CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1 Função Modular Danielly Guabiraba- Engenharia Civil NA AULA DE HOJE... Módulo de um número real; Equações modulares; Inequações modulares; Função Modular. Módulo de um número real O módulo ou valor absoluto de um número real r, é representado por |r| e definido da seguinte maneira: r se r ≥ 0 |r|= -r se r < 0 Então: • Se r é positivo ou zero, | r | é igual ao próprio r. • Se r é negativo, | r | é igual a -r. Módulo de um número real O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo, nunca é negativo. Geometricamente, o módulo de um número indica, na reta real, a distância desse número ao zero. Assim: a unidades a unidades 0 Módulo de um número real PROPRIEDADES 1º) Para todo r , temos que |r|=|-r|. Exemplos: a) |7| = |-7| = 7 b) |-4|=|4| = 4 c) |1/2|=|-1/2| = 1/2 CUIDADO!! |-r|≠ r 2º) Para todo r , temos |r²|=|r|²= r² Exemplos: a) Para r = 6 r² = 36, |r²| = |36| e |r|² = |6|² = 6² = 36 b) Para r=-5 r² = 25, |r²| = |25| e |r|² = |-5|² = 5² = 25 Módulo de um número real 3º) Para todo r e x pertencentes a R, |r . x|=|r|.|x| Exemplo: a) r=2 e x=3 -> |2 . 3| = |2| . |3| |6| = 2 . 3 -> 6 = 6 4º) Para todo r e x pertencentes a R, |r + x| ≤ |r|+|x| Exemplo: a) r=-3 e x=4 -> |(-3) + 4| ? |(-3)| + |4| |1| ? 3 + 4 1< 7 Módulo de um número real 5º) Para todo r e x pertencentes a R, ||r| - |x|| ≤ |r - x| Exemplo: a) r = -1 e x = 2 ||-1| - |2|| ? |-1 – 2| |1 - 2| ? |3| |-1| ? |3| 1< 3 Equações modulares Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será chamada equação modular. Para resolvê-las é útil lembrar das propriedades dos módulos. Exemplos: a) | x - 5 | = 3 Resposta : x=8 ou x=2 b) | 3x - 5 | = | x + 3 | Resposta : x=1/2 ou x=4 Inequações modulares Chamamos de inequações modulares as inequações nos quais aparecem módulos de expressões que contém a incógnita. Exemplos: a) | x - 3 | < 7 b) 2 < |x - 1| < 4 Resposta : -4 < x < 10 Resposta : -3 < x < -1 ou 3 < x < 5 Função Modular Chamamos de função modular a função f, de R em R, tal que f apresenta o módulo na sua lei de formação. A função modular mais elementar é dada por f(x)=|x|, que pode ser reescrita por: x, se x 0 f ( x) x, se x 0 Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças. Função Modular DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO Vamos determinar o domínio de algumas funções utilizando inequações modulares: Exemplo 1: f ( x) 1 | x | 3 Resolução: 1 Sabemos que só é possível em IR se | x | 3 0. | x | 3 Então : | x | 3 0 | x | 3 x 3 ou x 3 Resposta : D {x IR | x 3 ou x 3} Gráficos GRÁFICO Gráfico da função f(x)=|x|: x -1 -2 0 1 2 y=f(x) 1 2 0 1 2 Gráficos EXERCÍCIOS Construa o gráfico de f ( x) | x 2 | Resolução: f ( x) | x 2 | x - 2, se x - 2 0 - x 2, se x - 2 0 Ou seja, f ( x) | x 2 | x - 2, se x 2 - x 2, se x 2 Gráficos EXERCÍCIOS Resolução (continuação): Assim, a função é a reta y=-x+2 , antes do ponto x=2, e a reta y=x-2, após esse ponto. Gráficos Comparando os dois gráficos vistos: Deslocamento horizontal para a direita em a unidades. Gráficos EXERCÍCIOS Construa o gráfico de f ( x) | x 3 | Gráficos Comparando os gráficos das funções: f ( x) | x 3 | f ( x) | x | Deslocamento horizontal para a esquerda em a unidades. Gráficos EXERCÍCIOS Construa o gráfico de f ( x) | x | 1 Gráficos Comparando os gráficos das funções: f ( x) | x | 1 f ( x) | x | Deslocamento vertical para cima em a unidades. Gráficos EXERCÍCIOS Construa o gráfico de f ( x) | x | 2 Gráficos Comparando os gráficos das funções: f ( x) | x | f ( x) | x | 2 Deslocamento vertical para baixo em a unidades. Gráficos De modo geral podemos perceber que: • O gráfico de uma função g(x) = |x| + k é semelhante ao de f(x) = |x|, porém transladado para cima (quando k > 0) ou para baixo (quando k < 0). O número de unidades do deslocamento é o valor absoluto de k. • O gráfico de uma função h(x) = |x - m| é semelhante ao de f(x) = |x|, porém transladado para a direita (quando m > 0) ou para a esquerda (quando m < 0). O número de unidades do deslocamento é o valor absoluto de m. Obrigado pela atenção! www.ufal.edu.br www.facebook.com/PETEngenharias