI
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dB
Fase
EEL211 - Laboratório de Circuitos Elétricos
VR
+2
0d
VR
da
eca
D
/
B
VC
Laboratório No 9
L=27mH
C=100nF
R=1kΩ
R=300Ω
R=100Ω
VC
B/
0d
-4
a
ad
ec
D
VL
VL
+4
B
0d
ad
ec
/D
a
IE
IE
Figura 16- Resposta em freqüência e Resposta a degrau dos filtros RLC-série. R=100Ω, 300Ω, 1kΩ
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11
Laboratório No 9
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f Hz
12
Vopp
Vo/Vi
dB
Fase
f Hz
10
10
20
20
50
50
100
100
200
200
500
500
1k
1k
2k
2k
3k
3k
5k
5k
10k
10k
20k
20k
50k
50k
100k
100k
UNIFEI / IESTI
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Vopp
Vo/Vi
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dB
Fase
Laboratório No 9
EEL211 - Laboratório de Circuitos Elétricos
f Hz
Vopp
Vo/Vi
dB
Fase
f Hz
10
10
20
20
50
50
100
100
200
200
500
500
1k
1k
2k
2k
3k
3k
5k
5k
10k
10k
20k
20k
50k
50k
100k
100k
UNIFEI / IESTI
Kazuo Nakashima & Egon Luiz Muller
Vopp
Vo/Vi
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dB
Fase
13
Laboratório No 9
EEL211 - Laboratório de Circuitos Elétricos
f Hz
Vopp
Vo/Vi
dB
Fase
f Hz
10
10
20
20
50
50
100
100
200
200
500
500
1k
1k
2k
2k
3k
3k
5k
5k
10k
10k
20k
20k
50k
50k
100k
100k
Vopp
Vo/Vi
dB
Fase
Itajubá, MG,dezembro de 2016
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