UMA APLICAÇÃO DO ESTUDO DE FUNÇÕES VETORIAIS: LEIS

UMA APLICAÇÃO DO ESTUDO DE FUNÇÕES VETORIAIS: LEIS DE
KEPLER
Aroyto Pereira de Sousa Cardoso Bacuri(1), Vitor Santiago Botelho(2), Leonel
Giacomini Delatorre(3), Guilherme Souza Santos(4)
(1)
Estudante do curso de
[email protected];
Engenharia
de
Agrimensura;
Universidade
Federal
do
Pampa;
Itaqui,
RS;
(2)
Estudante do curso de Bacharelado Interdisciplinar em Ciência e Tecnologia; Universidade Federal do Pampa; Itaqui,
RS; [email protected];
(3) Orientador;
(4)
Universidade Federal do Pampa; Itaqui, RS; [email protected];
Co-Orientador; Universidade Federal do Pampa; Itaqui, RS; [email protected].
RESUMO: Compete a este trabalho a utilização de importantes resultados do cálculo vetorial, de forma a
validar as convicções de Kepler. Os conteúdos necessários para este estudo foram desenvolvidos por meio
de literatura específica abrangendo noções a respeito de funções vetoriais que podem ser associadas ao
estudo do movimento, motivando aplicações na Física. Apresenta-se, assim, como resultado, uma
demonstração para as três leis de Kepler: Lei das Órbitas Elípticas, Lei das Áreas e Lei Harmônica, do
ponto de vista vetorial, utilizando Leis de Newton e expandindo as aplicações do cálculo de funções a
valores vetoriais além do campo da própria matemática.
Palavras-Chave: Funções Vetoriais, Cálculo Diferencial e Integral, Aplicações, Leis de Kepler.
INTRODUÇÃO
O presente trabalho surgiu como parte integrante do projeto intitulado “INTRODUÇÃO À TEORIA DE
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA”, em andamento na Universidade Federal do Pampa, Campus
Itaqui. Apesar deste projeto ser direcionado ao contexto de análise complexa, houve a necessidade de um
enfoque relacionado à parte de curvas e superfícies parametrizadas e, consequentemente, o estudo de
funções vetoriais e seus resultados significativos. À medida que os conceitos – referentes às funções a
valores vetoriais – foram desenvolvidos, surgiram questionamentos quanto à aplicação de alguns destes
resultados ao contexto da Engenharia Cartográfica e de Agrimensura. Nesse sentido, ao pesquisar sobre o
tema em literatura pertinente, nos deparamos com aplicação no contexto da Astronomia, mais
especificamente no entendimento, e dedução, das Leis de Kepler para o Movimento Planetário. No intuito
de situar, citamos:
A astronomia de Kepler insere-se no âmbito do copernicanismo, não somente pela admissão das
hipóteses centrais da proposta copernicana, a saber, a de centralidade do Sol e a de mobilidade da
Terra, mas, sobretudo, pelos desenvolvimentos internos que ele forneceu para a proposta original de
Copérnico. (TOSSATO; MARICONDA, 2010)
As ideias de Newton (1642-1727) e Kepler (1571-1630) revolucionaram o entendimento da Física e da
Astronomia da época. Kepler, a partir das observações feitas pelo astrônomo Tycho Brache (1546-1601),
propôs as três Leis que serão aqui desenvolvidas e Newton, posteriormente, comprovou-as. Stewart (2013)
confirma: “Em seu livro Principia Mathematica, de 1687, sir Isaac Newton mostrou que as três leis de Kepler
podem ser obtidas como consequências de outras duas leis de sua autoria, a Segunda Lei do Movimento e
a Lei da Gravitação Universal. [...]”.
Cabe a este trabalho, então, lançar mão de importantes ferramentas do cálculo para funções vetoriais,
de forma a utilizá-los para validar as ideias de Kepler.
METODOLOGIA
Para a execução deste trabalho, desenvolvido no ambiente de um projeto de pesquisa, optamos pela
realização de seminários semanais, organizados pelos estudantes, com a finalidade de rever e assimilar
conceitos apresentados na bibliografia utilizada, promovendo também uma formalização matemática, além
de propiciar aos acadêmicos uma maior autonomia por meio do estudo dirigido.
As discussões acerca das funções vetoriais foram realizadas por meio do estudo de literatura
específica, em que frisaram-se tópicos relacionados às curvas e superfícies parametrizadas, bem como à
álgebra e à geometria envolvidas – com vistas à aplicação no estudo das funções à uma variável complexa
– , porém, também, buscou-se abranger as noções vetoriais que podem ser associadas ao estudo do
movimento, que motivaram as aplicações na Física.
Anais do VII Salão Internacional de Ensino, Pesquisa e Extensão – Universidade Federal do Pampa
Com esse embasamento matemático, os acadêmicos envolvidos no projeto (antes voltado somente à
análise de casos em variável complexa) passaram a buscar aplicações dentro do próprio curso e
encontraram no cálculo de funções a valores vetoriais uma maneira de fazê-lo, aliando esse estudo à
astronomia, no caso às Leis de Kepler.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
As ideias provenientes do estudo de objetos puramente matemáticos como, por exemplo, vetores
tangentes, vetores normais, curvaturas, encontram aplicações notórias na interpretação física do movimento
de objetos, como a velocidade e a aceleração de uma partícula que se move ao longo de uma curva plana
ou espacial.
Apresenta-se, então, como resultado da pesquisa, a dedução das três leis de Kepler: Lei das
Órbitas Elípticas, Lei das Áreas e Lei Harmônica. Para tanto, empregam-se a Segunda Lei do Movimento –
a saber
𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗,
(1)
⃗
em que 𝐹 representa Força, 𝑚 representa massa e 𝑎⃗ representa aceleração – e a Lei da Gravitação
Universal, a saber,
𝐺𝑀𝑚
𝐹⃗ = − 3 𝑟⃗
𝑟
(2)
em que 𝐹⃗ é a Força da Gravidade sobre o planeta, 𝑀 e 𝑚 são as massas do Sol e do planeta,
respectivamente, 𝐺 é a constante gravitacional e 𝑟 = |𝑟⃗|. Durante o trabalho, utilizamos das leis
supracitadas formuladas por Newton, para – do ponto de vista vetorial – retratarmos uma fundamentação
matemática que comprove a validade das afirmações apresentadas por Kepler, embasadas, na época, pela
observação e análise de dados experimentais.
Cabe salientar que, ao discorrer sobre o tema, os acadêmicos familiarizaram-se com conceitos
geométricos como ortogonalidade e paralelismo de vetores, além de um breve apanhado de cônicas, mais
especificamente a elipse, em sua forma polar. Mais do que isso, foram necessários resultados que
tratassem sobre a área de uma região polar, bem como sobre o produto escalar e vetorial e a derivada de
uma função vetorial. A partir disso, tornou-se possível concluir a proposta deste trabalho.
CONCLUSÕES
Concluímos que o estudo de funções vetoriais, além de propiciar importantes aplicações dentro da
própria matemática, como na análise complexa e geometria diferencial, por exemplo, se estende ao
contexto de outras áreas como, neste caso, dentro da física e da astronomia.
Ressaltamos aqui que a ênfase do trabalho realizado dentro do projeto de pesquisa era principalmente
dentro da área de análise complexa, porém, devido ao interesse dos acadêmicos em buscar relações com
sua área de atuação, e entenderem que isso seria mais fácil dentro do cálculo de funções vetoriais, o
projeto se ramificou, originando este trabalho. Isso evidencia um amadurecimento acadêmico ao passo que
os estudantes demonstraram um posicionamento crítico em relação às necessidades de seu curso.
REFERÊNCIAS
STEWART, J. Cálculo, volume 2. 6.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012.
TOSSATO, C. R.; MARICONDA, P. R. O método da astronomia segundo Kepler. Revista Scientiae Studia, v.8, n. 3,
p. 339-366, 2010.
Anais do VII Salão Internacional de Ensino, Pesquisa e Extensão – Universidade Federal do Pampa