Estudo de lentes - Departamento de Física da Universidade de

Física Laboratorial I
Ano Lectivo 2002/03
TRABALHO PRÁTICO
ESTUDO DE LENTES
Objectivo – Estudo da refracção da luz incidente em lentes convergentes e divergentes. Verificação
experimental da equação dos focos conjugados para lentes convergentes delgadas,
utilizando um objecto real e um objecto virtual.
1. Introdução
Lentes convergentes
Uma lente convergente é uma associação de duas superfícies esféricas refringentes ou dióptros
(superfícies onde se dá o fenómeno da refracção da luz), mais espessa no centro do que nos bordos
e que faz convergir num dos focos os raios luminosos que nela incidam paralelamente ao eixo
principal. A figura 1 representa esquematicamente uma lente convergente ideal, ou seja, de
espessura desprezável. Aproveitaremos a figura 1 para definir os parâmetros, conceitos e
convenções com utilizaremos no estudo proposto.
F
(a)
C
f ' >0
f<0
(b)
C
(-)
F'
C
eixo principal
0
sentido da luz
(+)
Figura 1
Lente convergente ideal.
(a) Definição do foco objecto (F) e do foco imagem (F’)
e das distâncias focais, f e f’ ( f = f ' ), medidas relativamente ao centro óptico C.
(b) Convenção de sinais utilizada (⇒ f < 0 e f’ > 0).
Chama-se eixo principal à linha que atravessa o centro da lente (centro óptico, C) e que é
perpendicular às suas superfícies.
Foco Imagem (F’) é o ponto do eixo principal para o qual convergem os raios que incidem na
superfície da lente paralelamente ao eixo principal e corresponde à posição onde se forma a imagem
de um objecto no infinito.
Foco Objecto (F) é o ponto objecto (ponto de onde partem os raios luminosos) cuja imagem se
forma no infinito; ou seja, os raios que emergem da lente são paralelos ao eixo principal.
Distância focal da lente ( f = f ' ) é a distância entre o centro óptico da lente e um dos focos.
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O inverso da distância focal (expressa em metros) dá-nos a potência da lente (expressa em
dioptrias).
Quando a espessura da lente pode ser considerada pequena relativamente aos parâmetros que a
caracterizam – o raio de curvatura das suas superfícies esféricas e a distância focal –, a lente diz-se
delgada. Se esta aproximação é possível e se os raios luminosos forem centrais (incidirem perto do
centro óptico da lente) pode mostrar-se que:
−
1 1
1
+ =
p p' f '
(1)
onde p, p' e f' são as abcissas, respectivamente, do objecto O, da imagem I e do foco imagem F' em
relação à lente (figura 2). Esta equação é chamada equação dos focos conjugados.
2
O
1
2
C
3
F
3
f<0
1
F'
I
f'>0
Figura 2
Imagem I de um objecto O obtida através de uma lente delgada.
Construção da imagem I a partir de três raios principais (1, 2 e 3).
Os parâmetros da lente e as posições do objecto O e da imagem I são medidos a partir do ponto
C e, de acordo com a convenção indicada na figura 1-b)), serão considerados positivos quando
medidos no sentido da luz incidente (fig. 1 e 2). Assim, na figura 2, temos:
p = − CO < 0
p ' = CI > 0
f = − CF < 0
f ' = CF ' > 0.
A construção gráfica da imagem I do objecto O realizou-se considerando que (figura 2):
Raio 1 - um raio luminoso que incida sobre o centro óptico C da lente não é desviado;
Raio 2 - um raio luminoso que incida na lente convergente paralelamente ao seu eixo principal
passa pelo foco imagem;
Raio 3 - um raio luminoso que incida na lente numa direcção que passe pelo foco objecto emerge
da lente paralelamente ao seu eixo principal.
NOTA - Repare que, se os raios luminosos forem paralelos entre si (objecto no infinito) mas não
incidirem na lente paralelamente ao seu eixo principal, a imagem não se forma no foco mas
forma-se ainda no plano focal, ou seja, no plano que é perpendicular ao eixo principal e
que o intersecta no foco.
A partir dos triângulos semelhantes abC e deC da figura 3, pode escrever-se:
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b
O
a
d
C
F’
F
I
e
Figura 3
Imagem I de um objecto O obtida através de uma lente delgada.
de dC
=
ab aC
O lado direito da equação é o mesmo que
p'
e o lado esquerdo dá-nos uma medida da
p
amplificação transversal linear (m). Convenciona-se que m>0 se a imagem é direita e m<0 se a
imagem é invertida. Podemos então escrever:
p'
m=
(2)
p
Objectos e Imagens.
Os objectos podem ser reais ou virtuais. Chama-se ponto objecto real, ao ponto de onde partem
os raios luminosos que incidem na lente divergindo (fig. 4-a)) e ponto objecto virtual, ao ponto para
onde os raios luminosos parecem convergir quando incidem na lente (fig. 4-b)).
O. V.
O. R.
a)
b)
Figura 4
a) Ponto objecto real; b) Ponto objecto virtual
As imagens obtidas podem igualmente ser reais ou virtuais. No caso de uma imagem real os
raios luminosos provenientes de um ponto objecto e emergentes da lente convergem para um ponto
imagem e esta pode ser obtida num alvo. Quando os raios luminosos provenientes de um ponto
objecto e emergentes da lente divergem dela, o ponto de onde os raios parecem vir é o ponto
imagem virtual. Uma imagem virtual não pode ser obtida num alvo, uma vez que a energia
luminosa parece passar mas, de facto, não passa naquele ponto. Na figura 5 representa-se a
construção da imagem I de um objecto real O. Como se pode ver, quando o objecto se situa para lá
do foco F da lente convergente, a imagem é real; quando o objecto se situa entre o foco e a lente, a
imagem é virtual.
Além de reais ou virtuais, as imagens podem ainda ser direitas (orientadas como o objecto) ou
invertidas (no caso contrário) e maiores ou menores do que o objecto.
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I
O
F
F'
C
F
O
I
p<0
C
F'
p<0
p'>0
p'<0
(b)
(a)
Figura 5
Construção da imagem de um objecto real:
(a) p > f – imagem real – os raios emitidos pelo objecto convergem;
(b) p < f – imagem virtual – os raios emitidos pelo objecto não convergem;
Associação de lentes convergentes. Construção de um objecto virtual.
As lentes podem associar-se de modo a que a imagem de uma primeira lente, a que chamaremos
L1, possa tornar-se o objecto da segunda lente, que designaremos por L2. Vamos considerar duas
situações.
Objectos O1 e O2 reais
A figura 6-a) ilustra a situação em que a lente convergente L1 cria uma imagem real I1 do objecto
O1. Na figura 6-b) essa imagem real I1 é usada como objecto real O2 para a segunda lente L2, uma
vez que, como se pode constatar na representação, a lente L2 foi colocada depois da imagem I1.
Assim, podemos dizer que a associação das duas lentes L1-L2 funciona como uma única lente,
permitindo obter a imagem I2 do objecto O1. A associação das lentes está feita de tal modo
(determinada distância entre elas) que a imagem final I2 é real, direita e menor que o objecto O1.
L1
2
(a)
O1
2
1
C
F1
F'1
1
I1
L1
L2
2
(b)
O1
3
2
1
F1
C
I1-O2
F'1
1
3
1
I2
F'2
F2
1
Figura 6
Construção de uma imagem formada pela associação de duas lentes convergentes, L1 e L2.
L2 situa-se depois da imagem de O1.
(a) L1 cria uma imagem real I1 do objecto real O1.
(b) A imagem real I1 é usada como objecto real O2 para a segunda lente L2.
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Objecto O1 real mas objecto O2 virtual
A figura 7-a) ilustra novamente a situação em que a lente convergente L1 cria uma imagem real
I1 do objecto O1. Na figura 7-b), no entanto, essa imagem real I1 torna-se um objecto virtual O2 para
a segunda lente L2, uma vez que L2 foi colocada entre a lente L1 e a imagem I1. Esta é, na verdade,
uma forma de se obter um objecto virtual através da associação de duas lentes convergentes. Neste
caso, a associação das lentes está feita de tal modo (determinada distância entre elas) que a imagem
final I2 é real, invertida e menor que o objecto O1.
L1
2
O1
(a)
2
1
C
F1
I1
F'1
1
L2
L1
2
(b)
O1
2
1
3
1
I2
F2 F'1
F1
F'2
1
I1-O2
Figura 7
Construção de uma imagem formada pela associação de duas lentes convergentes, L1 e L2.
L2 situa-se entre a lente L1 e a imagem I1.
(a) L1 cria uma imagem real I1 do objecto real O1.
(b) A imagem real I1 é usada como objecto virtual O2 para a segunda lente L2.
Lente divergente
Uma lente divergente é uma associação de duas superfícies esféricas refringentes ou dióptros,
mais fina no centro do que nos bordos e que faz divergir os raios luminosos que nela incidem
paralelamente ao eixo principal da forma ilustrada na figura 8-a).
F'
F'
F
C
F
C
eixo principal
f'<0
f>0
f'<0
f>0
a)
b)
Figura 8
Lente divergente ideal. f = f ' mas, ao contrário da lente convergente, f > 0 e f’ < 0.
a) Definição do foco imagem (F’); b) Definição do foco objecto (F).
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Neste tipo de lente, ao contrário da lente convergente, o foco imagem situa-se do lado da luz
incidente e o foco objecto do lado da luz transmitida. O foco imagem F’ define-se como o ponto
onde se intersectam os prolongamentos dos raios divergentes que correspondem a raios incidentes
paralelos ao eixo principal (fig. 8-a). O foco objecto F define-se como o ponto geométrico para
onde convergem os prolongamentos dos raios incidentes que emergem paralelamente ao eixo
principal (fig. 8-b).
2. Execução experimental
1ª Parte
Lentes convergentes e divergentes - refracção de raios luminosos paralelos
Material necessário – fonte luminosa de raios paralelos, lente convergente, lente divergente, folha
de papel branco e régua auxiliar.
Procedimento
1 - Coloque a fonte de raios paralelos sobre um folha de papel A4 branca. Prepare a fonte luminosa
seleccionando a saída de 5 raios luminosos paralelos.
2 - Coloque a lente convergente em frente dos raios, de modo a que eles fiquem paralelos ao eixo
principal da lente.
3 - Explique e desenhe o que vê. Como designa o ponto onde os raios luminosos se encontram?
Complete a tabela I.
4 - Substitua a lente convergente por uma lente divergente, também com o cuidado de a colocar de
modo a que o eixo principal da lente fique paralelo aos raios incidentes. Repita o procedimento
indicado no ponto 3.
Tabela I
Lente convergente
Lente divergente
Distância focal (m)
2ª Parte
Determinação directa da distância focal da lente convergente L
Material necessário - banco de óptica, objecto no infinito, lente convergente L e alvo.
Procedimento
1 Coloque a lente L e o alvo sobre o banco de óptica. Oriente o banco de óptica de modo a que a
luz proveniente de uma janela incida directamente sobre a lente. Desloque o alvo sobre o banco
de óptica a fim de obter nele a imagem nítida de um objecto distante, visível através da janela.
Nestas condições, qual a relação entre a distância da lente ao alvo (p’) e a distância focal da
lente? Justifique.
2 Note que o valor de p' vem afectado de um erro acidental, uma vez que, se forem realizadas
várias determinações de p' para a mesma posição do objecto, não se encontrará sempre o mesmo
valor. É aconselhável, portanto, obter vários valores de p' tomando como resultado mais provável
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a sua média, p' . Retire então o alvo do banco de óptica e repita a operação descrita em 1 para o
mesmo objecto mais duas vezes.
3 Determine o valor mais provável para a distância focal e o respectivo erro. Consulte o ponto 7
das notas sobre “Introdução ao cálculo de erros nas medidas de grandezas físicas”.
3ª Parte
Verificação da equação dos focos conjugados
para a lente L, através de um método gráfico
Material necessário - banco de óptica, objecto luminoso, lente convergente L, lente convergente
auxiliar La, alvo e papel .
NOTA - Antes de realizar qualquer medida verifique que as lentes e o alvo utilizados no trabalho
estão orientados perpendicularmente à direcção da luz incidente. Se assim não for, e como
facilmente compreenderá, os resultados serão falseados.
Procedimento
A) Utilizando um objecto real
1 Fixe o objecto luminoso O e a lente L sobre o banco de óptica. Desloque o alvo de forma a obter
nele uma imagem I com a maior nitidez possível (fig. 5-a)). Meça, na escala associada ao banco
de óptica, os valores de p e p’. Elabore uma tabela semelhante à tabela II, registe esses valores,
não esquecendo os seus sinais, de acordo com a convenção utilizada, e calcule (–1/p) e (1/p’).
2 Mantendo fixo o objecto luminoso, escolha para a lente L três novas posições no banco de
óptica, registando, para cada uma delas, os valores de p e p’ correspondentes. Para cada par de
valores (p, p’) encontrado, determine (–1/p) e (1/p’). Complete a tabela II.
3 Represente graficamente os valores obtidos para (1/p') em função de (–1/p). Atendendo aos
sinais de p e p’ os pontos marcados no gráfico devem situar-se no 1º quadrante, tal como é
apresentado na figura 9.
Tabela II
Objecto real O
p (m)
p’(m)
[–1/p] (m-1) [1/p’] (m-1)
B) Utilizando um objecto virtual
1 Com o objecto O na mesma posição, retire a lente L do banco de óptica, coloque nele a lente
convergente auxiliar La e desloque o alvo até obter uma imagem nítida Ia. Registe a localização
da imagem Ia na escala graduada.
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2 À semelhança do que está ilustrado nas figuras 7-a) e b), coloque agora a lente L entre La e o
alvo, de modo a que a imagem Ia passe a constituir um objecto virtual O’ para o lente L (Ia ≡ O’).
Sem mover o alvo, anote a distância de L ao alvo onde se formou Ia. Esta distância é igual a p, ou
seja, é, em módulo, a abcissa do objecto virtual O’. Qual o sinal de p, de acordo com a
convenção adoptada? Prepare a tabela III.
3 Desloque o alvo até obter nele a imagem nítida de O', (I2, na figura. 7-b)). Meça a distância de L
à nova posição do alvo, a qual corresponde, em módulo, ao valor de p’. Qual o sinal de p’?
4 Sem mover La, escolha três outras posições para a lente L (sempre entre La e a posição do
objecto virtual O’ (registada em 1) e para cada uma delas determine os pares de valores (p, p’).
Tabela III
Objecto virtual O’
p (m)
p’(m)
[–1/p] (m-1) [1/p’] (m-1)
5 Calcule os pares de valores (–1/p, 1/p’) e represente-os no gráfico anterior. Atendendo aos sinais
de p e p’ os pontos obtidos devem situar-se no 4º quadrante (fig. 9).
6 Trace a melhor recta de ajuste aos pontos do gráfico, “quer a olho” (tendo em conta que os
desvios dos pontos experimentais que ficam acima e abaixo dessa recta devem compensar-se),
quer através de um tratamento matemático rigoroso (consulte o ponto 9 das notas sobre
“Introdução ao cálculo de erros nas medidas de grandezas físicas”). A partir dos parâmetros da
melhor recta de ajuste (declive e ordenada na origem) e tendo em conta a equação dos focos
conjugados (eq. 1) determine a distância focal e a potência da lente L a partir do gráfico. Pode
dizer-se que se verificou experimentalmente a equação dos focos conjugados? Justifique.
1
p'
O.V.
O.R.
−
1
p
Figura 9
Ajuste de uma recta aos pontos experimentais (-1/p, 1/p’), obtidos com uma lente
convergente L, utilizando um objecto real (O.R.) e um objecto virtual (O.V.).
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7 Compare o valor obtido para a distância focal a partir do gráfico com o valor que tinha sido
obtido pelo método directo descrito na 2ª parte da execução experimental.
4ª Parte
Aplicação da equação de amplificação linear
Material necessário - banco de óptica, objecto luminoso, lente convergente L, alvo e régua auxiliar.
Procedimento
a) Repita a operação mencionada na 3ª parte, A) - 1, medindo, para além dos valores de p e p’, a
altura h' da imagem obtida (use uma régua auxiliar para o efeito).
b) Aplicando a equação de amplificação transversal linear (eq. 2) determine a altura h do objecto
utilizado.
c) Meça agora directamente a altura da seta que utiliza como objecto e compare os valores obtidos,
comentando-os.
3. Relatório
Elabore um relatório deste trabalho prático, não se esquecendo de incluir:
• a tabela I, os desenhos e a explicação do que observou quanto à refracção de raios luminosos
paralelos com uma lente convergente e outra divergente;
• o valor da distância focal da lente convergente L, medido directamente;
• as tabelas II e III e o gráfico de 1/p’ em função de –1/p;
• a altura do objecto luminoso, directamente e através da aplicação da eq. de amplificação
transversal linear.
N.B.: Antes de elaborar o relatório, deve consultar a folha com instruções para a elaboração de
relatórios, bem como o relatório modelo.
Bibliografia
[1] M.M.R.R. Costa e M.J.B.M. de Almeida, Fundamentos de Física, Coimbra, Livraria Almedina
(1993).
[2] Paul Tipler, Óptica e Física Moderna, Editora Guanabara-Koogan, 4ª Edição (2000).
[3] Jenkins F.A. & White H.E. - Fundamentals of Optics.
[4] M. Alonso e E. Finn, Física, Addison-Wesley Iberoamericana (1999)
[5] Introdução ao cálculo de erros nas medidas de grandezas físicas, Coimbra, Departamento de
Física da Universidade (2002/2003).
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