LISTA DE EXERCÍCIOS – Questões de

LISTA DE EXERCÍCIOS – Questões de Vestibulares
1) UFBA 92
1 2
 3 − 1




Considere as matrizes A =  1 1  e B =  2 0 
2 1
3 1 




Sabendo-se que X é uma matriz simétrica e que AX = B, determine 12y11- 4y12, sendo
Y = (yij) = X-1
R) 4
2) UFBA 95
a b 
2 - 1
- 2 3
B=
C=
Dadas as matrizes A = 



c d 
1 3 
 4 1
Pode-se afirmar:
(01) se A-1 = B, então b+c = 0
 − 10 9 
(02) C t + B.C = 

 13 7 
(04) A matriz B é uma matriz simétrica
(08) O produto da matriz A por sua transposta só é possível porque A é uma matriz
quadrada
− 3
(16) a soma dos termos da matriz X, tal que BX =   é igual a zero
2
R) 19
3) UFBA 90
 2 3
Sendo 
.
5 7 
x  1
 y  = 3 , determine x – 5y
   
R) 7
4) UFBA 94
1 2
aij , se i = j
Considere as matrizes A = ( aij) 3x2 = 1 0 B = (bij) 2x3, sendo bij = 
a ji , se i ≠ j
0 1 
1 1 
C= 
 uma matriz simétrica
 x 0
Indique as afirmativas verdadeiras:
I - a soma dos elementos da diagonal principal de C –1 tem módulo 1
xII – Existe a matriz S = Bt . At + C
 2 4
t
III- A + B = 2 0 e BA é uma matriz quadrada
0 2
IV- det AB = 0
1 1 0
V- B = 
 e x = -1
2 0 1 
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(01) apenas as afirmativas I II e IV são verdadeiras
(02) apenas as afirmativas I III e IV são verdadeiras
(04) apenas as afirmativas I III e V são verdadeiras
(08) apenas as afirmativas II III e V são verdadeiras
(16) apenas as afirmativas II IV e V são verdadeiras
5) UFBA
3 x + 5 y = 1

O sistema 2 x + z = 3
5 x + py − z = 0

É impossível para um nº real p. Determine m = 3p
R)35
6) UFBA
2 0 
 3 − 1
 , considere a matriz X tal que X = A t.
 e B = 
Dadas as matrizes A = 
0
−
2
4
2




B- 6B –1. Sabendo que o traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua
diagonal principal, determine o traço da matriz X
R) 2
7) UFBA 88
 − 1 0
 2 3
eB= 
Dadas as matrizes A = (aij) 2x2 e B = (bij) 2x2 , sendo A = 
 , pode
 2 1
 − 1 4
se afirmar:
 4 − 3
(01)o produto da matriz M = [2 -1] pela matriz A é a matriz 

 − 2 − 4
 1 5
(02) a soma da matriz A com a matriz transposta de B é a matriz 

 − 1 5
 2 0
(04) a matriz C = (cij) 2x2 onde cij = aij se i =j e cij = bij se i ≠ j é 

 2 4
 a − 3
(08) a matriz M = 
 é simétrica da matriz A se a = -2 e b = 4
1 − b 
(16) a soma dos termos da matriz A = (aij) 2x2 e (bij) 2x2 tais que i < j é 5
(32) o determinante da matriz B é igual a 2
 − 1 0
(64) a matriz inversa da matriz B é 

 2 1
R) 78
8) UFBA
Seja a matriz A = ( a rs) 3x4 onde a
satisfazem a condição r > s
R) 50
9) UFBA 97
rs
= ( r+ s)2, calcule a soma dos elementos que
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 x + 2 y + az = 0

Considere o sistema bx + 3 z = −1
 x + 3 y − 2 z = −2

E sejam A: a matriz incompleta formada pelos coeficientes das incógnitas
B: a matriz completa associada ao sistema
C: a matriz dos termos independentes
Nessas condições, pose-se afirmar:
(01) sendo a = 1 e b = 2, A é uma matriz simétrica
(02) se a = b = -1 então o determinante de A = -5
1
1 b
2 0
3 
(04) a matriz transposta de B é 
 a 3 − 2


 0 − 1 − 2
(08) para a = b = -1, a soma dos termos da 3ª coluna da matriz inversa de A é igual a –
3/2
− 2(a + 1)

6
(16) A .C = 

 − 7 
(32) se S = ( m,n,p) é a solução do sistema para a = b = -1
então m+n+p = 19/4
R) 13
10) UFBA
8 − 3
 2 4 2
 5




Sejam as matrizes A =  0 5 0  e B =  − 7 − 4 2  Calcule o determinante
− 3 6 1
 2
3 − 1 



associado à matriz A t - B
R) 86
11) UFBA 96
Sobre determinantes, matrizes e sistema de equações lineares, pode-se afirmar:
2 x + 3 y + kz = 0

(01) O sistema kx + 2 y + 2 z = 0 é determinado se k ≠ 2 e k ≠ 3
x + y + z = 0

2
a
a 1 a 2 +1 a 1
(02) b 2 b 1 = b 2 + 1 b 1
c2
c 1
c 2 +1 c 1
(03) Sendo a matriz quadrada de ordem 3, tal que det A = 5, tem-se que
det (2A)= 10
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 1 a b 


( 08) Se A =  9 2 − 5  é matriz simétrica então a+b+c= 2
− 2 c 3 


2
x
−
my
=
3

admire uma infinidade de soluções, se m=2 ou m = -2
(16) O sistema 
mx − 2 y = 1
(32) se A é matriz 3x4 e B é matriz 4x2, então 3A . 5B é matriz 3x2
(64) 4 .
1
2 −3 − 4
−3 −2 1
4
0
5
0
6
0
0
− 7 −8
= 44
R) 43
12) UFBA
 x + 2 y + z = 10

O sistema 3 x + 4 y = 12
é indeterminado para algum valor de a e de b.
4 x + 2 y + az = b

Calcule a + b
R) 19
13)(ITA-SP)
y 
 2 x 0
2 3




Dadas as matrizes reais A=  y 8 2  e B=  0 8
2 
 1 3 1
 x 3 x − 2




Analise as afirmações
I.
A = B sse x=3 e y=0
4 5 1


II.
A+B=  1 16 4  sse x=2 e y=1
3 6 1


 0  1
   
III.
A .  1  =  3  sse x=1
 0   3
   
E conclua:
a) apenas a afirmação II é verdadeira
b) apenas a afirmação I é verdadeira
c) as afirmações I e II são verdadeiras
d) todas as afirmações são falsas
e) apenas a afirmação I é falsa.
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14) UFBA
3 x + y + 4 z = 0
 x + y + 3z = b

Dado o sistema S= 
conclui-se
2 x − 3 y + z = 0

(01) ∆ x - ∆ é divisível por 5 , se b = -5
(02) 0 valor se x no sistema ∈ Z se b = -5
(04) ∆ y = 0 se b = 0
(08) o sistema admite solução (0, 0 ,0 ) se b = 0
2
 
(16) sendo M a matriz dos coeficientes das incógnitas de S e C =  1  , então M . C não
3
 
está definido.
(32) ) sendo M a matriz dos coeficientes das incógnitas de S e B é a matriz
 − 2 −1 0 


4 5
 3
 2
0 2 

3
2 
 7


t
tem-se M – 2B =  − 5 − 7 − 13 
 0
3
− 3 

R) 45
15) UFBA 90
1 0
2 1
Calcule o determinante da matriz 
0 0

1 − 1
2 − 1
3 − 2
2 3

0 2
R)15
16) ITA 91
x + z + w = 0

2
 x + ky + k w = 1
Considere o sistema P = 
 x + ( K + 1) z + w = 1
 x + z + kw = 2
Podemos afirmar que P é possível e determinado quando:
a) k ≠ 0
b) k ≠ 1
c) k ≠ - 1
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d) k ≠ 0 e k ≠ - 1
e) n.d.a
17) ITA 96
7 a −1
 3a − 1
e
B
=
Seja a ∈ R e considere as matrizes reais 2x2, A = 


a
 7
− 1 3 
8 a −3 

2 −3 
O produto AB será inversível se somente se :
A) a 2 –5a +6 ≠ 0
B) a 2 – 2a +1 ≠ 0
C) a 2 –5a ≠ 0
D) a 2 –2a ≠ 0
E) a 2 – 3a ≠ 0
18) ITA
3 x − 2 y + z = 7

Analisando o sistema  x + y − z = 0
concluímos que este é:
 2 x + y − 2 z = −1

a) possível e determinado com xyz = 7
b) possível e determinado com xyz = -8
c) possível e determinado com xyz = 6
d) possível e indeterminado
e) impossível
19) UFBA 89
Seja X a matriz 2x2 tal que A –1X tB =A
3 0 
 2 0
Sabendo-se que A = 
eB=

 calcule det X
2 2 
0 1 
R) 18
20) UFBA 91
Chama-se matriz completa do sistema à matriz formada pelos coeficientes das
incógnitas e pelos termos independentes. Chama-se matriz principal do sistema a matriz
formada pelos coeficientes das incógnitas
Considerando o sistema
x − z = 1
kx + y + 3 z = 0

, pode-se afirmar:

 x + ky + 3 z = 1

(01) se k = 2 o sistema é determinado
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k 1

1 k
3 3

0 1 
 1 0 −1 


(04) a matriz inversa da matriz principal, quando k=0 é  0 1 1 / 3 
 1 0 1 / 3


1

0
(02) a matriz transposta da matriz completa é 
−1

1

(08) o elemento a 23 da matriz principal A = (aij) 3x3 é 3
0 − 1

0 0
0 − 1
 2 0 −1
 3 0 − 2




(32) a soma da matriz  0 2 − 2  com a matriz principal é a matriz  k 3 1 
 −1 0 −1
0 k 2 




1 0

(16) o produto da matriz ( 1 2 0 –1 ) pela matriz completa é a matriz  k 2
 1 2k

R) 43
21 ) UFBA 2001
1 
1 1


Sabendo-se que o determinante da matriz inversa de 1 x + 1
2  é igual a – 1/4 ,
1 1
x − 3 

determine x
R) 2
22) UFBA 99
a 1 
-1
Sendo A = 
 com a+b = 4, a .b=3 e a<b, B = A , X =
2
b


(01) det A = 1
 3 − 2
(02) B = 

− 1 1 
(04) det A . det B = 1
 2
(08) se A.X = C, então X =  
 3
 x
- 2
 y  e C =  1  , é verdade:
 
 
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0
(16) se BX =   , então X =
0
(32) det ( A+5B)t = 96
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 2
 3
 
R) 05
23) UFBA 2000
1 
a +1 0
1 1




1 0 1 
 e sabendo-se
Dada as matrizes A =  0
1
a  , B=  0 1  e C = 
1 1 0 
 0



0 a + 1

1 0
que detA = 4a , pode-se afirmar:
(01) a soma dos elementos da diagonal principal de A é igual a 6
(02) B + 2C t = 9B
1  2 − 1

(04) a matriz inversa de CB é 
3  − 1 2 
x
   0
(08) as soluções do sistema C  y  =   são da forma ( x, -x, -x) , x ∈ R
 z   0
 
 x   0
   
(16) o sistema A  y  =  0  tem solução única
 z   0
   
R) 28
24 UFBA 2002
 3!
(-2) 2 
 sen x cos x 

Considerando-se as matrizes A = 
 , é
− 1 −2  e B = 
 log 2 16 ( ) 
 − cos x sen x 
3


correto afirmar:
(01) O determinante da matriz A é um número maior que 50
(02) A matriz B é inversível, qualquer que seja x ∈ R
(04) Existe x ∈ R, tal que o determinante da matriz A . B é menor que 36
π
(08) A matriz B é simétrica. Se e somente se x = + kπ , para algum k ∈ Z
2
(16) a matriz B é diagonal, se e somente se senx = ± 1
Resp. 26
24 UFBA 2002
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Considerando-se
as
matrizes
M
=
a 1 1
d 
x


 
 
1 0 1
 e X =  y  em que a, b, c, d , k são números
 b − 1 1  , N =  2  , P = 
 0 k 2
 c 0 0
0
z


 
 
reais e c ≠ 0 , pode-se afirmar:
(01) M é inversível, e a soma dos termos da primeira coluna de M -1 é igual a 1, para
quaisquer valores a, b ∈ R com c ∈ R *
(02) O determinante da matriz 2M é igual a 4c
3 / 2
 , então d.k = 3/4
(04) Se P.N = 
 1 
 0
 
(08) A solução do sistema M.X =  1  satisfaz a equação x+y+z = 0
 0
 
(16) Existem a, b ∈ R, c ∈ R * tais que M t = M
 0
(32) Para todo k ∈R, o sistema P.X =   é possível e indeterminado
 0
Resp. 45
UFBA 2003
 x + 2 y + kz = 1

Considerando-se o sistema de equações S :  x + y + z = −1 e as matrizes B =
kx + y + z = 0

x
1 2 k 
1
 


 
 1 1 1  , C =  − 1 e X =  y  , sendo k um número real, pode-se afirmar:
z
k 1 1
0
 


 
(01) A matriz transposta de B.C é a matriz linha ( 1 1 k-1 )
 1 2 − 2


-1
(02) A matriz inversa de B, para k = 0, é a matriz B =  1 − 1 1 
 −1 1
1 

(04) S é um sistema determinado se k ≠ 1 e k ≠ 2
(08) O terno ( -1, 1, -1 ) é a única solução do sistema S, para k = 0
(16) O sistema S é possível e indeterminado, para k = 1
 0
 
(32) O conjunto solução do sistema homogêneo B.X =  0  , para k = 1, é
 0
 
{( x , 0 , -x ) x ∈R }
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Resp 44
UFMT
Uma empresa fabrica três produtos.Suas despesas de produção estão divididas em
três categorias (tabela I). Em cada uma dessas categorias,faz-se uma estimativa do custo
de produção,de um único exemplar de cada produto. Faz-se ,também, uma estimativa da
quantidade de cada produto a ser fabricado por estação (tabela II)
Tabela I
Custo de produção por item(em dólares)
Catrgorias
Matéria prima
Pessoal
Depesas gerais
produto
B
0,30
0,40
0,20
A
0,10
0,30
0,10
C
0,15
0,25
0,15
Tabela II
Quantidade produzida por estação
Catrgorias
estação
verão
outono
inverno
primavera
A
4000
4500
4500
4000
B
2000
2600
2400
2200
C
5800
6200
6000
6000
As tabelas I e II podem ser representadas, respect.pelas matrizes
 0,10 0,30 0,15 
 4000 4500 4500 4000 




M=  0,30 0,40 0,25  e  2000 2600 2400 2200  . A empresa apresenta a seus
 0,10 0,20 0,15 
 5800 6200 6000 6000 




acionistas uma única tabela mostrando o custo total por estação se cada uma das três
categorias:matéria prima,pessoal e despesas gerais. A partir das informações
dadas,julgue os itens.
0) a tabela apresentada pela empresa a seus acionistas é representada pela matriz
MP de ordem 3x4
1) os elementos da 1ª linha de MP representam o custo total de matéria prima para
cada uma das quatro estações
2) o custo com despesas gerais para o outono será de 2160 dólares.
resp.0)v
1) v
2) Custo = 1900 dólares.
Unifesp
0
2 
1


Considere a matriz A=  2 sen x
0  , onde x varia no conjunto dos números reais.
0
2
cos x 

Calcule:
a) o determinante da matriz A
b) o valor máximo e o valor mínimo deste determinante.
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Resp. a) det A =
1
sen2x+8
2
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b) v máx = 8,5 e v mín = 7,5
UFBA
Sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares, pode-se afirmar:
1 
1 2


(01) Se A=  2 5 4 − 3 x  é matriz simétrica, então x ∈ ] - ∞ ,2]
1 x2
0 

(02) Se B é uma matriz tal que [ 0 1 0 ] .B = [ 2 1 0], então a 2ª coluna da
 2
transposta de B é 1 
0 
(04) Se as ordens das matrizes M, N, P e MN+P são respectivamente, 3xa, 2xb, cxd e
3x3, então a+b+c+d=10
x − y + z = 0
tem como única solução ( 0 0 0 )
(08) O sistema 
x + y + 2z = 0
ax + y = 2
a 1 
é determinado
= 0, então s sistema 
(16) Se det 

2 x + 2 y = 3
2 b
x + y = 3
e S2 é o conjunto solução do
(32) Se S1 é o conjunto solução do sistema 
2 x + 3 y = 7
x − y = 1
então S1 ∩ S2 = { ( 2 , 1 )}
sistema 
3 x − 3 y = 3
R) 35
UFBA 99
Sobre determinantes, matrizes e sistemas de equações lineares, é verdade:
2 1
(01) Se A = 
 e X = A-1 + A2 , então det Xt =65
0
2


2 3 1 


(02) Se A =  1 1 − 1 e f(x) = x2 –x +1, então f [( det A-1)] = ¾
1 2 0 


1 sen x cos x 


(04) Se A= 1
0
0  , então detA + sen2x = 0
1 − sen x cos x 


(08) As retas 2x-3y=1 e x-y=3 interceptam-se no ponto (4 , 5)
2 x + 3 y − z = 2

(16) O sistema  x − y + z = 1
admite uma infinidade de soluções
x + y − z = 3

Arquivo: Questões matrizes-2003.doc
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 x + mz = 0

(32) O conjunto de valores de m para os quais o sistema mx + y = 0 admite
 x + my = 0

solução não-nula é { -1 , 0 , 1 }
R) 38
UFBA
 2 − 1


 - 1 2 3
−1 a 
 ; C = 
A =  − 2 2  ; B = 
 , com a = det (A.B).
 2 1 1
 3 6
 0

1

Considerando-se as matrizes acima, pode-se afirmar:
(01) A.B é matriz inversível
(02) det C + det (A.B) = 6
(04) A.B + B.A = I3 , sendo I3 a matriz identidade de ordem3
(08) det( Ct ) : det ( C-1 ) = 36
(16) A matriz C + Ct é simétrica
x
(32) Sendo X =   , B1 a matriz formada pela 1ª coluna de B e CX = B1, tem-se
 y
-1
que x.y = -6
R) 58
(UFBA 2006 – 1ª etapa)
Os estoques de gasolina,álcool e diesel de três postos de combustíveis são dados, em
milhares de litros, na tabela a seguir, sendo c e k números reais não negativos.
Posto 1
Posto 2
Posto 3
Gasolina
2
1
c
Álcool
1
4
k
Diesel
1
k
1
Seja M a matriz formada pelos estoques da cada combustível em cada posto, na mesma
disposição da tabela dada. Sabe-se que o preço por litro de cada combustível é o mesmo
nos três postos.
Com base nessas informações, é correto afirmar:
01) Se c = 1, então a matriz M2 é simétrica.
02) Se c = 1, então a matriz M é inversível, para todo k ∈ [ 0, + ∞ [.
04) Se c = 3, então existe k ∈ [ 0, + ∞ [ para o qual e determinante da matriz M é nulo.
08) Conhecendo-se os preços por litro de álcool e de diesel e sabendo-se que o primeiro
é maior que o segundo, então existe k ∈ [ 0, + ∞ [ tal que a soma dos estoques desses
dois combustíveis, no posto 2, é igual a mesma soma no posto3.
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16) Assumindo-se que c = 3, k = = e que a soma dos valores dos estoques nos postos 1,
2 e 3 são, respectivamente, R$8800,00, R$ 10800,00 e R$9600,00, então a soma dos
preços, por litro, de cada combustível é igual a R$6,00.
R) 01 + 08 + 16 = 25