Métodos Quantitativos em Economia Financeira ECO-219

Segundo Trabalho de Econofísica: Matrizes e Álgebra Linear
Primeiro semestre de 2013
Prof. Carlos Lenz Cesar
Instruções: entre no site: http://digilander.libero.it/foxes/SoftwareDownload.htm
Faça o download do MATRIX 2.3 - Matrix and Linear Algebra functions for EXCEL. Faça
a descompressão do arquivo .zip para um diretório [digilander].
Para usá-lo use o procedimento usual de instalação de Add-Ins do Excel: (1) Abra o Excel;
(2) Click no botão do office do Excel e escolha opções; (3) selecione suplementos [add-ins] e
vá até o diretório escolhido para o Matrix2.3; (4) selecione "matrix.xla"; (5) Click OK!
1. Operações de arrays no Excel: Usando operações de arrays do Excel calcule em um
1  4  1  4
 2  3  2  3
passo apenas:      e      .
 3  2  3  2
       
 4 1  4 1
2. Operações de multiplicação de matrizes no Excel: Usando operações de matrizes do
0 1 2
7 5 4
Excel calcule: 
 1 0 1

 1 1 2
3  1   1   4 
  2  3
3 
2
  e      .
2  3   3   2 
     
0  4   4   1 
3. Sistema Linear Quadrado: Consider o seguinte sistema de equações lineares
x1  9 x2  x3  4 x4  18
2 x1  x3  x4  2
x1  2 x2  4 x3  17
x1  5 x2  x3  x4  7
a) Re-escreva no Excel o sistema na forma matricial A44 x41  b41 .
b) Use o Digilander para calcular o posto de A, p ( A) ? Usando a definição de posto como a
dimensão da maior sub-matriz com determinante não nulo o que se pode afirmar sobre
uma matriz quadrada cujo posto é igual à sua dimensão?
c) Calcule usando comando do Excel o det  A , A
1
e resolva o sistema utilizando a
1
matriz inversa x  A b .
d) Utilize o SysLin do Digilander para resolver esse sistema.
e) Use o Macro do Digilander na operação de matrizes e resolva o sistema.
 
 
f) Escreva a matriz ampliada Aamp  A b . Calcule o posto p A b . Utilize o método
de Gauss-Jordan do Digilander e vá escrevendo os vários passos até resolver o sistema.
g) Use a Macro Gauss step-by-step do Digilander nesse sistema.
4. Sistema
Linear
subdeterminado:
subdeterminado, ou seja,
Considere
o
sistema
Amn xn1  bm1
 
p  A  p A b  n . Nesse caso existem n  p  A
variáveis livres e a solução pode ser escrita como yn1  Cnn xn1  d n1 . Considere o
seguinte sistema de equações lineares
x1  2 x2  3x3  3x4  4
2 x1  4 x2  x3  3x4  5
3x1  6 x2  x3  4 x4  7
 
a. Calcule os postos p  A e p A b . Calcule a nulidade desse sistema. Quantas
variáveis livres existem? Utilize a função SysLinSing para encontrar a solução do tipo
y  C xqq  d . Escolha valores das variáveis independentes e mostre que a solução
satisfaz ao sistema.
b. Apesar do sistema admitir infinitas soluções a solução com menor norma possível é dada

por: x  A A A

1
b . Calcule essa solução de noorma mínima para esse sistema.
5. Sistema
Linear
superdeterminado:
Considere
o
sistema
Amn xn1  bm1
 
superdeterminado, ou seja, p  A  p A b , sem solução. Multiplicando ambos os
lado pela transposta de A temos um sistema de n equações e n incógnitas do tipo:
AA x  Ab . A matriz AA é quadrada e simétrica e a solução x * desse sistema,
embora não seja solução de A x  b , minimiza o erro cometido, ou seja, se A x  b ,
*


então a somatória do quadrado dos resíduos SQR  b *  b  b *  b

*
é o menor
possível.
2 x1  4 x2  35
2
1
x1  2 x2  x3  18

Considere o sistema:  x1  x2  2 x3  8 , ou seja:  1

3x1  3x3  26
3
5
5 x1  x3  33

4
2
1
0
0
0
 35 
1   x1   18 
 
2   x2    8 

 
3   x3   26 
 33 
1 
 
  e mostre que o sistema não admite solução, ou seja,
a. Calcule os postos p  A e p A b
 
p  A  p A b .
b. Calcule as matrizes
AA ,  AA  , Ab e b *   AA
1

1
 Ab  .


c. Calcule a soma dos quadrados dos resíduos SQR  b *  b  b *  b .
d. Gere um vetor xrand  x   x com cada componente de
*
 x sendo um número
aleatório entre  .5, .5 . Calcule brand  Axrand e a sua somatória do quadrado dos



resíduos SQR  brand  b  brand  b . Apertando F9 note que esse número é



sempre maior do que SQR  b  b  b  b .
*
*
6. Ajuste de Curva por Regressão Linear: Suponha que temos n observações de y e dos
valores de X1, X2, ... Xk. As equações yi  a1 X1i  a2 X 2i 
 ak X ki  ei para todos os
i’s pode ser escrita como:
 y1   X11
 y  X
 2    12
  
  
 yn   X1n
X k1 
X k 2 


X kn 
X 21
X 22
X 2n
 a1   e1 
 a  e 
 2 2
   
   
 a k   en 
 y1 
 a1 
y 
a 
2

Onde y 
foram os valores observados,  2  são os coeficientes que desejamos
 
 
 
 
 yn 
ak 
 e1 
e 
determinar e e   2  são os resíduos, ou erros. A solução que minimiza a somatória dos
 
 
 en 

quadrados dos resíduos é dada por: a  XX
  X y  . Considere os pontos da tabela abaixo
1
que se acredita obedecem a uma parábola y  ao  a1x  a2 x .
2
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
2.9
3.5
0.1
-0.9
0.6
1.5
0.9
3.5
9.5
12.4
16.0
 ao 
 
a. Use regressão linear com matrizes para encontrar a1 .
 
a 
 2
b. Faça um gráfico da função ajustada por regressão com os pontos observados.
7. Decomposição LU de matriz quadrada: A decomposição LU é escrever a matriz como
o produto de uma matriz triangula inferior [Lower] por uma matriz triangular superior
0 5 4


[Upper], na forma A  inf sup . Faça a decomposição LU da matriz: 2 4 2 .


 8 0 9 


8. Decomposição de Cholesky: A decomposição de Cholesky é uma decomposição LU na
qual a matriz triangular superior é a transposta da inferior, ou seja, A  inf inf . Só se
aplica a matrizes simétricas definidas positivas. Faça a decomposição de Cholesky da
 3 1 2


matriz: 1 6 4 . Mostre que a multiplicação da matriz obtida pela sua transposta


2 4 7


 5 2 1


realmente recupera a matriz original. Tente também com a matriz 2 2 3 . O que


 1 2 1


acontece com os sinais dos elementos diagonais?
9. Decomposição em Valores Singulares [Single Value Decomposition - SVD]: A

decomposição SVD é da forma Amn  U m p D p p Vn p
ortogonais, ou seja,

com as matrizes U e V
UU  I e VV  I . Se A é quadrada as três matrizes também são
quadradas de mesma dimensão.
 1 1 5 

1  .
a. Encontre a SVD da matriz: 2 0

 3 3 5 


 1 8


b. Encontre a SVD da matriz: 3 4 .


 1 1 


1 8 2 
.
3
4

1


c. Encontre a SVD da matriz: 
10. Teorema de Cayley-Hamilton: No problema de autovalor Au  u , ou seja,
 A   I  u  0 , exigimos que o
P     det  A   I   0 . O teorema
polinômio
característico
seja
nulo,
i.e.,
de Cayley-Hamilton afirma que P  A  O .
 11 9 2 


Vamos verificar esse teorema para a matriz: 8 6 2 . Use os comandos do


 4 4 1


Digilander para encontrar o polinômio característico dessa matriz. Confira o teroema
utilizando operações de matrizes.
11. Autovetores e autovalores:
 4 14 6 


a. Encontre os autovalores da matriz: 8 19 8 .


 5 10 3 


b. Para cada um dos autovalores encontre o autovetor, de preferência normalizados.
c. Encontre a matriz S   u1
u2 u3  .
d. Diagonalize a matriz usando a regra D  S
1
AS .
12. Se a matriz for simétrica os autovalores serão reais. Nesse caso pode-se mostrar
facilmente que S
1
 S . Se além disso a matriz for definida positiva os autovalores
serão reais e positivos. Repita o problema 10 para a matriz simétrica do problema 8:
 3 1 2
1 6 4

.
2 4 7

