Equação Geral da Condução

Equação Geral da Condução
●
Para um sistema unidimensional demonstrouse:
∂T
q x =−k A
∂x
Transmissão de Calor
Prof. Dr. Vicente Luiz Scalon
●
∣
x
Para um sistema multidimensional o fluxo de
calor é vetorial:
,,
,,
,,
,, 



q =q x⋅i q y⋅ jq z ⋅k
∂T 
∂T 
∂T 

=−k
⋅i − k
⋅ j− k
⋅k =k⋅∇⋅T
∂x x
∂y y
∂z z
∣
∣
∣
Fluxo de Calor na Direção
Normal à Superfície
●
Para o fluxo de calor saindo de uma
superfície (ou isoterma):
Transmissão de Calor
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∂T
q n =−k An
∂ n
∣
n
e representa o fluxo de calor
na direção normal
Equação de Difusão de Calor
●
Balanço
de Energia na seção do Cubo:
˙
EA
Ė e
E˙G
Ė s
∂T

⋅A⋅dx⋅c ⋅ =q −q
dq  
q̇ A⋅dx

Transmissão de Calor
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p
x
∂t

x
x

 
∂
∂T
sendo dq x =−
kA
⋅dx
∂x
∂x
a
Áre
A
qx
q x dq x
∂T
∂
∂T
⋅A⋅dx⋅c p⋅ =
k
A⋅dx q̇ A⋅dx
∂t ∂ x ∂ x
 
∂T
∂
∂T
⋅c p⋅ =
k
 q̇
∂t ∂ x ∂ x
dx
Equação Multidimensional de Difusão
de Calor – Sistema Cartesiano
●
Equação Geral:
     
Transmissão de Calor
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∂T
∂
∂T
∂
∂T
∂
∂T
⋅c p⋅ =
k

k

k
 q̇
∂t ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ z ∂ z
●
(2.13)
Equação para Condutividade Constante
1 ∂ T ∂2 T ∂ 2 T ∂ 2 T q̇
= 2 2 2

 ∂t ∂ x ∂ y ∂ z k
k / c p
(2.15)
Equação Multidimensional de Difusão
de Calor – Outros Sistemas
●
Sistemas Cilíndricos:


   
∂T 1 ∂
∂T
1 ∂
∂T
∂
∂T
⋅c p⋅ =
k⋅r
 2
k

k
 q̇
∂t r ∂r
∂r
r ∂ ∂ ∂ z ∂ z
Transmissão de Calor
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(2.20)
●
Sistemas Esféricos:


 

∂T 1 ∂
1
∂
∂T
2 ∂T
⋅c p⋅ = 2
k⋅r
 2 2
k

∂t r ∂r
∂r
r sin  ∂  ∂ 
1∂
∂T
k⋅sin 
 q̇
2
∂
r sin  ∂

(2.23)
Solução de Equações
Diferenciais
Qualquer equação
diferencial pode resolver
um problema
determinando o
“comportamento” da
função solução.
5
4
3
Transmissão de Calor
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y
●
●
2
1
A solução característica
de um determinado do
problema só pode ser
Solução Geral:
obtida com o
y t =5⋅exp x −2⋅xC 1
conhecimento das suas
“Condições de Contorno”
Solução Específica:
do problema.
y t=0=2
0
0
0.2
0.4
t
0.6
0.8
1
Condições de Contorno Típicas
●
Com relação ao tempo:
–
Transmissão de Calor
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●
Condição inicial
Com relação à condução:
–
Condição de 1ª Espécie (Dirichlet)
–
Condição de 2ª Espécie (Neumann)
–
Condição de 3ª Espécie (Robin)
Condição Inicial
●
Para qualquer problema que envolva transitório é
necessário conhecer o perfil da grandeza analisada em
pelo menos um instante de tempo.
Transmissão de Calor
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t=0  T  x ,t=0=−2⋅x 2−3x38 ou
t=0
t =0  T  x ,t =0=50
x
Condição de 1ª Espécie
Condição Pré-Estabelecida
Condição de Dirichlet
Transmissão de Calor
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●
Condição na qual a grandeza (temperatura, por
exemplo) é conhecida numa dada posição.
x=0  T  x=0, t =70
70
x=L  T  x= L , t =50
50
x
L
Condição de 2ª Espécie
Condição de Fluxo
Condição de Neumann
●
Transmissão de Calor
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q ' ' =150
Caracteriza a condição no qual a derivada da
grandeza é estabelecida. É denominada condição
de Fluxo por estar associada ao fluxos (fluxo de
calor, por exemplo).
W
2
m
dT dT
x=0  q ' ' =−k⋅ 
dx
dx
k =10 W/ m K
dT
x=0 
dx
x
∣
q' '
=−
k
x=0
∣
150
=−
10
x=0
Obs: - Muito cuidado com sentido do eixo x!!!!
- Caso de Fluxo Nulo!!!!
Condição de 3ª Espécie
Condição de Convecção
Condição de Robin
●
Condição típica de problemas de transferência de
calor e aplicável nos casos depende tanto da
variável como da sua 1ª derivada.
dT
≫ x=0  h⋅T ∞ −T  x=0,t =−k
dx
Transmissão de Calor
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h ,T ∞
∣
x=0
h ,T ∞
≫ x= L  h⋅T  x= L , t −T ∞ =−k
x
L
dT
dx
∣
x= L
Transmissão de Calor
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Propriedades Físicas da Matéria
●
Condutividade Térmica – k
●
Massa Específica – ρ
●
Calor Específico a Pressão Constante – cp
●
Difusividade Térmica – α
●
Viscosidade Cinemática (ν) ou Dinâmica (μ)
●
Coeficiente de Expansão Volumétrica (β)
Características da
Condutividade Térmica
●
pode ser calculada experimentalmente
fazendo uso da Lei de Fourier:
,,
Transmissão de Calor
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q
k=−
dT / dx
●
pode ser:
–
–
isotrópico (igual em todas as direções)
anisotrópico k x ≠k y ≠k z 
Condutividade Térmica
Diferentes mecanismos de acordo com a natureza:
–
Sólidos
●
Transmissão de Calor
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●
–
Fluidos
●
●
–
metálicos (condutores elétricos)
cerâmicas
líquidos
gases
Material Isolante
Transmissão de Calor
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Distribuição de valores da
condutividade térmica
Condutividade Térmica de
Sólidos
A condutividade térmica pode ser escrita como
uma composição de dois fatores:
k s =k ek r
Transmissão de Calor
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onde:
●
●
kr representa a transferência de energia pela
rede de ligações atômicas/moleculares
ke representa a transferência de energia por
transferência de elétrons entre átomos.
Condutividade Termica [W/m.K]
Transmissão de Calor
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Comportamento da Condutividade
Térmica com a Temperatura
500
400
300
200
150
100
80
60
50
35
20
15
10
8
6
5
4
3
2
1
100
Tungstenio
Aluminio
Prata
Cobre
Ouro
Platina
Ferro
Aco Inoxidavel
Oxido de Aluminio
Ceramicos
150 200
Quartzo Fundido
300 400 500 600 800 1000
Temperatura [K]
1500 2000
3000 4000
Condutividade Térmica em
Fluidos
●
Fluidos = ligações moleculares muita mais
fracas que dos sólidos (menor condutividade)
Transmissão de Calor
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Sólido
Líquido
Gás
Condutividade Térmica em
Gases
Transmissão de Calor
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●
Transferência de energia em gases ocorre
basicamente por colisões (Teoria Cinética dos
gases)
〚
n = número de moléculas / volume
k l =n⋅c⋅ onde c= vel. média das moléculas
=percurso médio das moléculas
Efeitos em função do aumento de:
TEMPERATURA: c aumenta – k aumenta com a temperatura!!!!
●
PRESSÃO: n aumenta e λ diminuem – k sem mudança significativa
●
Comportamento da Condutividade Térmica de Alguns Gases
0.3
en
io
og
Hi
dr
Condutividade Termica [W/m.K]
Transmissão de Calor
Prof. Dr. Vicente Luiz Scalon
0.25
0.2
lio
He
0.15
0.1
0.05
0
Ar
atm)
1
(
a
u
g
or d'a
V ap
rb o n o
a
C
e
d
o
D ioxid
R­12
0
200
400
600
Temperatura [K]
800
1000
Condutividade Térmica em
Líquidos
●
Transmissão de Calor
Prof. Dr. Vicente Luiz Scalon
●
●
o mecanismo que explica a condução em
líquidos não metálicos é mais complexo e
ainda não está bem estabelecido.
de maneira geral para os líquidos:
–
a condutividade térmica aumenta com aumento
de temperatura (excessões: água e glicerina)
–
a condutividade diminui com o aumento do peso
molecular
metais fundidos têm condutividade térmica
muito maior que os outros líquidos
Condutividade Térmica em
Líquidos
0.8
Agua
Condutividade Termica [W/m.K]
Transmissão de Calor
Prof. Dr. Vicente Luiz Scalon
0.7
0.6
0.5
Am
on
ia
0.4
G licerina
0.3
0.2
0.1
0
200
R ­ 12
250
Oleo de M otor
300
350
400
450
Temperatura [K]
500
550
600
Sistemas de Isolamento Térmico
●
Transmissão de Calor
Prof. Dr. Vicente Luiz Scalon
●
●
São compostos normalmente por uma
combinação de dois materiais (gás + fibras ou
pó ou flocos)
O conceito de Condutividade Térmica Efetiva
é utilizado. Neste caso, a condutividade
aparente é função de diversos parâmetros:
caminho percorrido pelo fluxo e as diversas
formas de transferência de calor internas
Isolamento Celular: nome dado ao isolante
quando existe uma matriz rígida.
Difusividade Térmica
Transmissão de Calor
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●
O rearranjo das equações de condução levam ao
aparecimento de uma relação entre outras propriedades
que denominamos Difusividade Térmica (α):
k
=
c p
●
●
esta propriedade permite avaliar a “velocidade” com que
o calor se difunde em um dado material.
útil em problemas que envolvem condução transiente