Aula 21

Mecânica I (FIS-14)
Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá
Sala 2602A-1
Ramal 5785
[email protected]
www.ief.ita.br/~rrpela
Onde estamos?
●
Nosso roteiro ao longo deste capítulo
–
Princípio do impulso e quantidade de movimento
●
●
Uma partícula
Sistema de partículas
–
Conservação da quantidade de movimento
–
Impacto
–
Torque e momento angular
●
●
–
Uma partícula
Sistema de partículas
Propulsão com massa variável
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Momento angular (ou quantidade de
movimento angular)
–
Mede a quantidade de movimento de
“rotação”
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Momento angular (ou quantidade de
movimento angular)
–
●
definido como o ‘momento’ da
quantidade de movimento linear da
partícula em torno de O.
Formulação escalar
–
se uma partícula move-se ao longo de
uma curva no plano x–y, o momento
angular em qualquer instante pode ser
determinado em relação ao ponto O,
usando-se uma formulação escalar.
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Formulação vetorial
–
se a partícula move-se ao longo de um espaço
curvo, o produto vetorial pode ser usado para
determinar o momento angular em torno de O.
Nesse caso
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Coisas interessantes envolvendo momento
angular
–
Motociclista fazendo curva e momento angular
–
Helicóptero
–
Patinadora e momento angular
●
Museu do Catavento
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Momento angular na Mecânica Quântica
–
Spin
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Momento angular na Mecânica Quântica
–
Spin
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Momento angular na Mecânica Quântica
–
Spin
–
Efeito Spin Hall
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Momento angular na Mecânica Quântica
–
Spin
–
Efeito Einstein-de Haas
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Relação entre torque (momento) da força
resultante e momento angular
Relação entre Força e Momento Linear
Relação esperada para o Torque e Momento Angular
Vejamos se é assim mesmo. Partimos da derivada:
Momento da força resultante
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Impulso angular e momento angular
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Conservação do momento angular
–
Quando os impulsos angulares atuando em uma
partícula são todos zero durante o tempo t1 a t2: o
Momento angular se conserva
Exemplo de situação
em que o Momento
Angular se conserva
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Momento angular para um sistema de
partículas
Vamos provar que
Para facilitar a demonstração, vamos considerar um sistema de 2 partículas.
Mas o resultado vale para N partículas =)
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Força na partícula 1 devido à partícula 2
●
Força na partícula 2 devido à partícula 1
●
Força externa resultante na partícula 1
●
Força externa resultante na partícula 2
OBS.: Vamos considerar a lei da ação e reação em sua forma forte.
Forma fraca
Forma forte
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Torque e momento angular (part. 1)
●
Torque e momento angular (part. 2)
●
Somando
Mas
e
5.5 – Torque e Momento Angular
●
A expressão
●
é válida para qualquer referencial inercial
●
é válida (sempre) para o CM de um sistema
de partículas
–
seja ele referencial inercial ou não
–
vamos provar isto já já =)
5.5 – Torque e Momento Angular
●
●
●
Momento angular do sistema e do CM
Questão: o momento angular de um sistema
de partículas é igual a
?
Resp.: NÃO!!!
–
●
Tente encontrar um contra-exemplo
Vamos encontrar a expressão completa:
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Momento angular do sistema
●
Seja
Veja que
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Conclusão
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Relação entre o torque num ponto P e no CM
Mudança de referencial:
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Equação dos torques num ponto P e no CM
5.5 – Torque e Momento Angular
●
●
Questão: a equação
qualquer referencial?
vale para
Resp.:
–
Se o referencial for inercial, sim.
–
Se o referencial for o CM, sim (sendo este ref.
inercial ou não)
–
Se o referencial for não inercial, as forças inerciais
(fictícias) devem ser incluídas. Estas forças agem
sobre cada partícula do sistema
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Impulso angular e momento angular (para um
sistema de partículas)
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Exemplo: uma estrela esférica gira por um
período de 30 dias por um eixo que passa
pelo seu centro. Depois que a estrela sofre
uma explosão supernova, o núcleo estelar,
4
que tinha um raio de 1,0x10 km, sofre colapso
em uma estrela de 3,0 km de raio. Determine
o período de rotação da estrela de nêutron.
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Resp.: 0,23 s
–
De fato, são observadas estrelas de nêutrons que
giram aproximadamente 4 vezes por segundo.
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Exemplo: um cometa está na órbita extremamente
excêntrica mostrada na Figura. Sua velocidade no ponto
mais distante A (a 6000x106 km do Sol), que está no limite
externo do sistema solar, é de 740 m/s. Determine sua
velocidade no ponto B (a 75,0x106 km do Sol) de maior
aproximação do Sol.
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Resp.: 59,2 km/s
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Exemplo: o conjunto da haste leve e duas massas nas
extremidades está em repouso quando é atingido pela
queda de um punhado de massa de vidraceiro se
deslocando com velocidade v1. A massa de vidraceiro
se adere e se desloca com a massa na extremidade
direita. Determine a velocidade angular do conjunto
após o impacto.
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Resp.: v1/(19l)
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Exemplo: A bola B de 0,400 kg está presa a uma corda
que passa através de um furo em A sobre uma mesa
lisa. Quando a bola está a 0,500 m do furo, ela gira em
círculo a uma velocidade escalar de 1,20 m/s.
Aplicando-se a Força F (que não necessariamente é
constante no tempo), a corda é puxada para baixo
através do furo a uma velocidade escalar constante de
2,00 m/s. Determine (a) a velocidade escalar da bola no
instante em que estiver a 0,200 m do furo; (b) o
trabalho realizado pela força F ao encurtar a distância
radial de 0,500 m para 0,200 m.
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Resp.:
–
(a) 3,61 m/s
–
(b) 2,31 J
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Exemplo: Cada uma das três
esferas possui uma massa m e
está soldada à estrutura rígida
com ângulos iguais de massa
desprezível. O conjunto está em
repouso sobre uma superfície
horizontal lisa. Se uma força F é
aplicada repentinamente a uma
barra conforme indicado,
determine a aceleração do ponto
O e a aceleração angular da
estrutura.
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Resp.:
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Exemplo: Considere as
mesmas condições do
Exemplo anterior, exceto que
os raios são livremente
articulados em O e, portanto,
não constituem um sistema
rígido. Explique a diferença
dos dois problemas.
5.5 – Torque e Momento Angular
●
●
●
Exemplo: O centro de massa somente coincide
com o ponto O no instante inicial (quando os raios
se movimentam, o ponto O deixa de ser o centro
de massa)
Os movimentos angulares dos braços são todos
diferentes e não são facilmente determinados
Este problema poderia ser resolvido
desmembrando o sistema e escrevendo as
equações de movimento para cada parte. Ou
então, o método de Lagrange poderia ser
utilizado (este seria o método mais simples)
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Exemplo: Uma pequena partícula
recebe uma velocidade inicial v0
tangente à borda horizontal de uma
cavidade hemisférica lisa (de raio r0),
como indicado no ponto A. Quando a
partícula desliza passando pelo ponto
B, a uma distância h abaixo de A, sua
velocidade v faz um ângulo θ com a
tangente horizontal à cavidade através
de B. Determine θ.
5.5 – Torque e Momento Angular
●
Resp.: