2 – Movimento Uni, Bi, Tridimensional e Vetores
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PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.profanderson.net [email protected] Última atualização: 08/04/2008 10:47 H 2 – Movimento Uni, Bi, Tridimensional e Vetores Fundamentos de Física 1 Halliday, Resnick, Walker 4ª Edição, LTC, 1996 Cap. 2 – Movimento Retilíneo Cap. 3 – Vetores em Duas e Três Dimensões Cap. 4 – Movimento em Duas e Três Dimensões Física 1 Resnick, Halliday, Krane 4ª Edição, LTC, 1996 Cap. 2 – Movimento Unidimensional Cap. 3 – Vetores Física 1 Resnick, Halliday, Krane 5ª Edição, LTC, 2003 Cap. 2 – Movimento em Uma Dimensão Cap. 4 – Movimento Bi e Tridimensional Cap. 4 – Movimento em Duas e Três Dimensões Prof. Anderson (Itacaré, BA - Fev/2006) Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FUNDAMENTOS DE FÍSICA 1 CAPÍTULO 2 – MOVIMENTO RETILÍNEO 01 11 21 31 41 51 61 71 81 91 02 12 22 32 42 52 62 72 82 92 03 13 23 33 43 53 63 73 83 93 04 14 24 34 44 54 64 74 84 94 05 15 25 35 45 55 65 75 85 95 06 16 26 36 46 56 66 76 86 96 07 17 27 37 47 57 67 77 87 97 08 18 28 38 48 58 68 78 88 98 09 19 29 39 49 59 69 79 89 99 10 20 30 40 50 60 70 80 90 [Início documento] [Início seção] [Início documento] ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 – Movimento Retilíneo 2 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FUNDAMENTOS DE FÍSICA 1 CAPÍTULO 3 – VETORES EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES 01 11 21 31 41 51 61 02 12 22 32 42 52 62 03 13 23 33 43 53 63 04 14 24 34 44 54 05 15 25 35 45 55 06 16 26 36 46 56 07 17 27 37 47 57 08 18 28 38 48 58 09 19 29 39 49 59 10 20 30 40 50 60 [Início documento] [Início seção] [Início documento] ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 03 – Vetores em Duas e Três Dimensões 3 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FUNDAMENTOS DE FÍSICA 1 CAPÍTULO 4 – MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES 01 11 21 31 41 51 61 71 81 91 02 12 22 32 42 52 62 72 82 92 03 13 23 33 43 53 63 73 83 93 04 14 24 34 44 54 64 74 84 94 05 15 25 35 45 55 65 75 85 95 06 16 26 36 46 56 66 76 86 96 07 17 27 37 47 57 67 77 87 97 08 18 28 38 48 58 68 78 88 98 09 19 29 39 49 59 69 79 89 99 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 [Início documento] [Início seção] [Início documento] ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 04 – Movimento em Duas e Três Dimensões 4 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 1 CAPÍTULO 2 – MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL 01 11 21 31 41 51 61 71 02 12 22 32 42 52 62 72 03 13 23 33 43 53 63 73 04 14 24 34 44 54 64 74 05 15 25 35 45 55 65 75 06 16 26 36 46 56 66 07 17 27 37 47 57 67 08 18 28 38 48 58 68 09 19 29 39 49 59 69 10 20 30 40 50 60 70 [Início documento] 01. Que distância seu carro percorre, a 88 km/h, durante 1 s em que você olha um acidente à margem da estrada? (Pág. 28) Solução. Como o problema trata de um movimento que ocorre com velocidade constante, deve-se utilizar a Eq. (1). x x0 v x t (1) A distância procurada corresponde ao deslocamento x = x x x0 x vx t x (88 km/h) 1 m/s 3, 6 km/h x0. (0,50 s) 12, 222 m A resposta deve ser expressa com apenas um algarismo significativo: x 10 m [Início seção] [Início documento] 02. Um jogador de beisebol consegue lançar a bola com velocidade horizontal de 160 km/h, medida por um radar portátil. Em quanto tempo a bola atingirá o alvo, situado a 18,4 m? (Pág. 28) Solução. Apesar do movimento da bola ser bidimensional (ao mesmo tempo em que a bola viaja até a base horizontalmente, ela sofre ação da gravidade e cai verticalmente) só precisamos nos preocupar com o seu movimento horizontal. Isto é devido a esse movimento ser o responsável pela situação exposta no enunciado. O movimento horizontal da bola não está sujeito à aceleração da gravidade ou a qualquer outra aceleração (exceto, é claro, à aceleração causada pela força de resistência do ar, que é desprezada) e deve ser tratado como movimento com velocidade constante. ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 – Movimento Unidimensional 5 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física x x0 vt t x x0 v t 0,414 s x v (18, 4 m) 1 m/s (160 km/h) 3, 6 km/h [Início seção] [Início documento] 08. Um avião a jato pratica manobras para evitar detecção pelo radar e está 35 m acima do solo plano (veja fig. abaixo). Repentinamente ele encontra uma rampa levemente inclinada de 4,3 o, o que é difícil de detetar. De que tempo dispõe o piloto para efetuar uma correção que evite um choque com o solo? A velocidade em relação ao ar é de 1.300 km/h. (Pág. 28) Solução. O avião desloca-se em movimento retilíneo com velocidade constante. Considere o esquema abaixo para a resolução do problema. v 0 x h d Analisando o movimento do avião no eixo x, temos: x x0 vt 0 t d vt d v (1) Como o valor de d não foi dado, é preciso calculá-lo. h tan d h d tan Substituindo-se (2) em (1): h (35 m) t v tan 1.300 km/h tan 4,3o 3, 6 (2) 1, 289035... s t 1,3 s [Início seção] [Início documento] ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 – Movimento Unidimensional 6 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física 11. Calcule sua velocidade escalar média nos dois casos seguintes. (a) Você caminha 72 m à razão de 1,2 m/s e depois corre 72 m a 3,0 m/s numa reta. (b) Você caminha durante 1,0 min a 1,2 m/s e depois corre durante 1,0 min a 3,0 m/s numa reta. (Pág. 28) Solução. (a) Precisamos lembrar que a velocidade escalar média é a razão entre a distância percorrida (não o deslocamento) e o intervalo de tempo decorrido no percurso. vem vem s1 s2 t1 t2 s1 s2 s1 s1 v1 v1 72 m 72 m 1, 2 m/s 72 m 72 m 3, 0 m/s 2 1 1, 2 m/s 1 3, 0 m/s 1, 714 m/s 1, 7 m/s (b) vem vem s1 s2 t1 t2 v1 t1 v2 t2 t1 t2 1, 2 m/s 60 s 60 s 3, 0 m/s 60 s 1, 2 m/s 60 s 3, 0 m/s 2 2,1 m/s [Início seção] [Início documento] 12. Dois trens, cada um com a velocidade escalar de 34 km/h, aproximam-se um do outro na mesma linha. Um pássaro que pode voar a 58 km/h parte de um dos trens quando eles estão distantes 102 km e dirige-se diretamente ao outro. Ao alcançá-lo, o pássaro retorna diretamente para o primeiro trem e assim sucessivamente. (a) Quantas viagens o pássaro pode fazer de um trem ao outro antes de eles se chocarem? (b) Qual a distância total que o pássaro percorre? (Pág. 28) Solução. Neste problema vamos resolver primeiro o item (b) e em seguida o item (a). Trem A vA 2o Encontro vP 4d/9 1o Encontro Trem B vB 2d/3 x 0 d/2 d/2 d (b) Como os trens viajam à mesma velocidade, porém em sentidos contrários, o choque dar-se-á na coordenada d/2. O tempo ( t) do percurso de cada trem será igual ao tempo de vôo do pássaro. Logo, para o trem A: x d /2 vA t t d t 2v A Para o pássaro: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 – Movimento Unidimensional 7 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física s t vp s 2v A d 2v A s d Portanto, o pássaro percorre uma distância igual à separação inicial dos trens, ou seja: s 102 km (a) Em primeiro lugar, vamos calcular a coordenada x do primeiro encontro (x1). x1 x0P vPt (1) x1 x0 B (2) vB t Nestas equações, x0p = 0 e x0B = d são as posições do pássaro e do trem B no instante zero e vP = 2 vB e vB são as velocidades do pássaro e do trem B. Como no momento do primeiro encontro o pássaro e o trem B estarão na mesma coordenada (x1), podemos igualar (1) e (2). x0 B vBt x0 P vPt d vB t t d 3v B 0 ( 2v B )t (3) Substituindo-se (3) em (1): x1 x0 P vP 0 ( 2vB ) d 3vB 2d 3 De maneira semelhante, pode-se demonstrar que o segundo encontro se dará na coordenada 4d/9. Como conseqüência, do primeiro para o segundo encontro o pássaro percorre uma distância igual a 2d/3 4d/9 = 2d/9, que é igual a 2/3 de d/3. Também pode ser demonstrado que do segundo para o terceiro encontro ele percorre uma distância igual a 2/3 de 1/3 de d/3, e assim por diante. Em resumo: Viagem do pássaro Distância percorrida 1 2/3 d = 2/3 d 2 2/3 . 1/3 . d = 2/32 d 3 2/3 . 1/3. 1/3 . d = 2/33 d … … … n n 2/3 . 1/3 . …. 1/3 . d = 2/3 d x1 A soma das distâncias percorridas em cada trecho de ida e vinda do pássaro deve ser igual a d (resposta do item b): 2 2 2 2 d d d d d 2 3 3 3 3 3n Ou seja: 1 1 1 1 1 n 2 3 3 3 2 3 3 ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 – Movimento Unidimensional 8 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física n i 1 1 3i 1 2 (4) Pode-se demonstrar que (4) somente será verdadeira se n = (Utilize sua calculadora para verificar esta afirmação). Portanto, em teoria, o pássaro fará um número infinito de viagens. [Início seção] [Início documento] 14. Que distância percorre em 16 s um corredor cujo gráfico velocidade-tempo é o da figura abaixo? (Pág. 28) Solução. Conhecendo-se a função x(t) que descreve a posição x de um objeto em qualquer instante de tempo t, pode-se calcular sua velocidade em qualquer instante a partir da derivada de x(t) em relação a t. dx(t ) v(t ) dt No caso inverso, conhecendo-se a velocidade v(t) de um objeto em qualquer instante t, pode-se determinar sua posição x em qualquer instante, bem como seu deslocamento, no intervalo de tempo considerado. dx(t ) v( t ) dt x x0 v dx(t ) x x0 v0 v v0 v(t ) dt v(t ) dt De acordo com esta, o deslocamento x x0 corresponde à área sob a curva do gráfico v(t) = f(t). Cada quadrado mostrado no gráfico possui área equivalente a (2 m/s) (2 s) = 4 m. Portanto, contabilizando toda a área sob a curva mostrada no gráfico, chegaremos ao seguinte resultado: t (s) 0 2 2 10 10 12 12 16 Total x (m) 8 64 12 16 88 Portanto: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 – Movimento Unidimensional 9 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física x(16) x(0) 98 m [Início seção] [Início documento] 29. Para decolar, um avião a jato necessita alcançar no final da pista a velocidade de 360 km/h. Supondo que a aceleração seja constante e a pista tenha 1,8 km, qual a aceleração mínima necessária, a partir do repouso? (Pág. 29) Solução. Trata-se de movimento retilíneo com aceleração constante. O cálculo pode ser feito por meio da Eq. (1). v2 a a v02 v 2 (1) 2a x 2 1 m/s 360 km/h 3, 6 km/h 2 (1,80 103 m) 2 0 v 2 x 02 2, 7777 m/s2 2,78 m/s 2 [Início seção] [Início documento] 31. A cabeça de uma cascavel pode acelerar 50 m/s2 ao atacar uma vítima. Se um carro pudesse fazer o mesmo, em quanto tempo ele alcançaria a velocidade escalar de 100 km/h a partir do repouso? (Pág. 29) Solução. Trata-se, naturalmente, de movimento retilíneo com aceleração constante. A velocidade inicial, v0, é igual a zero. O cálculo do tempo (t) é feito através da Eq. 1. v v0 at (1) t v v0 a t 0,56 s 1 m/s 3, 6 km/h (50 m/s 2 ) (100 km/h) [Início seção] 0 0,55556 s [Início documento] 33. Um elétron, com velocidade inicial v0 = 1,5 105 m/s, entra numa região com 1,2 cm de comprimento, onde ele é eletricamente acelerado (veja Fig. 29). O elétron emerge com velocidade de 5,8 106 m/s. Qual a sua aceleração, suposta constante? (Tal processo ocorre no canhão de elétrons de um tubo de raios catódicos, utilizado em receptores de televisão e terminais de vídeo.) ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 – Movimento Unidimensional 10 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física (Pág. 30) Solução. Trata-se de movimento retilíneo com aceleração constante. O cálculo pode ser feito através da Eq. (1). v2 a v02 2a x v 2 v02 2 x (1) (5,8 106 m/s) 2 -(1,5 105 m/s) 2 2(1,2 10-2 m) 1, 4007 1015 m/s 2 a 1, 4 1015 m/s 2 [Início seção] [Início documento] 34. A maior velocidade em terra já registrada foi de 1.020 km/h, alcançado pelo coronel John P. Stapp em 19 de março de 1954, tripulando um assento jato-propulsado. Ele e o veículo foram parados em 1,4 s; veja a Fig. 30. Que aceleração ele experimentou? Exprima sua resposta em termos da aceleração da gravidade g = 9,8 m/s2. (Note que o corpo do militar atua como um acelerômetro, não como um velocímetro.) (Pág. 30) Solução. Trata-se de movimento retilíneo com aceleração (negativa ou desaceleração) constante. O cálculo pode ser feito através da Eq. (1). ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 – Movimento Unidimensional 11 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física v a v0 (1) at 0 (1.020 km/h) v v0 t 1 m/s 3, 6 km/h 202,38095 m/s 2 (1,4 s) Para obter a aceleração em termos de unidades g, basta dividir a aceleração obtida pelo valor da aceleração da gravidade. a g a ( 202,38095 m/s 2 ) (9,8 m/s 2 ) 20, 6511 21 g [Início seção] [Início documento] 41. Um trem de metrô acelera a partir do repouso a 1,20 m/s2 em uma estação para percorrer a primeira metade da distância até a estação seguinte e depois desacelera a 1,20 m/s2 na segunda metade da distância de 1,10 km entre as estações. Determine: (a) o tempo de viagem entre as estações e (b) a velocidade escalar máxima do trem. (Pág. 30) Solução. Considere o esquema abaixo para auxiliar a resolução: a -a x x1 = d/2 x2 = d (a) Sabendo-se que o tempo gasto na primeira metade do caminho (acelerado) é igual ao tempo gasto para percorrer a segunda metade do caminho (desacelerado), o tempo de viagem entre as estações pode ser calculado da seguinte forma (trecho x0 x1): 1 2 1 2 x x0 v0t at v0t1 at1 2 2 x0 = 0 d 1 t 0 0 a 2 2 2 t 4d a t 60,6 s 2 4(1,10 103 m) (1, 2 m/s2 ) 60,553... s (b) A velocidade escalar máxima do trem (v1), que é atingida em x1 = d/2, pode ser calculada da seguinte forma (trecho x0 x1): v2 v0 2 2a( x x0 ) v12 v0 2 2a( x1 x0 ) v12 0 2a ( v1 v1 ad d 2 0) (1, 20 m/s2 )(1,10 103 m) 36,331... m/s 36,3 m/s ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 – Movimento Unidimensional 12 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física [Início seção] [Início documento] 45. No momento em que a luz de um semáforo fica verde, um automóvel arranca com aceleração de 2,2 m/s2. No mesmo instante um caminhão, movendo-se à velocidade constante de 9,5 m/s, alcança e ultrapassa o automóvel. (a) A que distância, além do ponto de partida, o automóvel alcança o caminhão? (b) Qual será a velocidade do carro nesse instante? (É instrutivo desenhar um gráfico qualitativo de x(t) para cada veículo.). (Pág. 31) Solução. Considere o esquema abaixo para a resolução do problema. Observe que tanto o caminhão quanto o automóvel percorrem a mesma distância em tempos iguais. d vC vC a v0A = 0 vA = ? x0 = 0 x=d=? (a) O movimento do caminhão (C) ocorre com velocidade constante. x x0 vt x x0 x vC t x vC t (1) O movimento do automóvel ocorre com aceleração constante, partindo do repouso em x0 = 0. 1 2 x x0 v0t at 2 1 2 x x0 v0C t at 2 1 2 d 0 at 2 1 2 d at 2 Substituindo-se o valor de t de (1) em (2): d 1 d a 2 vc d 2vc 2 a 2 (2) a d2 2 vc 2 2(9,5 m/s) 2 (2, 2 m/s 2 ) 82, 045045... m d 82 m (a) A velocidade com que o automóvel alcança o caminhão (vA) vale: v2 vA2 v0 2 v0 A2 2a( x x0 ) 2a( x x0 ) ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 – Movimento Unidimensional 13 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física vA2 0 2ad vA 2ad 2(2, 2 m/s2 )(82,04545... m) 18,999... m/s vA 19 m/s [Início seção] [Início documento] 49. No manual de motorista diz que um automóvel com bons freios e movendo-se a 80 km/h pode parar na distância de 56 m. Para a velocidade de 48 km/h a distância correspondente é 24 m.Suponha que sejam iguais, nas duas velocidades, tanto o tempo de reação do motorista, durante o qual a aceleração é nula, como a aceleração quando aplicados os freios. Calcule (a) o tempo de reação do motorista e (b) a aceleração. (Pág. 31) Solução. Considere o seguinte esquema para a resolução do problema: Frenagem (A) Tempo de reação (A) Situação A v0A v1A = v0A x1B x0 = 0 v0B x1A v1B = v0B x2B v2A = 0 x2A x v2B = 0 Situação B Tempo de Frenagem (B) reação (B) (a) Vamos inicialmente analisar a situação A. Durante o tempo de reação, o carro desloca-se com velocidade constante. x x0 vt x1 A x0 A v0 At R x0 A 0 x1 A v0 At R Mas: Logo: (1) Análise do movimento de frenagem na situação A. v2 v0 2 v2 A2 2a( x x0 ) v1 A 2 2a( x2 A x1 A ) Mas: v1 A v0 A Logo: 0 v0 A 2 2a( x2 A x1 A ) (2) ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 – Movimento Unidimensional 14 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física Substituindo-se (1) em (2): v0 A2 2a( x2 A v0 At R ) (3) A análise da situação B através do caminho seguido pelas Eqs. (1) a (3) conduz ao seguinte resultado: v0 B 2 2a( x2 B v0 Bt R ) (4) Dividindo-se (3) por (4): x2 A v0 At R x2 B v0 B t R v0 A 2 v0 B 2 Logo: tR v0 A 2 x2 B v0 B 2 x2 A v0 Av0 B (v0 A v0 B ) tR 0, 72 s (5) (b) Substituindo-se (5) em (3): a v0 A 2 2( x2 A v0 At R ) a 6, 2 m/s2 6,17284... m/s 2 [Início seção] [Início documento] 54. Uma rocha despenca de um penhasco de 100 m de altura. Quanto tempo leva para cair (a) os primeiros 50 m e (b) os 50 m restantes? (Pág. 31) Solução. (a) Considere o seguinte esquema para a situação: y0 = 0 g y1 = 50 m y2 = 100 m y Trata-se de movimento retilíneo (vertical) com aceleração constante. O cálculo do tempo de queda nos primeiros 50 m pode ser feito através da Eq. (1). De acordo com o esquema ao lado, a aceleração da gravidade tem o mesmo sentido do referencial adotado e, portanto, possui sinal positivo. ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 – Movimento Unidimensional 15 Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 1 a y t12 2 (1) y1 y0 v0 y t Como v0y = 0: t1 2( y1 y0 ) ay t1 2[(50 m) 0) (9,81 m/s2 ) t1 2( y1 y0 ) g 10, 20408 s 2 3,19438 s 3,2 s (b) Para calcular o tempo de queda dos 50 m seguintes (y1 = 50 m a y2 = 100m), primeiramente vamos calcular o tempo de queda de y0 = 0 a y2 = 100m. 1 y 2 y 0 v0 y t a y t 22 2 t2 t2 2( y2 y0 ) g 2[(100 m) 0) (9,81 m/s2 ) 20,40816 s 2 4,51753 s O cálculo do tempo de queda y1 a y2 (t12) é feito por diferença: t12 t2 t12 1,3 s t1 (4,51753 s) (3,19438 s) 1,32315 s [Início seção] [Início documento] 59. Enquanto pensava em Isaac Newton, uma pessoa em pé sobre uma passarela inadvertidamente deixa cair uma maçã por cima do parapeito justamente quando a frente de um caminhão passa exatamente por baixo dele. O veículo move-se a 55 km/h e tem 12 m de comprimento. A que altura, acima do caminhão, está o parapeito, se a maçã passa rente à traseira do caminhão? (Pág. 31) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 – Movimento Unidimensional 16 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física y v0 = 0 y0 = h h y1 = 0 Inicial x1= l x0 = 0 vC x l Final vC v1 A solução deste problema consiste em analisar as equações do movimento horizontal do caminhão e vertical da maçã e combiná-las, pois são sincronizadas no tempo. Movimento do caminhãoem x: x x0 vx t l 0 vC t t l vC (1) Movimento da maçã em y: 1 2 y y0 v0t at 2 1 0 h 0 ( g )t 2 2 1 2 h gt 2 Substituindo-se (1) em (2): (2) 2 h 1 l g 2 vC 2 1 9,81 m/s 2 2 12 m 55 km/h m/s 3, 6 km/h 3, 026 m h 3,0 m [Início seção] [Início documento] 61. Um jogador de basquete, no momento de “enterrar” a bola, salta 76 cm verticalmente. Que tempo passa o jogador (a) nos 15 cm mais altos do pulo e (b) nos 15 cm mais baixos? Isso explica por que esses jogadores parecem suspensos no ar no topo de seus pulos. (Pág. 32) ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 – Movimento Unidimensional 17 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física Solução. Considere o seguinte esquema para a resolução do problema. y yD D yC = yE 15 cm mais altos E C a = -g B F A G yB = yF yA = yG = 0 15 cm mais baixos Como a aceleração é a mesma na subida e na descida, temos que: t t AB 15 B t AB t FG t15 B 2t AB 2 t tCD 15 A t15 A 2tCD tCD t DE 2 onde tAB é o tempo para ir de do ponto A ao ponto B e t15A e t15B são os tempos em que o jogador passa nos 15 cm mais altos e mais baixos, respectivamente. A velocidade inicial do jogador (vA) pode ser calculada pela análise do movimento no trecho AD. v2 vD 2 v0 2 2a ( y vA2 y0 ) 2( g )( yD y A ) 1) 0 vA2 2 g ( yD 0) vA 2 gyD 2(9,81 m/s2 )(0,76 m) 3,8615022... m/s (a) Análise do movimento no trecho CD. 1 2 y y0 vt at 2 1 yD yC vD tCD ( g )tCD 2 2 (0,15 m) 0 t15 A t15 A 1 t15 A g 2 2 8(0,15 m) (9,81 m/s2 ) 2 0,3497... s 0,35 s (b) Análise do movimento no trecho AB. 1 2 y y0 v0t at 2 1 yB y A v At AB ( g )t AB 2 2 t (0,15 m) vA 15 B 2 1 t15 B g 2 2 2 ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 – Movimento Unidimensional 18 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física (9,81 m/s2 ) (3,8615022... m/s) t15 B t15 B (0,15 m) 0 8 2 A Eq. (1) é uma equação do segundo grau cujas raízes são: t15 B ' 1, 492560... s (1) t15 B '' 0, 081955... s Como t15B deve ser menor do que t15A: t15 B 0, 082 s [Início seção] [Início documento] 64. O laboratório de pesquisa da gravidade nula do Centro de Pesquisa Lewis da NASA (EUA) tem uma torre de queda de 145 m. Trata-se de um dispositivo vertical onde se fez vácuo e que, entre outras possibilidades, permite estudar a queda de uma esfera com diâmetro de 1 m, que contém equipamentos. (a) Qual o tempo de queda do equipamento? Qual sua velocidade ao pé da torre? (c) Ao pé da torre a esfera tem uma aceleração média de 25 g quando sua velocidade é reduzida a zero. Que distância ela percorre até parar? (Pág. 32) Solução. (a) Considere o seguinte esquema da situação: y0 = 0 g Acel. y1 = 145 m Desacel. y2 y Trata-se de movimento retilíneo (vertical) com aceleração constante. O cálculo do tempo de queda livre pode ser feito através da Eq. (1). De acordo com o esquema, a aceleração da gravidade tem o mesmo sentido do referencial adotado e, portanto, possui sinal positivo. 1 y1 y 0 v0 y t a y t12 (1) 2 Como v0y = 0: t1 t1 2( y1 y0 ) ay 2( y1 y0 ) g ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 – Movimento Unidimensional 19 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física 2[(145 m) 0) (9,81 m/s2 ) t1 t1 5, 43706 s 5,44 s (b) O cálculo da velocidade de chegada da esfera à base da torre também é direto. v1 y v0 y a y t1 v1 y 0 (9,81 m/s2 )(5, 43706 s) 53,337604 m/s v1y 53,3 m/s (c) A desaceleração ocorre entre as posições y1 e y2. v22y y v12y 2a y ( y y y1 ) v22y v12y v22y v12y 2a y 2 25 g 02 (53,337604 m/s) 2 2 (25 9,81 m/s 2 ) 5,8 m y 5,8 m Obs.: O diâmetro da esfera não tem utilidade na resolução dos itens pedidos. Ele só foi dado para ilustrar a situação. [Início seção] [Início documento] 70. Um balão está subindo a 12,4 m/s à altura de 81,3 m acima do solo quando larga um pacote. (a) Qual a velocidade do pacote ao atingir o solo? (b) Quanto tempo ele leva para chegar ao solo? (Pág. 32) Solução. O balão desloca-se em movimento retilíneo para cima, com velocidade constante. Considere o esquema abaixo para a resolução do problema. Como o balão está em movimento, a velocidade inicial do pacote é a mesma do balão. v0 = vB y y0 = h a = -g y=0 (a) A velocidade (v) do pacote ao atingir o chão pode ser calculada da seguinte forma: v2 v0 2 2a ( y v2 vB 2 2( g )(0 h) v2 vB 2 2 gh v2 (12, 4 m/s)2 2(9,81 m/s 2 )(81,3 m) v 41,819445... m y0 ) ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 – Movimento Unidimensional 20 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física v 41,8 m (a) O tempo (t) gasto para o pacote atingir o chão pode ser calculado da seguinte forma: 1 y y0 (v0 v)t 2 1 0 h (vB v)t 2 2h t vB v 2(81,3 m) (12, 4 m/s) (41,819445... m/s) t t 5,5269567... s 5,53 s [Início seção] [Início documento] 73. No Laboratório Nacional de Física da Inglaterra (o equivalente ao nosso Instituto Nacional de Pesos e Medidas) foi realizada uma medição de g atirando verticalmente para cima uma bola de vidro em um tubo sem ar e deixando-a retornar. A figura 35 é o gráfico da altura da bola em função do tempo. Seja tL o intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas da bola pelo nível inferior, tU o intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas pelo nível superior e H a distância entre os dois níveis. Prove que 8H . g 2 tL tU 2 (Pág. 32) Solução. Considere o seguinte esquema para a resolução do problema. y C yC B yB A yA 0 Movimento do ponto A ao ponto C é dado por: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 – Movimento Unidimensional 21 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física 1 2 at 2 1 yC y A vC t ( g )t 2 2 No ponto C a velocidade da bola (vC) é zero. y yC y0 vt 1 0 g 2 yA tL 2 2 1 g tL 2 8 De maneira idêntica, o movimento do ponto B ao ponto C é dado por: 1 yC yB g tU 2 8 Subtraindo-se (2) de (1): 1 ( yC y A ) ( yC yB ) yB y A H g ( tL 2 tU 2 ) 8 Portanto: yC g yA (1) (2) 8H tL 2 tU 2 [Início seção] [Início documento] 74. Uma bola de aço de rolamento é largada do teto de um edifício com velocidade inicial nula. Um observador em pé diante de uma janela com 120 cm de altura nota que a bola gasta 0,125 s para ir do topo da janela ao parapeito. A bola continua a cair, chocando-se elasticamente com uma calçada horizontal e reaparece no parapeito da janela 2,0 s após passar por ela ao descer. Qual a altura do edifício? (Após uma colisão elástica, a velocidade escalar da bola em dado ponto é a mesma ao subir e ao descer.) (Pág. 33) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 – Movimento Unidimensional 22 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física y v0 = 0 t1 y0 = H v 4 = v3 t2 h a = gj v1 y1 y2 = y4 v2 H t3 v3 y3 = 0 v3 Vamos analisar o movimento de queda livre da esfera entre os pontos 0 (topo do edifício) e 2 (parapeito da janela): v2 v02 2a y y0 v22 v02 2 v22 0 2 g y2 H H v22 2g g y2 H y2 (1) Agora vamos analisar o movimento da esfera entre os pontos 1 (topo da janela) e 2 (parapeito da janela): 1 2 y y0 vt at 2 1 y2 y1 v2 t2 g t22 2 1 h v2 t2 g t22 2 v2 v2 h t2 1 g t2 2 1, 20 m 0,125 s 1 m 9,81 2 2 s 0,125 s 10, 213125 m/s Finalmente, vamos analisar o movimento da esfera entre os pontos 2 (parapeito da janela) e 3 (solo). Note que o tempo requerido para a esfera ir do parapeito ao solo e retornar ao parapeito é de 2,0 s. Logo, o tempo para ir do parapeito ao solo é de t3 = 1,0 s. 1 2 y y0 v0t at 2 1 y3 y2 v2 t3 g t32 2 ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 – Movimento Unidimensional 23 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física 0 y2 v2 t3 1 g t32 2 y2 1 g t32 v2 t3 2 y2 15,118125 m 1 m 9,81 2 1, 0 s 2 s 2 10, 213125 m/s 1, 0 s 2 Substituindo-se os valores de v2 e y2 em (1), teremos a resposta do problema: 10, 213125 m/s H 2 15,118125 m 2 9,81 m/s2 H 20, 434532m 20 m [Início seção] [Início documento] 75. Um cachorro avista um pote de flores passar subindo e a seguir descendo por uma janela com 1,1 m de altura. O tempo total durante o qual o pote é visto é de 0,74 s. Determine a altura alcançada pelo pote acima do topo da janela. (Pág. 33) Solução. O tempo no qual o vaso é visto subindo (tS) é igual ao tempo no qual ele é visto descendo (tD). Portanto: tS tD 2tS t t 0,34 s 2 Considere o esquema abaixo para a resolução do problema. y y2 tS y1 a = -g y0 = 0 Cálculo da velocidade do vaso na coordenada y1 (v1): 1 2 y y0 vt at 2 1 y1 y0 v1t S ( g )t S 2 2 ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 – Movimento Unidimensional 24 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física y1 v1 1 2 gtS 2 y0 tS (1,1 m) 0 v1 1 (9,81 m/s 2 )(0,37 s) 2 2 (0,37 s) v1 1,15812297... m/s Cálculo da distância acima da janela atingida pelo vaso (y2 y1): v2 v0 2 2a ( y v2 2 v12 2( g )( y2 y2 y1 v12 v2 2 2g y2 y1 (1,15812297... m/s) 2 0 2(9,81 m/s 2 ) y2 y1 6,8 cm y0 ) y1 ) 0, 068361... m [Início seção] [Início documento] ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 02 – Movimento Unidimensional 25 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 1 CAPÍTULO 3 – VETORES 01 11 21 31 41 51 02 12 22 32 42 52 03 13 23 33 43 53 04 14 24 34 44 05 15 25 35 45 06 16 26 36 46 07 17 27 37 47 08 18 28 38 48 09 19 29 39 49 10 20 30 40 50 [Início documento] 16. Uma roda com raio de 45 cm rola sem deslizar ao longo de uma superfície horizontal, como mostra a Fig. 25. P é um ponto pintado no aro da roda. No instante t1, P é o ponto de contato entre a roda e o chão. No instante t2 posterior, a roda girou de meia revolução. Qual é o deslocamento de P nesse intervalo de tempo? (Pág. 46) Solução. Considere o esquema a seguir: P r y y x P x O deslocamento do ponto P corresponde ao vetor r, que é dado por: r xi yj Analisando-se o esquema acima, podemos concluir que x é corresponde a meia volta da circunferência da roda ( R) e y é igual a 2R. Logo, o vetor deslocamento vale: r Ri 2Rj 1, 4137 m i 0,90 m j ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 03 – Vetores 26 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física r 1, 4 m i 0,90 m j O módulo do deslocamento vale: r r x2 y2 2, 2237 m 2, 2 m [Início seção] [Início documento] 24. Uma estação de radar detecta um míssil que se aproxima do leste. Ao primeiro contacto, a distância do míssil é 3.200 m, a 40,0o acima do horizonte. O míssil é seguido por 123o no plano leste-oeste, e a distância no contacto final era de 7.800 m; veja a Fig. 27. Ache o deslocamento do míssil durante o período de contacto com o radar. (Pág. 46) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: r r0 r y x A posição inicial do míssil é dada por: r0 r0 x i r0 y j r0 r0 cos i r0 sen j A posição final do míssil é dada por: r rx i ry j r r cos i r sen j O vetor deslocamento do míssil é dado por: r xi yj r r cos r0 cos r 10.216,9370 m i r 10 km i i r sen r0 sen j 33,5360 m j 33 m j O módulo do deslocamento é: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 03 – Vetores 27 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física r rx 2 ry 2 10.216,9921 m r 10 km [Início seção] [Início documento] ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 03 – Vetores 28 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 1 CAPÍTULO 4 – MOVIMENTO BI E TRIDIMENSIONAL 02 12 22 32 42 52 62 72 82 01 11 21 31 41 51 61 71 81 03 13 23 33 43 53 63 73 83 04 14 24 34 44 54 64 74 84 05 15 25 35 45 55 65 75 85 06 16 26 36 46 56 66 76 86 07 17 27 37 47 57 67 77 87 08 18 28 38 48 58 68 78 09 19 29 39 49 59 69 79 10 20 30 40 50 60 70 80 [Início documento] 02. A posição de uma partícula que se move em um plano xy é dada por r = (2t3 5t)i + (6 7t4)j, com r em metros e t em segundos. Calcule (a) r, (b) v e (c) a quando t = 2 s. (Pág. 64) Solução. (a) Em t = 2,00 s a posição (r) da partícula vale: r [2 (2)3 5 (2)]i [6 7 (2) 4 ]j r (16 10)i (6 112) j r (6i 106j) m (b) A velocidade instantânea v é derivada primeira de r em relação ao tempo: dr d v [(2t 3 5t )i (6 7t 4 ) j] dt dt v (6t 2 5)i 28t 3 j Substituindo-se o valor de t = 2 s: v [6 (2)2 5]i [28 (2)3 ]j v (21i 224j) m/s (c) A aceleração instantânea a é derivada primeira de v em relação ao tempo: dv d a [(6t 2 5)i 28t 3 j] dt dt a 12ti 84t 2 j Substituindo-se o valor de t = 2 s: a 12 (2)i 84 (2) 2 j a (24i 336 j) m/s2 ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional 29 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física [Início seção] [Início documento] 44. Um canhão é posicionado para atirar projéteis com velocidade inicial v0 diretamente acima de uma elevação de ângulo , como mostrado na Fig. 33. Que ângulo o canhão deve fazer com a horizontal de forma a ter o alcance máximo possível acima da elevação? (Pág. 67) Solução. Análise do movimento no eixo horizontal (x), onde à horizontal: x x0 vx t R cos t é o ângulo de inclinação do canhão em relação 0 v0 cos t R cos v0 cos (1) Análise do movimento no eixo vertical (y): 1 2 y y0 v y 0 t at 2 1 2 R sin 0 v0 sin t gt 2 Substituindo-se (1) em (2): R sin 1 R cos 2 g 2 v0 2 cos 2 cos cos sin sin tan cos R 1 R 2 cos 2 g 2 v0 2 cos 2 R cos v0 sin v0 cos sin tan cos (2) gR cos 2 2v0 2 cos 2 sin 2v0 2 cos 2 g cos 2 (3) Como R( ) é uma função cujo ponto de máximo deve ser localizado, devemos identificar o valor de tal que dR/d = 0. dR d 2v0 2 cos( Resolvendo-se (4) para 2 )sec 2 g 0 (4) encontramos duas possíveis soluções: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional 30 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física 1 (2 4 1 (2 4 Como 0 ) ) /2 (ver figura), a resposta mais coerente é: 1 (2 4 ) É claro que resta demonstrar que d2R/d 2 0, equação (3), pois como se trata de um ponto de máximo, a concavidade da curva nesse ponto deve ser voltada para baixo. [Início seção] [Início documento] 48. Um foguete é lançado do repouso e se move em uma linha reta inclinada de 70,0 o acima da horizontal, com aceleração de 46,0 m/s2. Depois de 30,0 s de vôo com o empuxo máximo, os motores são desligados e o foguete segue uma trajetória parabólica de volta à Terra; veja a Fig. 36. (a) Ache o tempo de vôo desde o lançamento ao impacto. (b) Qual é a altitude máxima alcançada? (c) Qual é a distância da plataforma de lançamento ao ponto de impacto? (Ignore as variações de g com a altitude.) (Pág. 68) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional 31 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física y v2 y2 = H v1 0 H y1 a = gj a0 0 v0 = 0 y0 = y3 = 0 x x0 = 0 x1 x2 x3 v3 R (a) O cálculo do tempo total de vôo, t03, é a soma do tempo de aceleração em linha reta com os foguetes, t01 = 30,0 s, e o tempo de queda livre, t13, que precisa ser calculado. t03 t01 t13 (1) Para o cálculo de t13, precisamos de y1 e v1. Cálculo de y1: 1 2 y y0 v y 0 t a yt 2 1 2 y1 y0 v0 y t01 a0 y t01 2 1 2 y1 0 0 a0 sen 0 t01 2 1 1 2 y1 a0 sen 0 t01 46, 0 m/s 2 sen 70, 0o 30, 0 s 2 2 2 y1 19.451, 63 m Cálculo de v1: v y v0 y v1 y v1 ayt v0 y v1 sen (2) 0 a0 t01 a0 y t01 0 a0 sen 0 t01 46,0 m/s2 30,0 s v1 1.380 m/s (3) Agora podemos determinar t13, com a ajuda dos valores obtidos em (2) e (3): 1 2 y y0 v y 0 t a yt 2 ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional 32 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física y3 y1 v1 y t13 0 y1 t132 2 13 t t132 v1 sen 0 2v1 sen g 0 1 2 g t13 1 g t132 2 t13 2 y1 g t132 2 g 0 2 1.380 m/s sen 70, 0o 9,81 m/s 264,3783s 2 t13 t13 2 19.451, 63 m 9,81 m/s 2 3.965,6752s2 0 0 As raízes da equação acima são: t13' 278,6120s '' 13 14, 2336s t13 278, 6120s t Logo: (4) Substituindo-se (4) em (1): t03 t03 278,6120s 30,0 s 308,6120s 309 s (b) A altitude máxima de vôo do foguete pode ser obtida pela análise do movimento na coordenada y do ponto 1, o início da queda livre, ao ponto 2, que corresponde ao topo da trajetória. vy2 v22y v02y 2a y y y0 v12y 2 0 v12 sen 2 g H H 105 km y1 2g H 0 v12 sen 2 2g y2 y1 2 0 1.380 m/s sen 2 70,0o y1 2 9,81 m/s2 19.451,63 m 105.161,50 m (c) Para determinarmos a distância pedida, precisamos apenas analisar o movimento horizontal entre os pontos 1 e 3, que ocorre com velocidade horizontal constante. x x0 vx t x3 x1 v1x t13 R x1 v1 cos 0 t13 Lembremos que x1 pode ser obtido pela relação: y1 tan 0 x1 Logo: R y1 tan v1 cos 0 0 t13 19.451, 63 m tan 70, 0o 1.380 m/s cos 70, 0o 278, 6120s ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional 33 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física R 138.581, 29m R 139 km [Início seção] [Início documento] 49. Um canhão antitanque está localizado na borda de um platô a 60,0 m acima de uma planície, conforme a Fig. 37. A equipe do canhão avista um tanque inimigo parado na planície à distância de 2,20 km do canhão. No mesmo instante a equipe do tanque avista o canhão e começa a se mover em linha reta para longe deste, com aceleração de 0,900 m/s2. Se o canhão antitanque dispara um obus com velocidade de disparo de 240 m/s e com elevação de 10,0 o acima da horizontal, quanto tempo a equipe do canhão teria de esperar antes de atirar, se quiser acertar o tanque? (Pág. 68) Solução. A estratégia que vamos adotar consiste em calcular o tempo que o obus leva para atingir o solo da planície (tb) e o tempo que o tanque leva para chegar ao local onde o obus cai (tt), que fica a uma distância horizontal R do canhão. O tempo de espera será: t tb t t (1) Em primeiro lugar vamos analisar o movimento do obus. Em x o movimento se dá com velocidade constante: x x0 vx t R 0 v0 cos tb R v0 cos tb (2) Movimento do obus em y: 1 2 y y0 v y 0 t a yt 2 1 2 0 h v0 sen t gtb 2 Substituindo-se (2) em (3): R h v0 sen v0 cos g 2v cos 2 2 0 (3) 1 R g 2 v0 cos 2 R 2 tan R h 0 Daqui para adiante não há vantagem em continuar a solucionar o problema literalmente. As raízes desta equação do 2o grau são: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional 34 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física R1 R2 2.306, 775 m 296,5345 m Como R corresponde a uma coordenada positiva no eixo x, temos: R 2.306,775m (4) Substituindo-se (4) em (2): tb 9, 7598s (5) Agora vamos analisar o movimento do tanque, que se dá com aceleração constante: 1 2 x x0 vx 0t axt 2 1 2 R d0 0 at tt 2 tt 2 R d0 at 15, 4038 s (6) Substituindo-se (5) e (6) em (1): t 5,6440s t 5,64 s [Início seção] [Início documento] 60. Uma criança gira uma pedra em um círculo horizontal a 1,9 m acima do chão, por meio de uma corda de 1,4 m de comprimento. A corda arrebenta e a pedra sai horizontalmente, caindo no chão a 11 m de distância. Qual era a aceleração centrípeta enquanto estava em movimento circular? (Pág. 68) Solução. Considere o seguinte esquema: r y v x h d A aceleração centrípeta procurada é dada por: v2 r Análise do movimento no eixo horizontal (x): x x0 vx t ac d (1) 0 vt ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional 35 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física d v Análise do movimento no eixo vertical (y): 1 2 y y0 v y 0 t at 2 1 2 0 h 0 gt 2 1 2 h gt 2 Substituindo-se (2) em (3): t 1 d g 2 v2 h (2) (3) 2 2 gd v 2h Substituindo-se (4) em (1): 2 (4) 2 ac gd 2rh ac (9,81 m/s 2 )(11 m) 2(1, 4 m)(1,9 m) ac 2, 2 103 m/s 2 2 223,1221... m/s 2 [Início seção] [Início documento] 70. A neve está caindo verticalmente à velocidade escalar constante de 7,8 m/s. (a) A que ângulo com a vertical e (b)com qual velocidade os flocos de neve parecem estar caindo para o motorista de um carro que viaja numa estrada reta à velocidade escalar de 55 km/h? (Pág. 69) Solução. Considere o seguinte esquema vetorial de velocidades, onde vC é a velocidade do carro em relação ao solo, vN é a velocidade da neve em relação ao solo e vNC é a velocidade da neve em relação ao carro: vNC vN y x vC (a) O ângulo que a neve faz com a vertical vale: vC tan vN tan 1 vC vN 27,0463 27 ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional 36 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física (b) A velocidade escalar da neve é dada por: vNC vNC vC2 vN2 61, 7534 km/h 62 km/h Obs. Apenas como curiosidade, vamos mostrar o vetor vNC. Os vetores vN e vC são definidos como: vC vN vC i vN j De acordo com o esquema, temos: v N vC v NC v NC vN vC Logo: v NC vC i vN j [Início seção] [Início documento] 71. Um trem viaja para o Sul a 28 m/s (relativamente ao chão), sob uma chuva que está sendo soprada para o sul pelo vento. A trajetória de cada gota de chuva faz um ângulo de 64 o com a vertical, medida por um observador parado em relação à Terra. Um observador no trem, entretanto, observa traços perfeitamente verticais das gotas na janela do trem. Determine a velocidade das gotas em relação à Terra. (Pág. 69) Solução. Considere o seguinte esquema vetorial de velocidades, onde vT é a velocidade do trem em relação à Terra, vG é a velocidade das gotas de chuva em relação à Terra e vGT é a velocidade das gotas de chuva em relação aotrem: vGT vG y x vT Os vetores vT e vGT são definidos como: vT vGT vT i vG cos j (1) (2) De acordo com o esquema, temos: vG vT vGT (3) Substituindo-se (1) e (2) em (3): vG vT i vG cos j (4) O esquema mostra que vG é definido por: vG vG sen i vG cos j (5) Comparando-se (4 e (5), conclui-se que: vG sen vT ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional 37 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física vT sen Substituindo-se (6) em (4): vT vG vT i j tan O módulo de vG é dado por: vG vNC vT2 vNC 31 m/s vT tan (6) 2 31,1528 m/s [Início seção] [Início documento] 81. Um homem quer atravessar um rio de 500 m de largura. A velocidade escalar com que consegue remar (relativamente à água) é de 3,0 km/h. O rio desce à velocidade de 2,0 km/h. A velocidade com que o homem caminha em terra é de 5,0 km/h. (a) Ache o trajeto (combinando andar e remar) que ele deve tomar para chegar ao ponto diretamente oposto ao seu ponto de partida no menor tempo. (b) Quanto tempo ele gasta? (Pág. 70) Solução. (a) O trajeto procurado é definido pelo ângulo que o remador deve adotar para direcionar o barco durante a travessia, de forma que a soma dos tempos gastos remando (t1) e andando (t2) deve ser o menor possível. Logo, a solução deste item consiste em construir uma função matemática t1 + t2 = f( ) e, em seguida, achar o valor de onde t1 + t2 tem seu valor mínimo, ou seja, d(t1 + t2)/d = 0. Considere o seguinte esquema para a situação: v C t2 ,d2 B vA t1 ,d1 y l vHA vH x A A velocidade do homem em relação à água (vHA) deve fazer um ângulo em relação à margem. A velocidade da água (vA) fará com que o barco percorra a trajetória retilínea AB, que faz um ângulo em relação à margem. O trajeto AB mede d1 e será percorrido num tempo t1. Ao chegar ao ponto B, o homem irá caminhando até C num tempo t2 através de uma distância d2. Seja o esquema vetorial de velocidades: vA vHA vH De acordo com o esquema acima: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional 38 Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES v HA (1) vH vA vA va i (2) v HA vHA cos i vHA sen j (3) Mas: Logo, substituindo-se (2) e (3) em (1): v H (va vHA cos )i vHA sen j Movimento do ponto A ao ponto B: r r0 vt rB rA v H t1 Considerando-se um sistema de coordenadas cartesianas com origem no ponto A, temos: rB d2i l j Logo: d2i l j 0 [(vA vHA cos )i vHA sen j]t1 (4) A equação (4) somente é verdadeira se e somente se: d 2 (vA vHA cos )t1 e l vHA sen t1 (5) Logo, de acordo com (10): l t1 vHA sen Mas, de acordo com o esquema principal acima: l d2 tan (6) Também podemos dizer que: v H v Hx i v Hy j Onde: v Hy tan v Hx v HA sen (v A v HA cos ) (7) Substituindo-se (7) em (6): d2 l (v A v HA cos ) v HA sen (8) Movimento de B até C: x x0 v x t 0 d2 vt2 d2 v Substituindo-se (8) em (9): t2 (9) ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional 39 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física l (v A v HA cos ) vvHA sen t2 Agora podemos construir a função t1 + t2 = f( ): l (v A v HA cos ) l t1 t 2 v HA sen θ vvHA sen t1 t2 l (v v A v HA cos ) vvHA sen (10) O mínimo da função (10) agora pode ser encontrado. l [( vHA ) sen 2 vvHA d (t1 t2 ) d (v v A vHA cos ) cos ] sen 2 0 (11) A equação (11) somente é verdadeira se: v HA sen 2 (v v A v HA (sen 2 cos2 ) v HA cos ) cos 0 Logo: (v v A ) cos v HA v vA cos cos 1 cos 1 v HA v vA (3,0 km) [(5,0 km) (2,0 km)] 115,3769 o 115 o (b) Da equação (10): t1 t2 (0,500 km)[(5, 0 km/h) (2, 0 km/h) (3, 0 km/h) cos115,3769o ) (5, 0 km/h)(3, 0 km/h)sen115,3769o t1 t 2 0,2108 h t1 0,21 h t2 [Início seção] [Início documento] 82. Um navio de guerra navega para leste a 24 km/h. Um submarino a 4,0 km de distância atira um torpedo que tem a velocidade escalar de 50 km/h. Se a posição do navio, visto do submarino, está 20o a nordeste (a) em qual direção o torpedo deve ser lançado para acertar o navio, e (b) que tempo decorrerá até o torpedo alcançar o navio? (Pág. 70) Solução. (a) Considere o seguinte esquema da situação: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional 40 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física vN y v TN vT x Pelo esquema acima, temos: vT v N vTN vTN vT vN onde vTN é o vetor velocidade do torpedo em relação ao navio. Os vetores vN e vT são assim definidos: v N vN i vT onde (1) (2) vT sin i vT cos j é o ângulo procurado no item (b) do enunciado. vTN vT sin i vT cos j vN i vTN vTN sin i vTN cos j vT sin vN i vT cos j (3) Mas: (4) Como os vetores (3) e (4) são iguais, suas componentes também são iguais. vT sin vN vTN sin vT cos vTN cos (5) (6) Dividindo-se (5) por (6): vT sin vN tan vT cos (7) Resolvendo-se (7) : sec 1 vN vT tan vT 4 vT 4 tan 2 vT 2 vN 2 vN 2vT 2 São duas as soluções possíveis: 173,89...o 46,8112...o Pelo esquema inicial, conclui-se que a resposta mais coerente é a segunda opção: 47o (b) Equação de movimento do navio e do torpedo: rN rN 0 v N t rT rT 0 vT t Como no instante t da colisão entre o torpedo e o navio ambos estarão na mesma posição, temos: rN rT ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional 41 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física rN 0 vNt rT 0 vT t rT 0 0 rN 0 vNt rN 0 d sin i d cos j Mas: Logo: (8) vT t Porém: (9) Substituindo-se (1), (2) e (9) em (8): d sin i d cos j vN ti vT sin ti vT cos tj (d sin vN t )i d cos j vT sin ti vT cos tj (10) Como os vetores descritos em ambos os membros de (10) são iguais, suas componentes também são iguais. Igualando-se as componentes y desses vetores: d cos vT cos t t d cos vT cos t (4, 0 km) cos(20o ) (50 km/h) cos(46,8112...o ) t 0,11 h 0,109838... h [Início seção] [Início documento] ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional 42 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2003. FÍSICA 1 CAPÍTULO 2 – MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO EXERCÍCIOS 01 11 21 31 41 51 61 02 12 22 32 42 52 03 13 23 33 43 53 04 14 24 34 44 54 05 15 25 35 45 55 06 16 26 36 46 56 07 17 27 37 47 57 08 18 28 38 48 58 09 19 29 39 49 59 10 20 30 40 50 60 07 17 27 08 18 28 09 19 29 10 20 30 PROBLEMAS 01 11 21 31 02 12 22 32 03 13 23 33 04 14 24 05 15 25 06 16 26 [Início documento] [Início seção] [Início documento] ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 5 Ed. - LTC - 2003. Cap. 02 – Movimento em Uma Dimensão 43 Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos de Física RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2003. FÍSICA 1 CAPÍTULO 4 – MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES EXERCÍCIOS 01 11 21 31 41 02 12 22 32 42 03 13 23 33 43 04 14 24 34 44 05 15 25 35 45 06 16 26 36 07 17 27 37 08 18 28 38 09 19 29 39 10 20 30 40 07 17 27 08 18 28 09 19 10 20 PROBLEMAS 01 11 21 02 12 22 03 13 23 04 14 24 05 15 25 06 16 26 [Início documento] [Início seção] [Início documento] ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 5 Ed. - LTC - 2003. Cap. 04 – Movimento em Duas e Três Dimensões 44
