A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM COMPUTADOR E SEM

III SEMINÁRIO INTERNACIONAL
DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Águas de Lindóia - São Paulo 11 a 14 de outubro de 2006
A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM COMPUTADOR E SEM
COMPUTADOR: QUE RELAÇÕES OS ALUNOS ESTABELECEM?
Norma Suely Gomes Allevato
UNISAL – Campinas/SP
UNESP – Rio Claro/SP
Resumo
O objetivo deste trabalho é apresentar algumas reflexões sobre como os
alunos relacionam o que fazem na sala de aula, quando utilizam lápis e papel,
com o que fazem no laboratório de informática, quando estão utilizando o
computador na resolução de problemas fechados. O conteúdo matemático
estudado foi funções. A pesquisa foi desenvolvida seguindo a abordagem
qualitativa e a coleta de dados foi feita, essencialmente, por observaçãoparticipante em aula. A proposta didática foi levar os alunos a resolver problemas
utilizando o software gráfico Winplot. Problemas, no laboratório, parecidos com os
resolvidos em sala de aula, permitiram estabelecer um paralelo entre os
procedimentos e conhecimentos que os alunos utilizaram quando estavam sem o
computador e quando estavam com ele.
Palavras-chave: Resolução de problemas, Computadores, Funções.
Abstract
The objective of this paper is to present some reflections regarding how
students relate what they do in the classroom, using paper and pencil, to what
they do in the computer laboratory when using computers to solve close-ended
problems. The mathematics topic being studied was functions. The study was
developed using a qualitative approach, with the data collection consisting mainly
of participant-observation in the classroom. The didactic proposal was to guide the
students in solving problems using the graphing software Winplot. Because the
problems posed to the students in the laboratory were very similar to those solved
in the classroom, it was possible to establish a parallel between procedures and
knowledge used by the students when working with the computer and without it.
Key words: Problem-solving, Computers, Functions.
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1 - Introdução
Este trabalho está inserido em uma pesquisa mais ampla (ALLEVATO,
2005), e tem o objetivo de analisar como os alunos relacionam o que fazem na
sala de aula convencional1, quando utilizam lápis e papel, com o que fazem no
laboratório de informática, quando estão utilizando o computador na resolução de
problemas sobre funções.
Inicio com a apresentação do contexto em que os fatos ocorreram, das
opções metodológicas, e dos instrumentos utilizados na coleta dos dados. Em
seguida apresento um conjunto de dados, já entremeados de análises descritivas.
Então os dados serão analisados à luz da literatura referente à utilização dos
computadores e à resolução de problemas, no âmbito da Educação Matemática.
Termino tecendo algumas considerações finais.
2 - O Contexto e alguns Aspectos Metodológicos
A pesquisa que gerou este estudo foi realizada em aula, com alunos da
disciplina Matemática, do 1o ano do curso superior de Administração de
Empresas. Para participar da pesquisa, o professor da turma dividiu as quatro
aulas semanais, realizando duas na sala de aula e duas no laboratório, onde os
alunos resolveram problemas sobre funções, utilizando o software Winplot2.
Os problemas que o professor propunha aos alunos eram sempre fechados
– tanto a situação inicial como o objetivo final (resposta) do problema eram prédeterminados – e envolviam conteúdos básicos de funções. Os propostos no
laboratório eram, em geral, semelhantes aos resolvidos com lápis e papel, na sala
de aula e, para o professor, tinham objetivos de fixação da aprendizagem e
aplicação na área de Negócios. Os coeficientes das funções geravam, por vezes,
valores numéricos grandes ou não inteiros, “difíceis” de operar com lápis e papel.
Mas os enunciados e as funções eram similares.
A
metodologia
qualitativa
adotada
para
a
pesquisa
justifica-se,
principalmente, pela ênfase no processo, sendo apontada como muito útil e
adequada a pesquisas educacionais. Bogdan e Biklen (1994, p.49) justificam: "As
estratégias qualitativas patentearam o modo como as expectativas se traduzem
nas actividades, procedimentos e interacções diários".
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A coleta de dados foi feita por observação participante, um dos métodos
mais utilizados por pesquisadores qualitativos, em que "o pesquisador se torna
parte da situação observada, interagindo por longos períodos com os sujeitos,
buscando partilhar seu cotidiano [...]" (ALVES-MAZZOTTI, 2001, p.166).
Na sala convencional, o professor conduzia a aula enquanto eu observava
e fazia anotações. Quando ele propunha problemas, os alunos trabalhavam em
pequenos grupos, e eu o ajudava a atendê-los, quando solicitavam, assumindo
um papel mais participante. Nas aulas no laboratório, também era assim que
procedíamos.
O registro dos dados foi feito por (1)gravações, que contêm os diálogos
realizados entre os alunos e a pesquisadora; (2)documentos, que são as
resoluções escritas dos problemas e um trabalho feito, pelos alunos, com o
Winplot; e (3)diário de campo, um relato escrito do que o investigador ouvia, via
e pensava durante e após a coleta de dados, com idéias, percepções, e reflexões,
bem como padrões emergentes dos dados. "As notas de campo são
fundamentais para a observação participante"(BOGDAN; BIKLEN,1994, p.150).
3 - Os Dados e uma Análise Inicial
Comecemos por um diálogo referente ao seguinte problema3:
Suponha que uma companhia de software produz e vende uma planilha a um custo
de R$ 25,00 por cópia e que a companhia tem um custo fixo de R$ 10 000,00 por
mês, determinar:
(a) O custo mensal como uma função (fórmula) do número q de cópias produzidas.
(b) O esboço do gráfico da função que você obteve no item (a).
(c) O custo quando q = 500.
(d) A partir de que quantidade se tem lucro, se o preço de venda for R$50,00 por
cópia.
PROBLEMA 1
Os alunos me mostravam que já tinham digitado a equação correspondente
à função custo Ct = 25q + 10000. E disseram:
B: – Já está, a equação.
A: – Mas o gráfico não está ali. Apagou tudo; não sei o que é que...
Os alunos não entenderam porque o Winplot não mostrava nenhum
gráfico, apesar de já terem digitado a equação. A área de gráfico, na tela, se
mostrava com o x de -5 até 5, e o y de -4.51531 a 4.51531. Perguntei a eles se
sabiam que valores essa função assume:
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B: – O mínimo tinha dado -115.
Pe: – E o máximo? É isso [140]?
B: – Isso.
Pe: – Então vamos pedir para o y ir de... -120... até 140.
Porém, o gráfico continuava não aparecendo:
Pe: – Ainda não apareceu. Por que?
[pausa]
Os alunos tinham indicado os valores utilizados em outro problema. Sugeri
que olhassem a tabela de valores da função que o Winplot disponibiliza.
Procedendo assim, e considerando as restrições para o domínio, os eles
chegaram ao gráfico. (Gráfico 1)
A dúvida “Por que não aparece o
gráfico?” foi freqüente entre os alunos,
nesse e em outros problemas. Com lápis e
papel, os alunos sempre construíam uma
tabela para localizar alguns pontos no plano
cartesiano e, assim, esboçar o gráfico. Mas
y
11000
y = 25x+10000
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
com o software, não se lembravam de fazer
a tabela à mão e nem de consultar a do
x
10
20
30
40
50
GRÁFICO 1
Winplot. O fato é que nem sempre os alunos transferem os procedimentos que
utilizam sem o computador, para as situações em que estão com ele, embora, às
vezes, essa transferência seja apropriada.
A configuração dicotômica, aulas sem computador e aulas com
computador, talvez dificulte ou não contribua para que o aluno perceba as
relações entre os procedimentos adotados nos dois ambientes. Porém, as
dificuldades surgem, muitas vezes, em função do recurso informático que utilizam.
Neste caso específico, o software, supostamente, deveria apresentar o gráfico da
função a partir, apenas, de sua expressão algébrica, não sendo necessário
considerar sua tabela.
Vamos analisar o que ocorreu no dia em que o tema da aula era funções
racionais. Iniciando, como de costume, na sala de aula, o professor colocou as
funções de demanda(qd) e oferta(qo)4 na lousa:
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5
90
⎧
⎪⎪q d = − 6 + p + 5
⎨
⎪q o = 2 p + 1
⎪⎩
5
PROBLEMA 2
e disse que iriam determinar o ponto de equilíbrio5 e esboçar o gráfico.
Escrevendo a resolução algébrica na lousa, igualou as equações, qd = qo , e
obteve p = 5 e p = −27,5 . Descartando o segundo, porque o preço não poderia
ser negativo, determinou o ponto de
equilíbrio
Pe =
(5,
q(5))
=
q
(5,3).
Encontrou os pontos de intersecção de
12 A
cada curva com os eixos, e esboçou o
qo
gráfico, destacando a parte onde p, qd e
3
qo são não negativos. (Gráfico 2)
O professor fez essa apresentação
rapidamente.
Os
alunos
dúvidas
5
B
10
p
q
estiveram
atentos, não fizeram perguntas nem
levantaram
-5
C
1
0
relevantes.
Em
-6
GRÁFICO 2
seguida, os alunos fizeram um outro problema semelhante, com as funções:
200
⎧
⎪⎪q d = − 4 + p + 20
⎨
⎪qo = 3 p + 1
⎪⎩
5
PROBLEMA 3
Após o intervalo, agora no laboratório, o professor propôs o problema:
Suponha que as leis das lâmpadas fluorescentes fossem dadas por:
100
⎧
⎪q d = − 2 +
p
+ 10
⎨
⎪q = 0,03 p 2
⎩ o
Pede-se:(a) O ponto de equilíbrio
(b) Esboçar os gráficos da oferta e da demanda
(c) Dar a análise econômica
PROBLEMA 4
Uma vez que o professor já tinha literalmente explicado como fazer um
problema semelhante, e os alunos tinham resolvido um segundo problema,
igualmente muito parecido era de se esperar que os alunos não encontrassem
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dificuldades no problema 4,configurando-se como um recurso de fixação da
aprendizagem. Além disso, dos alunos poderiam tirar proveito das possibilidades
que o computador oferece e resolver um número maior de problemas em menor
tempo, com maior precisão, melhor apresentação de gráficos, etc.
A orientação era a de que fizessem "tudo no computador" e passassem as
respostas para o papel, mas a maior parte dos alunos começou a resolver o
problema algebricamente para determinar o ponto de equilíbrio. Os alunos podem
ter sido induzidos a isto pelo enunciado (em que a primeira solicitação feita é o
ponto de equilíbrio) e pelo que tinham feito nos problemas anteriores. Então nós
os orientávamos para que, com o software gráfico, fizessem os gráficos das
funções primeiro e, a partir deles, o Winplot forneceria o ponto de equilíbrio. Era
isso que o professor orientava e queria que fizessem.
Os alunos demoraram a resolver o problema, pois não sabiam "por onde
começar". Nas resoluções escritas se vê que apagaram as resoluções algébricas
do problema, provavelmente, após serem orientados de que este procedimento
não era necessário.
Passada essa fase, os alunos se põem a esboçar os gráficos, e outra
questão se impõem. Como no episódio anterior, ao digitarem a expressão da
função, o gráfico não aparecia. O professor tentou orientar a turma toda de uma
só vez, para ganhar tempo. Mas cada dupla estava concentrada em seu trabalho
e fazia suas próprias tentativas; os alunos não ouviram as orientações. Eu e o
professor repetimos várias vezes, para as duplas, que consultassem a tabela da
função para ajustar os valores nos eixos cartesianos.
Vencida esta etapa, mais um elemento se contrapõe à resolução do
problema: onde colocar os parênteses na expressão − 2 + 100 / x + 10 digitada no
Winplot para que corresponda à função q d = −2 +
Muitos alunos tiveram essa dificuldade.
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100
, solicitada no problema?
p + 10
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Segue um dos diálogos. O aluno digitou y = - 2 + 100 / x + 10 e perguntou:
D: – Esse aqui, a fórmula não é isso? Tem erro na fórmula?
Pe: – Desenhe [o gráfico]! Eu quero
y
40
que vocês vejam.
30
A dupla obteve o gráfico 3:
20
Questionei o aluno quanto ao domínio
da função. Ele disse que p = -10 anula o
y = -2+ 100/x+10
10
x
− 50
− 40
− 30
− 20
− 10
10
20
30
40
− 10
denominador da fração e não poderia ser
utilizado nesta função. Solicitei que pensasse
na relação entre o domínio da função e seu
gráfico, e o aluno percebeu que havia erro:
− 20
− 30
− 40
− 50
GRÁFICO 3
D: – É mesmo! O meu está à esquerda e à direita do zero [x=0].
Pe: – Então tem uma coisa na equação que você vai ter que mudar. O que
é?
[pausa]
Pe: – Ele está dividindo o 100, só pelo x; ele não está entendendo que é
para dividir pelo x mais 10.
D: – Como que eu faço?
Pe: – Como é que a gente diz para ele: "não divide só pelo x, divide por
tudo que está depois da barra" [de divisão].
D: – Coloco entre parênteses.
Agora o aluno digitou y = -2 +100 / (x + 10) e obteve o gráfico correto.
(Anexo, Gráfico 4)
Neste caso, recorremos ao domínio da função racional. Isso reforçou, nos
alunos, as características desse tipo de função, que era o tema daquela aula, e
possibilitou que conseguissem corrigir a expressão digitada. Essa dúvida ocorreu
em outros momentos e, cada vez, que ela surgia, recorríamos às características e
propriedades da função envolvida no problema (quadráticas com coeficientes
fracionários, exponenciais, e outras).
Também mostramos aos alunos que o software executa as fórmulas
digitadas seguindo a hierarquia das operações matemáticas, de acordo com as
leis da Álgebra: primeiramente potências e raízes (na ordem que aparecem),
depois multiplicações e divisões (também na ordem que aparecem) e, finalmente,
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adições e subtrações (novamente, na ordem que aparecem). Para alterar essa
ordem utilizam-se parênteses, colchetes e chaves. Por isso são necessários os
parênteses na expressão y = −2 + 100 /( x + 10) digitada para a função do problema
4:. Mas a ausência desse raciocínio persistia nos alunos, em vários problemas.
Algumas atividades eram para “funcionar” como exercício de fixação da
aprendizagem, mas esta dificuldade as transformou em problemas.
Mas não foi só a falta desse raciocínio algébrico, tão utilizado em sala de
aula, que causou tais dificuldades. O problema 5 foi resolvido com o Winplot:
As funções de demanda e oferta, referentes a uma certa marca de vídeo-cassete,
são dadas por
e
qo = 1250p
qd = -0,1p2 + 900
a) Esboce o gráfico das duas funções.
b) Determine o ponto de equilíbrio e explique seu significado econômico.
c) Para que valores se tem escassez de oferta? Justifique sua resposta.
d) Para que valores se tem excedente de oferta? Justifique sua resposta.
PROBLEMA 5
Para a função qo =
1250p , os alunos preferiram a forma de potência e
muitos nos chamaram para perguntar sobre os parênteses. Alguns "testaram"
diferentes alternativas de digitação: começavam por 1250x^1/2, e depois
tentavam (1250x)^1/2, ambas sem parênteses no expoente. Eles viram que, como
os gráficos eram iguais, as expressões eram equivalentes. Os que perceberam
que o gráfico não era o da função qo = 1250p solicitada, perguntavam “por que
não está dando certo"? A tabela mostra o que fizeram:
Enunciado e forma
equivalente
Digitado pelos
alunos
(1250x)^1/2
1250 p = (1250 p )
1
2
1250x^1/2
O Winplot
executou
(1250 x )1
= 625 x
2
1250 x1
= 625 x
2
TABELA 1
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Forma correta
(1250x)^(1/2)
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A forma (1250x)^(1/2), era sempre a última que os alunos tentavam, quando
tentavam. (Gráfico 4)
y
120
Nesse caso, é preciso atentar para
as características da linguagem, quando
se utiliza o computador na resolução de
problemas. Funções com expoentes, como
as do tipo potência e exponencial, com
lápis e papel ou na forma de imprensa não
100
y = (1250x)^1/2
80
y = 1250x^1/2
y = 625x
60
40
20
y = (1250x)^(1/2)
x
apresentam escrita na forma horizontal:
x =x
1
2
0.5
1.0
1.5
2.0
−20
. A apresentação horizontal x^(1/2),
GRÁFICO 4
no Winplot e em outros softwares, exige os parênteses no expoente pois, na sua
falta, as potências são executadas antes das divisões; na escrita com lápis e
papel ou impressa eles não são necessários. E os alunos transferiram os padrões
de representação algébrica com lápis-e-papel para o “contexto” do computador.
Para funções que podem ser escritas horizontalmente, como as racionais:
1
= 1÷ ( x + 1) , a disposição dos parênteses será preservada na linguagem do
x +1
computador: 1/(x+1).
Finalmente, os dados mostram erros semelhantes a estes em funções
exponenciais e em outros tipos de funções trabalhadas por esses alunos (Anexo,
Tabela 2, Gráfico 6).
4 – Os dados à luz da literatura
Uma característica marcante das aulas em que coletei os dados é que, no
laboratório, os problemas tinham o objetivo de aplicar conteúdos já tratados na
sala de aula. Para Dante (2000), os problemas de aplicação também estão
ligados ao treino de habilidades, porém, com o Winplot, isso não ocorreu. Os
alunos vivenciaram outros processos de resolução para os problemas. Mesmo
quando precisavam, eles não relacionavam o que faziam no computador com os
procedimentos adotados na sala de aula.
No caso das opções definidas por Contreras e Carrillo (1998), a que melhor
identifica os problemas de minha pesquisa é a tecnológica, definida pelos autores
como aquela em que os problemas, em geral, têm processo e solução únicos, e
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são propostos como aplicação da teoria ensinada. Foi a unicidade que me levou a
classificar os problemas aqui analisados como fechados. Shimada (1997) e
Pehkonen (2003) consideram como fechados os problemas de solução única e
nos quais tanto a situação inicial (proposição) como o objetivo final (resposta,
meta) são pré-determinados. Incluindo nesses elementos o processo de
resolução, considero que um problema pode ser fechado se, além das condições
anteriores, ao aluno é indicado um processo único de resolução. E será aberto se
dá ao aluno a liberdade de escolha quanto a um desses três elementos. Os
problemas que analisei são fechados, pois, não deram aos alunos tais opções de
escolha.
As fronteiras, aparentemente tão nítidas, entre problemas fechados e
abertos, fazem crer que os fechados colocam os alunos em situações de total
segurança; que a homogeneidade de procedimentos, e a unicidade dos
processos e da solução não dão margem a dúvidas ou desvios do caminho
correto de resolução. Porém, os trabalhos citados não consideram o computador
nas atividades de resolução de problemas.
A inclusão do Winplot colocou os alunos diante de dificuldades em que não
mais era suficiente, embora fosse necessário, lançar mão de uma teoria já
aprendida ou de um processo pré-definido. Os dados também sugerem que era
necessário recorrer às tabelas, considerar a ordem de execução das operações,
começar a resolver os problemas pelo gráfico, mas os alunos não faziam isso.
Enfim, a segurança e padronização que se poderia esperar não ocorreu.
O computador conduz os estudantes a novas formas de pensar, ocorre
uma "reorganização do pensamento" (TIKHOMIROV, 1981), em que a atividade
intelectual humana é modificada pelo uso do computador. Essa teoria foi
explorada em trabalhos, na Educação Matemática (BORBA; VILLARREAL, 2005;
VILLARREAL, 1999), que indicam que o computador molda o ser humano ao
mesmo tempo em que é moldado por ele. Supondo que a expressão algébrica
fosse suficiente para o Winplot apresentar o gráfico da função, os alunos não se
lembravam das tabelas, ou seja, seus procedimentos estavam condicionados pelo
recurso informático que utilizavam. E as dificuldades que encontraram
constituíram os problemas, para aqueles alunos.
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Para Onuchic (1999, p.215) um problema: "[...] é tudo aquilo que não se
sabe fazer, mas que se está interessado em resolver" (p.215). E acrescenta: "o
problema não é um exercício no qual o aluno aplica, de forma quase mecânica,
uma fórmula ou uma determinada técnica operatória [...]". Os conceitos, as
relações, e os princípios que os unificam devem ser compreendidos (ONUCHIC,
1999; ONUCHIC; ALLEVATO, 2005). Devemos ponderar, então, sobre o caráter
demasiadamente operacional e repetitivo de alguns problemas.
Onuchic (1999), Schoenfeld (1989) e Van de Walle (2001) tratam da ênfase
na repetição e no treino. Exercícios podem ser realizados a fim de desenvolver
competências necessárias à compreensão de certos conteúdos. O problema é
realizá-los de modo que se tornem um fim em si mesmos, e percam o sentido. Os
alunos que pensaram sobre os "parênteses" realizaram valiosas reflexões e
tiveram que "pensar matematicamente" e "dar sentido" ao que faziam. Alguns,
porém, considerando o computador como uma autoridade, "acataram" a solução
apresentada e não pensaram no que estavam fazendo.
O fato de digitarem a expressão de várias maneiras, com e sem
parênteses, colocando-os em lugares diferentes, e compararem os gráficos,
refere-se à experimentação, procedimento bastante utilizado na presença do
computador. Em virtude do rápido feedback, e das possibilidades de visualização
de gráficos, os alunos testam seus resultados e conjecturas continuamente
(BORBA; PENTEADO, 2001; VILLARREAL, 1999).
A transferência dos padrões de notação algébrica para o computador, nos
remete às considerações de Pierce e Stacey (2001, 2002) como: possíveis
"confusões" entre a notação matemática convencional e a sintaxe do software, e o
problema de reconhecer quando o computador está errado. As autoras chamam
de "insight algébrico" a parte do sentido simbólico necessário para encontrar uma
solução para um problema e que, provavelmente, é afetado quando se faz
Matemática utilizando tecnologia CAS6. Estou relacionando este aspecto à
utilização do software gráfico Winplot.
O insight algébrico inclui a expectativa algébrica que envolve, entre outros
elementos, o reconhecimento de convenções, por exemplo, das diferenças entre
a linguagem matemática escrita à mão e a sintaxe dos CAS. Ele pode ser
percebido nos dados apresentados, quando os alunos "confundiram" a linguagem
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algébrica com a linguagem do software. Outro elemento é a identificação de
características-chave, resultante da coordenação entre representações múltiplas
de funções. Neste trabalho, ele aparece nos gráficos apresentados pelos alunos
para o problema 5: as funções com raiz quadrada são partes de parábolas e não
poderiam ser representadas por retas. Esses elementos permitem aos alunos
controlar e monitorar os resultados apresentados pelo computador em atividades
de resolução de problemas, mostrando-se essenciais a esse contexto. (PIERCE;
STACEY, 2001, 2002)
Os episódios e aspectos aqui analisados refletem uma experiência inicial
de utilização de software em aula. Com relação ao professor, isto se reflete na
transferência de alguns problemas de sala de aula para o laboratório. Em
experiências iniciais, como esta, os professores transferem suas práticas já
cristalizadas para o novo contexto (BORBA; PENTEADO, 2001). Também os
aspectos analisados nas atividades dos alunos, são típicos de quem está se
familiarizando com as mídias. Eles devem, porém, ser considerados por
constituírem barreiras à resolução dos problemas. Não ficaram dúvidas, no
entanto, de que a experiência possibilitou aos alunos criar novas relações, e
ampliar as compreensões sobre os conteúdos estudados.
5 - Considerações Finais
Este estudo retrata a realidade de sala de aula, trazendo circunstâncias em
que se vêem alunos e professores nos momentos de transição, em que se tenta
implementar inovações às práticas.
No tocante à inserção das tecnologias informáticas no ensino, muito se tem
falado da necessidade de propor, aos alunos, atividades especialmente
preparadas para este contexto. A proposição de problemas abertos é a mais
recente corrente no tocante à resolução de problemas, e as tecnologias
informáticas têm sido apontadas como favoráveis à exploração de conteúdos e
idéias matemáticas a partir deste tipo de problemas. Esta configuração seria a
ideal. Porém, ela nem sempre corresponde à realidade.
Embora a resolução de problemas seja uma constante no dia-a-dia de
pesquisadores, professores e alunos de Matemática, muitos não têm refletido
sobre os objetivos, as formas e as implicações de sua implementação; estenda-se
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isto às tecnologias informáticas no ensino. Este trabalho pretende apoiar esta
reflexão.
1
Sala de aula em que os recursos auxiliares, à disposição do professor, são somente a lousa e o
giz. Doravante será designada apenas como "sala de aula", a fim de evitar repetições.
2
Software gráfico, gratuito, voltado ao estudo de funções de uma e duas variáveis, derivadas,
integrais e outros temas. Disponível em http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html.
3
Convenções: A, B, C... para denotar cada aluno; Pr para o professor e Pe para o pesquisador;
[texto] no caso de inclusão de comentário; [pausa] para intervalos de silêncio em que os alunos
refletiam sobre uma pergunta do pesquisador ou vice-versa.
4
No mercado competitivo, a quantidade de um certo produto que o consumidor procura
(quantidade de demanda) depende do preço unitário de venda desse produto. Uma função de
demanda expressa a relação entre o preço por unidade (p) e a quantidade demandada (qd). Há,
também, uma relação entre o preço por unidade de um produto (p) e sua disponibilidade (qo) no
mercado. Esta relação é chamada de função de oferta.
5
No equilíbrio de mercado a quantidade produzida é igual à quantidade demandada, então
denominada quantidade de equilíbrio. O preço correspondente é chamado preço de equilíbrio. O
ponto de equilíbrio, portanto, corresponde à interseção do gráfico da oferta com o da demanda.
6
CAS (computer algebra sistem) - Sistemas de computação algébrica que permitem cálculos com
expressões simbólicas ou, como são também chamadas expressões algébricas.
6 - Referências
ALLEVATO, N. S. G. Associando o Computador à Resolução de Problemas
Fechados: Análise de uma Experiência. 2005. 370 f. Tese (Doutorado em
Educação Matemática) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas,
Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2005.
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e Sociais. São Paulo: Pioneira, 2001. p.109-188.
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introdução à teoria e aos métodos. Lisboa: Porto Editora, 1994. 336p.
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Horizonte: Autêntica, 2001. 104p.
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M.
C.;
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Anais do III Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática
G06 - Educação Matemática novas tecnologias e educação à distância
III SEMINÁRIO INTERNACIONAL
DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Águas de Lindóia - São Paulo 11 a 14 de outubro de 2006
13
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Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 1999.
7 - Legendas
7.1 - Lista de problemas
PROBLEMA 1:Problema envolvendo função afim, resolvido no laboratório.(p.3)
PROBLEMA 2:Primeiro problema da aula sobre função racional.(p.4)
PROBLEMA 3:Segundo problema da aula sobre função racional.(p.5)
PROBLEMA 4:Terceiro problema da aula sobre função racional.(p.5)
PROBLEMA 5:Problema envolvendo funções quadrática e raiz quadrada,
resolvido no laboratório.(p.8)
7.2 - Lista de tabelas
TABELA 1:Tabela explicativa dos procedimentos dos alunos para a função
q o = 1250p (p.8)
7.3 - Lista de gráficos
GRÁFICO 1:Gráfico correspondente à função CT=25q+10000, obtido no
Winplot. (p.4)
GRÁFICO 2:Gráfico correspondente às funções q d = − 6 + 90
p+5
e
qo =
2
p + 1,
5
esboçado na lousa, pelo professor. (p.5)
GRÁFICO 3:Gráfico correspondente à expressão y = −2 + 100 / x + 10 digitada
pelos alunos, obtido no Winplot. (p.6)
GRÁFICO 4:Correspondente às expressões digitadas, pelos alunos, para a
função q o = 1250p (p.8)
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Anexo
Gráficos construídos pelos alunos com a utilização do Winplot
y
40
30
y=-2+100/(x+10)
20
10
x
− 50
− 40
− 30
− 20
− 10
10
20
30
40
− 10
− 20
− 30
− 40
− 50
GRÁFICO 5 – Correspondente à função
100
qd = −2 +
p + 10
Enunciado e forma
equivalente
Digitado pelos
alunos
O Winplot executou
Forma correta
2x
2^x
2x
2^x
22x
2^2x
22x=4x
2^(2x)
23x
2^3x
23x=8x
2^(3x)
24x
2^4x
24x=16x
2^(4x)
TABELA 2 - Tabela explicativa dos procedimentos dos alunos para funções
exponenciais.
10.0
y
10.0
y = 2^ 4x
9.0
y = 2^(4x )
9.0
y = 2^ 3x
8.0
y = 2^(3x )
y = 2^ 2x
7.0
y
8.0
y = 2^(2x )
7.0
6.0
y = 2^x
5.0
6.0
y = 2^ x
4.0
5.0
3.0
4.0
2.0
3.0
1.0
− 1.0
x
1.0
− 1.0
− 2.0
− 3.0
2.0
2.0
3.
1.0
x
0
− 1.0
− 4.0
1.0
2.0
− 1.0
0
Sem os parênteses
Com
os parênteses
GRÁFICO 6- Correspondentes às funções exponenciais.
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3.0