Realidade, dualidade, causalidade e a equação geral de ondas e

Prof. Dr. Titular Benedito Tadeu Ferreira de Moraes
Coordenação de Física
Belém, PA
2016
(Trabalho Suplementar da Tese de Professor Titular)
Prof. Dr. Titular Benedito Tadeu Ferreira de Moraes
IFPA
Coordenação de Física
Belém, PA
2016
Dados para catalogação na fonte
Biblioteca IFPA - Campus Belém
Setor de Processamento Técnico
M827r
Moraes, Benedito Tadeu Ferreira de.
Realidade, dualidade, causalidade e a equação geral de ondas e partículas:
(Trabalho Suplementar da Tese de Professor Titular). / Benedito Tadeu
Ferreira de Moraes. — 2016.
70 f.
Tese (Doutorado – Professor Titular) - Instituto Federal de Educação,
Ciência e Tecnologia do Pará – IFPA, 2016.
1. Dualidade. 2. Causalidade. 3. Relatividade especial. 4. Mecânica
ondulatória. I. Título.
CDD: 530
AGRADECIMENTOS
A Deus, a causa primeira, quem me permitiu enxergar além do meu
conhecimento cognitivo.
Ao Professor e amigo José Maria Filardo Bassalo pela suas opiniões sempre
relevantes.
Aos colegas da Universidade Federal do Ceará, em particular aos Professores
Raimundo Nogueira da Costa Filho (orientador) e Raimundo Valmir Leite Filho,
minha gratidão pelo doutoramento, em 2002.
A Direção Geral, pela produção bibliográfica e publicação desta tese.
Enfim, agradeço a todos que direta ou indiretamente contribuíram para que eu
realizasse este trabalho.
RESUMO
O objetivo deste trabalho é somar um suplemento à tese que apresentei,
em 2015, para a progressão a Professor Titular de Física do Instituto Federal
de Educação, Ciência e Tecnologia do Pará, onde fora estabelecida a
coexistência de matéria e radiação em uma única configuração. O suplemento
trata de dois novos aspectos relativos ao comportamento das partículas. O
primeiro
concerne
a
discussões
sobre
realidade
física,
dualidade e
causalidade, que implicam em um princípio de complementaridade estendida,
cujas questões filosóficas são exploradas para dar entendimento à existência
da matéria dual-MD. O segundo é uma extensão de sua base dinâmicoanalítica onde são determinadas a quantidade de movimento da MD e a
equação geral de ondas e partículas. Assim como a tese de Professor Titular,
trata-se de um trabalho também inédito e absolutamente original.
ABSTRACT
The objective of this work is to add a supplement to the thesis I
presented in 2015 to the progression Professor Physics Holder of the Federal
Institute of Education, Science and Technology of Pará, where he had
established the coexistence of matter and radiation in a single setting. The
supplement comes in two new aspects of the behavior of particles. The first
concerns discussions about physical reality, duality and causality, which imply
an extended complementarity principle, whose philosophical questions are
exploited to understanding the existence of dual-MD matter. The second is an
extension of a dynamic-analytical basis is determined where the amount of
movement of the MD and the general equation of waves and particles. As the
thesis Professor, it is also a new work and absolutely original.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ................................................................................................ 01
01
CAPÍTULO 1: Realidade Física e Dualidade ............................................... 02
CAPÍTULO 2: Realidade Física e Causalidade ..............................................07
CAPÍTULO 3: Causalidade e Dualidade .........................................................13
3.1. Introdução ........................................................................................... 13
3.2. Causa Interna ....................................................................................... 15
3.3. Causa Latente .................................................................................... 15
3.4. Conclusões .............................................................................................
16
CAPÍTULO 4: Quantidade de Movimento..................................................... 18
4.1. Introdução ........................................................................................... 18
4.2. Quantidade de Movimento na Mecânica Newtoniana ..............................
18
4.3. Quantidade de Movimento na Relatividade Especial ..............................
20
4.4. Quantidade de Movimento na Mecânica Ondulatória .......................... 21
4.5. Quantidade de Movimento da Matéria Dual ........................................ 23
CAPÍTULO 5: Seis Equações de Ondas da Física .........................................
26
5.1. Introdução .......................................................................................... 26
5.2. Equação de Onda de D’Alembert ...................................................... 26
5.3. Equação de Onda de Maxwell ............................................................ 27
22
5.4. Equação de Onda de Schrödinger da Partícula Livre ..........................28
5.5. Equação de Onda de Klein-Gordon ................................................... 30
5.6. Equação de Onda de Dirac ................................................................ 32
5.7. Equação de Onda de Maxwell-Proca ................................................ 33
CAPÍTULO 6: Equação de Onda da Matéria Dual ...................................... 37
6.1. Introdução .......................................................................................... 37
6.2. Equação Geral de Ondas e Partículas......................................................
38
6.2.1. Equação de D’Alembert no Formalismo Dual ........................... 39
6.2.2. Equação de Maxwell no Formalismo Dual ................................ 39
6.2.3. Equação de Schrödinger no Formalismo Dual ......................... 39
6.2.4. Equação de Klein-Gordon no Formalismo Dual ....................... 40
6.2.5. Equação de Dirac no Formalismo Dual .................................... 41
6.2.6. Equação de Maxwell-Proca no Formalismo Dual ..................... 43
6.3. Conclusões ......................................................................................... 44
CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................ 45
APÊNDICE ...................................................................................................... 52
NOTAS ............................................................................................................ 54
REFERÊNCIAS ............................................................................................... 61
INTRODUÇÃO
Em janeiro de 2016 foi disponibilizada na Biblioteca Central e na página
eletrônica do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Pará,
Campus-Belém, no link publicações, a tese que apresentei, em 2015, para a
promoção a Professor Titular em Física.
Com a proposta de uma matéria dual-MD, meu anseio era expor e fazer
compreender minhas ideias sobre algumas questões relacionadas à teoria da
relatividade especial-TRE e à teoria quântica, principalmente no que tange à
mecânica ondulatória quanto ao comportamento de ondas e corpúsculos.
Tenho consciência que a tese foi um trabalho audacioso, pois foram
apresentadas novas concepções, interpretações, novos conceitos, fórmulas,
mas, sobretudo, um novo modelo físico-matemático para a dualidade. Ao
mesmo tempo, penso que ela é também bastante elucidativa quanto a sua
proposta fenomenológica acerca do que imaginamos ser uma partícula.
Acredito que as questões ali suscitadas tiveram respostas inteligíveis e
razoáveis que permitiram um novo olhar quanto à interpretação de alguns
resultados da antiga teoria quântica. Para exemplificar, foi explicado como a
componente zero do 4-momento se vincula ao comprimento de onda Compton,
revelando um comportamento ondulatório associado à partícula em repouso.
Todavia, é importante que estabeleçamos a compatibilidade dos
resultados da tese com alguns aspectos filosóficos que naturalmente a
circundam, pois, como sabemos, em maior ou menor grau, a filosofia também
contribuiu para o desenvolvimento da atual teoria quântica, na qual minha tese
se baseou. Por isso, nos três primeiros capítulos exploramos os aspectos que
tratam de realidade, dualidade e a causalidade da matéria dual.
Nos capítulos seguintes, serão apresentados novos resultados relativos
à sua dinâmica: quantidade de movimento e sua evolução ondulatória no
espaço-tempo que tornam, em nossa interpretação, o fenômeno da dualidade
como algo que incorpora à estrutura causal da relatividade especial o
indeterminismo da teoria quântica.
1
CAPÍTULO 1
REALIDADE FÍSICA E DUALIDADE
Neste capítulo abordamos algumas questões importantes relativas ao
comportamento ondulatório das partículas e o nosso contraponto, pois
consideramos que as interpretações dadas a essas questões, inclusive por
algumas celebridades científicas, não foram suficientes para esclarecer o
enigma da dualidade, descoberta em 1923, por Louis de Broglie.
D’Broglie tinha conhecimento da identidade dual da radiação e postulou
uma identidade dual para a matéria. Ele percebeu que o comportamento de
onda e corpúsculo serve para ambos e, portanto, considerava ser possível aos
dois aspectos coexistirem para constituir um sistema físico observável: o
elétron, o fóton ou qualquer partícula com essas características.
Sua concepção era de um “ente” que possuía ao mesmo tempo, e no
mesmo nível, propriedades ondulatórias e corpusculares. Contudo, esse é um
conceito ontológico que tenta descrever a natureza de “entes” físicos e não
uma descrição relativa aos resultados de experimentos.
Além disso, suas ideias sobre a dualidade necessitavam de uma causa,
pois se utilizara do determinismo da relatividade especial para descrever o
fenômeno no espaço-tempo bem como dos princípios de conservação da
energia e da quantidade de movimento.
Em seus artigos e mesmo em sua tese não se vê nenhuma dedução
físico-matemática da razão de ser do comportamento dual da radiação e da
matéria. Seu postulado expressa uma relação matemática entre a quantidade
de movimento e o comprimento de onda da partícula que, a nosso ver, é uma
conseqüência e não a causa da dualidade.
Penso que essa última questão foi o real problema de D’Broglie e que
ela envolve as demais. Todavia, com a publicação de minha tese, onde
apresentei a fórmula da energia da MD, considero que esse problema foi
parcialmente superado. Precisamos agora superar os conflitos que ainda se
opõem às justificativas causais desse fenômeno.
2
Sabemos que o espectro eletromagnético constitui a organização das
radiações já conhecidas, por range de comprimento de onda ou frequência,
que vão do infravermelho passando pelo visível até a região do ultravioleta.
O ultravioleta é a região do espectro onde os comprimentos de onda das
radiações são cada vez menores, e, portanto, onde os efeitos corpusculares
são mais evidenciados, uma vez que a massa inercial do fóton (
inversamente com o comprimento de onda ( ) pela relação:
) aumenta
= ℎ⁄
, onde
ℎ é a constante de Planck e , a velocidade da luz no vácuo. E Isso é uma
realidade física.
Essa realidade é corroborada com o fato das radiações do ultravioleta,
em interação com algum campo, produzirem massa. A radiação gama, por
exemplo, em interação com o campo elétrico de um núcleo pesado produz
energia maior ou igual a duas vezes a massa de repouso do elétron, e isso é
produção de matéria a partir da “frenagem” da radiação.
No outro extremo do espectro, nas regiões de comprimentos de onda
maiores, o comportamento ondulatório das radiações prevalece sobre seu
comportamento corpuscular, e isso pode ser compreendido também pela
relação:
= ℎ⁄
. Nessas regiões a massa do fóton é desprezível.
Naturalmente se intui que deve existir uma radiação- , possivelmente na
fronteira do visível com a região do ultravioleta, que em interação com o campo
elétrico de um núcleo pesado, tem probabilidade de produzir energia igual a
uma unidade da massa de repouso do elétron. Ou seja, essa radiação- , em
processo de ‘frenagem’, pode produzir um elétron.
O fato é que não há diferença entre os vários tipos de radiações
existentes quanto às suas origens, pois todas são criadas a partir de partícula
carregada em movimento acelerado. E, em última análise, as ondas
eletromagnéticas ou radiações são detectadas pela sua ação sobre a partícula.
Mas, se temos um espectro para as radiações e estas são geradas por
partícula acelerada, obviamente podemos imaginar esse espectro a partir da
“frenagem” da partícula, dentro de cada região do espectro, medindo o
comprimento de onda das radiações emitidas.
3
Podemos pensar no elétron. Ele emite em todos os comprimentos de
onda, das ondas de rádio às radiações gama, sendo possível medir sua
energia que irá produzir raios-X, por exemplo. Logo, em processo de
‘frenagem’ ele pode emitir inclusive a hipotética radiação- , que é uma onda
eletromagnética, ou seja, é uma via de mão dupla, o elétron e a radiação.
Em síntese, os extremos do espectro apresentam tanto para a radiação
quanto para o elétron uma prevalência corpuscular ou ondulatória. Na região
de grandes comprimentos de onda, prevalece o comportamento ondulatório;
enquanto que na região de pequenos comprimentos de onda, prevalece o
comportamento corpuscular.
Na região intermediária está o visível onde pode ser observada a
difração da radiação, uma propriedade das ondas. Também, nessa região, é
possível verificar o efeito fotoelétrico, um processo no qual a radiação
apresenta propriedades de um corpúsculo. Há de se supor, então, que nessa
região dá-se a efetiva prevalência dual.
Desse modo podemos construir um espectro comum, tanto para o
elétron quanto para o fóton da radiação, exibindo a peculiaridade dual em cada
região, de acordo com o Quadro abaixo (ver também minha tese, 2015).
Espectro Eletromagnético
Região do Infravermelho
(grande comprimento de onda- )
Região do
Visível
Região do Ultravioleta
(pequeno comprimento de onda- )
Prevalência Ondulatória
(partícula → onda)
Prevalência
Dual
Prevalência Corpuscular
(partícula → corpúsculo)
Quadro 1. Representação do espectro
eletromagnético da dualidade da
matéria e da radiação.
4
Com base em toda essa argumentação passamos a discutir sobre duas
realidades físicas, R1 e R2, que consistem na análise do comportamento da
radiação- e do elétron na região de prevalência dual do espectro proposto.
R1) A radiação- interage com um núcleo, “desacelera” e ao mesmo tempo um
elétron é emitido. Em processo inverso, um elétron interage com esse
núcleo, “desacelera” e ao mesmo tempo há emissão de radiação- .
R2) Um feixe de elétrons e um feixe de fótons (de radiação- ) são lançados
contra um dispositivo de dupla fenda que evidencia tanto para o elétron
quanto para o fóton um comportamento dual idêntico: a interferência.
Em R2, o elétron e o fóton são submetidos à mesma experiência, de
forma isolada e independente, mas apresentam resultados absolutamente
semelhantes, um fenômeno óptico que somente ocorre com as ondas.
Em R1, é evidente que não podemos imaginar a emissão de radiação
sem conceber a partícula, e nem a emissão de partícula sem conceber a
radiação, pois a desaceleração e a emissão são processos simultâneos. Logo,
elétrons e fótons estão juntos nessa realidade.
É fato que quando estudamos radiação poucos realmente ligam para a
partícula, que é sua causa de existir. Via de regra, são os efeitos que quase
sempre estudamos.
Mas se não podemos separar o elétron do fóton na primeira realidade
(R1), como escondê-los e justificar na segunda realidade (R2) que eles são
distintos e independentes, se são os mesmos fótons e os mesmos elétrons que
se deparam e interagem com o dispositivo de dupla fenda?
No mínimo R2 possui alguma conexão de dependência com a natureza
do elétron e do fóton revelada em R1, a menos que um elétron seja diferente de
outro elétron e que uma mesma radiação emita fótons diferentes. O que não é
possível, porque elétrons são partículas indistinguíveis e fótons de uma mesma
radiação, também!
Adicionalmente, para que esses fótons e elétrons possam ser tratados
de modo distinto e independente, mas apresentem o mesmo comportamento
5
ondulatório, como é evidenciado em R2, é preciso considerar que eles ou têm
as mesmas propriedades ondulatórias ou compartilharam juntos de uma
mesma realidade anterior.
Eles não possuem as mesmas propriedades ondulatórias: o fóton viaja
com a velocidade da luz, o elétron, não. A velocidade do elétron nunca pode
atingir a velocidade do fóton, pelo menos em assunção à teoria da relatividade
especial, em que a maioria dos físicos acredita.
Naturalmente se infere que eles estavam juntos em uma realidade
anterior, por isso seus comportamentos ondulatórios são semelhantes na dupla
fenda. No entanto, podem ser revelados de modo individual, por algum
mecanismo que os separa, tornando-os partículas distintas.
Em particular, penso que essas questões no mínimo recrudescem aquilo
que aprendemos sobre dualidade nos textos de Física Moderna. As realidades
R1 e R2 revelam que a radiação produzida por uma partícula e a interferência
produzida por uma partícula, têm causa.
6
CAPÍTULO 2
REALIDADE FÍSICA E CAUSALIDADE
É importante enfatizar que as duas realidades, R1 e R2, revelam que a
interferência produzida por uma partícula e também a radiação produzida por
uma partícula, têm causa. Contudo, depois de D’Broglie os textos científicos
que tratam do comportamento dual somente apresentam discussões e
princípios relativos à realidade R2 ou a outras realidades semelhantes.
A experiência de dupla-fenda, por exemplo, é explicada considerando
haver um princípio de incerteza que tem relação com o processo de medida
sobre a partícula, e que somente após o efeito observado (medida realizada) é
que se pode assegurar tratar-se realmente de uma partícula, pois poderia ser
onda. O princípio é utilizado para difundir a idéia de que o efeito da observação
define o fenômeno.
O princípio da incerteza foi interpretado como a impossibilidade de
medidas simultâneas de dois observáveis quânticos descritos por operadores
não comutativos, relativos à dinâmica de uma partícula. A falta da
simultaneidade se dá pelo valor da ação de Planck – ℎ ser diferente de zero, e
que, em geral, o ato de medir um desses observáveis, destrói completamente a
informação prévia contida e disponível no outro.
Essa explicação e todas as que se baseiam nesse princípio
provavelmente foram o “caminho” que Bohr se utilizara a fim de subsidiar sua
tentativa de justificar, de maneira heurística, um outro princípio que imaginara
ser a resposta para as contradições estabelecidas pelo comportamento dual e
os
processos
de
medida,
e
que
é
conhecido
como
princípio
da
complementaridade, cujo teor se depreende:
“Uma partícula, em determinadas circunstâncias experimentais, exibe
propriedades de onda e, em outras circunstâncias, exibe propriedades de
corpúsculo, mas nunca exibe ambas as propriedades simultaneamente.”
7
Sobre esse princípio e às ideias de D’Broglie penso que eles asseveram
não haver nenhuma contraditoriedade relativa aos aspectos ondulatórios e
corpusculares. Por outro lado, penso também que só se complementam se
antes atestam a ambigüidade da natureza dual da matéria e da energia, ou
seja, a complementaridade deve contemplar as duas realidades R1 e R2, e o
princípio da incerteza deve ser inerente às flutuações de energia entre partícula
e radiação, como ocorrem em R1.
Dessa forma, o princípio da complementaridade torna-se estendido e é
enunciado como segue:
“Uma partícula, em determinadas circunstâncias experimentais, exibe
propriedades de onda e, em outras circunstâncias, exibe propriedades de
corpúsculo, embora a essência dessas propriedades influencie um ao
outro, e é essa essência que suscita uma ambigüidade” (os grifos são do
autor, que tornam o princípio estendido).
Com base nesse princípio, inferimos que as duas realidades (R1 e R2) se
inserem nas seguintes proposições:
(1) partícula e radiação formam uma única realidade;
(2) os processos nos quais elas se verificam podem ou não ser simultâneos:
a) serão simultâneos quando é cumprida uma primeira causa que
chamamos de causa latente, e;
b)
não simultâneos, quando o lapso de tempo do processo puder ser
medido e valer:
= ℎ⁄
, nesse caso é cumprida uma segunda causa,
que chamamos de causa interna, que depende da primeira.
Os conceitos dessas causas e o que eles significam no sentido da
essência da dualidade serão apresentados no capítulo 3. Por hora,
estabeleceremos as relações delas com as realidades R1 e R2, através das
proposições (1) e (2).
A proposição (1) foi o objetivo central da tese que apresentei em 2015.
Nela se definiu uma matéria dual-MD, composta de matéria e radiação, onde
fazem parte o elétron e o fóton. Aqui, a MD é revelada como a causa latente da
8
dualidade, onde pode emergir uma causa interna, na forma de uma MD-elétron
ou uma MD-fóton
Desse modo, a R1 estará vinculada as proposição (1) e (2.a), enquanto
que a R2 estará vinculada à proposição (2.b). Mas, é oportuno ressaltar que a
dualidade para as partículas que participam dessas realidades é a mesma em
essência, pois obedecem ao princípio da complementaridade estendida. Em
essência, em R1 e R2 está presente a mesma virtude dual.
Se a complementaridade não for estendida, R1 será uma realidade física
na qual a emissão de radiação é distinta da partícula, e a criação de uma
partícula é distinta da radiação, o que viola regra básica da eletrodinâmica
quântica e nega a simultaneidade de algo claramente complementar, nos dois
sentidos: elétron gera radiação, radiação gera elétron.
Igualmente, se a complementaridade estendida não for aplicada a R2,
esta será uma realidade na qual a onda pode ser separada de seu corpúsculo.
No entanto essa possibilidade nega a própria hipótese de D’Broglie e
consequentemente a mecânica ondulatória não existiria.
Quando
decidimos
seguir
Bohr,
devemos
entender
que
suas
argumentações se limitam à R2, aí somos levados ao equívoco de deduzir que
não há causa para a dualidade, e que as circunstâncias experimentais tornam
a efeito o comportamento corpuscular ou ondulatório de uma partícula. Essa
linha de raciocínio coloca a intervenção humana a frente da questão, pois é a
atividade humana quem prepara e realiza medidas sobre os experimentos.
Esse pensamento tem extrapolado e ganho imagens absurdamente
paradoxais, onde a simples observação pode definir um fenômeno.
Lembremos do paradoxo proposto por Schrödinger, criticando a
interpretação da superposição de estados. Segundo esse paradoxo, um gato
pode estar num estado vivo-morto. Pela complementaridade de Bohr, se ele for
observado como morto perde-se por completo a informação do seu estado
vivo. Do mesmo modo, ser for observado com vida, não teremos informação
alguma sobre seu estado morto. Logo, se ele não for observado, a morte e a
vida do gato passam a ser uma faculdade humana? Então é melhor não olhar
para ele, caso contrário corre-se o risco de matá-lo!
9
As
palavras
de
Wheeler
reproduzem
bem
a
adoção
da
complementaridade de Bohr: “Nenhum fenômeno é um fenômeno até que ele
seja um fenômeno observado”.
Em outra direção, quando consideramos as ideias de D’Broglie e o
princípio da complementaridade estendida, sobretudo a existência da matéria
dual-MD, onde coexistem elétron e fóton em sua estrutura, há uma clara
necessidade de fixarmos as causas, os efeitos e como esses efeitos podem ser
medidos.
As causas já foram definidas. A primeira, é a causa latente, a própria
matéria dual. A segunda, é a causa interna: MD-elétron ou MD-fóton. Esta
última, portanto, está relacionada às características entitivas da MD. Nesse
sentido, o elétron e o fóton não são partículas, mas MD’s.
Os efeitos estão relacionados ao comportamento prevalente, da onda ou
do corpúsculo, que ocorre em determinada realidade. Por exemplo, na
experiência de dupla fenda, não dá para esperar da partícula, com prevalência
corpuscular, qualquer evidência do fenômeno da interferência, pois uma vez
lançada contra o aparato experimental, sua prevalência passa a ser
eminentemente ondulatória. A interferência é uma realidade objetiva das
ondas.
As medidas são as intervenções humanas para a análise dos aspectos
corpusculares e ondulatórios, que estão inseridos nas causas e cujos efeitos
podem ser tratados matematicamente através da energia de determinada MD,
via relatividade especial, onde:
=ℎ .
=
; ou via mecânica ondulatória, onde
Infere-se, portanto, que o comportamento dual das partículas existe
independentemente do observador. Tal conclusão está no bojo das
argumentações
apresentadas
aqui
e
se
encerram
com
o
seguinte
complemento.
Há de se considerar que ao se explicar as propriedades ondulatórias do
elétron e uma vez evidenciadas as propriedades corpusculares da radiação
(efeitos fotoelétrico e Compton), ficou evidente que partículas dotadas de
10
ondas deveriam obedecer as duas vias. Essa era a conexão de D’Broglie e, a
nosso ver, a segunda causa.
A causa primeira é a matéria dual-MD e isso é aparente na proposta da
minha tese, pois ali configuram princípios da relatividade especial e da
mecânica ondulatória, que foram coerentemente conectados para explicar o
fenômeno da dualidade.
A coerência está na descrição física e matemática do fenômeno, uma
vez que suas primícias requereram a introdução de nova base conceitual
acerca da relatividade da simultaneidade e, desta, a necessidade de definir um
espectro de velocidades para dois referenciais inerciais que se movem
relativamente. Além disso, as primícias permitiram construir um modelo que se
ajustasse perfeitamente às propriedades dinâmicas do elétron e do fóton.
A conexão está na definição da matéria dual, onde coexistem onda
matéria-OM (elétron) e fóton, conforme a Figura 1,
OM
%
=
%
MD
Fóton
Figura 1. Representação da MD,
páginas 34, da tese (Jan/2016).
cuja energia foi determinada na forma:
=
onde
= !1 −
"⁄
1−
#
$ ⁄
⁄
+
1−
1−
⁄
,
(1)
.
A partir dessa equação é mostrado que o elétron e o fóton têm caráter
dual devido à MD, uma vez que as flutuações de energia entre eles ocorrem
em seu interior.
A equação revela, ainda, a compreensão dos efeitos produzidos em
cada realidade (R1 e R2), na qual a MD pode existir.
11
"
<
Em R1, a MD é definida pelo mecanismo de sua existência onde
< . Nesse caso, o efeito corpuscular e ondulatório é isócrono. A MD
enquanto partícula, “desacelerando”, emite onda de radiação; em sentido
inverso, a MD, enquanto onda de radiação, “desacelerando”, emite partícula.
Em R2, a MD se revela de duas formas que matematicamente decorrem
da equação (1). Como uma MD-elétron, definida a partir do mecanismo de
existência, onde
=
",
quando o fóton transfere toda sua energia ao elétron;
ou como uma MD-fóton, onde ela é definida pelo mecanismo de existência
onde
= , quando o elétron transfere toda sua energia ao fóton.
Se assumirmos uma das formas da MD, em R2, teremos um sistema
físico observável, a MD-elétron, por exemplo. Esta, ao existir, carrega sua
própria identidade dual, cujos efeitos de sua prevalência, como onda ou
corpúsculo, são mutuamente excludentes e também não simultâneos.
Primeiro, porque é através da prevalência corpuscular que as
propriedades da partícula são analisadas e seus efeitos estudados, por
exemplo, e estas são incompatíveis com as propriedades de uma onda.
Segundo, porque há um lapso temporal
= ℎ⁄
para a mudança
completa da configuração onda-partícula, a partir do qual se define a
prevalência dual, o seu ato de existir, seja num sentido ou em outro.
É importante ressaltar que em minha tese de Professor Titular, não
foram discutidas as relações de causa e efeito, posto que ali não era o objetivo.
Mas, um leitor mais atento, lendo a tese, certamente observará que está
implícito nas definições, nas propriedades e nos desdobramentos matemáticos
da MD, que considero uma causa latente (a envoltória) e uma causa Interna
(matéria e energia) para efetivamente explicar a dualidade sob o aspecto físico,
matemático e fenomenológico.
No capítulo a seguir, daremos o devido enfoque à essência, onde serão
tratadas as questões filosóficas que nos levam à compreensão da natureza
causal da dualidade.
12
CAPÍTULO 3
CAUSALIDADE E DUALIDADE
3.1.
INTRODUÇÃO
É provável que a maioria das pessoas não tenha nenhum interesse de
saber por que as coisas são do jeito que são, do que são constituídas e por
que acontecem dessa ou daquela forma. A vontade de saber realmente é para
poucos. Certamente se muitos tivessem interesse pelas causas a rapidez com
que as coisas seriam descobertas seria incomensuravelmente maior.
A palavra tem origem na filosofia e como iremos tratar de essência é
razoável buscar seu significado no contexto filosófico, onde encontramos:
“Causa é aquilo ou aquele que faz que uma coisa exista; é o princípio cujo
influxo determina o existir de algo que de per si é insuficiente para tanto”.
Esse princípio, para o presente trabalho, é a base do encadeamento
lógico de argumentos sobre a essência de uma qualidade natural das
partículas – a dualidade. Logo, ele se destina à argumentação filosófica da
causalidade da matéria dual-MD.
O início parte do pressuposto que elétron ou fóton por si só não são
auto-suficientes para ingressarem no plano existencial. Por isso mesmo eles
dependem da MD, a causa, que lhes comunica o existir de fato, ou seja, além
de existirem pela causa, esta responde também pela natureza de seus efeitos.
Em metáfora, é como a gestação de uma vida onde a bolsa placentária é
a MD-mãe, onde em seu interior há troca permanente de energia (líquido
amniótico) para formação de matéria (feto), ou troca de matéria (vibração) para
a produção de energia (vida).
A MD-mãe carrega em seu “ventre” elétron e fóton e enquanto não
nascem eles trocam energia, como um embrião em formação. Nesse momento,
eles coexistem sob a forma de um único corpo (placenta, líquido amniótico,
feto) não há como saber nada sobre eles, a menos por um determinado
13
processo físico, compatível com as propriedades da MD-mãe, ou de uma MDelétron ou de uma MD-fóton.
Se o processo físico for compatível com as propriedades da MD-elétron,
por exemplo, ele faz irromper toda a energia da MD-mãe para o elétron.
É o processo físico quem caracteriza a MD como um elétron, e não o
observador, ou seja, a MD-elétron só nascerá se os mecanismos para sua
existência assim o permitirem. A intervenção humana serve tão somente para
fazer medidas sobre as suas propriedades e não para definir sua existência ou
não existência, como onda ou corpúsculo, como asseveram as questões
filosóficas da atual mecânica quântica sobre o tema.
Não dá para imaginar que uma mãe-peixe, pronta para parir, seja
mergulhada em um tanque com óleo e achar que um peixinho ao nascer
sobreviverá se alguém estiver observando (e não fizer nada) ou se não estiver
observando. Não é sensato pensarmos como Wheller, que poderemos
encontrá-lo vivo, em algum momento e lugar do tanque, se não observarmos
sua morte. Pois nós sabemos que mesmo se não observarmos o peixinho, ele
morrerá. Na verdade, em qualquer dos casos ele morrerá, e a mãe também.
Agora, se imaginarmos o peixinho nascendo em um tanque com água
apropriada, independente de observá-lo ou não, ele permanecerá vivo na água,
pois a água é o processo físico-químico compatível com sua existência. A
intervenção humana pode ser somente para avaliar se o peixinho pode ser
estudado (em uma ou mais de suas propriedades) ou não, mas isso é uma
escolha humana, um arbítrio próprio.
O exemplo acima é oportuno para compreendermos a existência da MDelétron, pois uma vez nascida ela traz a história da MD-mãe, suas
características de comportamento ondulatório e corpuscular, ou seja, agora o
observador se depara com a circunstância na qual o mesmo processo físico
apresenta a MD-elétron com comportamento dual, e novamente a intervenção
humana serve tão somente para fazer medidas sobre ela, é uma operação
sequencial. Ressalta-se que tal exemplo serve também para MD-fóton.
Então, a argüição sobre os processos de medidas é a seguinte: “Uma
vez definida a MD-elétron (ou MD-fóton), o processo físico ao qual é submetida
14
é específico para tratar com ela, é ele quem fornece os mecanismos de sua
existência, seja na forma de onda ou de corpúsculo, a sua prevalência dual.
Nesse momento, a MD-elétron passa a ser a causa dos efeitos da MDmãe, e são esses efeitos que são analisados e estudados por um observador
que tem papel coadjuvante de realizar medidas e não de protagonista da
existência da partícula na forma de onda ou corpúsculo. O ato de medir não
pode preceder as causas”.
Ante ao exposto, podemos inferir que os modos de atuar, seja como MDelétron ou MD-fóton, por parte do influxo causante (MD), deixam clara a
necessidade de estabelecimento de duas causas.
3.2.
CAUSA INTERNA
A coexistência de elétron e fóton como constituintes da MD nos permite
afirmar com que propriedades a MD pode ser caracterizada. Sua energia,
massa e freqüência formam um composto interno “diluído” que chamamos de
influxo interno e que contribui para tal coexistência, sobretudo opera seja como
um constitutivo determinável pela causa latente seja como um constitutivo
determinante para as propriedades ondulatórias e corpusculares de um “ente
substancial”.
No
ente
substancial,
essas
propriedades
respondem
pelo
comportamento da MD-elétron ou da MD-fóton, e também pela suas formas,
daí se adaptarem ao processo físico ao qual submetemos à MD. Por isso, o
influxo interno é uma causa determinante dos efeitos corpusculares e
ondulatórios, bem como daquilo pelo qual o ente substancial é constituído em
sua qualificação específica, seja como MD-fóton ou MD-elétron.
3.3.
CAUSA LATENTE
A causa latente é a MD, uma envoltória que não integra de modo
constitutivo os efeitos, uma vez que seu papel é gerar e armazenar elétron e
15
fóton em seu interior, mas ali exerce seu influxo causal possibilitando a
coexistência de ambos e, portanto a sua natureza dual.
Por gerar e armazenar certamente influencia no que existe em seu
interior. Isso nos conduz a pensar que essa causa influi, mas está produzindo
algo que terá características próprias e, que após nascer, elas emergirão como
uma MD-elétron (ou MD-fóton) com sua inequívoca personalidade, mas que
herdarão da MD-mãe a sua história genética de comportamento corpuscular e
ondulatório, pois ali fora gerada. De todo modo é algo novo diferente da MD,
quando nasce: é uma MD-elétron (ou MD-fóton).
Em outras palavras, a MD (envoltória) transfere e comunica para o
elétron e para o fóton a sua forma e natureza entitiva. Essa forma e natureza
dual,
existentes
na
causa
primeira,
são
incorporadas
nos
efeitos
(comportamento corpuscular e ondulatório), ou seja, a forma transferida e
comunicada passa a existir no influxo interno, de modo que quando nasce a
MD-elétron (ou MD-fóton), os efeitos de comportamento (os traços genéticos
da MD) surgem do mesmo modo como estavam na causa.
Trata-se de um modo de causar por participação. Nela a causa apenas
opera dentro da potencialidade receptiva do efeito a fim de lhe ativar a força
retida e virtual ou estado de eclosão ou de vir-a-ser. Por isso, nessa
participação emerge algo de novo, um ente substancial que antes não existia
em ato.
Portanto, causa e efeitos não configuram duas realidades diversas, mas
constituem uma e a mesma realidade complexa: A causalidade.
3.4.
•
CONCLUSÕES
A matéria dual-MD pode ser constituída de qualquer onda matéria-OM e
qualquer fóton, seja ele virtual ou real.
•
A matéria dual-MD, em forma e existência, depende do processo físico,
é ele quem proporciona os mecanismos de existência e as qualidades
da MD. Talvez essa seja a razão pela qual algumas partículas têm
16
tempo de vida tão curto. Elas eclodem de uma MD em um meio que não
favorece a sua permanência, daí tornam-se radiação.
•
A MD não é visível, portanto somente aquela passível de sofrer
interação
com
determinado
sistema
(suas
características
e
propriedades), ao qual é submetida, é que pode ser observada.
•
O vácuo ou qualquer outro meio são processos físicos apropriados que
determinam, pelas suas propriedades, as qualidades de MD’s de
existirem neles. É como um oceano, onde teríamos uma diversidade de
peixes de todo tamanho e espécie. Isso explicaria a variedade de
radiações e partículas no universo.
•
Pelo seu caráter dual, a MD pode mudar de comportamento ao passar
de um meio para outro, ou dentro de um mesmo meio, dependendo da
natureza do sistema ao qual é submetida nesse meio.
•
A MD é a causa da dualidade, então o elétron (uma OM) e o fóton são
causados nos atos de existirem por ela, portanto estão arraigados na
ostensiva realidade dual da MD. Por isso, ao principiarem existir são a
causa de seus efeitos.
Para finalizar destaco uma declaração de Planck sobre a causalidade:
“A lei de causalidade não é verdadeira nem falsa. É antes de tudo um
princípio heurístico, um guia – a meu ver, o melhor guia que temos – para nos
orientar na confusão multifacetada dos eventos e nos mostrar a direção que a
pesquisa científica deve seguir para dar bons resultados. A lei de causalidade
que tão cedo contagia a criança e lhe coloca na boca a incansável pergunta
“por quê?”, permanece a companheira do pesquisador durante toda a
existência e sempre lhe apresenta novos problemas. Pois a ciência não
significa repouso contemplativo na posse do conhecimento adquirido. Ao
contrário, é obra jamais concluída e em progresso perpétuo”.
Max Planck
17
CAPÍTULO 4
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
4.1.
INTRODUÇÃO
Nesse capítulo apresentamos a quantidade de movimento ou momento
linear da matéria dual-MD que não foi explorada em minha tese.
Inicialmente, é oportuno lembrar que em conjunto com as forças e a
energia, a quantidade de movimento é uma das grandezas de maior interesse
na dinâmica do movimento de qualquer sistema. Na verdade, através dessa
grandeza conjugada à energia, podemos determinar a evolução do sistema em
si, daí sua importância.
Não menos importante também é fazermos uma breve digressão de sua
definição na mecânica newtoniana, na mecânica relativística e na mecânica
quântica, uma vez que seu conceito para a dinâmica de uma partícula, como
massa versus velocidade, nunca foi alterado, e é uma das bases para a
compreensão da evolução espaço-temporal da MD.
4.2.
QUANTIDADE DE MOVIMENTO NA MECÂNICA NEWTONIANA
No livro Princípios Matemáticos da Filosofia Natural, publicado em sua
1ª edição em 1687, e mundialmente conhecido como Principia, Newton parte
de algumas definições e três leis do movimento. As definições foram
estabelecidas para a compreensão das leis e dentre elas encontra-se a da
quantidade de movimento:
Definição 2: “A quantidade de movimento se mede pela velocidade e a
quantidade de matéria tomadas conjuntamente”.
A atual tradução analítica dessa definição é: )* =
massa de repouso e ++*" é a velocidade.
% ++*" ,
onde
%
é a
18
É oportuno registrar que inicialmente Newton se utilizara de outra
definição para compor a fórmula da quantidade de movimento:
Definição 1: “A quantidade de matéria se mede pela densidade e o volume
tomados conjuntamente”.
Ocorre que densidade é massa específica, e, se antes não se define
qualitativamente o que ela significa, estamos em uma via de mão dupla e sem
saída.
Certamente Newton se deparou com a questão e não tardou em realizar
experiência com pêndulos, onde verificou que os pesos dos corpos são
+* =
proporcionais às suas massas (P
*).
%-
Ele tentou explicar que a quantidade
de matéria é sinônima de massa. Mas, isso não resolveu o problema de sua
Definição 1 que continuava circular.
Para Newton, a saída foi considerar que a Definição 1 e sua explicação
sobre a massa dos corpos só podem ser usadas na Definição 2, da
quantidade de movimento, se a massa for a mesma em todas as
circunstâncias. A tal massa, hoje, chamamos de massa de repouso (
% ).
Por fim, não podemos deixar de comentar que as definições e as três
leis de Newton foram fundamentalmente elaboradas sobre dois pilares
conceituais mais familiares da física: o espaço absoluto e o tempo absoluto; e
também por um princípio basilar para sua estruturação físico-matemática: A
relatividade de Galileu.
O tempo e o espaço newtonianos.
i)
O tempo absoluto, verdadeiro e matemático, em si e por sua
natureza sem relação alguma com nada externo, flui uniformemente
e se chama duração.
ii)
O espaço absoluto, sem relação, por sua natureza, com as coisas
externas, permanece sempre igual a ele mesmo e imóvel.
O princípio da relatividade de Galileu, que se traduz matematicamente
através das seguintes transformações convenientemente aplicadas para um
movimento relativo na direção- .:
19
0) . = . 1 + 23 5
/
4) 3 = 3 1 ,
ou
(2)
) . 1 = . − 23 5
/
7) 3 1 = 3 .
(3)
Essas transformações deixam invariantes as leis de Newton e, por
conseguinte, toda a mecânica, quando analisamos o movimento, de dois
referenciais inerciais que se deslocam relativamente com velocidade constante
e igual a 2, um em relação ao outro.
4.3.
QUANTIDADE DE MOVIMENTO NA RELATIVIDADE ESPECIAL
A relatividade especial foi criada por Einstein para se ajustar à teoria
eletromagnética, que é regida pelas equações de Maxwell. Nessa teoria, são
as transformações de Lorentz e não as de Galileu que deixam invariantes as
equações de Maxwell. Na verdade, as transformações de Lorentz são mais
gerais, elas deixam invariantes não somente as leis do eletromagnetismo e da
mecânica, mas todas as leis da Física.
Elas formam um conjunto de relações do espaço-tempo quando
analisamos o movimento de um ponto de luz em dois referenciais inerciais que
se deslocam relativamente com velocidade constante 2, um em relação ao
outro. Na direção-., elas têm a seguinte forma:
0) . = (. 1 + 23)
5
/
4) 3 = (3 1 + 2. ⁄ ) ,
ou
/
onde
= !1 −
"⁄
#
$ ⁄
) . 1 = (. − 23)
7) 3 1 = (3 − 2. ⁄ ) ,
5
(4)
(5)
é o fator de Lorentz; ++*" é a velocidade da partícula
e , é a velocidade da luz no vácuo.
Para “baixas velocidades”, as transformações de Lorentz reproduzem
aproximadamente as transformações de Galileu.
20
Em certo sentido, então, a mecânica relativística substituiu a mecânica
newtoniana, pois, além da cinemática, a dinâmica relativa ao movimento de
uma partícula também foi adequada ao princípio da constância da velocidade
da luz.
Nessa adequação, a quantidade de movimento ou momento aparece na
forma: )* =
++*" , onde
=
%.
Depois, veio a linguagem matemática dos 4-
vetores de Minkowski, onde o 4-momento é dado como segue:
Mas,
<= =
%!
; ++*? , ++*@ , ++*A # = ( )% ; )*) .
<% =
%
= )% ,
(6)
(7)
é a componente zero do 4-momento e ela reproduz um resultado no mínimo
surpreendente: O 4-momento não se anula quando a partícula “pára”, ao invés,
vale:
<% =
%
= )% .
(8)
Essa questão, quando abordada em textos que tratam da TRE, é
justificada em termos da energia da partícula, mas nada melhora na
obscuridade dessa expressão no que tange ao conceito primitivo da quantidade
de movimento, que não foi alterado pela TRE: quantidade de movimento é igual
a massa versus velocidade.
Essa obscuridade está exatamente no conceito, pois se a partícula
“pára” ela não tem velocidade, portanto não possui quantidade de movimento,
pelo menos na sua tradicional forma conceitual.
4.4.
QUANTIDADE DE MOVIMENTO NA MECÂNICA ONDULATÓRIA
O primeiro passo para criação da mecânica ondulatória foi dado por
Louis de Broglie, a partir de três artigos publicados em 1923. Mas, é
precisamente no primeiro dos artigos que ele introduziu a idéia de uma onda
associada às partículas, estendendo a idéia para a luz e para os elétrons.
21
Contudo, é em sua tese de doutoramento, de 1925, que ele mostra de
maneira elegante e simples a natureza dual das partículas, pois no artigo de
1923 a onda associada à partícula parece mais como uma qualidade imposta.
Em uma dedução relativística, considerando dois referenciais inerciais,
D’Broglie percebeu que a quantidade de movimento ou momento associado a
uma onda eletromagnética se transforma de modo análogo ao momento de
e velocidade ++*" .
uma partícula que possui massa
Seria então possível que a natureza reservasse a todas as partículas
uma relação fundamental onde ao momento )* , da partícula, estivesse
associado um comprimento de onda , da mesma forma como à sua energia ,
na relação de Planck, aparece associada uma freqüência , ou seja, valeriam
para todas as partículas a relações:
)=
"
=ℎ
=
ℎ
(9)
(10)
A dupla natureza da matéria fica evidente nessas equações. Cada uma
delas apresenta um conceito corpuscular evidenciado por ) e , e um conceito
ondulatório caracterizado por
H .
O mais surpreendente! A equação (9) passa a dar uma nova definição
para a quantidade movimento de uma partícula. Agora não somente a
quantidade de movimento é igual a massa versus velocidade, mas também
igual a uma relação que envolve a constante de Planck e o comprimento de
onda da partícula.
Temos aqui uma nova revolução na física que contribuiu decisivamente
para o desenvolvimento da teoria quântica, que culminou com o princípio da
incerteza. Mas, é um exemplo muito claro do tipo de conceito de natureza
abstrata, sem suporte na realidade palpável, que a física desenvolveu ao longo
do século XX, que ensejou a construção de muitas idéias e interpretações
paradoxais.
22
4.5.
QUANTIDADE DE MOVIMENTO DA MATÉRIA DUAL
Em minha tese, publicada em 2016, está estabelecido o modelo teórico
e toda a estruturação físico-matemática do conceito de matéria dual.
Tivemos que limitar nossas reminiscências para rediscutir a relatividade
da simultaneidade e, por conseguinte, construir uma base de transformações
espaços-temporais
que
alicerçasse
uma
cinemática
e
uma
dinâmica
apropriadas: uma nova mecânica para o comportamento dual das partículas.
Nessa construção, fora definida a matéria dual-MD como uma entidade
física, onde: MD = massa + frequência. Porém, como massa é equivalente a
energia e freqüência é equivalente a energia, podemos também escrever:
MD = massa(ST) + massa(UVWXVçãY) ou MD = frequência(ST) + frequência(UVWXVçãY) .
Em particular, descrevemos como o elétron e o fóton estão vinculados e
são constituintes de uma matéria dual que obedece às regras da teoria da
relatividade especial e da mecânica ondulatória. Um desses vínculos foi
apresentado: a energia; o outro, que passamos a apresentar agora, é a
quantidade de movimento, cujo conceito não foge à regra, para a MD, vale:
<+* =
ou,
onde
<+* = !
é a massa do elétron;
Z ++*
+
,
(11)
#++* ,
(12)
, é a massa do fóton e ++* , é velocidade dual
que pode assumir valores que dependem da condição de existência da MD,
como fóton ou elétron. Então a Figura 1 pode simplesmente ser representada
conforme a Figura 2.
++*
Figura 2. Representação da MD
.
como uma partícula de massa
23
E, uma vez assumindo as massas, conforme a tese, onde:
=
⁄
1−
(13)
e
=
onde
= [1 −
]
\
^]
_
$ ⁄
1−
⁄
1−
,
(14)
é o fator de Lorentz, teremos para a quantidade de
movimento, ou momento dual:
<+* =
++*Z
⁄
1−
+
1−
⁄
1−
.
(15)
Esse resultado é revelador.
Por um lado, mostra que é possível estabelecer uma única expressão
para o momento de uma partícula com característica dual, ela possui sempre
duas parcelas:
1) Se
2) Se
=
",
a equação fornece o momento da partícula: ) =
= , a equação fornece o momento do fóton: ) =
";
;
Por outro lado, se a partícula “pára”, a equação (15) se reduz à forma:
<
(`)
=
%
⁄
a 1−
Todavia, como o momento <
(`)
<
(`)
b .
(16)
se conserva, nessa circunstância, ele é
transferido para fóton e consequentemente:
equação (16) que
+
=
%
,
= . Mas, isso implica na
(17)
A seção 4.3 tratou da definição relativística do momento, finalizando
exatamente com o problema de a partícula possuir um “momento de repouso”:
<% =
%
= )% , que é a componente zero do 4-momento.
24
O confronto entre as equações (8) e (17) revelam de modo intuitivo,
físico e matemático tratar-se )% =
pois
%
de um momento pertencente a uma MD,
nunca se anula, ainda que a partícula pare (
"
= 0). Dessa forma,
embora sem alterar o conceito de momento, é necessário defini-lo a partir da
concepção da equação (15) e daí estabelecermos as seguintes conclusões:
1) “O momento de repouso é uma propriedade da MD que, dependendo
de suas características de existência, estará vinculado a MD-fóton ou
a MD-elétron”;
2) “O fóton foi consagrado por não possuir massa de repouso, a MDfóton, ao invés, embora não o possua no sentido newtoniano da
massa, ela o revela no sentido intrínseco de sua energia-momento”.
No próximo capítulo discorreremos sobre as equações de onda, em
particular às razões que levaram à equação de Schrödinger, pois a hipótese de
D’Broglie, de sua onda de matéria, deveria ser posta à prova quanto às leis da
óptica, uma vez que essas mesmas leis (reflexão, refração), por ocasião da
disputa de Newton e Huygens sobre a natureza da luz, tiveram que ser
substituídas por novas equações – as equações de Fresnel – quando a teoria
ondulatória da luz prevaleceu sobre a teoria geométrica.
Agora era necessário encontrar a expressão matemática exata de uma
equação de onda, para a onda de matéria debroglieana, que levasse em conta
os efeitos de difração e interferência. Tal feito foi realizado por Schrödinger,
contudo, embora sua equação de onda tenha explicado vários resultados
experimentais, entre outros percalços, ela é não relativística.
A situação da matéria dual-MD, que trataremos no capítulo 6, não é
diferente da busca de Schrödinger por uma equação de onda, no entanto,
estamos em busca de uma equação que possa nos revelar a evolução no
espaço-tempo de um “ente” que em determinadas circunstâncias pode
representar um corpúsculo e em outras circunstâncias, uma onda. Para isso, é
necessário ter em mente que até chegarmos a ela é necessário compreender
como determinada equação de onda é importante na Física.
25
CAPÍTULO 5
SEIS EQUAÇÕES DE ONDAS DA FÍSICA
5.1.
INTRODUÇÃO
Neste capítulo faremos uma breve digressão cronológica sobre as
equações de D’Alembert à Proca, passando por Maxwell, Schrödinger, KleinGordon e Dirac. No capítulo seguinte, abordaremos a equação espaçotemporal da matéria dual, demonstrando que a partir das características de
cada sistema, essa equação inclui as demais.
Ressalta-se que a fim de facilitar a análise e tornar mais familiar as
expressões matemáticas, a notação científica utilizada para a apresentação de
cada uma delas continuará sendo a ferramenta dos vetores e escalares, em
coordenadas cartesianas.
5.2.
EQUAÇÃO DE ONDA DE D’ALEMBERT
Entre 1741 e 1743, Daniel Bernoulli realizou trabalhos nos quais estudou
as vibrações de uma barra e os sons emitidos por ela, bem como separou os
diversos modos dessas vibrações e observou que os sons correspondentes (ou
diversos harmônicos) podiam existir juntos. Parece ser essa a primeira
observação sobre a coexistência de pequenas oscilações harmônicas. Apesar
de entender fisicamente esse problema, ele não foi capaz de resolvê-lo
matematicamente.
A solução para as vibrações em cordas foi encontrada pelo matemático
francês Jean-Le-Rond d´Alembert, em 1746, ao obter a seguinte equação
diferencial parcial da corda vibrante:
26
c
c
c
+
+
c.
cd
ce
f(., d, e; 3) =
1 c f(., d, e; 3)
,
c3
(18)
onde f(., d, e; 3) é uma função de onda que descreve as variações de
determinada propriedade do meio, no ponto (., d, e) e em um instante 3, cuja
velocidade de propagação da onda é constante e igual a
tensão da corda e i, sua densidade.
= gh⁄i, onde h é a
Uma maneira compacta de escrevê-la é na forma:
∇ f(., d, e; 3) =
onde
∇ =
é o operador laplaciano.
5.3.
1 c f(., d, e; 3)
,
c3
c
c
c
+
+
c.
cd
ce
(19)
(20)
EQUAÇÃO DE ONDA DE MAXWELL
A primeira grande unificação da física deve-se a Newton, a segunda, a
Maxwell que organizou todo o eletromagnetismo em “Uma Teoria Dinâmica do
Campo Eletromagnético”, que fora apresentada à Sociedade Real de Londres,
em 1864, através do seguinte grupo de equações:
+*. Z
+* = k , Lei de Gauss da Eletricidade.
1. ∇
+*o
+* × m
+* = n* + cZ
2. ∇
c3 , Lei de Ampère Generalizada.
+*. p
+* = 0 , Lei de Gauss do Magnetismo.
3. ∇
+*o
+* × +* = − cp
4. ∇
c3 , Lei de Faraday da Indução,
onde: k = k(., d, e; 3) é a densidade de carga; n* = n*(., d, e; 3), a densidade de
+* = Z
+*(., d, e; 3) , o vetor
corrente; +* = +* (., d, e; 3) , o campo elétrico; Z
+* = m
+* (., d, e; 3), o campo magnético; p
+* = p
+* (., d, e; 3) , o vetor
deslocamento; m
indução magnética e,
27
+*= q̂
∇
c
c
c
+ ŝ
+ tu
c.
cd
c.
(21)
é o operador diferencial nabla, onde (q̂, ŝ, tu) são vetores unitários nas direções
dos eixos cartesianos.
Cada uma dessas 4 equações representa uma generalização de certas
observações experimentais, por isso mesmo, elas não podem ser provadas
matematicamente. Apesar disto, a explicação delas a qualquer situação pode
ser verificada, sendo uma de suas aplicações mais importantes a dedução das
equações para as ondas eletromagnéticas, onde Maxwell mostrou que elas se
propagam com a velocidade da luz, .
Maxwell mostrou que o campo eletromagnético satisfazia uma equação
de ondas, análoga à equação de ondas elásticas, em corpos e membranas,
deduzidas por D’Alembert, em 1746, ou seja:
∇ f(., d, e; 3) −
1 c f(., d, e; 3)
=0 ,
c3
(22)
onde f(., d, e; 3) é o campo eletromagnético.
Essa é a equação da onda eletromagnética para uma dada região do
espaço sem cargas e sem correntes, que se propaga com velocidade da luz
igual a
= 1⁄gv% w% , onde v% e w% são, respectivamente, a permeabilidade
magnética e a permissividade elétrica do vácuo. Atualmente essa expressão é
facilmente obtida através de manipulações das equações de Maxwell com
algumas identidades vetoriais.
5.4.
EQUAÇÃO DE ONDA DE SCHRÖDINGER DA PARTÍCULA LIVRE
Lembremos que D’Broglie havia introduzido a noção de um processo
ondulatório em que uma onda piloto “guia” o elétron e, de certa forma, usando
a fórmula de Planck, onde
= ℎ , postulou que o comprimento de onda
desta “guia” se relaciona a quantidade de movimento ou momento ) =
elétron, por intermédio da expressão
órbita ligado ao núcleo do átomo.
",
do
= ℎ⁄) , esteja o elétron livre ou em
28
Em 1925, o físico holandês Pieter Debye, um dos organizadores de
colóquios da Eidgenössische Technische Hochschule (ETH), em Zurique, pediu
a Schrödinger que fizesse um relato da polêmica tese do francês Louis de
Broglie. No colóquio seguinte, Schrödinger explicou as idéias do francês de que
as órbitas obtidas por D’Broglie estariam corretas caso o elétron possuísse
comprimentos de ondas inteiros.
Debye asseverou que a idéia era “um tanto pueril”, pois se algo é uma
onda, precisa de uma equação de onda adequada. Ademais, continuou:
“Ondas se referem a coisas que ondulam”.
Schödinger, ao contrário da maioria das pessoas presentes no colóquio
da ETH, levou a sério o comentário de Debye, e também o de Einstein sobre o
trabalho de D’Broglie, de que “um campo ondulatório está ligado a todos os
movimentos”.
Em janeiro de 1926, Schrödinger abriu o colóquio da ETH apresentando
sua equação de onda e, posteriormente numa série de 6 artigos, publicados
ainda em 1926, em 4 partes, ele escreveu sobre a “Quantização como um
problema de valores próprios”.
Em linguagem atual o que ele quis dizer é que essa “quantização” é na
verdade dada por uma equação de autovalores que se escreve da seguinte
maneira:
mf(., d, e; 3) = f(., d, e; 3) ,
onde m é o hamiltoniano que surge da energia
(23)
da partícula.
Nessa construção, esteja o elétron livre ou ligado pelo núcleo de um
átomo, a sua energia
e o seu o momento )* passam a ser escritos como
operadores da mecânica quântica, respectivamente, operador energia e
operador momento:
e
= ℏ
c
c3
+*
)* = − ℏ∇
.
(24)
(25)
Importante ressaltar que na teoria quântica a quantidade de movimento
ganha duas novas concepções estruturais. A primeira está na equação (9),
29
postulada por D’Broglie, que estabeleceu uma norma conceitual: associar à
partícula uma onda. A segunda deve-se a Schrödinger, que concatenou ao
momento da partícula um objeto puramente matemático: um operador, dado
pela expressão (25).
Então, substituindo o operador energia (24) na equação de autovalor
(23), o resultado fornece:
mf(., d, e; 3) = ℏ
cf(., d, e; 3)
.
c3
(26)
E, para o caso particular do hamiltoniano ter energia puramente cinética:
m = ) ⁄2 , onde )* é o operador dado pela fórmula (25), obtemos o seguinte
resultado:
−
ℏ
cf(., d, e; 3)
∇ f(., d, e; 3) = ℏ
.
2
c3
(27)
Tal expressão é conhecida na literatura como a equação de Schrödinger
da partícula livre. Todavia, é importante ressaltar que ela é não-relativística, ou
seja, não é invariante pelas transformações de Lorentz, fundamentalmente
porque o hamiltoniano foi definido com energia cinética para baixas
velocidades e a equação apresenta derivada temporal de primeira ordem e
derivada espacial de segunda ordem. Aqui, mostraremos que ela advém de
uma equação de onda geral.
5.5.
EQUAÇÃO DE ONDA DE KLEIN-GORDON
Após a publicação da equação de Schrödinger ocorreu uma verdadeira
corrida para a obtenção de sua versão relativista. Ele próprio fez sua tentativa,
mas foi o físico sueco Oskar Benjamin Klein, em abril de 1926, e o alemão
Walter Gordon, em setembro de 1926, que obtiveram de modo formal a
equação que supostamente apresentava o tratamento relativístico para a
equação de onda do elétron livre.
Atualmente essa obtenção é simples quando usamos a expressão da
energia relativística da partícula livre, na forma:
30
=)
+
%
y
,
(28)
e adotamos para a o operador energia da equação (24) a forma quadrática:
= −ℏ
c
c3
.
(29)
Além disso, como o operador hamiltoniano representa a energia da
partícula, então podemos assumir a equação (26) como segue:
m f(., d, e; 3) = −ℏ
ou seja, desde que m =
ℏ
z−∇ + [
c f(., d, e; 3)
,
c3
(30)
para a partícula livre, então:
%
ℏ
_ { f(., d, e; 3) = −ℏ
c f(., d, e; 3)
,
c3
(31)
que é a equação de Klein-Gordon.
É oportuno acrescentar que embora Klein e Gordon tenham utilizado na
dinâmica relativística os operadores do momento e da energia, sugeridos por
Schrödinger, sua aplicabilidade era limitada e a sua compatibilidade com a
mecânica quântica falhava em alguns aspectos.
Não explicava, por exemplo, a estrutura fina dos espectros atômicos, o
efeito Zeemann anômalo, além de não considerar o spin do elétron, recém
descoberto (1925), por Uhlenbeck e Goudsmit.
Por fim, há de se deixar claro que em relação ao spin do elétron (ℏ⁄2) a
discrepância com Klein-Gordon não está na validade de sua equação, pois ela
é apropriada para descrever partículas com spin zero e não com spin semiinteiro, como observou alguns anos mais tarde o físico americano Richard
Feynman, em seus estudos sobre eletrodinâmica quântica.
31
5.6.
EQUAÇÃO DE ONDA DE DIRAC
Em 1928, Dirac apresentou a equação relativista do elétron na qual seu
spin aparece naturalmente. Ele partiu da idéia simples de que havia duas
equações quânticas que descreviam o movimento de uma partícula livre e que
era necessário usar uma ou outra para compatibilizar a relatividade à teoria
quântica.
A primeira era a equação de Schrödinger que, embora de natureza nãorelativística, tinha conseguido explicar uma boa quantidade de problemas de
natureza atômica; enquanto que a segunda era a equação de Klein-Gordon,
que tinha natureza relativística, mas não apresentava as características
completas para descrição quânticas do elétron, por exemplo, o seu spin. Então,
naturalmente Dirac preferiu se deter na primeira.
Dirac enxergou que sendo a equação de Schrödinger de primeira ordem
no tempo, e essa era a diferença clara em relação à equação de Klein-Gordon,
ele apostou ser necessário baixar a ordem das duas derivadas, no tempo e no
espaço, para escrever um hamiltoniano compatível com a equação (30). Em
outras palavras, seria possível encontrar a compatibilidade se a equação (28)
fosse escrita na forma:
= ±() +
%
)
.
o
(32)
Mas, a fim de cumprir a finalidade de se ter somente diferenciais de
primeira ordem no tempo e no espaço, explícitas nos operadores de
Schrödinger, e obedecer a conformidade espaço-tempo da relatividade, quanto
as suas derivações, Dirac obteve uma expressão equivalente à equação (32),
na forma:
m = }*. )* + ~
%
,
(33)
onde m é o hamiltoniano, que tem origem na energia ( ) da partícula, e
}* = ++*" ⁄ e ~ = •1 − !
"⁄
# €
⁄
são coeficientes.
Dirac observou, ainda, que embora m não contivesse os sinais da raiz
quadrada da equação (32), ele era raiz dela e que os coeficientes }* e
32
~ precisavam ser expressos de modo ao hamiltoniano atender os pressupostos
da relatividade e o princípio da incerteza.
Nessa construção, ele pôde assumir uma equação semelhante à
equação (26), que é conhecida na literatura como a ‘equação de Dirac’:
+* + ~
!− ℏ }*. ∇
%
#f(., d, e; 3) = ℏ
cf(., d, e; 3)
.
c3
(34)
Portanto, uma vez estabelecida a equivalência entre a mecânica
ondulatória e a mecânica matricial, }* e ~ passam a ser matrizes bem como f,
esta, porém, mais precisamente um spinor. Ou seja, a equação de Dirac é
consequência direta da representação spinorial do grupo de Lorentz.
Para finalizar, registre-se que a equação de Dirac eliminou três
problemas contidos na formulação de Klein-Gordon: 1) Ela está de acordo com
os níveis de energia da estrutura fina do átomo de hidrogênio; 2) Ela descreve
a dinâmica de partículas com spin ℏ⁄2, que é o spin do elétron; 3) Ela se ajusta
à equação da continuidade da mecânica quântica.
Quanto ao sinal negativo da energia, negligenciado na equação (32)
para a determinação da versão relativística da equação de Schrödinger, Dirac
interpretou como a energia de um “buraco” positivo deixado pelo elétron em
sua movimentação durante a ocupação de estados quânticos do átomo. Mais
tarde, tal energia foi medida como sendo o pósitron. Essa interpretação
possibilitou o desenvolvimento de uma das áreas atuais mais promissoras da
Física – a Física de partículas.
5.7.
EQUAÇÃO DE ONDA DE MAXWELL-PROCA
O texto em itálico, a seguir, trata de parte introdutória da monografia de
HERDY (2010), intitulada: “A Eletrodinâmica de Maxwell-Proca e o Fóton
Massivo”. Consideramos oportuno destacá-la para que o leitor tenha idéia dos
avanços sobre as discussões que cercam a hipótese do fóton massivo.
33
“Uma questão de especial relevância nas teorias físicas é a propagação
de perturbações geradas no espaço-tempo por algum tipo de fonte. No caso
particular do Eletromagnetismo de Maxwell, um objeto de interesse é o estudo
da emissão e propagação dos campos, elétrico e magnético, gerados por
cargas, correntes, ou densidades de spin (na verdade momentos magnéticos),
e a análise da energia transportada por estes campos.
No entanto, as equações de Maxwell convencionais indicam ser nula a
massa do fóton, o quantum portador da interação eletromagnética. Apesar de
hoje a Física adotar que a massa de repouso do fóton seja exatamente zero,
todos os experimentos realizados para determinar esta massa somente
forneceram limites superiores para a mesma. Podem-se indagar, então, quais
as evidências existentes para a ausência de massa do fóton, ou, quais as
conseqüências decorrentes de uma massa não-nula para esta partícula
elementar.
Em 1936, S. J. Plimpton e W. E. Lawton fizeram uma experiência
baseada na Lei de Gauss visando determinar se havia um desvio na Lei do
inverso do quadrado. Seus dados encontraram um desvio que corresponde a
um limite superior para a massa do fóton de 3,5 . 10$yy gramas (GONÇALES,
2008, p.35).
Em 1971, E. R. Williams, J. E. Faller e H. A. Hill também fizeram uma
experiência de laboratório baseado na Lei de Gauss, e encontraram um limite
que corresponde a um valor de 1,6 . 10$y• gramas (JACKSON, 1983, p.4). Ou
seja, a massa do fóton, em termos de energia, possuindo um limite superior de
aproximadamente 10$
y
H‚ (PDG, 2008, p. 385).
As medidas do campo magnético da Terra, seja na superfície, ou por
observações em satélites, fixam melhores limites para a massa do fóton. Já em
1968, A. S. Goldharber e M. M. Nieto encontram valores ligeiramente mais
precisos, de 2,3 . 10$
10$
„
ƒ
H‚ (PDG, 2008, p.385).
Atualmente, considera-se para a massa do fóton o valor limite de
H‚ (PDG, 2008, p.385), descrito por D. D. Ryutov em 2007, usando um
argumento magnetohidrodinâmico relativo ao vento solar para o raio de órbita
de Plutão.
34
Partindo-se, assim, da possibilidade de um eletromagnetismo no qual a
radiação esteja associada à existência de um quantum massivo (neste caso, o
fóton de massa de repouso não-nula), adota-se como objeto de estudo uma
teoria modificada do eletromagnetismo: a teoria de Maxwell-Proca. Para tanto,
faz-se uma análise da teoria Eletrodinâmica de Maxwell e, comparativamente,
da Eletrodinâmica de Maxwell-Proca, focalizando a atenção na questão da
radiação eletromagnética, nas leis de conservação e nas conseqüências mais
imediatas do fóton ter uma massa finita.”
A proposta de Proca consiste em alterar a Lei de Gauss da Eletricidade
e a Lei de Ampère Generalizada, introduzindo um parâmetro massivo … e os
potenciais Φ e ‡* . No vácuo, as novas leis do eletromagnetismo, agora, são
apresentadas respectivamente com as seguintes estruturas:
+∇*. +* + …Φ = 0 ,
+∇*. p
+* = 0 ,
e
+*o
+∇* × +* = − cp
c3
+∇* × p
+* + …‡* = v% w% c +*o
c3 .
(35)
(36)
(37)
(38)
Observa-se na proposta de Proca que somente as equações de Maxwell
com fontes foram alteradas. Isso é razoável porque sendo … um parâmetro
massivo, os potenciais Φ e ‡* passam a ter significação real.
Assim, usando essas quatro equações e algumas identidades vetoriais,
facilmente se chega à equação de onda de Maxweel-Proca para o potencial Φ:
(−∇ + …)Φ(., d, e; 3) = −
1 c Φ(., d, e; 3)
.
c3
Da mesma forma se obtém para o campo ‡*.
(39)
Essa equação revela dois aspectos interessantes. Que há uma notável
semelhança entre a equação de onda de Klein-Gordon com a equação de onda
de Maxwell-Proca. Que o fóton se propaga como uma onda massiva, pois se
35
+* . ‰* − Œ3), ela é solução da
Φ(‰*; 3) é uma onda plana do tipo Φ(‰*; 3) = Φ% ŠH‹(t
equação (39), e da qual resulta:
Π=t
+…
.
(40)
Ademais, podemos multiplicar essa relação de dispersão acima por ℏ (ℏ
simboliza a constante de Planck dividida por 2•), pois sendo
as suas substituições na expressão (40) fornecem:
=)
+ …ℏ
+* ,
= ℏŒ e )* = ℏt
.
(41)
Não obstante, para que essa expressão seja compatível com a equação
da energia relativística é necessário que:
… ⁄4• = (
Ž)
$
= (ℎ⁄
%
)$ ,
(42)
ou seja, nessas condições … é realmente um parâmetro relacionado a massa
de repouso do fóton, sendo
Ž,
o seu comprimento de onda Compton, uma
grandeza que aparece somente no estado de repouso da partícula.
36
CAPÍTULO 6
EQUAÇÃO DE ONDA DA MATÉRIA DUAL
6.1.
INTRODUÇÃO
Ao longo da jornada sobre as equações de onda da Física apresentadas
no capítulo anterior é oportuno salientar que de D’Alembert a Maxwell
passaram mais de 100 anos.
A razão é que os dois trataram de campos
macroscópicos e de assuntos aparentemente distintos, enquanto a proposta de
Schrödinger, Klein-Gordon, Dirac e Proca foi de tentar encontrar a equação
dinâmica de movimento de uma partícula e associá-la a um campo através dos
princípios da teoria quântica, cuja abordagem se estabelece no mundo
microscópico, ou seja, de alguma maneira os trabalhos desses últimos estão
correlacionados.
De todo modo, a formulação matemática de cada uma das equações de
onda apresentadas anteriormente foi construída especificamente para tratar de
um particular sistema físico e independente do nível ser macro ou microscópico
essa formulação resultou na determinação de uma equação de onda de algo
que oscila.
Então, se pensarmos que quaisquer corpos, substâncias ou meios
oscilam por que tudo é constituído de matéria e radiação, podemos inferir que
os estágios macroscópicos de oscilação desses mesmos corpos, substâncias
ou meios, se verificam, porque são médias dos estágios microscópicos da
radiação ou da matéria que oscilam nesse nível, e ai a sua coletividade pode
ser medida através do estágio macroscópico.
Nesse sentido, todas as equações de onda devem ter o mesmo perfil
matemático em essência, seja em nível macro ou microscópico. Daí podermos
concluir que se “tudo oscila” deve existir uma única equação da qual
poderemos determinar as demais equações de oscilações, destacadas as suas
peculiaridades.
37
O objetivo deste capítulo, portanto, é mostrar que as equações de onda
dos sistemas físicos, que são capazes de explicar os mecanismos pelos quais
esses mesmos sistemas evoluem no espaço e no tempo, podem ser
sintetizadas e compreendidas a partir de uma única formulação matemática
mais geral.
6.2.
EQUAÇÃO GERAL DE ONDAS E PARTÍCULAS
Quando escrevemos o momento obtido na seção 2.4, do capítulo 2,
equação (15), em termos da energia, ele passa a fornecer um padrão de todas
as equações de onda da Física, ou seja, é uma equação geral do tipo:
< =
onde:
=
+
,
(43)
⁄
1−
e,
=
com
= [1 −
é a massa, e
=
]
\
^]
_
$ ⁄
1−
1−
(44)
⁄
,
(45)
e com as grandezas definidas: 1) < é o momentum,
é a velocidade da matéria dual; 2)
é a energia da partícula e
, a velocidade de sua onda associada; 3)
é a energia da onda de
radiação e , a velocidade da partícula associada (fóton).
Nessa base e considerando que os operadores de energia e momento,
respectivamente
+* , agora, são usuais e aplicáveis em
= ℏc⁄c3 e )* = − ℏ∇
todos os ramos da Física (clássica, quântica e relativística), podemos adequar
os sistemas de interesse para escrever a equação de onda a partir do
conhecimento da equação da partícula e vice-versa. A equação (43) fornece o
caminho.
38
6.2.1. Equação de D’Alembert no Formalismo Dual
Então, em regime clássico a velocidade dual é igual à própria velocidade
da partícula. Portanto, quando
=
",
a equação (43) se reduz a:
) =
.
Desse modo, para um campo f(., d, e; 3) onde )* e
(46)
atuam como os
operadores das equações (24) e (25) e, considerando tratar-se de um
movimento harmônico coletivo de vibração das partículas de uma corda, com
= gh⁄i sendo a velocidade total da onda, temos a equação de D’Alembert:
∇ f(., d, e; 3) =
1 c f(., d, e; 3)
,
c3
(47)
6.2.2. Equação de Maxwell no Formalismo Dual
As ondas eletromagnéticas de Maxwell viajam com a velocidade da luz.
Nesse caso,
=
e, portanto, não teremos o primeiro termo à direita da
equação (43), que se reduz agora a:
) =
.
(48)
Então, para um campo eletromagnético f(., d, e; 3), no espaço livre,
onde )* e
com
também atuam como os operadores das equações (24) e (25) e,
= 1⁄gv% w% , temos a equação de Maxwell:
∇ f(., d, e; 3) =
1 c f(., d, e; 3)
,
c3
(49)
6.2.3. Equação de Schrödinger no Formalismo Dual
Recordemos que Schrödinger utilizou os resultados de D’Broglie para
obter sua equação de onda. Ele considerou a dualidade proposta por D’Broglie
e criou os operadores de energia e momento como suporte de sua formulação.
Aqui, levaremos em conta a outra condição de D’Broglie:
"
=
, que será
39
utilizada em nosso formalismo dual para a partícula, onde
equação geral (43) assume a seguinte forma:
) =
=
".
.
"
Portanto, para uma função de onda f(., d, e; 3), onde )* e
Logo a
(50)
são os
operadores das equações (24) e (25) que sobre ela atuam, escrevemos:
−ℏ ∇ f(., d, e; 3) = [
No regime não-relativístico:
"
_ ℏ
cf(., d, e; 3)
.
c3
• (com
=
= 1) e
"
(51)
= 2 , ou seja, a
velocidade da partícula, que representa o grupo de ondas, é duas vezes o valor
da velocidade de fase da onda. Nessa circunstância, escrevemos a equação de
Schrödinger da partícula livre:
−
ℏ
2
•
∇ f(., d, e; 3) = ℏ
cf(., d, e; 3)
.
c3
(52)
6.2.4. Equação de Klein-Gordon no Formalismo Dual
Trata-se da primeira versão relativista da equação de onda de
Schrödinger, que aqui será obtida impondo igualmente a condição de D’Broglie,
"
onde:
=
.
Ressalta-se que estamos tratando de um formalismo dual e é nessa
condição que aparecem conjugadas a velocidade da partícula e da onda
associada, por isso ela é aplicável em qualquer nível, seja clássico ou quântico,
seja relativístico ou não-relativístico. O sistema físico determinará sua forma de
aplicação.
Então, como o segundo termo à direita da equação geral (43) torna-se
nulo para
=
"
e, substituindo
equação, o resultado fornece:
=
) =
y
o
"
"
no primeiro termo dessa mesma
.
(53)
Contudo,
40
"
=1−
1
.
(54)
Logo, resulta da equação (53) a equação de uma partícula:
−) −
=0
%
.
Mas, assumindo que f(., d, e; 3) é um campo escalar, com )* e
(55)
sendo,
agora, os operadores das equações (24) e (25) que atuam sobre f(., d, e; 3),
então escrevemos a expressão (55) na versão ondulatória:
1 c
%
−∇ +[
_
c3
ℏ
f(., d, e; 3) = 0 .
(56)
Essa equação é conhecida na literatura como equação de Klein-Gordon
da mecânica relativística.
6.2.5. Equação de Dirac no Formalismo Dual
Da mesma forma que Dirac, temos a concepção que para descrever
corretamente a equação de onda relativística para partículas de spin ℏ⁄2, em
particular para o elétron, é necessário partir do hamiltoniano m , como fez
Schrödinger; e não de seu quadrado, m , como fizeram Klein e Gordon.
Então, no formalismo dual partiremos da equação (53) para a partícula
na seguinte forma:
e com a relação
expressão:
.
"⁄
"
= )*. )*
,
(57)
, dada pela equação (54), facilmente chegamos à
−
%
−1
=)
⁄
,
(58)
E, portanto, ao resultado relativo à energia da partícula:
onde, }* = ++*" ⁄
e ~ = •1 − !
= }*. )* + ~
"⁄ # €
⁄
%
,
(59)
.
41
Por último, usando os mesmos critérios adotados para a obtenção da
e )* como os operadores da
equação de Klein-Gordon, onde assumimos
mecânica quântica, porém, agora, atuando sobre um campo spinorial
f(., d, e; 3), escrevemos a equação de Dirac:
onde )% =
ℏ cf(., d, e; 3)
,
c3
+* + ~)% #f(., d, e; 3) =
!− ℏ}*. ∇
%
(60)
é o momento de repouso da MD relativo à partícula, já discutido
no capítulo 2, seção 2.4, deste trabalho.
É importante destacar que nosso objetivo nesta seção não é descrever o
trabalho completo de Dirac, mas somente encontrar sua equação de onda via o
formalismo dual proposto pelo autor.
É oportuno também ressaltar que uma das dificuldades de obter a
versão relativística da equação de Schrödinger residia no fato de escrever o
hamiltoniano, que representa a energia do sistema. O que se tinha à época era
=‘+
%
,
onde ‘ é a energia cinética relativística, até então desconhecida.
(61)
Essa falta de conhecimento impediu que se escrevesse a equação (61)
usando
e )* como os operadores quânticos de Schrödinger, pois não se
conhecia a forma de ‘ relativística e sua dependência com )*.
Em 2007, o autor e BASSALO obtiveram a expressão de ‘, que aparece
também na tese publicada pelo autor, em 2016, de modo que, hoje, podemos
escrever a equação da energia da seguinte forma:
=’
+1
“ )*. ++*" +
%
.
(62)
Essa expressão permite também que encontremos facilmente a equação
de Dirac (Apêndice). No entanto, não partimos dela porque nosso objetivo,
como já referenciamos, é demonstrar que a equação geral de onda (43) é
válida para qualquer sistema, ou seja, ela também reproduz a equação de
Dirac (60) e é compatível com a equação (28).
42
6.2.6. Equação de Maxwell-Proca no Formalismo Dual
A equação geral das ondas (43) é composta dois termos: o termo da
partícula e o termo da onda de radiação. Nessa equação quando substituímos
=
"
obtemos a equação (46), que é aplicável também às partículas.
No formalismo dual as partículas são MD’s, e isso significa que a
equação (46) tem exatamente a forma:
< =
.
(63)
Além disso, foi mostrado no capítulo 4, seção 4.5, que quando a
partícula “pára”, como a energia e o momento se conservam, a MD torna-se
uma matéria dual de radiação, uma MD-fóton. Nessas circunstâncias, portanto,
a equação (63) assume a forma:
onde: )% =
)% =
%
,
%
é o momento de repouso da partícula e
%
=
de repouso, ambos vinculados a MD-fóton que tem velocidade
=
%
e também que
=
% %,
"
desde que
=
%
=
%(
, a energia
.
− 1)$
⁄
,
. Essas relações valem
para todas as partículas. Logo para a MD-fóton, temos:
=
=
Além disso, demonstramos em 2015, (tese) que
(64)
%.
=
%!
− 1#
$ ⁄
e
Nessa base, podemos usar todas essas informações relativas à MD-
fóton e substituir as grandezas de interesse que envolvem a partícula ()% ,
a onda ! , # , pára, enfim, obtermos a equação da partícula:
=)
+ …1
.
%)
e
(65)
No formalismo quântico usamos os operadores das equações (24) e (25)
sobre um campo eletromagnético f(., d, e; 3), resultando:
(−∇ + … 1 )Φ(., d, e; 3) = −
1 c Φ(., d, e; 3)
,
c3
Essa é a equação de onda de Maxwell-Proca para … 1 = ℏ … =
(66)
%
.
43
6.3.
CONCLUSÕES
É importante ressaltar que este trabalho inicia com a proposta de duas
realidades R1 e R2.
R1) A radiação- interage com um núcleo, “desacelera” e ao mesmo tempo um
elétron é emitido. Em processo inverso, um elétron interage com esse
núcleo, “desacelera” e ao mesmo tempo há emissão de radiação- .
R2) Um feixe de elétrons e um feixe de fótons (de radiação- ) são lançados
contra um dispositivo de dupla fenda que evidencia tanto para o elétron
quanto para o fóton um comportamento dual idêntico: a interferência.
Chegamos ao final do trabalho e parece que agora é possível
compreendermos, ao menos fenomenologicamente, como essas realidades se
processam.
A realidade R1 é explicada pela equação de onda geral (43) que justifica
o fato de um elétron rápido em processo de “desaceleração abrupta”, emitir
radiação-X, por exemplo, cuja equação de onda é fornecida pelo modelo de
Proca no formalismo dual, onde fótons massivos podem propagar ondas desse
tipo de radiação.
Do mesmo modo, quando essa mesma radiação-X sofre determinada
interação de “frenagem”, ela passa a gerar massa, obedecendo à equação de
onda de Klein-Gordon no formalismo dual. É uma via de mão dupla.
A realidade R2 é perfeitamente compreendida, ainda que se use um
único elétron ou um único fóton, quando ambos são considerados como MD’s,
pois essas partículas ao se depararem com o instrumento óptico da dupla
fenda, se ajustam como ondas, ao estágio da prevalência ondulatória,
conforme equação geral (43), em um tempo ditado pelo princípio da incerteza.
Em outras palavras, elétron e fóton são MD’s e uma vez postos a
existirem constituem um único “ente”, uma causa interna que justifica efeitos
que podem ser medidos em um tempo mensurável pelo princípio da incerteza,
tendo em vista a prevalência dual; ou uma causa latente, onde a partícula gera
radiação e vice-versa, em processos simultâneos.
44
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Essa última parte do presente trabalho está em grande parte
fundamentada no contexto de duas excelentes obras de divulgação científica
de Mário Schenberg e de Max Born et al, onde algumas de suas muitas
discussões foram matematicamente traduzidas na tese que apresentei, em
2015, e também aqui. Basicamente elas têm um teor perfeitamente ajustáveis
as nossas idéias e as nossas considerações, a seguir.
As discussões sobre a natureza da luz, entre os séculos XVII e XVIII,
remontam os contemporâneos Newton e Huygens. Historicamente e de modo
factual a idéia de Huygens, em tratar a luz como onda, prevaleceu sobre a
defesa de Newton de considerar a luz como um conjunto de corpúsculos.
Nessa direção, Young e Fresnel ao estabelecerem os fundamentos da
óptica ondulatória, no começo do século XIX, fomentaram em definitivo a
derrocada da teoria corpuscular da luz, ao menos aparentemente abandonada
com a aceitação do campo ondulatório.
Na realidade, foi durante este século que se inicia um novo
desenvolvimento na Física. A noção de campo é introduzida por Faraday e a
rapidez com que ela é adotada acabou por abalar muito da física newtoniana.
No final do século XIX, com a descoberta do elétron e a teoria cinética
dos gases, baseada nas primícias newtonianas, e, ao mesmo tempo, o campo
ondulatório em plena ascensão, principalmente porque as leis de Maxwell ao
unirem a eletricidade ao magnetismo permitiram identificar a luz como uma
onda eletromagnética, iniciou-se a busca por uma nova síntese na Física: unir
campo às partículas.
No começo do século XX, nasce a teoria quântica e rapidamente suas
aplicações chegam ao átomo com os modelos de Bohr e Sommerfield.
Também, neste início de século são criadas a teoria da relatividade especial e
da relatividade geral, é o período que se pressupõe ser o ápice da teoria do
campo clássico.
45
É curioso que Newton, no século XVIII, defensor da teoria corpuscular
da luz, tenha tido a idéia de campo, como foi salientado pelo próprio Faraday,
mas claramente não a usou para associar à natureza da luz.
Também é curioso Einstein, no século XX, ter criado a relatividade
especial para combinar com o campo eletromagnético, onde a luz é uma onda,
e explicado o efeito fotoelétrico através da teoria quântica, onde a luz é
identificada
com um
comportamento corpuscular. São
dois
trabalhos
aparentemente sem conexões, publicados em um mesmo período de 1905,
que deixam evidente o comportamento dual da luz.
Contudo, Einstein não citou e não fez qualquer referência nesses dois
trabalhos sobre a dualidade. No entanto, restava claro que a dualidade era um
fenômeno que deveria ser explicado pela combinação da teoria da relatividade
com a teoria quântica. E D’Broglie enxergou isso.
As experiências com raios-X evidenciavam cada vez mais a natureza
quântica e dual da radiação. Os raios-X difratam como ondas e desviam da
matéria como partículas. D’Broglie imaginou que elétrons poderiam ter as
mesmas propriedades, daí nasceu a hipótese da dualidade como um “elemento
comum” às partículas materiais e às radiações.
Mas a noção de partícula é incompatível com a noção de onda,
principalmente porque a primeira é localizável, a segunda, não. Portanto, era
algo paradoxal atribuir a uma mesma partícula aspecto corpuscular e aspecto
de um campo ondulatório, exatamente porque esses aspectos são distintos.
Dever-se-ia, então, escolher um caminho.
A relatividade especial é uma teoria de partículas e parecia fechada,
onde nada mais pudesse ser criado em sua estrutura. Por isso os físicos
apostaram em uma teoria quântica de campos, onde convenientemente podese justificar como o campo eletromagnético tem aspectos ondulatórios e, ao
mesmo tempo, está associado às partículas – os fótons. Por essa razão ela é
conhecida também como teoria do campo quantizado.
Todavia, o campo eletromagnético é gerado por uma partícula material
carregada e em movimento, que não é o fóton, pois esse aparece associado ao
campo, que foi gerado pela partícula material. Então, fótons não são geradores
46
do campo eletromagnético, mas tão somente “partículas mensageiras do
campo”. Eles surgem igualmente com o campo, da carga em movimento.
Portanto a teoria de campos não desvenda o mistério da dualidade,
onde as partículas têm em si um comportamento ora corpuscular ora
ondulatório. Um elétron, por exemplo, é uma partícula que possui o seu próprio
campo de ondas, que não é o campo eletromagnético.
Mostramos na tese e no presente trabalho que ainda podemos contribuir
com a relatividade especial e a teoria quântica, em especial com a mecânica
ondulatória. Contudo foi preciso apresentar novas idéias e novos conceitos.
E essa é uma das razões da dificuldade de entender a relatividade e a
teoria quântica. Em um momento ou outro, elas estabelecem conflitos
conceituais que não estão de acordo com a nossa intuição. A nossa intuição de
mundo, onde vivemos e aprendemos nele, corresponde mais ou menos aoda
física clássica newtoniana, que permite a observação do concreto e do real que
rodeiam nossas vidas, e não da relatividade e menos ainda da mecânica
quântica.
Ao estudar mecânica quântica devemos nos acostumar com a
abstração, criando modelos matemáticos que se ajustem o máximo possível de
uma intuição mais plausível. Essa intuição abstrata pode ser desenvolvida do
mesmo modo como foi utilizado o conceito de “estado”, antes somente usado
na mecânica estatística.
Esse conceito começou a adquirir uma importância enorme quando se
buscou interpretar a função de onda de Schrödinger, onde se verificou que tal
função não representava um processo ondulatório do tipo clássico, mas a
descrição do “estado” de um sistema quântico.
Não podemos esquecer que foram Bohr, Kramers e Slater, em 1924, os
precursores da adoção das regras estatísticas aos princípios quânticos que
levaram a noção de “estado”. A idéia era juntar as concepções contínuas do
campo eletromagnético com o quantum, postulado por Planck, através da
seguinte interpretação: o campo das ondas eletromagnéticas determina apenas
a probabilidade de um átomo absorver ou emitir energia luminosa por quantas
no espaço em consideração.
47
Não obstante, tal interpretação probabilística não estava de todo correta,
era necessário vincular a probabilidade com o campo de ondas da partícula,
que deve obedecer uma equação de onda matematicamente formulável, pois
as leis da natureza determinam a probabilidade do evento ocorrer e não a
ocorrência do evento. Tal interpretação foi dada por Max Born e aplicada a
função de onda de Schrödinger.
Born interpreta que as leis da natureza formuladas em termos
matemáticos não mais determinam os próprios fenômenos, mas a possibilidade
de ocorrência, a probabilidade de que algo ocorrerá.
Essa interpretação estatística além de estar de acordo com a situação
experimental foi comprovada em muitas investigações e experimentos
quânticos. Parecia não haver dúvidas quanto à formulação matemática e a
interpretação dos resultados experimentais.
No entanto, todas as experiências dependem de uma relação inequívoca
entre a observação e os fenômenos físicos em que ela se baseia. Nesse
sentido, quando se confronta a interpretação estatística da teoria quântica com
a Física clássica é neste ponto que é posta em causa a inequívoca
determinação dos eventos.
Desse confronto nasceu um novo princípio estabelecendo que os
conceitos da Física clássica e suas aplicações são limitados por relações de
incerteza. O problema é que as interpretações de resultados experimentais,
baseadas nessas relações, têm como conseqüência o completo abandono da
causalidade, colocando o observador com a autoridade de definir um resultado
experimental. Pelo menos é assim que a maioria dos físicos interpreta o
princípio da incerteza.
Respeitosamente compreendo que interpretar não é algo simples. E
ninguém assegura com plena convicção, por algo que não tem acesso direto,
que essa forma de interpretar o princípio da incerteza esteja absolutamente
certa ou completamente errada. Contudo, no que pesem as interpretações, é
na autoridade de Born que precisamos nos concentrar. Para isso repetimos o
texto:
48
“Born interpreta que as leis da natureza formuladas em termos
matemáticos não mais determinam os próprios fenômenos, mas a possibilidade
de ocorrência, a probabilidade de que algo ocorrerá”.
Então, se partimos da premissa que algo só poderá ocorrer se lhe for
dado causa, não podemos em um evento de jogar uma moeda para o alto
esperar que caia cara ou coroa, se não jogarmos a moeda. Essa é a primeira
causa. A segunda são as interferências que a moeda sofrerá até chegar ao
solo.
Para nenhuma dessas causas temos fórmulas matemáticas para
determinar que caia cara ou coroa. A formulação probabilística se dá por
ocasião dos efeitos que dependem das causas, que somente em um grande
espaço amostral de lançamentos, a moeda poderá chegar ao solo com 50% de
chance de ser cara ou coroa e chances remotas de cair de “pé”.
Embora tratar-se de um exemplo macroscópico, grosso modo, essa idéia
é central no que tange as discussões sobre causa e efeito, inclusive neste
trabalho que apresento. A matéria dual-MD é a causa da dualidade, na qual
coexistem elétron e fóton, e são seus efeitos enquanto partícula ou campo
ondulatório que são tratados matematicamente.
Então, todas as formulações quânticas e relativísticas existentes para o
fóton e para o elétron estão corretas quando definimos os efeitos como
atributos
matemáticos
da
matéria
dual-MD,
e
isso
nos
provamos
matematicamente. E, mesmo quando tratamos de sistemas contínuos, como o
campo eletromagnético, por exemplo, onde o conceito de estado se torna mais
abstrato, a matemática da MD indica, neste caso, que a função de onda deve
ser tomada como uma função de infinitas variáveis.
Felizmente, antes mesmo da teoria quântica ter sido criada, um espaço
de dimensão infinita, para tratar desse tipo de função, já existia – o espaço de
Hilbert – que depois foi estendido para o campo complexo. Esse espaço foi
considerado pelo matemático Von Neumann como uma descrição conveniente
para os estados dos sistemas da mecânica quântica.
Se bem refletimos, mesmo a relatividade especial encontra suporte no
campo complexo com a introdução da quarta dimensão espacial que
49
claramente tem dimensão de comprimento de onda. Então as coordenadas
espaciais apontam na direção de uma partícula e a quarta coordenada, no eixo
complexo, aponta para algo inerente a uma onda.
Em minha tese e neste trabalho, foi mostrado que a energia e o
momento são grandezas complexas. É provável que os observáveis da
mecânica quântica sejam todos eles grandezas complexas, sendo, portanto,
necessário criar e adequar uma matemática própria, dentro do espaço de
Hilbert, que seja capaz de dar a eles uma significação mais geral.
Talvez este problema esteja relacionado à imagem de tratar e descrever
um processo quântico relacionado ao elétron, por exemplo, como se fosse uma
única partícula singular. Entrementes, se o tratarmos como pertencente e
“escondido” por uma matéria dual é um fato objetivo que as experiências a que
é submetido apresentam resultados que nada têm a ver com a questão de ele
ter sido observado ou não, sendo dessa forma, independente do observador.
Essa questão pode também ser explicada pelo seguinte fato que se
vincula a existência de matéria dual: segundo a teoria da relatividade a energia
é conversível em massa, então todas as partículas são compostas da mesma
substância – a energia. Dessa forma as partículas constituem as várias formas
que a energia deve assumir a fim de tornar-se matéria.
Portanto, temos boas razões para crer que elétrons e fótons são
manifestações de uma única estrutura fundamental que pode ser expressa por
equações matemáticas, via energia e momento, onde essas partículas são a
solução. E isso ficou muito bem estabelecido com a equação de onda da MD,
que pode representar a onda de Maxwell, de Schrödinger, de Klein-Gordon, de
Dirac, de Proca, inclusive de D’Alembert, dependendo somente da análise
sobre as propriedades do sistema de interesse.
A vantagem de se adotar essa estrutura é que ela pode apresentar as
propriedades de simetria das partículas que coexistem em seu interior, uma
vez que elas passam a existir com identidade própria. Portanto, ela pode conter
o chamado grupo de Lorentz, que podemos considerar como a representação
da igualdade do espaço e tempo exigida pela relatividade especial. Ademais,
ela é também pode ser simétrica para um operador de campo considerado
50
como spinor, pois a equação de Dirac, dela derivada, impõe essa natureza de
campo quando se leva em conta o spin da partícula.
Tal como os corpos elementares regulares de Platão, as partículas
elementares da física moderna são definidas por condições matemáticas de
simetria; não são eternas e nem invariáveis e, portanto, dificilmente podem ser
chamadas “reais” na verdadeira acepção da palavra. São antes simples
representações daquelas estruturas matemáticas fundamentais a que se chega
na tentativa de continuar subdividindo a matéria. Elas representam o conteúdo
das leis fundamentais da natureza.
A opinião aprovada, hoje, é que tudo, efetivamente tudo, é ao mesmo
tempo partícula e campo, ou seja, tudo possui a estrutura contínua de campo,
que nos é familiar, bem como a estrutura discreta de corpúsculo, que também
nos é familiar. E isso é a matéria dual.
As próprias partículas nucleares, os nucleons, que nos ensinaram
considerar suas estruturas como partículas discretas, produzem padrões de
interferência quando uma grande quantidade deles é impelida contra a
superfície de um cristal.
A dificuldade que existia e que era igual em todos os casos era combinar
essas duas características tão amplamente diversas numa única configuração,
mas com a tese e este trabalho, essa dificuldade não constitui mais obstáculo
para a formação de uma imagem, que antes parecia variável e incerta.
A matéria dual-MD, onde coexistem fóton e elétron, pode ser
representada, em cada ponto, como um trem de onda regularmente
progressivo onde há uma dupla relação estrutural de efeitos, que é possível
diferenciar como “longitudinal” e “transversal”. A estrutura transversal é das
ondas superficiais e aparece em experiências como difração e interferência; a
estrutura longitudinal é a das normais de onda e se manifesta na observação
de partículas isoladas.
Por fim, acreditamos que a tese e este trabalho apresentam uma
interpretação absolutamente plausível quanto a questão do mistério da
dualidade, sobretudo cremos serem eles uma contribuição a mais para o
desenvolvimento da ciência.
51
APÊNDICE – Equação de Dirac
Dada a equação da energia da partícula na forma,
=’
Com a substituição de
",
+1
“)
"
+
%
.
(‡1)
dada pela expressão (44), escrevemos
−1
+1
( − %) ’
“=
⁄
)
,
(‡2)
E, após simples algebrismo encontramos:
= }*. )* + ~
onde, }* = ++*" ⁄
e ~ = •1 − !
"⁄
# €
⁄
%
,
(‡3)
.
Adicionalmente, para escrever a equação (‡3) no formato igual aos das
equações de onda obtidas no formalismo dual, devemos usar
operadores quânticos, cujo resultado fornece:
+* + ~)% #f(., d, e; 3) =
!− ℏ}*. ∇
e )* como
ℏ cf(., d, e; 3)
,
c3
(‡4)
Desse modo se verifica que essa expressão é uma equação de
autovalor do tipo:
+* + ~
onde m = − ℏ }*. ∇
mf(., d, e; 3) = ℏ
%.
cf(., d, e; 3)
,
c3
(‡5)
Por fim, precisamos saber o que representam os coeficientes }* e ~,
presentes na equação (‡3), a fim de serem compatíveis com as expressões da
relatividade especial e ao mesmo tempo com as equações de onda da teoria
quântica. Para isso elevaremos a equação (A3) ao quadrado, resultando:
52
=} )
+~
%
+ ”(}~)() ) + (~})( ))•
.
(‡6)
Assim, para que tenhamos ajustada a expressão (‡6) com a equação
(32) é necessário impor que:
i)
ii)
iii)
} =~ ;
}~ = −~}, pois ).
e o são diferentes de zero;
} e ~ sejam matrizes.
Nessa construção, podemos escrever:
}— = ~
– }— }˜ + }˜ }— = 2™—˜ 5 ,
}— ~ + ~}— = 0
(‡7)
ou seja, os coeficientes }e ~ não são simples números e, devido m ser um
operador hermitiano, temos que } e ~ são matrizes hermitianas. Assim como é
fácil verificar de (‡7) que elas possuem traço nulo e que seus autovalores são
±1.
Em suma, a compatibilidade da relatividade especial com o princípio da
incerteza está presente em (‡4) pelo fato de considerar que os operadores que
atuam sobre f(., d, e; 3) não devam depender das coordenadas espaciais, de
modo que } e ~ devam também ser independentes da posição, logo, comutam
com os operadores de posição e momento. Nessas circunstâncias, essas
matrizes descrevem um novo grau de liberdade relacionado a uma propriedade
interna do elétron – o spin.
53
NOTAS
Nota 1- Em maio de 2004 foi aceita para publicação no VI Congresso Brasileiro
de Geógrafos, a excelente Resenha de Sérgio Almeida Loiola (IESA/UFG),
intitulada: BOHM, David. A totalidade e a ordem implicada: uma nova
percepção da realidade. 12. ed. Trad.: Mauro de Campos Silva. São Paulo:
Cultrix, 2001. 292 p.
Dessa Resenha, destaquei alguns trechos que considero próximos das
questões filosóficas que abordei nos capítulos 1, 2 e 3, do presente trabalho e
que se adicionam para novas reflexões:
“Tanto Bohm quanto Einstein, nunca aceitaram as interpretações correntes da teoria
quântica, entretanto, por motivos diferentes. A crítica bohmiana propõe que há uma
ordem oculta atuando sob o aparente caos e falta de continuidade das partículas
individuais de matéria, descritas pela mecânica quântica a partir das interpretações
estatísticas da escola de Copenhagen.
Em “A Totalidade e a ordem implicada”, Bohm sustenta que deve ser possível lidar
com variáveis ocultas no nível subquântico mecânico na física das partículas, ou seja,
ir muito além do experimento do qual derivou o Princípio da Incerteza de Heisenberg,
embora não o invalide. Mesmo se opondo a interpretação de Copenhagen, a teoria de
Bohm integra-a numa visão mais ampla e reafirma a superação do princípio cartesiano
que separa sujeito e objeto.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Outro obstáculo apontado por Bohm ao desenvolvimento de uma visão mais ampla na
física estaria na teoria da relatividade geral, apesar dela ser uma das revoluções
científicas do século XX. Essa teoria superou a visão clássica de tempo e espaço
absoluto newtoniana, introduzindo uma noção de tempo e espaço relativa ao sistema
de coordenadas. Impôs nova noção de estrutura, na qual o corpo rígido deixa de ser
um conceito primário, sendo substituído por eventos e processos. A análise e a
síntese cartesiana, adequada à ordem determinístico-causal de Galileu e Newton,
deixaram de ter primazia na relatividade, dada ao pressuposto einsteiniano de um
universo de campos de forças contínuos. Entretanto, é justamente a ênfase na
continuidade do campo o obstáculo conservador da relatividade.
54
Nesse campo contínuo einsteiniano, diferentes referenciais estariam interligados, ou
se comunicando, por um “sinal” eletromagnético caminhante a uma velocidade limite e
constante: a da luz. Nesses termos, segundo Bohm, embora a teoria da relatividade
trate de um campo unificado, tanto a análise abstrata conceitual (em partes) do
conteúdo independente e autônomo desse sinal de comunicação entre os sistemas de
referenciais relativistas, quanto a análise abstrata quântico-estatística de Copenhagen
se aproximam da mecânica newtoniana, pois consideram o mundo constituído por
partes distintas e interagentes. Suas bases analítico-conceituais igualmente impedem
a observância da totalidade indivisa implicada pela teoria quântica.
Além disso, a continuidade relativística dos campos contraria o que as pesquisas têm
demonstrado: a descontinuidade dos campos gravitacional e eletromagnético, devido
suas propriedades quânticas em ponto zero. Como, então, combinar comportamentos
descontínuos numa visão não analítica (global) da realidade? Este é o cerne do
paradigma bohmiano contido no livro. É preciso pensar uma nova noção de ordem,
medida e estrutura, que inclua numa totalidade ininterrupta e indivisa, tanto o aparelho
de medida, o objeto e as noções teóricas do observador.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Assim, muito mais que uma teoria, o autor propõe uma nova forma de ver a realidade,
em que haveria uma realidade implicada, multidimensional, dobrada dentro de si, cuja
dinâmica é desconhecida, de onde derivaria uma ordem explicada. Esta é sensível aos
sentidos e aos instrumentos. Juntas, ordem implicada e explicada compõem uma
totalidade ininterrupta e indivisa, ou uma ordem de grande abrangência. Ao contrário
de Descartes, para quem a totalidade da ordem é potencialmente manifesta, essa
totalidade da ordem abrangente bohmiana é entendida pela composição de uma
ordem manifesta e outra oculta.
O forte embasamento teórico-filosófico acerca dessa visão de realidade e seus
significados influenciaram e continuam a influenciar o conjunto das ciências. No
entanto, seu amplo espectro ainda é pouco conhecido, justificando a leitura minuciosa
dessa obra. Não fosse a elegância incomum da demonstração matemática, filosófica e
conceitual de Bohm, provavelmente a noção de abrangência seria comparada à
metafísica. O leitor certamente se encantará com suas ilustrações.”
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
55
Nota 2 - “Descoberto o estado sólido da luz”, com esse título foi produzida uma
redação no site de inovação tecnológica, de 14/05/2007, onde pesquisadores
descobriram que fótons se repelem como elétrons. Segue o texto publicado:
Pesquisadores das universidades de Melbourne, Austrália, e Cambridge, Inglaterra,
desenvolveram uma nova teoria que mostra que a luz pode se comportar como um
sólido. “A luz sólida irá nos ajudar a construir a tecnologia deste século”, diz o Dr.
Andrew Greentree.
Ao invés de utilizar as ferramentas tradicionais encontradas nos laboratórios de óptica,
os cientistas tiveram que empregar técnicas comumente utilizadas para estudar a
matéria.
Luz sólida – “Fótons de luz sólidos repelem-se mutuamente como acontece com os
elétrons. Isto significa que nós podemos controlar fótons, abrindo as portas para novos
tipos de computadores mais rápidos”, diz o cientista.
No trabalho, os cientistas demonstram teoricamente como projetar “transição de fase”
dos fótons, fazendo-os passar do comportamento sólido – quando eles interagem
entre si como os elétrons – para o comportamento de onda tradicional da luz, na qual
os fótons não interagem entre si. “Normalmente os fótons fluem livremente, mas, nas
condições corretas, eles se repelem e formam um cristal”, diz Greentree.
A nova teoria cria um campo totalmente novo de pesquisa, fazendo uma interseção
entre a óptica e a física da matéria condensada. Agora, os pesquisadores
experimentalistas vão começar a estudar a nova teoria para descobrir formas de testála na prática.
Nota 3 - No site www.bassalo.com.br, Curiosidades da Física, há uma
discussão intitulada “Uma possível interpretação do comprimento de onda
Compton”, que antecede às questões aqui apresentadas sobre o momento de
repouso de uma partícula. Nessa resenha também está publicada uma nova
fórmula para a energia cinética relativística, obtida através da própria teoria da
relatividade especial (2007).
Nota 4 – No site de inovação tecnológica, de 18/08/2016, foi publicada a
matéria com o título “Nova forma de luz: híbrido de luz e elétron”. Penso que
essa matéria tem tudo a ver com minha tese de 2015 e com o presente
trabalho, por isso destaquei a sua redação:
56
Fóton misturado com elétron - Físicos demonstraram que é possível criar uma nova
forma de luz fazendo com que um fóton se ligue a um único elétron, criando um
híbrido que combina as propriedades da luz e da matéria.
Esse acoplamento entre a luz e o elétron terá propriedades que poderão ser
exploradas para construir circuitos fotônicos, onde a eletricidade - um fluxo de elétrons
- seria substituída por uma forma mais versátil e mais rápida de transmissão. A mistura
também permitirá o estudo de fenômenos físicos quânticos em escala visível.
Híbrido fóton-elétron - Quando a luz incide sobre um material comum, ela interage
com uma série de elétrons presentes na superfície e no interior do material. Contudo,
ao elaborar um modelo de como a luz se comporta em uma classe recentemente
descoberta de materiais, conhecidos como isolantes topológicos, Gleb Siroki, da
Universidade College de Londres, descobriu a luz pode interagir com apenas um
elétron na superfície do material.
Essa interação pontual cria um acoplamento que combina algumas das propriedades
da luz e do elétron. Por exemplo, enquanto normalmente a luz viaja em linha reta,
quando ela se liga a um elétron ela passa a seguir o percurso que o elétron segue pela
superfície do material.
Entre as novas formas de luz descobertas recentemente estão um superfóton, um
topolariton e uma roda fotônica. Da mesma forma, conforme a luz herda a propriedade
do elétron e começa a circular, o elétron também passa a se comportar como se
tivesse algumas das propriedades da luz, passando por onde um elétron normal não
passaria.
Assim, enquanto os elétrons que viajam ao longo de circuitos elétricos, por exemplo,
param quando encontram um defeito na estrutura atômica do condutor, quando
acoplado à luz, o elétron pode prosseguir mesmo que haja imperfeições no material.
Circuitos fotônicos - Se esse comportamento fóton-elétron puder ser usado em
circuitos fotônicos, esses circuitos poderão se tornar mais robustos e menos
vulneráveis a perturbações e imperfeições físicas do material.
"Os resultados desta pesquisa terão um enorme impacto na forma como pensamos
sobre a luz. Os isoladores topológicos só foram descobertos na última década, mas já
estão nos proporcionando novos fenômenos para estudar e novas maneiras de
explorar conceitos importantes na física," disse o professor Vincenzo Giannini,
coordenador do trabalho.
Giannini
acrescenta
que
deve
ser
possível
observar
o
novo
fenômeno
experimentalmente usando a tecnologia atual, e sua equipe já está trabalhando para
realizar esses experimentos.
57
Nota 5 - Também no site de inovação tecnológica, do dia 19/08/2016, foi
publicada a possível descoberta da quinta força fundamental da natureza, cujo
teor, entre outros aspectos, comenta sobre fótons escuros. A idéia desse tipo
de fóton também foi abordada em 2015 (Nota 7, de minha tese para professor
titular), contudo com o nome de “fóton vestido”. Aqui destaquei o texto do site:
Revolucionário - Experimentos realizados por físicos húngaros em meados do ano
passado podem ter descoberto uma nova partícula subatômica que revela a existência
de uma quinta força fundamental da natureza.
"Se for verdade, é revolucionário," disse Jonathan Feng, da Universidade da
Califórnia, nos EUA, cuja equipe está apresentando uma nova teoria para tentar
explicar a anomalia encontrada pelos físicos húngaros.
"Há
décadas
nós
conhecemos
as
quatro
forças
fundamentais:
gravitação,
eletromagnetismo e as forças nucleares forte e fraca. Se for confirmada por outros
experimentos, esta descoberta de uma possível quinta força vai mudar completamente
a nossa compreensão do Universo, com consequências para a unificação das forças e
para a matéria escura," acrescentou.
Nova partícula de luz - Em 2015, uma equipe da Academia de Ciências da Hungria
estava à procura de "fótons escuros", partículas que poderiam explicar a elusiva
matéria escura, que os físicos dizem que compõe cerca de 85% da massa do
Universo.
Eles não encontraram exatamente o que procuravam, mas descobriram uma anomalia
no decaimento radioativo que aponta para a existência de um fóton com massa, uma
partícula de luz exatamente 30 vezes mais pesada do que um elétron.
"Os experimentalistas não foram capazes de afirmar que era uma nova força," disse
Feng. "Eles simplesmente viram um excesso de eventos que indica uma nova
partícula, mas não estava claro para eles se era uma partícula de matéria ou de uma
partícula que transmite força".
O grupo de Feng então reuniu, além desses novos dados, todos os outros
experimentos anteriores na área e demonstrou que as evidências desfavorecem
fortemente tanto partículas de matéria quanto os fótons escuros.
Eles então propuseram uma nova teoria que sintetiza todos os dados existentes e
determina que a descoberta pode indicar uma quinta força fundamental da
natureza.Vários experimentos já levantaram a possibilidade da existência de uma
Quinta Força Fundamental da natureza.
58
Bóson X protofóbico - A nova teoria estabelece que, em vez de ser um fóton escuro,
a nova partícula pode ser um "bóson X protofóbico". Enquanto a força elétrica normal
age sobre elétrons e prótons, este bóson recém-descoberto interage apenas com
elétrons e nêutrons - e em uma gama extremamente limitada.
"Não há nenhum outro bóson que tenhamos observado que tenha essa mesma
característica. Nós simplesmente o chamamos de 'bóson X', onde X significa
desconhecido," explicou Timothy Tait, coautor da nova teoria.
Feng destaca que novos experimentos são cruciais, o que não será difícil, já que a
partícula não é muito pesada e há vários laboratórios ao redor do mundo que
conseguem gerar a energia necessária para que ela apareça: "Mas a razão pela qual
tem sido difícil encontrá-la é que suas interações são muito fracas. Como a nova
partícula é tão leve, existem muitos grupos experimentais que trabalham em pequenos
laboratórios ao redor do mundo que podem seguir as indicações iniciais, agora que
eles sabem onde procurar".
Força mais fundamental e Setor Escuro - Como tantas outras descobertas
científicas, esta abre campos inteiramente novos de investigação.Uma possibilidade
intrigante é que essa potencial quinta força fundamental pode se juntar às forças
eletromagnética e nuclear forte e fraca como "manifestações de uma força maior, mais
fundamental," defende Feng.
Citando o entendimento que os físicos têm do Modelo Padrão, ele especula que pode
haver também um "setor escuro" inteiro, com sua própria matéria e suas próprias
forças - englobando assim, a matéria escura e a energia escura.
"É possível que estes dois setores [o normal e o escuro] falem um com o outro e
interajam através de interações de alguma forma veladas, mas fundamentais," propõe
ele. "Esta força do setor escuro pode se manifestar como esta força protofóbica que
estamos vendo como resultado do experimento húngaro. Num sentido mais amplo, ela
se encaixa com a nossa pesquisa original para compreender a natureza da matéria
escura."
Nota 6 - O texto a seguir trata de um destaque da dissertação de mestrado de
GONÇALES (CBPF) sobre a relatividade especial com fóton massivo:
Sabemos que a constante
na eletrodinâmica de Maxwell representa a velocidade de
propagação de ondas eletromagnéticas no vácuo, e que a relatividade especial foi
desenvolvida, em parte, como consequência da constância da velocidade da luz.
Contudo, uma das previsões da teoria de Proca é que há uma dispersão da velocidade
do fóton massivo no vácuo.
59
Conforme vimos, as soluções de onda plana das equações de Proca sem corrente são
‡š ≈ H —œ
•?
•
, onde t = = (Œ, ž) é o vetor que satisfaz à relação: Œ − t =
Podemos ver através da equação
Ÿ
= (1 −
⁄Œ )
⁄
que
Ÿ
= 0, para
.
= Œ, ou
seja, a onda massiva não se propaga. E que t se torna uma quantidade imaginária
quando Π<
, e, portanto, a amplitude da onda massiva livre seria atenuada
exponencialmente. Apenas quando Π>
as ondas podem se propagar no vácuo,
sem serem atenuadas. No limite Œ → ∞, a velocidade de grupo se aproximará da
constante , o que é consistente com o pressuposto de Einstein de que há uma única
velocidade limite, , para todos os fenômenos.
Portanto, um novo postulado deve ser introduzido para restaurar as propriedades da
teoria da relatividade especial para fótons de massa não-nula. O postulado é:
Dados dois referenciais inerciais, o primeiro se movendo com velocidade ¢ em relação
ao segundo, existe uma frequência Œ% , dependendo de |¢| e da precisão desejada ¤,
tal que qualquer onda luminosa de frequência maior do que Œ% possuirá uma
velocidade entre
e − ¤ em ambos os referenciais.
Uma massa não- nula para o fóton implica que a velocidade da luz não é uma
constante única, mas uma função da frequência. De fato, o pressuposto da constância
da velocidade da luz não é necessário para a validade da relatividade especial, isto é,
a relatividade especial pode se basear na existência de uma única velocidade limite
para a qual a velocidade de todos os corpos tendem quando sua energia se torna
muito maior do que sua massa. Assim, a velocidade que aparece nas transformações
de Lorentz seria simplesmente esta velocidade limite, e não a velocidade da luz.
60
REFERÊNCIAS
BASSALO, J. M. F., Crônicas da Física, Tomo I, Editora UFPA, Pará, Brasil
(1987).
BASSALO, J. M. F., Crônicas da Física, Tomo 2, Editora UFPA, Pará, Brasil
(1990).
BORN, M.; ET AL, Problemas da Física Moderna, Coleção Debates, Editora.
Perspectiva, São Paulo, Brasil (2004).
CARUSO, F.; OGURI, Física Moderna – origens clássicas e fundamentos
quânticos, Editora Campus, Rio de Janeiro, Brasil (2006).
DE MORAES, B. T. F., Tese Professor Titular em Física– IFPA/Campus Belém,
www.belem.ifpa.edu.br, Publicações IFPA, Pará, Brasil (2016).
FERACINE, L., Deus Existe? Editora Escala Ltda, São Paulo, Brasil (2013).
GONÇALES, E. S., A Massa do Fóton e a Eletrodinâmica de Proca, Dissertação
de Mestrado, IFT-D.004/08, São Paulo, Brasil (2008).
HERDY, W. M., A Eletrodinâmica de Maxwell-Proca e o Fóton Massivo,
Monografia, CBPF-MO-001/10, Rio de Janeiro, Brasil (2010).
NETO, J. B., Matemática para Físicos (com aplicações), Vol.1, Editora Livraria da
Física, São Paulo, Brasil (2010).
PLANCK, M., Autobiografia e outros ensaios, Contraponto Editora Ltda, Rio de
Janeiro, Brasil (2012).
PLATÃO, A República – O Mito da Caverna, p. 287-291, 6ª edição, Editora
Atena, São Paulo, Brasil (1956).
SCHENBERG, M.; Pensando a Física, Landy Livraria Editora e Distribuidora
Ltda, São Paulo, Brasil (2001).
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