Função de Onda e Equação de Schrödinger

14/08/2013
Função de Onda e Equação de
Schrödinger
Prof. Alex Fabiano C. Campos, Dr
A Função de Onda (ψ
(ψ)
• A primeira formulação para esta nova interpretação da Mecânica, a
Mecânica Quântica, teoria foi proposta pelo físico austríaco Erwin
Schrödinger em 1925.
• De acordo com Schrödinger, em decorrência do caráter dual da
matéria (onda-partícula), mesmo que uma partícula se mova em uma
trajetória definida ela estará distribuída em todo o espaço como uma
onda.
E. Schrödinger
(1887-1961)
• Assim, uma onda na mecânica quântica equivaleria ao conceito de
trajetória na mecânica clássica e seria representada por uma função
denominada função de onda, ψ.
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A Função de Onda (ψ
(ψ)
• Para um fenômeno ondulatório qualquer, pode-se escrever a função de onda em sua
forma geral como:
ψ = Asen(ωt + ϕ ) = Asen(2πν t + ϕ ) = Asen(2π
uϕ
λ
t +ϕ)
• Como uϕt = x, isto é, a distância percorrida pela onda durante um intervalo de tempo t,
pode-se escrever para uma onda que se propaga apenas em uma direção:
ψ = Asen(2π
x
λ
+ϕ)
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A Equação de Schrödinger
•
Na mecânica de oscilações um movimento ondulatório unidimensional é descrito por:
d 2ψ ( x)
+ k 2ψ ( x) = 0
2
dx
•
Em que k é o número de onda:
k=
2π
λ
• Da equação de De Broglie,
p=
h
λ
⇒k =
2π
λ
=
2π p p
=
h
ℏ
h 

ℏ =

2π 

• Como,
p2
E=
2m
⇒ p = 2mE
⇒k =
2mE
ℏ
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A Equação de Schrödinger
• Substituindo na equação do movimento ondulatório:
d 2ψ ( x) 2mE
+ 2 ψ ( x) = 0
dx 2
ℏ
ℏ 2 d 2ψ ( x)
−
= Eψ ( x)
2m dx 2
Esta é a equação de Schrödinger estacionária (independente do tempo) para
partículas livres não relativísticas de massa m e energia E.
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A Equação de Schrödinger
• No caso de a partícula se encontrar em um campo de forças associado a uma
energia potencial V(x), pode-se escrever:
E=
p2
+ V ( x)
2m
ℏ 2 d 2ψ ( x)
−
+ V ( x)ψ ( x) = Eψ ( x)
2m dx 2
Esta é a equação de Schrödinger para estados estacionários de energia E na
presença de energia potencial V(x).
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A Equação de Schrödinger
• Generalizando para o caso tridimensional:
−
ℏ 2  ∂ 2ψ ( x, y , z ) ∂ 2ψ ( x, y, z ) ∂ 2ψ ( x, y, z ) 
+
+

 + V ( x, y, z )ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z )
2m 
∂x 2
∂y 2
∂z 2

• Ou introduzindo o operador Laplaciano:
−
ℏ2 2
∇ ψ + Vψ = Eψ
2m
• Ou ainda introduzindo o operador Hamiltoniano:
Hψ = Eψ
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Interpretação da Função de Onda
•A que corresponde a amplitude e a intensidade da onda?
•Qual a relação entre a onda e a partícula a ela associada?
•As soluções da equação são fisicamente aceitáveis?
O problema consiste em associar novos conceitos
físicos relacionados à mecânica da escala atômica.
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Interpretação da Função de Onda
•
Sendo o potencial constante uma possível solução para a equação de Schrödinger, a
qual pode ser obtida por métodos de resolução de equações diferenciais, é da forma:
ψ ( x) = eikx = A cos(kx) + B i sen( kx)
em que i é um número complexo imaginário.
•
A solução da equação de Schrödinger é portanto, uma função de onda complexa.
•
Como ψ é uma função complexa (imaginária) ela não deve ter significado físico e,
portanto não pode ser medida em laboratório.
•
Apenas as grandezas ou observáveis reais têm significado físico e podem ser medidas
em laboratório.
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Interpretação da Função de Onda
•
Max Born foi o primeiro a dar uma interpretação, não à função de
onda em si mas ao seu quadrado.
•
O módulo da função de onda ao quadrado ψ2 é uma grandeza não
complexa, portanto ele deve ter significado físico.
•
De acordo com Max Born, para movimentos em uma única
dimensão x, ψ2 é a probabilidade por unidade x isto é: é a
probabilidade de que se encontre a partícula em uma posição entre
x e x + dx.
•
Max Born
(1882-1970)
Ψ 2 é, portanto, a densidade de probabilidade de presença.
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Interpretação da Função de Onda
• A Mecânica Quântica não é determinística, mas sim probabilística. Ela nos força a
abandonar a noção de trajetórias precisamente definidas das partículas no tempo e no
espaço.
Esta interpretação de ψ fornece uma conexão estatística entre a partícula
e onda a ela associada. Ela nos diz onde a partícula provavelmente estará
e não onde de fato está.
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Propriedades da Função de Onda
• Como ψ2 representa uma densidade de probabilidade, ela dever ser definida em todo o
espaço.
ψ é uma função contínua
•ψ2 não pode ser infinita.
ψ é uma função finita
•ψ2 deve ser nula a uma distância infinita do núcleo.
ψ se anula no infinito
• A probabilidade de se encontrar uma partícula em toda a região do espaço dever ser
igual a 1, ou seja , +∞
2
∫ ψ dx = 1.
−∞
ψ deve ser normalizada
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Função de Onda e Orbitais
• A solução da Equação de Schrödinger fornece uma série de funções de onda com
níveis de energia associados. Estas funções de onda são os orbitais atômicos que têm
energia e distribuição (formato) características
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Função de Onda e Orbitais
Orbitais s
•
Todos os orbitais s são esféricos.
•
Para mais elevados níveis de energia, os orbitais s ficam maiores.
•
Um nó é uma região no espaço onde a probabilidade de se encontrar um elétron é
zero. Em um nó, ψ2 = 0
•
À medida que n aumenta, aumenta o número de nós.
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Função de Onda e Orbitais
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Função de Onda e Orbitais
Orbitais p
•
Existem três orbitais p, px, py, e pz.
•
Os três orbitais p localizam-se ao longo dos eixos de um sistema cartesiano.
•
Os orbitais têm a forma de halteres. Para mais elevados níveis de energia, os orbitais s
ficam maiores
•
Todos os orbitais p têm um nó no núcleo.
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Função de Onda e Orbitais
Orbitais d
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Função de Onda e Orbitais
Orbitais f
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Resolução da Equação de
Schrödinger
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Partícula Livre (1D)
v
x
e-
• Da equação de Schrödinger unidimensional e independente do tempo,
−
ℏ 2 d 2ψ ( x)
+ V ( x)ψ ( x) = Eψ ( x)
2m dx 2
• Mas como V(x)=0, vem que
−
ℏ 2 d 2ψ ( x)
d 2ψ ( x) 2mE
= Eψ ( x) ⇒
+ 2 ψ ( x) = 0
2
2m dx
dx 2
ℏ
• Assim,
⇒
d 2ψ ( x)
+ k 2ψ ( x) = 0
dx 2

2mE 
 k =

ℏ 

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Partícula Livre (1D)
• Esta equação tem como solução geral:
ψ ( x) = eikx = A cos(kx) + B i sen(kx)
• Podem-se obter soluções mais gerais por meio de combinações de funções complexas:
ψ ( x ) = Aeikx + Be − ikx
(Esta equação é uma combinação linear de duas ondas planas que se propagam nas
direções +x e –x. A e B são as amplitudes de cada uma das ondas)
• Assim, operando-se ψ(x), pode-se mostrar que
−
• Finalmente:
ℏ 2 d 2ψ ( x) ℏ 2 2
=
k ψ ( x) = Eψ ( x)
2m dx 2
2m
ℏ2 k 2
E=
2m
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Partícula Livre (1D)
E
ℏ 2k 2
E=
2m
k
Ou seja, uma partícula livre pode ser encontrada em qualquer
ponto sobre o eixo x, com a mesma probabilidade.
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Partícula em uma Caixa (1D)
V
∞
∞
0, 0 < x < L
V ( x) = 
∞, x ≥ L ou x ≤ 0
0
L
x
Em x ≥ L ou x ≤ 0 (região proibida): ψ ( x ) = 0
Em 0 < x < L , temos V ( x ) = 0 :
Assim, −
ℏ 2 d 2ψ
= Eψ
2 m dx 2
(como a partícula livre)
Solução geral: ψ ( x ) = Ae ikx + Be − ikx ; E =
ℏ2k 2
2m
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Partícula em uma Caixa (1D)
ψ (0) = 0
• Condição de contorno 1:
ψ (0) = A + B = 0 ⇒ A = − B
então em x=0, vem:
ψ ( x) = A ( eikx − e −ikx ) = Asen kx
logo:
• Condição de contorno 2:
então em x=L, vem:
logo:
kn =
ψ ( L) = 0
ψ ( L) = Asen kL = 0 ⇒ kL = nπ (n = 1, 2,3...)
2 2
2 2 2
nπ
⇒ E = ℏ kn = π ℏ n
L
n
2
2m
2mL
(quantização de energia)
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Partícula em uma Caixa (1D)
• Funções de onda do tipo
 nπ x 
ψ n ( x) = An sen 

 L 
n=4
n=3
V
∞
∞
E3
n=2
E2
E1
0
n=1
L
x
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Partícula em uma Caixa (1D)
• Normalizando a função de onda:
+∞
∫ψ
L
2
dx = 1 ⇒ A
−∞
2
∫ sen
0
2
 nπ x 

 dx = 1
 L 
• Finalmente:
ψ n ( x) =
2
 nπ x 
sen 

L
 L 
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Partícula em uma Caixa (1D)
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Partícula em uma Caixa (1D)
Exemplo: Cálculo da energia de 1 elétron confinado em uma caixa unidimensional de
comprimento L = 0,1 nm, no estado fundamental.
En =
ℏ 2 k n2  h 2  2
n
= 
2
2m
8
mL


ψ n (x ) =
2
 nπx 
sen

L  L 

 4,39 ×10−67
[6, 63 ×10−34 Js ]2
≈
E1 = 
−31
−10
2 
−50
 8[9,11×10 kg ][10 m]  7, 29 ×10
E1 ≈ 6, 02 ×10−18 J ≈ 37, 63 eV
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Barreira de Potencial e Tunelamento
ψ (x)
V
V0
e −γx
x
0
incidente
V
refletido
ψ (x)
transmitido
Existe uma probabilidade de
encontrar o elétron na região
classicamente proibida
Se a barreira for
suficientemente pequena
(largura a) o elétron poderá
ser transmitido (tunelar) com
uma certa probabilidade:
EFEITO TÚNEL
Ptrans ≈ ψ 2 (a ) ∝ e −2γ a
2
0
a
x
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