1 4a Lista de Exercícios Lei de Faraday – Indutância e circuitos de

1
4a Lista de Exercícios
Lei de Faraday – Indutância e circuitos de
corrente alternada – Equações de Maxwell
1. A espira de uma antena de área A e resistência
~ O campo
R é ortogonal a um campo magnético B.
decai linearmente até zero num intervalo de tempo ∆t.
Encontre uma expressão para a energia térmica total
dissipada na espira.
barra condutora em contato com os trilhos parte do vértice no instante t = 0 e se move com velocidade constante
de 5, 2 m/s da esquerda para a direita, como mostrado na
figura 1. Um campo magnético de 0, 35 T aponta para
fora desta página. Calcule (a) o fluxo magnético através
do triângulo formado pelos trilhos e a barra no instante
t = 3 s. (b) Como a fem induzida no triângulo varia com
o tempo?
B
2. Um solenóide longo, com 220 espiras/cm e diâmetro
de 3, 2 cm, transporta uma corrente de 1, 5 A. Em seu
centro é colocada uma bobina compacta de 130 voltas,
com diâmetro de 2, 1 cm. A corrente no solenóide é
reduzida a zero e depois é aumentada até 1, 5 A no outro
sentido a uma taxa constante por um período de 50 ms.
Qual é o valor absoluto da fem induzida que aparece
na bobina central enquanto a corrente no solenóide está
sendo mudada?
3. Suponha que a corrente no solenóide do exercício
anterior varie de acordo com a expressão i = 3t + t2 , em
que i é dada em ampères e t em segundos. (a) Faça um
gráfico da fem na bobina desde t = 0 até t = 4s. (b) A
resistência da bobina vale 0, 15 Ω. Calcule a corrente na
bobina em t = 2 s.
4. Um solenóide longo, com raio de 25 mm, possui
100 espiras/cm. Uma espira circular de 5 cm de raio
é colocada em torno do solenóide de modo que seu
eixo coincida com o eixo do solenóide. A corrente no
solenóide é reduzida de 1 A para 0, 5 A a uma taxa
uniforme em um intervalo de tempo de 10 ms. Qual a
fem que aparece na espira?
5. Um toróide tem uma seção reta quadrada de lado
igual a 5 cm e raio interno igual a 15 cm, contendo 500
espiras e transportando uma corrente de 0, 80 A. Calcule
o fluxo magnético através da seção reta.
6. Dois fios de cobre de 2, 5 mm de diâmetro muito
longos e paralelos transportam correntes de 10 A em
sentidos contrários. (a) Sendo de 20 mm a distância
entre seus centros, calcule o fluxo por metro de fio que
existe no espaço entre os eixos dos fios. (b) Qual é a
fração do fluxo que fica dentro dos fios? (c) Repita o
cálculo do item (a) supondo correntes de mesmo sentido.
7. Um nave espacial de 12 m de comprimento move-se
com uma velocidade de 2, 4 × 107 m/s através de um
fraco campo magnético interestelar igual a 0, 36 nT .
Imagine que a nave tenha a forma de uma barra metálica
de 12 m de comprimento e suponha que ela se mova
ortogonalmente em relação ao campo. Calcule a fem
gerada através da largura da nave.
8. Dois trilhos condutores retilíneos formam um ângulo
reto no ponto de junção entre suas extremidades. Uma
Figura 1: Exercício 8.
9. Um gerador é constituído por 100 espiras de fio
enroladas numa bobina retangular de 50 cm por 30 cm,
imersa completamente num campo magnético uniforme
de módulo 3, 5 T . Qual é o valor máximo da fem
induzida, quando a bobina gira a 1000 rotações por
minuto em torno de um eixo perpendicular a direção do
campo?
10. Para a situação mostrada na figura 2, a = 12 cm e
b = 16 cm. A corrente no fio retilíneo longo (na horizontal) é dada por i = 4, 5 t2 −10 t, em ampères e com t dado
em segundos. Determine a fem induzida na espira quadrada em função do tempo. Qual o sentido da corrente
induzida na espira?
i
i
b
a
b
Figura 2: Exercício 10.
11. Uma espira plana consistindo de uma única volta de
fio com área de seção transversal 8 cm2 é perpendicular
a um campo magnético que aumenta uniformemente
em módulo de 0, 500 T para 2, 50 T em 1s. Qual é a
corrente induzida na espira se ela tiver resistência de 2 Ω?
12. Uma espira de fio na forma de um retângulo
de largura w e comprimento L e um fio longo e reto
que conduz uma corrente I encontram-se sobre uma
mesa, como mostra a figura 3. (a) Determine o fluxo
magnético através da espira devido à corrente I. (b)
Suponha que a corrente varie no tempo de acordo com
I = a + bt, com a, b constantes. Determine o módulo
da fem induzida na espira se b = 10A/s, h = 1, 0cm,
w = 10, 0cm e L = 100cm.
2
I
indutor possui uma resistência de 12 Ω. Calcule a fem
induzida em cada intervalo linear da curva.
h
w
L
8
Figura 3: Exercício 12.
7
6
i (A)
5
13. Uma bobina de área de 0, 100 m2 está girando a
60 rev/s com o eixo de rotação perpendicular a um
campo magnético de 0, 200 T . (a) Se a bobina tiver 1000
espiras, qual será a voltagem máxima gerada nela? (b)
Qual é a orientação da bobina com respeito ao campo
magnético quando ocorre a voltagem induzida máxima?
14. Um campo magnético orientado para dentro da
página varia com o tempo de acordo com a expressão
B = 0, 030t2 + 1, 40, em Tesla. O campo tem uma seção
transversal circular de raio R = 2, 50 cm (ver figura 4).
Quais são a magnitude e a orientação do campo elétrico
no ponto P1 quando t = 3, 00 s e r1 = 0, 02 m?
x
x x x x
P1
x x x r1 x x x
r2
P2
x x x x x x x
x x x x x x
R
x x x x x
x
4
3
2
1
0
0
1
2
3
t (ms)
4
5
6
Figura 5: Exercício 18.
19. A corrente num circuito RL cai de 1, 0 A para
10 mA no primeiro segundo após a remoção da bateria.
Sendo L = 10 H, calcule a resistência do circuito.
20. Considere o circuito RL da figura 6. Em termos da
fem ε da bateria, qual é a fem auto-induzia εL , quando
a chave está fechada em a? Após quantas constantes
de tempo εL será exatamente igual à metade da força
eletromotriz da bateria ε?
Figura 4: Exercício 14.
R
a
ε
15. Para a situação mostrada na figura 4, o campo
magnético na região circular varia de acordo com a
expressão B = 2, 0t3 − 4, 0t2 + 0, 8 em Tesla, sendo
r2 = 2R = 5, 0 cm. (a) Calcule a magnitude da força
exercida sobre um elétron situado no ponto P2 quando
t = 2s. (b) Em que instante esta força se anula?
16. A indutância de uma bobina com 400 espiras
agrupadas de forma compacta é igual a 8 mH. Calcule o
fluxo magnético através desta bobina quando a corrente
é igual a 5 mA.
17. Dois indutores L1 e L2 estão separados por uma
distância tal que o campo magnético de um não pode
afetar o outro. (a) Se os dois indutores estiverem ligados
em série, mostre que a indutância equivalente será dada
por Leq = L1 + L2 . (b) Se os dois indutores estiverem
ligados em paralelo, mostre que a indutância equivalente
1
1
1
=
+
.
será dada por
Leq
L1
L2
S
b
L
Figura 6: Exercício 20.
21. Na figura 7, ε = 100 V ; R1 = 10 Ω; R2 = 20 Ω;
R3 = 30 Ω e L = 2, 0 H. Calcule os valores de i1 e de
i2 : (a) imediatamente após fecharmos a chave S; (b)
em um tempo muito posterior; (c) imediatamente após
abrirmos novamente a chave S; (d) um longo tempo após
essa última abertura. (Tome as correntes nos sentidos
indicados na figura como sendo positivas).
R1
S
R3
i1
ε
i2
R2
Figura 7: Exercício 21.
18. A corrente de um indutor de 4, 6 H varia com o
tempo t, conforme é mostrado no gráfico da figura 5. O
L
3
22. A energia magnética armazenada num certo indutor
é de 25 mJ, quando a corrente é de 60 mA. (a) Calcule
a indutância. (b) Qual a corrente necessária para a
energia magnética ser quatro vezes maior?
23. Uma bobina é ligada em série a um resistor de
10 kΩ. Quando uma bateria de 50 V é colocada no
circuito, a corrente atinge um valor de 2 mA após 5 ms.
Determine a indutância da bobina e a energia magnética
armazenada neste instante.
24. Determine a expressão para a densidade de energia
em função da distância radial r de um toróide de N
voltas percorrido por uma corrente I .
25. Demonstre que I = I0 e−t/τL é uma solução da
equação diferencial IR + L dI
dt = 0, com τL = L/R.
26. A chave no circuito da figura 8 é fechada no instante
t = 0. Encontre a corrente no indutor e a corrente através
da chave como funções do tempo.
4Ω
8Ω
10V
4Ω
1H
baixa voltagem, como é mostrado na figura 10. (a) Qual
é a corrente no circuito após um longo tempo em que
a chave esteve na posição A? (b) A chave é deslocada
agora de A para B, calcule a voltagem inicial em cada
resistor e no indutor. (c) Quanto tempo decorre antes
de a voltagem no indutor cair para 12, 0V ?
A
S
B
2H
12 V
1200Ω
12Ω
Figura 10: Exercício 28.
29. Qual é a capacitância de um circuito LC, se a carga
máxima no capacitor for de 1, 6 µC e a energia total de
140 µJ?
30.
Num circuito LC oscilante a indutância vale
1, 1 mH e a capacitância vale 4, 0 µF . A carga máxima
no capacitor é 3, 0 µC. Calcule a corrente máxima.
S
Figura 8: Exercício 26.
27. Um indutor de 140 mH e um resistor de 4, 9 Ω estão
conectados através de uma chave a uma bateria de 6 V ,
como mostrado na figura 9. (a) Se a chave é movida
para a esquerda (conectando a bateria), quanto tempo
leva antes que a corrente alcance 220 mA? (b) Qual é
a corrente no indutor 10 s depois que a chave é fechada?
(c) Agora a chave é rapidamente deslocada de A para
B. Quanto tempo passa antes de a corrente cair para
160 mA?
A
S
31. Qual é o valor da capacitância de um capacitor
ligado a um indutor de 1, 3 mH para produzir frequência
de 3, 5 kHz no circuito?
32. Num circuito LC com C = 4 µF , a diferença de
potencial entre as placas do capacitor vale 1, 5 V e a
corrente máxima através do indutor vale 50 mA. Calcule
a indutância, a frequência das oscilações e o tempo
necessário para que a carga no capacitor cresça de zero
até seu valor máximo.
33. No circuito da figura 11, a chave permaneceu na posição a durante muito tempo. A seguir ela é virada para
a posição b. Calcule a frequência do sistema oscilante resultante e a amplitude da corrente durante as oscilações.
B
14 Ω
a
L
ε
34 V
6,2 µF
b
R
54 mH
Figura 11: Exercício 33.
Figura 9: Exercício 27.
28. Uma aplicação de um circuito RL é a geração de
transientes de alta voltagem a partir de uma fonte de
34. Em um circuito LC oscilante, L = 3 mH e
C = 2, 7 µF . Para t = 0, a carga no capacitor é nula e a
corrente vale 2 A. (a) Qual a carga máxima que surge no
capacitor? (b) Em termos do período T das oscilações,
4
calcule o tempo decorrido, depois do instante inicial,
para que a energia armazenada no capacitor cresça até
atingir a taxa máxima. (c) Qual é a taxa máxima do
fluxo de energia para dentro do capacitor?
35. Três indutores idênticos (de indutância L) e dois
capacitores idênticos (com capacitância C) são ligados
em um circuito com duas malhas, como mostrado na
figura 12. (a) Suponha que as correntes tenham os
sentidos indicados na figura. Qual é a corrente no
indutor do meio? Mostre que a frequência√angular de
oscilação da corrente é dada por ω = 1/ LC. (b)
Suponha agora que as correntes estejam ambas subindo
ou ambas descendo. Qual é a corrente
√ no indutor do
meio? Nesse caso, mostre que ω = 1/ 3LC.
40. O gerador ac da figura 13 fornece uma tensão de
120 V a 60 Hz. Com a chave aberta, conforme indicado,
a corrente resultante está 20o adiantada em relação à fem
do gerador. Com a chave na posição 1, a corrente está
10o atrasada em relação à fem do gerador. Quando a
chave está na posição 2, a amplitude de corrente vale
2 A. Determine os valores da resistência, da indutância e
da capacitância.
L
C
S
~
C
1
2
R
C
C
Figura 13: Exercício 40.
i(t)
L
L
L
i(t)
Figura 12: Exercício 35.
36. Um circuito com uma única malha tem um resistor
de 7, 2 Ω, um indutor de 12 H e um capacitor com
3, 2 µF . Inicialmente, o capacitor possui uma carga de
6, 2 µC e a corrente é nula. Calcule a carga no capacitor
depois de N oscilações completas, sendo N = 5, N = 10
e N = 100.
37. Um indutor de 45 mH tem uma reatância de 1, 3 kΩ.
(a) Qual é a frequência? (b) Qual a capacitância necessária para que um capacitor possua a mesma reatância
capacitiva na frequência calculada no item anterior? (c)
Dobrando o valor desta frequência, quais serão os novos
valores das reatâncias capacitiva e indutiva?
38. Considere um circuito RLC série com R = 160 Ω,
C = 70 µF e L = 230 mH. O circuito é ligado a uma
fonte de tensão alternada com fem máxima de 36 V a
uma frequência de 60 Hz. Determine todas as grandezas
deste circuito (reatâncias, impedância, corrente máxima,
constante de fase e fator de potência).
39. Em um circuito RLC operando a 60 Hz, a tensão
máxima nos terminais do indutor é o dobro da tensão
máxima através do resistor, enquanto através do capacitor ela é igual à tensão máxima nos terminais do
resistor. (a) Calcule o ângulo de fase que indica o atraso
da corrente em relação à tensão do gerador. (b) A fem
máxima do gerador vale 30 V ; qual deve ser a resistência
máxima do circuito para obtermos uma corrente máxima
de 300 mA?
41. Um motor elétrico ligado a uma tomada de 120 V
(rms) com uma frequência de 60 Hz, desenvolve uma
potência mecânica de 0, 100 hp (1 hp = 746 W ). Se o
motor consome uma corrente rms de 0, 650 A, qual é sua
resistência efetiva em relação à transferência de energia?
42. Em um circuito RLC em série, a resistência e
a indutância valem, respectivamente, 5 Ω e 60 mH.
A fonte tem uma tensão máxima de 30 V e trabalha
em uma frequência de 60 Hz. Calcule os valores das
capacitâncias necessárias para que a potência dissipada
no resistor seja máxima e mínima. Calcule os correspondentes valores dessas potências, além dos ângulos de
fase e fatores de potência.
43. Seja um circuito RLC paralelo, como o mostrado na
figura 14.
~
C
L
R
Figura 14: Exercício 43.
Mostre que as expressões para a amplitude de corrente e
para a constante de fase são dadas por:
I = εm
"
2 #1/2
1
1
+ ωC −
R2
ωL
tan φ = R
1
1
−
XC
XL
(1)
(2)
5
dos intervalos de tempo: 0 < t < 4 µs, 4 µs < t < 10 µs
e 10 µs < t < 15 µs, indicados no gráfico da figura 17.
(Ignore o comportamento da corrente nas extremidades
dos intervalos).
6
5
4
5
E (10 N/C)
44. Considere o circuito mostrado na figura 15. Inicialmente o circuito é formado por um resistor de resistência
R, um indutor de indutância L e um capacitor de capacitância C, e a frequência da fonte é igual à frequência de
ressonância. As chaves S1 , S2 , S3 e S4 são fechadas sucessivamente, nessa ordem, introduzindo no circuito capacitores e resistores com os mesmos valores já existentes.
Considere que εm = 12, 0 V ; C = 2, 00 µF ; L = 2, 00 mH
e R = 12, 0 Ω. (a) Fechando apenas a chave S1 , determine a capacitância equivalente do circuito, a frequência
de ressonância, a resistência equivalente, a impedância
e a amplitude de corrente. Determine as mesmas grandezas solicitadas no item (a), porém: (b) fechando as
chaves S1 e S2 ; (c) fechando as chaves S1 , S2 e S3 ; (d)
fechando as chaves S1 , S2 , S3 e S4 .
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
t (μs)
Figura 17: Exercício 47.
45. Prove que a corrente de deslocamento num capacitor de placas planas e paralelas pode ser escrita como
id = C dV
dt .
i
+++++++++++
−−−−−−−−−−−−−−−−−
46. Um capacitor plano de placas circulares (com diâmetro de 20 cm) está sendo carregado como na figura 16.
A densidade de corrente de deslocamento através da região entre as placas é uniforme, possuindo módulo igual
a 20 A/m2 . (a) Calcule o campo magnético B a uma
distância r = 50 mm do eixo de simetria central dessa
região. (b) Determine dE
dt nessa região.
i
1,0m
Figura 15: Exercício 44.
48. Um capacitor de placas paralelas possui placas quadradas (com lado igual a 1 m), conforme é indicado na
figura 18. Uma corrente de 2 A chega a uma das placas
do capacitor e sai pela outra placa. (a) Calcule a corrente de deslocamento entre as placas do capacitor. (b)
Calcule dE
dt nesta região. (c) Calcule a corrente de deslocamento que flui através do quadrado tracejado indicado
nesta mesma figura. (d) Calcule a circulação de campo
H
~ ao longo deste contorno.
~ · dl)
magnético ( c B
0,50m
i
vista lateral
vista de topo
Figura 18: Exercício 48.
i
E
Figura 16: Exercício 46.
47. Um campo elétrico uniforme decai a zero a partir de
uma intensidade inicial de 6, 0×105 N/C em um intervalo
de tempo de 15 µs, como mostrado na figura 17. Calcule
a corrente de deslocamento que atravessa uma área de
1, 6 m2 ortogonal à direção do campo durante cada um
49. O capacitor da figura 19 consiste em duas placas circulares de raio R = 18cm. A fonte de tensão possui fem
ε = 220V sen 130 rad
s t . O valor máximo da corrente de
deslocamento vale 7, 6 µA. Despreze variações do campo
elétrico nas bordas do capacitor. (a) Calcule o valor máximo da corrente i no circuito. (b) Determine o valor
E
máximo de dΦ
dt , em que ΦE é o fluxo de campo elétrico
através da região entre as placas. (c) Qual a distância
entre as placas? (d) Calcule o valor máximo do módulo
de B entre as placas a uma distância r = 11 cm do eixo
de simetria do capacitor.
6
d
ε
Figura 19: Exercício 49.
50. Considere a situação mostrada na figura 20. Um
campo elétrico de 300 V /m está confinado numa área circular de 10 cm de diâmetro e direcionado perpendicularmente para fora do plano da figura. Se o campo está
aumentando a uma taxa de 20 V /ms, qual é a direção e
a magnitude do campo magnético no ponto P , a 15 cm
do centro do círculo?
E saindo do papel
E =0 aqui
15cm
P
10 cm
Figura 20: Exercício 50.
RESPOSTAS**
2
2
B
1. AR∆t
2. 75mV
3. 58mA
4. 1, 2mV
5. 1, 15µW b
6. 13µW b/m; 18%
7. 104mV
8. 85, 2 T m2; ε = 18, 9 t
9. 5, 50 × 103 V
a
10. ε = µ0 b (9t−10)
ln b−a
; sentido anti-horário.
2π
11. 0, 800mA
; 4, 80 µV
12. µ02πI L ln h+w
h
13. 7, 54 kV ; plano da bobina paralelo ao campo magnético.
14. 1, 8 mN/C perpendicular a r1 , sentido anti-horário.
15. 8, 00 × 10−21 N ; 1, 33 s
16. 10µW b
18. 1, 6 × 104 V ; 3, 1 × 103 V ; 2, 3 × 104 V
19. 46 Ω
20. εL = −ε e−t/τL ; ln(2) τL
21. i1 = i2 = 3, 33 A; i1 = 4, 55 A e i2 = 2, 73 A; i1 = 0
e i2 = −1, 82 A; i1 = i2 = 0
22. 13, 9H; 120mA
23. 97, 9H; 0, 196mJ
2
2
0I N
24. µ8π
2 r2
26. (0, 500 A) 1 − e−10 t ; 1, 50 A − (0, 250 A) e−10 t
27. 5, 66 ms; 1, 22 A; 58, 1 ms
28.
1, 00 A; V12 = 12, 0 V ; V1200 = 1, 20 kV ;
VL = 1, 21 kV ; 7, 62 ms
29. 9, 14nF
30. 45, 2mA
31. 1, 59µF
32. 3, 60 × 10−3 H; 1, 33 × 103 Hz; 1, 88 × 10−4 s
33. 275Hz; 364mA
34. 0, 18mC; T /8; 66, 7W
35. Zero; 2 i(t)
36. 5, 85µC; 5, 52µC; 1, 93µC
37. 4, 6kHz; 26, 6pF ; XL = 2, 6kΩ; XC = 0, 65kΩ
38. XC = 37, 9 Ω; XL = 87 Ω; Z = 167 Ω; I = 216 mA;
φ = 17o ; 0, 96
39. 45o ; 70, 7Ω
40. 165 Ω; 0, 313 H; 1, 49 × 10−5 F
41. 177 Ω
42. 1, 17 × 10−4 F , zero; 90 W , zero; 0o , −90o; 1, 0
44.
4, 00 µF , 1, 78 kHz, 12, 0 Ω, 19, 8 Ω, 0, 605 A;
5, 00 µF , 1, 59 kHz, 12, 0 Ω, 22, 4 Ω, 0, 535 A; 5, 00 µF ,
1, 59 kHz, 6, 0 Ω, 19, 9 Ω, 0, 603 A; 5, 00 µF , 1, 59 kHz,
4, 0 Ω, 19, 4 Ω, 0, 619 A
46. 0, 63µT ; 2, 3 × 1012 V /ms
47. 0, 71 A; zero; 1, 1 A
48. 2 A; 2, 3 × 1011 V /ms; 0, 5 A; 0, 63 µT m
49. 7, 6 µA; 859 kV m/s; 3, 39 mm; 5, 16 p T
50. 1, 85 × 10−18 T ; direção vertical (no plano da figura),
apontando para cima.
**Caso seja percebido algum equívoco nas respostas, por
favor, me avise.