y - IEIJ

Nível B3
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
Equações do 1º grau com duas incógnitas
Equação do 1º grau com duas incógnitas é uma equação onde figuram
exactamente duas letras com expoente 1, por exemplo:
2x -
1
= 7y.
3
Uma solução de uma equação com duas incógnitas é um par ordenado de
números que transformam a igualdade numérica numa igualdade
verdadeira.
Qualquer equação do 1º grau com duas incógnitas tem uma infinidade de
soluções.
Exemplos:
1. Indicar três pares ordenados que sejam solução da equação y + 2a = 0.
Resolução:
Como a equação é simples, a determinação de soluções faz-se facilmente à
custa de cálculo mental. São soluções, por exemplo, os pares:
(1 ; -2) ; (-2 ; 4) e (0 ; 0)
a
y
Os valores são escritos no par ordenado por ordem alfabética das letras a
que correspondem.
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1
2. Indicar uma solução da equação 7b – 3a – 1 = 0.
Resolução:
Para facilitar a determinação de soluções, resolve-se a equação em ordem a
uma das incógnitas, por exemplo, em ordem à letra a.
7b – 3a – 1 = 0 ⇔ -3a = 1 – 7b ⇔ a =
1 − 7b
7b − 1
⇔ a=
−3
3
Para obter a solução substitui-se b pelo valor que se quiser e calcula-se o
correspondente valor de a.
Por exemplo, se b = 1, a =
7 ×1 − 1
6
⇔ a=
⇔ a = 2. O par (2 ; 1) é uma
3
3
solução da equação.
Sistema de duas equações
Um sistema de duas equações é uma expressão matemática constituída por
duas equações. Por exemplo,
 2( x − y ) = − 4
 x + 3 y = −9
e  1

 y − 3 = 6x
 3 y − 5 x =0
Solução de um sistema é um par ordenado que é solução das duas
equações que o formam.
Exemplos:
1. Verificar se o par ordenado (1 ; -2) é solução do sistema:
2 x − 3 y = 8

 x + 4 y = −7
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2
Resolução:
Substituindo nas duas equações x por 1 e y por –2, obtém-se:
2 × 1 − 3(−2) = 8
2 + 6 = 8
8 = 8
⇔ 
⇔ 
ambas as igualdades são

1 + 4(−2) = −7
1 − 8 = −7
− 7 = −7
verdadeiras. Portanto, o par (1 ; -2) é a solução do sistema.
Um sistema está na forma canónica se:
• as incógnitas figuram no 1º membro por ordem alfabética;
• o 2º membro é formado por um único termo independente;
• as equações não têm parênteses nem denominadores.
2. Reduzir à forma canónica o sistema:
1− 2y
y

− 3 x − 3 = − 2

 2( y + 4) = x + 1
3

Resolução:
Desembaraça-se de parênteses e , em seguida, de denominadores.
y
 3x 1 − 2 y
1− 2y
y

−
−
=−

−
3
x
−
=
−
3( 2)
2( 3)

− 18 x − 2 + 4 y = −3 y
 1( 6)
3
2
⇔ 
⇔ 
⇔

6 y + 24 = 3 x + 1
 2( y + 4) = x + 1
2y + 8 = x + 1

1(3) 1(3) 1 ( 3 ) 3
3

− 18 x + 4 y + 3 y = 2
− 18 x + 7 y = 2
⇔ 

− 3 x + 6 y = 1 − 24
− 3 x + 6 y = −23
Sistemas equivalentes são sistemas com as mesmas soluções.
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3
3. Averiguar se o par (1 ; -3) é solução dos sistemas
3 x − y = 6
2 a − 5 = b
e
e decidir se são equivalentes.

2 y + 5 x = −1 a + b = −2
Resolução:
Substituindo o par (1 ; -3) em cada um dos sistemas, obtém-se:
3 × 1 − (−3) = 6
3 + 3 = 6
6 = 6
⇔ 
⇔ 
as duas igualdades são

2(−3) + 5 × 1 = −1
− 6 + 5 = −1
 − 1 = −1
verdadeiras, logo o par é solução do sistema.
 2 × 1 − 5 = −3
 2 − 5 = −3
 − 3 = −3
⇔ 
⇔ 
as duas igualdades são

1 + (−3) = −2
1 − 3 = −2
− 2 = −2
Verdadeira, logo o par é solução do sistema.
Como os dois sistemas admitem a mesma solução, são equivalentes.
Resolução e classificação
Resolver um sistema é determinar as suas soluções. Existem dois processos
para o fazer: método da substituição e método gráfico.
Método da substituição
 2( x − y ) + 1 = x + 3

1
 4 x − (1 − y ) = 1
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4
2 x − 2 y + 1 = x + 3

Desembaraçar de parênteses
1
 4 x − 1 + y = 1
Desembaraçar de denominadores
2 x − x − 2 y = 3 − 1
⇔

x − 4 + 4 y = 4
Resolver uma das equações em  x − 2 y = 2

ordem a uma das incógnitas
x = 8 − 4 y
Substituir na outra equação, a 8 − 4 y − 2 y = 2
incógnita escolhida pela expressão  x = 8 − 4 y
x − 2 y = 2

x + 4 y = 8
obtida
Resolver a equação obtida
− 6 y = −6
y = 1
⇔

x = 8 − 4 y
x = 8 − 4 y
Substituir o valor encontrado na  y = 1
y = 1
⇔

outra equação
x = 8 − 4 ×1
x = 4
Escrever a solução
O par (4 ; 1) é a solução.
Método gráfico
2 x + y = 3

− 4 x + y = −3
Deve em primeiro lugar resolver-se cada equação em ordem a y
 y = 3 − 2x
e organizar uma tabela de pares ordenados para cada uma.

 y = −3 + 4 x
x
1
1
2
y = 3 - 2x
y = 3 - 2x0
y = 3 - 2x1
y = 3 - 2x2
x
0
1
2
y = -3 + 4x
y = -3 + 4x0 = -3
y = -3 + 4x1 = 1
y = -3 + 4x2 = 5
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5
As coordenadas do ponto de intersecção das duas rectas constituem a
solução do sistema. Neste caso, o par ordenado (1 ; 1). O sistema diz-se
possível e determinado.
Exemplos:
− x + y = 1
.
y = x
1. Resolver pelos dois métodos e classificar o sistema 
Resolução:
Método da substituição
− x + y = 1
− x + x = 1
0 x = 1
⇔ 
⇔ 
Equação impossível. O sistema é

y = x
y = x
y = x
impossível.
Método gráfico
− x + y = 1
y = x +1
⇔ 

y = x
y = x
Elaborando as tabelas de pares ordenados, representa-se graficamente cada
recta.
x y = x+1
1 y=0+1=1
1 y=1+1=2
x y=x
0 y=0
1 y=1
As rectas são paralelas, não tendo, portanto, pontos em comum. O sistema
não tem soluções: chama-se impossível.
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6
2 x − y = 2
4 x = 4 + 2 y
2. Resolver pelos dois métodos e classificar o sistema 
Resolução:
Método da substituição
2 x − y = 2
− y = 2 − 2 x
 y = −2 + 2 x
 y = −2 + 2 x
⇔ 
⇔ 
⇔ 

4 x = 4 + 2 y
4 x = 4 + 2 y
4 x = 4 + 2(−2 + 2 x)
4 x = 4 − 4 + 4 x
 y = −2 + 2 x
 y = −2 + 2 x
⇔ 
⇔ 
equação possível e indeterminada.
4 x − 4 x = 4 − 4
0 x = 0
O sistema é possível e indeterminado.
Método gráfico
 y = −2 + 2 x
2 x − y = 2
− y = 2 − 2 x
 y = −2 + 2 x

⇔ 
⇔ 

4 − 4x ⇔ 
4 x = 4 + 2 y
− 2 y = 4 − 4 x
 y = −2 + 2 x
 y = − 2
x y = -2 + x
1 y = -2 + 2xo = -2
1 y = -2 + 2x1 = 0
x y = -2 + 2x
0 y = -2
1 y=0
As rectas são coincidentes.
As coordenadas de todos os pontos de intersecção constituem soluções do
sistema: chama-se possível indeterminado.
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7
Resolução de problemas
Os sistemas facilitam a resolução de alguns problemas.
Exemplos:
1. Determinar a medida do lado do triângulo equilátero representado:
Resolução:
Num triângulo equilátero os lados são todos iguais. Logo, o sistema que
traduz o enunciado do problema é:
x
7
2
 4
7

8 − 2 x = 7 y − 4
1 − 1 = 2 y − 1
4 − x = y − 2
⇔  ( 2) ( 2)
⇔
2
(2) ⇔ 

−
x
+
x
−
2
y
=
−
4

4 − x = 2 y − x
4 − x = 2 y − x

 − 2 x − 7 y = −4 − 8
− 2 x − 7 y = −12
− 2x − 7 × 2 = −12
⇔
⇔ 
⇔

 − 2 y = −4
y = 2
 _______
− 2x − 14 = −12
− 2x = 2
 x = −1
⇔ 
⇔
. Substituindo x por –1 e y por 2 em

 _______
 _______
y = 2
qualquer uma das expressões dos lados, obtêm-se a medida 5.
2. Um pai tem o dobro da idade do filho. Há cinco anos, a idade do filho
era
2
da idade do pai. Qual a idade actual de cada um?
3
Resolução:
Elaborando uma tabela:
Há 5 anos Idade actual
Pai
y–5
y
Filho
x-5
x
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8
O sistema que traduz o problema é:
 _____
 y = 2x
 _____


5
2
10 ⇔ 
⇔  x
⇔
2

−
= y−
3 x − 15 = 2 y − 10

 x − 5 = 3 ( y − 5)
1
3
 (3) 1(3) 3
 _____
 y = 2x
 ____
 ____
 y = −10
⇔ 
⇔ 
⇔ 
⇔ 

3 x − 2 y = 5
3 x − 2(2 x) = 5
3 x − 4 x = 5
− x = 5
 x = −5
O par (-5 ; -10) é a solução do sistema.
O sistema é possível e determinado. No entanto, o problema é impossível,
pois as idades não podem ser negativas.
Exercícios:
1. O sistema que traduz o enunciado do problema “A soma de dois
números inteiros positivos é 61. Ao dividir o maior pelo menor,
obtém-se 14 de quociente e 1 de resto. Quais são os números?” é:
2 x − y = A
nas incógnitas x e
2. Se o par (1; -2) é solução do sistema  1
y
−
3
x
=
B
 2
y, então:
(A) A=4 e B=
13
2
(C) A=0 e B=-4
(B) A=0 e B=
13
2
(D) A=4 e B=-4
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9
3. O sistema com a seguinte representação gráfica é:
4. Resolve os sistemas:
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10
CORRECÇÃO DOS EXERCICIOS
1. B
2. D
3. C
4.
4.1.
(3; 2)
4.2.
(5; -3)
4.3.
(1; 2)
4.4.
(30; 20)
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11
AVALIAÇÃO FORMATIVA
1. Sem resolver a equação 2 x − 3 y = 1 , verifica se algum dos pares
ordenados (3; -2) e (2; 1) é solução.
2. Determina duas soluções da equação 1 − 2(x + 1) = y .
5
3
3. Verifica qual dos pares ordenados (4; 3),  ;3  e  ;0  é a solução do
2 
2 
2 x − y = 3
, sem o resolver.
4 x − y = 6
sistema 
x + y = 5
2 x + y = 4
4. Resolve pelos dois métodos conhecidos o sistema 
e
classifica-o.
5. Resolve os sistema e classifica-os:
2 x = y − 11
a) 
− x + 3 y = 18
 x −1 1− y
−
=0
2 x + 2 y = 16
b) 
c)  2
3
2( x + 7 ) + 2( y + 9 ) = 48
6 x + 4 y = 9
6. Determina as dimensões de um rectângulo, sabendo que a medida do
comprimento excede a medida da largura em 2 unidade e a medida do
perímetro é 20.
7. Há dois anos, a idade da D. Teresa era o quíntuplo da idade do seu filho.
Daqui a 4 anos, a soma das suas idades será 42. Quais são as suas idades
actuais?
8. Determina dois números inteiros, sabendo que a sua soma é 75 e que se
dividir o maior pelo menor o quociente é 2 e o resto é 9.
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12
APLICA O QUE APRENDESTE
1. O sistema que traduz o enunciado do problema “A soma de dois
números inteiros positivos é 61. Ao dividir o maior pelo menor, obtémse 14 de quociente e 1 de resto. Quais são os dois números?” é:
 x + y = 61
a)  x
 y = 14 + 1

 x + y = 61
c)  x 1
 y = 14

 x + y = 61
 y = 14 x + 1
b) 
 x + y = 61
 x − 14 = y − 1
d) 
2 x − y = A
2. Se o par (1 ; -2) é solução do sistema  1
nas incógnitas x e y,
 2 y − 3 x = B
então:
a) A = 4 e B =
13
2
c) A = 0 e B = -4
b) A = 0 e B =
13
2
d) A = 4 e B = -4
3. O sistema com a seguinte representação gráfica é:
 y = 3 + 2x
 y = −3 + 4 x
a) 
2 x = 2 + y
2 x − y = 2
b) 
2 x + y = 3
− 4 x + y = −3
c) 
3 x + y = −1
x + y = 2
d) 
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13
4. Resolve os sistemas:
4.1.
2x + 3y
=3
 4

1 − 5 x − 3 y = −2

3
4.2.
 2( 2 x + y ) = x + 9

3( x + y ) = 5 y + 21
4.3.
 3( x − 1) y − 3 1
−
=

2
2
 4
 y − 2 = 2(−1 + x)
4.4.
0,2( x − 4) + 0,3 y = 11,2

 x − 0,6(2 x − y ) = 6
5. Utilizando um sistema, resolve os problemas.
5.1. Um rectângulo tem 60 cm de perímetro. Adicionando 5 cm à largura e
subtraindo 5 cm ao comprimento, obtém-se um quadrado. Quais as
dimensões do rectângulo?
5.2. O Sr. Alberto depositou no banco 255 € em notas de 5 e 10 € sendo no
total 35 notas. Determina o número de notas de cada tipo.
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14
5.3.Determina os valores de x e y de modo que o triângulo seja isósceles
com 9 cm de base.
5.4. O Sr. Ernesto comprou dois canários e cinco periquitos. Cada canário
custou o quadruplo do preço de cada periquito. Determina o preço de cada
pássaro sabendo que no total gastou 32,50 €.
5.5. Determina o número de dois algarismos sabendo que a sua diferença
entre o dobro do algarismo das unidades e o das dezenas é 5 e que a soma
dos dois é igual a 7.
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15