MO405/MC878 - Teoria e Aplicaç˜oes de Grafos Lista - IC

MO405/MC878 - Teoria e Aplicações de Grafos
Lista de Exercı́cios 6
Os exercı́cios sem marcas são (ou deveriam ser) relativamente simples. Os exercı́cios marcados com (*)
exigem alguma reflexão. . . . Os exercı́cios marcados com (**) são mais difı́ceis. Exercı́cios marcados
com (*) ou (**) podem ser cobrados em um teste.
Um digrafo é estrito se não possui arestas múltiplas nem laços (note que ele pode conter arestas da
forma (u, v) e (v, u)). Um digrafo é simples se seu grafo subjacente é simples.
A condensação de um digrafo D é o digrafo D ∗ obtido a partir de D contraindo-se seus componentes
fortemente conexos.
Uma orientação de um grafo G é um digrafo obtido a partir de G substituindo cada aresta por um
arco (ou aresta orientada).
+
−
Um digrafo D é balanceado se gD
(v) = gD
(v) para todo v ∈ V (D).
Para um digrafo D e v ∈ V (D), definimos
−
ND
(v) := {u ∈ V (D) : (u, v) ∈ A(D)}.
+
(v) de modo análogo.
Definimos ND
Um bloco de um digrafo D é um subdigrafo de D correspondente a um bloco do grafo subjacente de
D.
1. Quantas orientações um grafo sem laços possui?
2. Prove ou mostre um contra-exemplo. Em um digrafo todo passeio fechado contém um circuito.
3. Prove que se existe um passeio de u a v em um digrafo D, então existe um caminho de u a v
em D.
4. Mostre que em um digrafo, todo passeio fechado ı́mpar contém um circuito ı́mpar. Isto é verdade
se trocarmos “ı́mpar” por “par”?
5. Mostre que D é um digrafo fortemente conexo se e somente se para todo S ⊂ V (D), S 6= ∅,
existe um arco com cauda em S e ponta em V (D) − S.
6. Seja D um digrafo estrito tal que g + (v) ≥ k para todo v ∈ V (D). Mostre que D possui um
caminho de comprimento pelo menos k e um circuito de comprimento pelo menos k + 1.
7. Jackson (1981) conjecturou que todo digrafo simples D com δ+ (D) ≥ k e δ− (D) ≥ k possui um
circuito de comprimento 2k + 1. Dê um exemplo (k genérico) que mostra que não é possı́vel
trocar 2k + 1 por 2k + 2 (note que o grafo não precisa ser conexo). É claro, se você souber como
provar a conjectura eu ficaria bastante interessado. . .
8. (*) Seja D um digrafo fortemente conexo. Mostre que se o grafo subjacente de D contém um
circuito ı́mpar, então D contém um circuito ı́mpar.
−
+
(v)
(v) = gD
9. Seja G um grafo par. Mostre que G possui uma orientação balanceada D, ou seja, gD
para todo v ∈ V (D).
1
−
+
(v) para todo v ∈
(v) = gD
10. Prove que um digrafo D é euleriano se é fortemente conexo e gD
V (D). Sugestão: faça duas demonstrações, uma removendo as arestas de um circuito e usando
indução, e a outra usando a ideia de trilha máxima (veja as demonstrações do teorema de Euler).
11. Seja D um digrafo balanceado. Mostre que D pode ser decomposto em circuitos.
12. Descreva uma condição necessária e suficiente para um grafo orientado D (sem vértices isolados)
possuir uma trilha passando por todas as arestas de D começando em u e terminando em v
(u 6= v). Naturalmente, justifique!
13. Um digrafo D é unilateralmente conexo se para todo par u, v de vértices existe um caminho
de u a v em D, ou existe um caminho de v a u em D (ou ambos). Prove que a condensação de
D contém um caminho gerador (contém todos os vértices de D ∗ ).
14. Mostre que um circuito ı́mpar não possui um kernel. Exiba um digrafo que contém um subdigrafo induzido isomorfo a um circuito ı́mpar, mas que possui um kernel.
15. (*) Prove por indução que um digrafo acı́clico possui um único kernel.
16. (*) Seja G um grafo. Mostre que G admite uma orientação quase-balanceada, ou seja, vale
−
+
(v)| ≤ 1 para todo v ∈ V (D).
(v) − gD
que |gD
17. Prove que um grafo conexo G possui uma orientação D na qual o número de vértices com grau
de saı́da ı́mpar é no máximo um (ou seja, existe no máximo um vértice v em D com g+ (v)
ı́mpar).
Conclua que um grafo conexo simples com um número par de arestas pode ser decomposto em
subgrafos isomorfos a P3 .
18. (*) Já vimos que todo torneio possui um rei. Seja T um torneio que não possui fontes (um
vértice com grau de entrada zero).
(a) Prove que se x é um rei em T , então T possui outro rei em N − (x).
(b) Use a parte (a) para mostrar que T possui pelo menos três reis.
(c) Para cada n ≥ 3, construa um torneio com n vértices sem fontes com exatamente três reis.
19. Mostre que um digrafo D é fortmente conexo se e somente se cada um de seus blocos é fortemente
conexo.
20. Mostre que um grafo conexo sem arestas-de-corte possui uma orientação fortemente conexa.
Sugestão: pelo exercı́cio anterior, basta provar no caso que G é não-separável (certo?). Use o
teorema de decomposição em orelhas.
21. (*) Prove que um digrafo D estrito possui um conjunto independente S tal que todo vértice
de D é alcançável a partir de S por um caminho de comprimento no máximo 2. Sugestão:
Remova um vértice v e um certo subconjunto de vértices (associado a v) e use indução forte
em n := |V (D)|.
2