1 – Calcula

Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum I
1. Considera os seguintes números:
280
e
360.
a) Decompõe cada um dos números em factores primos.
b) Verifica quais são os factores primos em comum entre os números decompostos e multiplicaos (considera o menor dos expoentes).
Acabaste de calcular o máximo divisor comum (m.d.c.) entre 280 e 360.
Então
m.d.c.(280, 360) = ___________
Conclusão:
O máximo divisor comum de dois números decompostos em factores primos é
igual ao produto dos factores comuns cada um elevado ao menor dos expoente.
Nota:
Dois números dizem-se primos entre si se o máximo divisor comum é igual a 1.
2. Considera os seguintes números:
12, 18 e 45
a) Decompõe cada um dos números em factores primos.
b) Verifica quais são os factores primos, comuns e não comuns, entre os números decompostos
e multiplica-os considerando os de maior expoente.
Acabaste de calcular o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) entre 12, 18 e 45.
Então
m.m.c.(12, 18, 45) = _________
Conclusão:
O mínimo múltiplo comum de dois números decompostos em factores primos é
igual ao produto dos factores comuns e não comuns elevado cada um ao maior
dos expoentes.
3. Observa as seguintes decomposições dos números A, B e C:
A = 23 × 5 × 7 2
B = 23 × 52 × 7 2
C = 23 × 53 × 7 2 × 11
Sem efectuares cálculos indica, justificando, se:
a) o número A será múltiplo de B?
b) o número B será múltiplo de C?
c) por que número temos de multiplicar A para obter C?
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4. Calcula o m.d.c. e o m.m.c. entre:
a) 4 e 18
b) 30 e 42
c) 5 e 6
5. Aplicando a noção de m.d.c. entre dois números, torna irredutíveis as seguintes fracções:
a)
12
38
b) −
26
182
c)
27
90
6. A Ana tem 100 bombons e 120 rebuçados para oferecer na sua festa de aniversário. Ela pretende
fazer o maior número de saquinhos, cada um deles com o mesmo número de bombons e rebuçados.
a) Quantos saquinhos poderá fazer a Ana?
b) Quantos bombons e quantos rebuçados irá conter cada saquinho?
7. Pretende-se plantar flores em dois canteiros por forma que, nos dois, as flores estejam igualmente
espaçadas. Os canteiros têm 144 cm e 168 cm de comprimento.
a) Qual é a maior distância que é possível deixar entre duas flores consecutivas?
b) Nas condições da alínea anterior qual é o número de flores que se plantam em cada canteiro?
(Também serão plantadas flores nos “topos” dos canteiros)
8. Num encontro de jovens participam 168 portugueses, 112 espanhóis e 96 brasileiros.
a) Qual é o maior número de grupos que se podem formar, de modo que cada país esteja
igualmente representado em todos os grupos?
b) Quantos elementos de cada país estão nesses grupos?
9. O ginásio dos Olivais foi inaugurado no dia 1 de Julho. O Joaquim treina de 4 em 4 dias e a Joana
de 7 em 7 dias. Em que dia estes dois amigos se voltarão a encontrar no ginásio?
10. Três amigos encontraram-se num sábado na biblioteca municipal. O Miguel costuma lá ir estudar
de 2 em 2 dias, o José de 4 em 4 dias e o Nuno de 6 em 6 dias. Daqui a quantos dias e em que dia
da semana é que os amigos se voltarão a encontrar?
11. Dois cometas muito raramente são vistos da Terra. Um só é visto de 90 em 90 anos e outro de 75
em 75 anos. Sabendo que ambos foram vistos da Terra em 1980, quando se voltarão a ver
novamente?
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12. Completa e compara os resultados obtidos nas 3ª e 6ª colunas:
a
b
axb
m.d.c (a, b)
m.m.c. (a, b)
m.d.c (a, b) x m.m.c. (a, b)
12
20
12x20=240
4
60
240
18
21
60
100
14
63
Podemos então concluir que:
O produto de dois números a e b é igual ao produto do m.d.c.(a, b) pelo m.m.c.(a, b)
ou seja
a x b = m.d.c. (a, b) x m.m.c. (a, b)
13. O produto de dois números é 1008 e o seu m.d.c. é 4. Qual é o seu m.m.c.?
14. Sabendo que o m.m.c.(36, 90)=180, calcula o m.d.c.(36, 90) sem utilizar a decomposição em factores
primos.
15. Sabendo que m.d.c.(28, a) = 14 e que m.m.c.(28, a) = 252, determina o valor de a.
16. O m.m.c. de dois números é 2 2 × 33 × 5 × 7 × 13 . O m.d.c. dos mesmos números é 22 × 3 × 13 . Se um
dos números é 2 2 × 3 × 7 × 13 , qual é o outro número? Justifica.
17. Sabendo que 20 é o m.d.c. de dois números decompostos em factores primos a × 32 × 53 × 11 e
23 × b × 7 2 . Determina os valores de a e de b . (Sugestão: começa por decompor o número 20 em
factores primos)
18. Se o produto de dois números a e b é o m.m.c. ( a , b ), então o que podes concluir acerca dos
factores primos comuns a estes números? Qual é o m.d.c. ( a , b )?
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