Mecânica Clássica I Pr

Universidade Federal do Pará
Instituto de Ciências Exatas e Naturais
Faculdade de Física
Disciplina: Mecânica Clássica I
Professor: Jaime Urban
Lista de Exercícios № 4
1) Uma partícula move-se ao longo de uma curva cujas equações
paramétricas são:
3 ,
4 sen3,
5 cos3,
escritas em unidades SI.
a) Escreva os vetores velocidade e aceleração da partícula n instante t.
b) Qual é o valor da velocidade da partícula quando t = 0?
c) Determine a aceleração tangencial e a aceleração normal da partícula
em função do tempo.
2) Mostre que força ̂ , onde é a distância a uma origem e ̂ um
versor na direção radial em relação a essa origem, é uma força
conservativa.
3) Uma partícula de massa m se move sobre a ação de uma força central cujo
potencial é , onde 0.
a) para quais valores de energia e de momento angular a órbita seria um
circulo de raio a em torno da origem?
b) Qual é o período do movimento circular ?
c) Se a partícula sofre uma pequena perturbação no seu movimento
circular, qual será o período de pequenas oscilações em torno de r = a?
d) Há alguma aproximação física implícita nas expressões que você
escreveu? Em caso de resposta positiva, explique a aproximação feita.
Justifique sua resposta.
4) A distância do periélio (mais próxima) ao Sol do planeta Marte é de
2,06 ! 10# Km, e a distância do afélio (maior afastamento) é de 2,485 !
10# Km. Suponha que a Terra se mova no mesmo plano que Marte em um
círculo cujo raio tem 1,49 ! 10# Km e um período de um ano. A partir destes
dados, determine a velocidade de Marte no periélio. Suponha que o foguete
espacial Mariner seja lançado de forma que seu periélio esteja na órbita
terrestre e o seu afélio, esteja no periélio de Marte. Determine a velocidade
do Mariner relativa a Marte no ponto onde eles se encontram. Qual deles
tem a velocidade mais elevada? Qual deles tem a maior velocidade angular
média durante o período de vôo?
5) Uma partícula move-se com uma aceleração dada por:
& 2 ̂' ( 5 cos ̂ ) 3 sen ̂* ,
escrita em unidades SI. Sabe-se que no instante 0 + a partícula se encontra
no ponto 1, )3, 2 , e tem velocidade -. 4̂' ) 3̂ ( 2̂* /,⁄+]. Determine:
a) o vetor velocidade instantânea da partícula;
b) a lei horária do movimento.
6) Prende-se uma pequena bola na extremidade de um elástico que é posto a
rodar de tal forma que o vetor posição da bola é dado por:
1 cos2̂' ( 21 sen2̂ ,
onde 1 e ω são constantes.
a) Mostre que a trajetória da bola é uma elipse.
b) Determine a velocidade da bola em função do tempo.
c) Em que instantes o afastamento da bola relativamente à origem é
máximo e mínimo? Qual a velocidade da bola nesses instantes?
7) Uma mosca move-se seguindo um percurso helicoidal dado por
1 sen2̂' ( 1 cos2 ̂ ( 3 ̂* .
a) Mostre que a aceleração da mosca é constante desde que 1, 2 e 3 sejam
constantes.
b) Determine as componentes tangencial e normal da aceleração da
mosca em função do tempo.
8) Uma abelha deixa a colmeia seguindo um percurso em espiral que em
coordenadas polares é dado por
1 4
e
5 3,
onde 1, e 3 são constates positivas.
a) Mostre que o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração se
mantém constante à medida que a abelha se move.
b) Determine as componentes tangencial e normal da aceleração da
abelha em função do tempo.
9) O vetor posição de uma partícula que se move em uma trajetória espiral é
3 cos2 ̂' ( 3 sen2 ̂ ( 8 ) 4̂* .
a) Utilizando coordenadas cilíndricas, escreva:
i) O vetor posição;
ii) O vetor velocidade da partícula e mostre que a velocidade tem
módulo constante;
iii) O vetor aceleração da partícula.
b) Calcule o raio de curvatura desta trajetória.