INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE NÚMERO PRIMO E

Noção de múltiplo
O voluntariado
A Marta colabora assiduamente com uma instituição de solidariedade social
da sua cidade.
No dia 4 do mês de Setembro, iniciou um nova actividade que consiste em levar
alimentos aos sem-abrigo de quatro em quatro dias.
Neste mês, quantas vezes a Marta vai distribuir alimentos pelos sem-abrigo?
Noção de múltiplo
Resolução
Em Setembro, a Marta irá distribuir 7 vezes alimentos
pelos sem-abrigo da sua cidade.
Múltiplos naturais de um número
Quais são os múltiplos de 4?
4x1=4
4 x 10 = 40
4 x 11 = 44
4 x 3 = 12
4x2=8
4 x 20 = 80
4 x 4 = 16
4 x 5 = 20
...
Múltiplos de 4
M4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...}
➲ Todos os números naturais têm um conjunto infinito
de múltiplos.
➲ Os múltiplos de um número obtêm-se multiplicando esse
número por qualquer número inteiro.
Noção de divisor
O pomar
O senhor Afonso pretende plantar 32 macieiras em várias filas de modo
a formar rectângulos.
De quantas maneiras pode ele fazer esta plantação?
Noção de divisor
Resolução
1
2
4
8
16
32
O Sr. Afonso tem 6 possibilidades para plantar as 32 macieiras:
1 x 32; 2 x 16; 4 x 8; 32 x 1; 16 x 2 e 8 x 4.
➲ Agora chegou a tua vez de ajudar o Sr. Afonso na plantação
de 80 macieiras!
Divisores de um número
Quais são os divisores de 60?
60
15 x 4
60 x 1
5 x 12
6 x 10
20 x 3
30 x 2
Divisores de 60
D60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
➲ Todos os números naturais têm um conjunto finito de divisores.
Para reflectir e investigar
• Quais são os números que têm apenas dois divisores?
• E três divisores?
• E quatro divisores?
➲ Investiga, dá exemplos e regista no teu caderno
as tuas conclusões!
Critérios de divisibilidade
Verifica se cada um dos números escritos nos envelopes transportados pelas
pombas são divisíveis por 2, 3, 4, 5 ou 10.
280
8228
➲ Será 8228 divisível por 11?
6666
Para reflectir e investigar
• E 4334 será também divisível por 11?
• Dá exemplos de números que sejam divisíveis por 11?
• Qual será o critério de divisibilidade por 11?
➲ Investiga, dá exemplos e regista no teu caderno
as tuas conclusões!
Números primos e números compostos
interpretação geométrica
Se um número n é um número composto, então podemos completar um rectângulo com n pontos.
Se o número n é primo, já é impossível completar um rectângulo (com excepção da primeira linha!)
Polígonos estrelados:
uma actividade para explorar...
Pentágono
(5 lados)
Hexágono
(6 lados)
Utilizando os polígonos que
se encontram no teu
manual, experimenta e
conclui!
Heptágono
(7 lados)
Dodecágono
(12 lados)
Factores primos de um número
Como poderei escrever 40
como um produto
de factores primos?
5
40
2
40 = 2 x 2 x 2 x 5 =
4
8
2
2
Para reflectir e investigar
• Quantos divisores tem o número 40?
• De que forma se pode determinar o número
de divisores de um número a partir da sua
decomposição em factores primos?
5
40
2
4
8
40 =
2
2
➲ Investiga, dá exemplos e regista no teu caderno as tuas conclusões!
Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)
Os degraus da escadaria
No caminho para a sua escola, o Afonso e a Marta passaram por uma escadaria.
Verificaram que se subissem os degraus de dois em dois conseguiam chegar
exactamente ao último degrau. O mesmo sucedia se eles subissem de quatro
em quatro ou de cinco em cinco degraus. No mínimo, quantos degraus tem a
escadaria?
Noção de divisor
5
4
2
4
M2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 22,...}
M4 = {4, 8, 12, 16, 20, 25,...}
4
2
M5 = {5, 10, 15, 20, 25, ...}4
2
5
5
2
4
2
2
5
2
2
2
5
4 2
No mínimo, a escadaria tem 20 degraus.
1.º degrau
2
20.º degrau
m.m.c. (2, 4, 5)= 20
Máximo divisor comum (m.d.c.)
Viveiro de flores
Um floricultor pretende dividir um terreno rectangular em quadrados
congruentes com a maior área possível para plantar flores, uma espécie por
cada quadrado.
O terreno tem 8 metros de largura e 12 metros de comprimento.
➲ Qual é a área disponível para
cada uma das espécies de flores?
Máximo divisor comum (m.d.c.)
Divisores de 8
Divisores de 12
D8 = { 1, 2, 4, 8}
D12 = { 1, 2, 3, 4, 6, 12}
4m
➲ O maior dos divisores
comum a 8 e 12 é 4.
4m
➲ m.d.c. (8, 12) = 4
➲ Área do quadrado:
4 x 4 = 16
metros quadrados.
Máximo divisor comum (m.d.c.)
➲ Quantas espécies diferentes se poderão cultivar?
4m
4m
➲ Como se cultiva
uma espécie de flores
por quadrado,
poder-se-ão cultivar
6 espécies diferentes.
Determinação do m.d.c. e do m.m.c.
Qual é o m.d.c. (80, 120)?
Qual é o m.m.c. (80, 120)?
5
5
20
40
80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5
120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5
80
120
10
2 2
4
4
2
4 3
2
2
2
2
Determinação do m.d.c. e do m.m.c.
80
120
80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5
120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5
2
2
2
2
5
3
m.d.c. (80, 120) = 2 x 2 x 2 x 5 = 40
m.m.c. (20, 36) = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 240
Agora chegou a vez
de
te colocares à prova...
(48, 60)
53) e m.m.c. (28,
(48, 60).
53).
• Determina m.d.c. (28,
??
??
28
48
...
...
84
60
53
...
...
10
?
Para reflectir e investigar
• Como se designam os números 48 e 53?
• Que relação existe entre o produto de dois
números e o produto entre o m.d.c. e o m.m.c.
desses mesmos números?
➲ Investiga, dá exemplos e regista no teu caderno
as tuas conclusões!
Interpretação geométrica
de m.d.c. e m.m.c.
6 cm
➲ Qual é o menor número de quadrados
com a mesma área em que se pode dividir
o rectângulo da figura ao lado?
4 cm
2 cm
m.d.c. (4, 6) = ?
Interpretação geométrica:
Medida do comprimento do lado
do quadrado de maior área em
que o rectângulo se pode dividir.
Interpretação geométrica
de m.d.c. e m.m.c.
6 cm
➲ Qual é a medida do lado do quadrado
de menor área que se pode dividir
em rectângulos congruentes com
o da figura ao lado?
4 cm
12 cm
m.m.c. (4, 6) = ?
Interpretação geométrica:
Medida do comprimento do lado
do quadrado de menor área que
se pode dividir em réplicas
do rectângulo inicial.
Para reflectir e investigar
• Qual será a interpretação, do ponto de vista
geométrico, do m.m.c. e do m.d.c. de três
números?
➲ Investiga, dá exemplos e regista no teu caderno
as tuas conclusões!
Esquema do capítulo
Critérios de divisibilidade
Determinação dos múltiplos naturais de 5
• 482 é divisível por 2, porque o seu algarismo das unidades, 2, é par;
• 285 é divisível por 3, pois a soma, 2+8+5=15, é um múltiplo de 3;
• 4616 é divisível por 4, pois o número formado pelos dois últimos
algarismos, 16, é múltiplo de 4;
• 125 é divisível por 5 dado que o seu algarismo das unidades é 5.
• 142 182 é divisível por 9, pois a soma, 1+4+2+1+8+2=18, é múltiplo de 9.
• 380, 36 290, ou 4200 são divisíveis por 10, porque terminam em 0.
• 5x1; 5x2; 5x3; 5x4; 5x5; ...
M5 = {5, 10, 15, 20, 25, ...}
Determinação dos divisores de 20
• 20 = 20 x 1; 20 = 10 x 2; 20 = 5 x 4.
D20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
m.d.c. e m.m.c.
24 = 2 x 2 x 2 x 3
40 = 2 x 2 x 2 x 5
24
3
40
2
2
2
5
m.d.c. (24, 40) =2x2x2 = 8
m.m.c. (24, 40)= 2x2x2x3x5
= 120
Decomposição de um número em
factores primos
28 = 7 x 4
=7x2x2
=2X2X7
28 2
14 2
77
1
28 2
0 14 2
7
0
28 = 2 X 2 X 7 =
Resolução de problemas envolvendo
m.m.c. e m.d.c.
Números primos e números compostos
7
1
• 2; 5; 7; 11; 29 são exemplos de números
primos, pois admitem apenas dois divisores: eles
próprios e a unidade;
• 12; 14; 60; 1200; 400 são exemplos de números
compostos pois tem mais que dois divisores
naturais;
• o número um não é primo nem composto.
Relação entre m.m.c. e m.d.c. de dois
números
Sejam a, b, dois números naturais, D = m.d.c. (a, b)
e M = m.m.c. (a, b).
Então,
MxD=axb