n. 20 – CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE Uma sentença

n. 20 – CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE
Uma sentença condicional “Se 𝑃 então 𝑄” pode ser
considerada como uma sentença implicativa 𝑃 → 𝑄 e 𝑄 → 𝑃.
Outras formas de apresentar uma sentença implicativa do
tipo: 𝑃 → 𝑄 ao se enunciar teoremas é:
𝑃 é (𝑢𝑚𝑎)𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑄.
𝑄 é (𝑢𝑚𝑎)𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑠á𝑟𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑃.
Uma sentença implicativa 𝑃 → 𝑄 ou condicional “Se 𝑃
então 𝑄” é valida, caso seja possível provar a sentença 𝑄, todas as
vezes em que considerarmos que 𝑃 é verdadeiro.
Quando isso acontece, observe ser suficiente 𝑃 valer para
que a sentença 𝑄 valha.
Ou ainda, é necessário 𝑄 valer todas as vezes que a sentença
𝑃 valer.
Exemplo: Suponha que T seja a asserção Pedro é terráqueo, e
B seja a asserção Pedro é brasileiro.
Como Pedro é brasileiro, e todo o brasileiro é um terráqueo,
concluímos que Pedro é terráqueo, logo, 𝐵 → 𝑇, isto é:
 Pedro é brasileiro, implica Pedro é terráqueo.
 Pedro ser brasileiro é uma condição suficiente para
Pedro ser terráqueo.
 Pedro ser terráqueo é uma condição necessária para
Pedro ser brasileiro.
Observe que, é suficiente (é bastante) Pedro ser brasileiro
para ser terráqueo. Por outro lado, como não há brasileiros que
não sejam terráqueos, é necessário Pedro ser terráqueo para ser
brasileiro.
Exemplo de reenunciar utilizando os termos necessário e
suficiente:
“Se dois números inteiros terminarem em 6, então o mesmo
ocorre com seu produto.”
 Dois números inteiros terminarem em 6 é condição
suficiente para que seu produto termine em 6.
 O produto de dois números terminar em 6 é condição
necessária para que esses números terminem em 6.
 Uma condição suficiente para o produto de dois números
terminar em 6 , é que esses números terminem em 6.
 Uma condição necessária para dois números terminarem
em 6 é que seu produto termine em 6.
Os exercícios a seguir foram retirados do livro “Um convite à
Matemática”, do autor: Daniel Cordeiro de Morais Filho, 2013.
1. Reescreva cada teorema a seguir, usando primeiramente os
termos condição necessária, e depois, usando os termos
condição suficiente (DE MORAIS FILHO, 2013, p. 87, 88):
a. Se dois números terminarem em 76, então o mesmo ocorre
com o produto desses números.
b. Se os elementos do conjunto { a, b, c, d, e} são a= 10, b = 11, c =
12, d= 13 e e = 14, então estes elementos formam uma
sequência de cinco números inteiros consecutivos não
negativos, que satisfazem a identidade 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 = 𝑑 2 +
𝑒2 .
c. O determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 é nulo,
sempre que essa matriz possuir duas colunas proporcionais.
d. Um número inteiro é divisível por 4, quando o número formado
pelos seus dois últimos algarismos for divisível por 4.
e. Todo polígono regular pode ser inscrito em um círculo.
2. Reescreva cada teorema abaixo na forma condicional “Se...,
então...”.
a. Uma condição necessária para um número ser divisível por 6 é
que ele seja simultaneamente divisível por 2 e por 3.
b. Uma condição suficiente para que um triângulo seja isósceles é
que ele tenha dois ângulos internos congruentes.
c. Uma condição necessária para que dois números terminem em
1 é que seu produto também termine em 1.
3. Reescreva a sentença condicional de três maneiras distintas:
“Se o número 𝑛4 + 4 for primo, para algum 𝑛 ∈ ℕ , então 𝑛 = 1.”
Resolução:
1. Reescreva cada teorema a seguir, usando primeiramente os
termos condição necessária, e depois, usando os termos
condição suficiente (DE MORAIS FILHO, 2013, p. 87, 88):
a. Se dois números terminarem em 76, então o mesmo ocorre
com o produto desses números.
O produto de dois números terminar em 76 é condição
necessária para que esses números terminem em 76.
Dois números terminarem em 76 é condição suficiente para
que o produto desses números termine em 76.
b. Se os elementos do conjunto { a, b, c, d, e} são a= 10, b = 11, c =
12, d= 13 e e = 14, então estes elementos formam uma
sequência de cinco números inteiros consecutivos não
negativos, que satisfazem a identidade 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 = 𝑑 2 +
𝑒2
As igualdades a= 10, b = 11, c = 12, d= 13 e e = 14 valerem é
uma condição suficiente para os elementos do conjunto { a, b, c,
d, e} formarem uma sequência de cinco números inteiros
consecutivos não nulos que satisfazem a identidade
𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 = 𝑑 2 + 𝑒 2 .
Os elementos do conjunto { a, b, c, d, e} formarem uma
sequência de cinco números inteiros consecutivos não nulos
que satisfaçam a identidade
𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 = 𝑑 2 + 𝑒 2 é
condição necessária para que a= 10, b = 11, c = 12, d= 13 e e =
14 .
c. O determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 é nulo,
sempre que essa matriz possuir duas colunas proporcionais.
O determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 ser nulo, é
condição necessária para que essa matriz possua duas colunas
proporcionais.
Uma matriz quadrada de ordem 3 possuir duas colunas
proporcionais é condição suficiente para que seu determinante
seja nulo.
d. Um número inteiro é divisível por 4, quando o número formado
pelos seus dois últimos algarismos for divisível por 4.
Uma condição necessária para que um número seja divisível
por 4 é que o número formado pelos seus dois últimos
algarismos seja divisível por 4.
Uma condição suficiente para que o número formado pelos dois
últimos algarismos de um outro número seja divisível por 4 é
que esse último número seja divisível por 4.
e. Todo polígono regular pode ser inscrito em um círculo.
Uma condição necessária para que um polígono seja regular é
que ele possa ser inscrito em um círculo.
Uma condição suficiente para que um polígono possa ser
inscrito em um círculo é que esse polígono seja regular.
2. Reescreva cada teorema abaixo na forma condicional “Se...,
então...”.
a. Uma condição necessária para um número ser divisível por 6 é
que ele seja simultaneamente divisível por 2 e por 3.
Se um número for divisível por 6, então ele é divisível por 2 e
por 3 simultaneamente.
b. Uma condição suficiente para que um triângulo seja isósceles
é que ele tenha dois ângulos internos congruentes.
Se um triângulo tiver dois ângulos internos congruentes,
então ele é isósceles.
c.
Uma condição necessária para que dois números terminem
em 1 é que seu produto também termine em 1.
Se dois números terminem em 1, então o produto deles
também termina em 1.
3. Reescreva a sentença condicional de três maneiras distintas:
“Se o número 𝑛4 + 4 for primo, para algum 𝑛 ∈ ℕ , então 𝑛 = 1.”
O número 𝑛4 + 4 é primo para algum 𝑛 ∈ ℕ ⟹ 𝑛 = 1
 Uma condição suficiente para que 𝑛 = 1 é que o número
𝑛4 + 4 seja primo para algum 𝑛 ∈ ℕ.
 O número 𝑛 ser 1 é condição necessária para que o número
𝑛4 + 4 seja primo para algum 𝑛 ∈ ℕ.
 Um número da forma 𝑛4 + 4, 𝑛 ∈ ℕ é primo apenas para
𝑛 = 1.
 O único caso em que 𝑛4 + 4, 𝑛 ∈ ℕ é primo é quando 𝑛 = 1.
Referências Bibliográficas
DE MORAIS FILHO, Daniel Cordeiro. Um Convite à Matemática. 2. Ed. Rio de Janeiro: SBM –
Coleção Professor de Matemática, 2013.