Oscilações

Módulo 02 – Física da Fala e da
Audição
Oscilações
Prof.Dr. Edmilson J.T. Manganote
Nossa aula...
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Introdução
O Movimento Harmônico Simples (MHS)
A Energia do MHS
O Oscilador Harmônico Simples Angular
Pêndulos
O MHS e o Movimento Circular Uniforme
O MHS Amortecido
Oscilações Forçadas e Ressonância
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Introdução
• Nosso mundo está repleto de oscilações, nas quais
os objetos se movem de um lado para o outro.
• Por fenômeno oscilatório estamos considerando tudo
aquilo que se move em dois sentidos de forma
alternada em torno de uma posição de equilíbrio.
• Nosso interesse está em sistemas oscilatórios
periódicos (ou seja, cujos ciclos se repetem em
intervalos iguais de tempo) ocasionados por forças
restauradoras para um certo estado ou posição de
equilíbrio.
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Introdução
A nossa visão e audição, juntamente com a voz, que
constituem nossos principais meios para comunicação,
acontecem por meio de fenômenos oscilatórios
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Introdução
Podemos fazer modelos
oscilatórios para explicar a
estrutura da matéria...
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Introdução
Ondas eletromagnéticas
podem ser geradas através
da vibração de cargas
elétricas...
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Introdução
Uma pedra caindo em um lago...
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Introdução
O choque entre as placas tectônicas, que
causa os terremotos, pode ser analisado
como sistemas que vibram
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Introdução
Sempre que um sistema sofre uma
perturbação da sua posição de equilíbrio
estável, ocorre um movimento de oscilação.
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Movimento Harmônico Simples
Freqüência (f) – é o número de
oscilações completas por segundo.
1 hertz = 1 Hz = 1 s-1
O tempo necessário para completar
uma oscilação é o período:
1
T
f
Todo movimento que se repete a
intervalos regulares é chamado de
movimento periódico ou harmônico.
O movimento harmônico simples é aquele
que ocorre quando a aceleração e a força
resultante são proporcionais e se opõem
ao deslocamento.
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Movimento Harmônico Simples
Deslocamento no instante t
Fase
x(t )  xm cost   
Amplitude
Freqüência
Angular
Tempo
Constante de fase ou
Ângulo de fase
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Movimento Harmônico Simples
Para interpretar a constante , denominada freqüência angular
do movimento, notamos primeiramente que o deslocamento x(t)
deve ser igual a x(t + T), para qualquer valor de t. Desta forma:
xm cos t  xm cos t  T 
O cosseno se repete quando seu argumento aumenta de 2 rad.
t  T   t  2
Freqüência
Angular
T  2
2

 2f
T
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Velocidade e Aceleração do MHS
A velocidade é a variação da posição no tempo; ou seja, a taxa de variação ou
derivada da função posição x(t):
v(t )  xm sent   
dx(t ) d
v(t ) 
 xm cost   
dt
dt
A aceleração é a variação da velocidade no tempo; ou seja, a taxa de variação
ou derivada da função velocidade v(t):
a(t ) 
a(t )   2 xm cost   
dv(t ) d
  xm sent   
dt
dt
a(t )   x(t )
2
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x(t )
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Gráficos de x(t), v(t) e a(t)
xt   xm cost   
vt   xm sin t   
at    2 xm cost   
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Exemplo: A função
xt   6,0 cos3t   3
representa o MHS de uma partícula.
Determine para t = 2,0 s:
1. o deslocamento; xt   6,0 cos3t   3  3m
2. a velocidade; vt   3 6,0sen3t   3  48,97m / s
2
2




a
t


(
3

)

6
,
0
cos
3

t


3


266
,
48
m
/
s
3. a aceleração;
4. a fase; (3  2   3)  (19 / 3)  19,90 rad
5. a frequência;   f  f    3  3 / 2  1,5 Hz
2 2
6. e o período.
1 1
T
f

1,5
 0,67 s
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Movimento Harmônico Simples
Considerando a 2ª Lei de Newton e a Lei de Hooke, teremos:
F  ma  (m 2 ) x
k  m
F  kx
2
k

m
m
T  2
k
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Movimento Harmônico Simples
Dependência de ω:
• com a massa – depende
• com a constante k – depende
• com a amplitude – não depende
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A Energia do MHS
Energia Potencial
U (t ) 
1 2 1
kx  kxm cos 2 t   
2
2
1 2 1
mv  m 2 xm2 sen 2 t   
2
2
1
K (t )  kxm2 sen 2 t   
2
K (t ) 
Energia Cinética
Lembrando que
cos 2   sen2  1
teremos
1 2
E  U  K  kxm
2
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A Energia do MHS
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Oscilador Harmônico Simples Angular
A rotação do disco de um ângulo  em
qualquer sentido produz um torque
restaurador dado por
  k
Substituindo m pela grandeza
equivalente I, o momento de inércia do
disco, teremos
Pêndulo de Torção
I
T  2
k
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Pêndulos
Pêndulo de Foucault – Pantheon, Paris
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Pêndulo Simples
Torque restaurador
   Lmgsen 
 Lmgsen   I
Quando  é pequeno
sen  
mgL
 

I
mgL

I
I
T  2
mgL
Como
I  mL
2
teremos
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L
T  2
g
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Pêndulo Físico
Para pequenos valores do ângulo , o
movimento é aproximadamente um
MHS
I
T  2
mgL
Substituindo L por h
I
T  2
mgh
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MHS e o Movimento Circular
O movimento harmônico simples é a projeção do movimento circular
uniforme em um diâmetro da circunferência ao longo do qual acontece o
movimento circular
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Movimento Harmônico Simples Amortecido
Força de Amortecimento
Fa  bv
Força Restauradora
Fm  kx
Supondo a força gravitacional desprezível e
aplicando a 2ª Lei de Newton:
 bv  kx  ma
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Movimento Harmônico Simples Amortecido
Que resulta na equação diferencial
d 2x
dx
m 2  b  kx  0
dt
dt
A solução desta equação é
x(t )  xmebt / 2m cos(t   )
Freqüência do
Oscilador amortecido
Se o amortecimento é pequeno
k
b2
 

m 4m 2
1 2 bt / m
E (t )  kxm e
2
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Oscilações Forçadas e Ressonância
Temos que resolver a equação:
ma  kx  bv  F (t )
d 2x
dx
m 2  b  kx  F0 cos Dt
dt
dt
x(t )  xm cosDt   
Depende de  e D
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Oscilações Forçadas e Ressonância
d 2x
Caso mais simples  m 2  kx  F0 cos Dt
dt
Esta equação tem como possível solução:
onde
x(t )  xm cosDt   
F0
xm 
m 02  D2
e
 0
  0 ,
em fase
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  
  0 
fora de fase
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Oscilações Forçadas e Ressonância
Construída nos anos 40, a belíssima obra caiu pouco tempo depois de
ficar pronta. Por quê? A causa não foi nenhuma das que usualmente
são as responsáveis por tais acidentes. Não foi um terremoto, nem
uma inundação. Foi algo bem mais trivial. O grande responsável pela
queda da belíssima ponte pênsil foi uma simples e leve brisa…
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Oscilações Forçadas e Ressonância
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Exemplo – Fixação dos Conceitos
Um bloco cuja massa, m, é 650 g é preso a uma mola cuja constante
elástica, k, é 65 N/m. O bloco é puxado uma distância x =11 cm da
sua posição de equilíbrio x =0, numa superfície horizontal sem atrito,
e libertado em repouso (para t =0).
1. Qual é a frequência angular e o período do movimento?
2. Indique qual é a amplitude e a fase inicial e escreva a
equação do movimento.
3. Qual é a velocidade máxima do oscilador? Nessa situação
qual é a sua energia potencial?
4. Considere que o amortecimento provocado pelo ar era igual a
-3,25v (em que v representa a velocidade do bloco). Escreva
a equação do movimento resultante.
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Exemplo – Fixação dos Conceitos
Um bloco cuja massa, m, é 650 g é preso a uma mola cuja constante
elástica, k, é 65 N/m. O bloco é puxado uma distância x =11 cm da
sua posição de equilíbrio x =0, numa superfície horizontal sem atrito,
e libertado em repouso (para t =0).
1. Qual é a frequência angular e o período do movimento?
k
65


 10,0 rad s-1
m
0,650
2
2  3,14
T

 0,63 s

10,0
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Exemplo – Fixação dos Conceitos
Um bloco cuja massa, m, é 650 g é preso a uma mola cuja constante
elástica, k, é 65 N/m. O bloco é puxado uma distância x =11 cm da
sua posição de equilíbrio x =0, numa superfície horizontal sem atrito,
e libertado em repouso (para t =0).
2. Indique qual é a amplitude e a fase inicial e escreva a equação
do movimento.
Em  Ec  E p 
Para t =0 –> x =0,11 m; v =0
1 2 1 2 1 2
kxm  kx  mv
2
2
2
1 2 1
2
kxm  k 0,11  xm  0,11 m
2
2
x0  0,11  0,11cos( )    0
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xt   0,11cos10,0t 
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Exemplo – Fixação dos Conceitos
Um bloco cuja massa, m, é 650 g é preso a uma mola cuja constante
elástica, k, é 65 N/m. O bloco é puxado uma distância x =11 cm da
sua posição de equilíbrio x =0, numa superfície horizontal sem atrito,
e libertado em repouso (para t =0).
3. Qual é a velocidade máxima do oscilador? Nessa situação qual é
a sua energia potencial?
1 2 1 2
kxm  mvm
2
2
vm  xm
Esta ocorre para x =0 m e aí
k
 xm  1,1 m.s-1
m
1 2
EP  kx  0 J
2
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Exemplo – Fixação dos Conceitos
Um bloco cuja massa, m, é 650 g é preso a uma mola cuja constante
elástica, k, é 65 N/m. O bloco é puxado uma distância x =11 cm da
sua posição de equilíbrio x =0, numa superfície horizontal sem atrito,
e libertado em repouso (para t =0).
4. Considere que o amortecimento provocado pelo ar era igual a
-3,25v (em que v representa a velocidade do bloco). Escreva
a equação do movimento resultante.
ma  kx  bv
x(t )  xmebt / 2m cos(t   )
k
b2
-1
 


9
,
68
rad
s
m 4m 2
xt   0,11e2.5t cos9,7t 
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