2 – Movimento Uni, Bi, Tridimensional e Vetores

PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA
Prof. Anderson Coser Gaudio
Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo
http://www.profanderson.net
[email protected]
Última atualização: 08/04/2008 10:47 H
2 – Movimento Uni, Bi, Tridimensional e
Vetores
Fundamentos de Física 1
Halliday, Resnick, Walker
4ª Edição, LTC, 1996
Cap. 2 – Movimento
Retilíneo
Cap. 3 – Vetores em
Duas e Três Dimensões
Cap. 4 – Movimento em
Duas e Três Dimensões
Física 1
Resnick, Halliday, Krane
4ª Edição, LTC, 1996
Cap. 2 – Movimento
Unidimensional
Cap. 3 – Vetores
Física 1
Resnick, Halliday, Krane
5ª Edição, LTC, 2003
Cap. 2 – Movimento em
Uma Dimensão
Cap. 4 – Movimento Bi e
Tridimensional
Cap. 4 – Movimento em
Duas e Três Dimensões
Prof. Anderson (Itacaré, BA - Fev/2006)
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FUNDAMENTOS DE FÍSICA 1
CAPÍTULO 2 – MOVIMENTO RETILÍNEO
01
11
21
31
41
51
61
71
81
91
02
12
22
32
42
52
62
72
82
92
03
13
23
33
43
53
63
73
83
93
04
14
24
34
44
54
64
74
84
94
05
15
25
35
45
55
65
75
85
95
06
16
26
36
46
56
66
76
86
96
07
17
27
37
47
57
67
77
87
97
08
18
28
38
48
58
68
78
88
98
09
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
[Início documento]
[Início seção]
[Início documento]
________________________________________________________________________________________________________
a
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 02 – Movimento Retilíneo
2
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FUNDAMENTOS DE FÍSICA 1
CAPÍTULO 3 – VETORES EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES
01
11
21
31
41
51
61
02
12
22
32
42
52
62
03
13
23
33
43
53
63
04
14
24
34
44
54
05
15
25
35
45
55
06
16
26
36
46
56
07
17
27
37
47
57
08
18
28
38
48
58
09
19
29
39
49
59
10
20
30
40
50
60
[Início documento]
[Início seção]
[Início documento]
________________________________________________________________________________________________________
a
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 03 – Vetores em Duas e Três Dimensões
3
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FUNDAMENTOS DE FÍSICA 1
CAPÍTULO 4 – MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES
01
11
21
31
41
51
61
71
81
91
02
12
22
32
42
52
62
72
82
92
03
13
23
33
43
53
63
73
83
93
04
14
24
34
44
54
64
74
84
94
05
15
25
35
45
55
65
75
85
95
06
16
26
36
46
56
66
76
86
96
07
17
27
37
47
57
67
77
87
97
08
18
28
38
48
58
68
78
88
98
09
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
[Início documento]
[Início seção]
[Início documento]
________________________________________________________________________________________________________
a
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 04 – Movimento em Duas e Três Dimensões
4
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 1
CAPÍTULO 2 – MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
01
11
21
31
41
51
61
71
02
12
22
32
42
52
62
72
03
13
23
33
43
53
63
73
04
14
24
34
44
54
64
74
05
15
25
35
45
55
65
75
06
16
26
36
46
56
66
07
17
27
37
47
57
67
08
18
28
38
48
58
68
09
19
29
39
49
59
69
10
20
30
40
50
60
70
[Início documento]
01. Que distância seu carro percorre, a 88 km/h, durante 1 s em que você olha um acidente à
margem da estrada?
(Pág. 28)
Solução.
Como o problema trata de um movimento que ocorre com velocidade constante, deve-se utilizar a
Eq. (1).
x x0 v x t
(1)
A distância procurada corresponde ao deslocamento x = x
x x0
x vx t
x
(88 km/h)
1 m/s
3, 6 km/h
x0.
(0,50 s) 12, 222 m
A resposta deve ser expressa com apenas um algarismo significativo:
x 10 m
[Início seção]
[Início documento]
02. Um jogador de beisebol consegue lançar a bola com velocidade horizontal de 160 km/h, medida
por um radar portátil. Em quanto tempo a bola atingirá o alvo, situado a 18,4 m?
(Pág. 28)
Solução.
Apesar do movimento da bola ser bidimensional (ao mesmo tempo em que a bola viaja até a base
horizontalmente, ela sofre ação da gravidade e cai verticalmente) só precisamos nos preocupar com
o seu movimento horizontal. Isto é devido a esse movimento ser o responsável pela situação exposta
no enunciado. O movimento horizontal da bola não está sujeito à aceleração da gravidade ou a
qualquer outra aceleração (exceto, é claro, à aceleração causada pela força de resistência do ar, que
é desprezada) e deve ser tratado como movimento com velocidade constante.
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 02 – Movimento Unidimensional
5
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
x
x0
vt
t
x x0
v
t
0,414 s
x
v
(18, 4 m)
1 m/s
(160 km/h)
3, 6 km/h
[Início seção]
[Início documento]
08. Um avião a jato pratica manobras para evitar detecção pelo radar e está 35 m acima do solo
plano (veja fig. abaixo). Repentinamente ele encontra uma rampa levemente inclinada de 4,3 o, o
que é difícil de detetar. De que tempo dispõe o piloto para efetuar uma correção que evite um
choque com o solo? A velocidade em relação ao ar é de 1.300 km/h.
(Pág. 28)
Solução.
O avião desloca-se em movimento retilíneo com velocidade constante. Considere o esquema abaixo
para a resolução do problema.
v
0
x
h
d
Analisando o movimento do avião no eixo x, temos:
x x0 vt
0
t
d
vt
d
v
(1)
Como o valor de d não foi dado, é preciso calculá-lo.
h
tan
d
h
d
tan
Substituindo-se (2) em (1):
h
(35 m)
t
v tan
1.300
km/h tan 4,3o
3, 6
(2)
1, 289035... s
t 1,3 s
[Início seção]
[Início documento]
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 02 – Movimento Unidimensional
6
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
11. Calcule sua velocidade escalar média nos dois casos seguintes. (a) Você caminha 72 m à razão
de 1,2 m/s e depois corre 72 m a 3,0 m/s numa reta. (b) Você caminha durante 1,0 min a 1,2 m/s
e depois corre durante 1,0 min a 3,0 m/s numa reta.
(Pág. 28)
Solução.
(a) Precisamos lembrar que a velocidade escalar média é a razão entre a distância percorrida (não o
deslocamento) e o intervalo de tempo decorrido no percurso.
vem
vem
s1 s2
t1
t2
s1 s2
s1 s1
v1 v1
72 m
72 m
1, 2 m/s
72 m
72 m
3, 0 m/s
2
1
1, 2 m/s
1
3, 0 m/s
1, 714 m/s
1, 7 m/s
(b)
vem
vem
s1 s2
t1
t2
v1 t1 v2 t2
t1
t2
1, 2 m/s 60 s
60 s
3, 0 m/s 60 s
1, 2 m/s
60 s
3, 0 m/s
2
2,1 m/s
[Início seção]
[Início documento]
12. Dois trens, cada um com a velocidade escalar de 34 km/h, aproximam-se um do outro na mesma
linha. Um pássaro que pode voar a 58 km/h parte de um dos trens quando eles estão distantes
102 km e dirige-se diretamente ao outro. Ao alcançá-lo, o pássaro retorna diretamente para o
primeiro trem e assim sucessivamente. (a) Quantas viagens o pássaro pode fazer de um trem ao
outro antes de eles se chocarem? (b) Qual a distância total que o pássaro percorre?
(Pág. 28)
Solução.
Neste problema vamos resolver primeiro o item (b) e em seguida o item (a).
Trem A
vA
2o Encontro
vP
4d/9
1o Encontro
Trem B
vB
2d/3
x
0
d/2
d/2
d
(b) Como os trens viajam à mesma velocidade, porém em sentidos contrários, o choque dar-se-á na
coordenada d/2. O tempo ( t) do percurso de cada trem será igual ao tempo de vôo do pássaro.
Logo, para o trem A:
x d /2
vA
t
t
d
t
2v A
Para o pássaro:
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 02 – Movimento Unidimensional
7
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
s
t
vp
s
2v A
d
2v A
s d
Portanto, o pássaro percorre uma distância igual à separação inicial dos trens, ou seja:
s 102 km
(a) Em primeiro lugar, vamos calcular a coordenada x do primeiro encontro (x1).
x1
x0P vPt
(1)
x1
x0 B
(2)
vB t
Nestas equações, x0p = 0 e x0B = d são as posições do pássaro e do trem B no instante zero e vP = 2
vB e vB são as velocidades do pássaro e do trem B. Como no momento do primeiro encontro o
pássaro e o trem B estarão na mesma coordenada (x1), podemos igualar (1) e (2).
x0 B vBt x0 P vPt
d
vB t
t
d
3v B
0 ( 2v B )t
(3)
Substituindo-se (3) em (1):
x1
x0 P vP
0 ( 2vB )
d
3vB
2d
3
De maneira semelhante, pode-se demonstrar que o segundo encontro se dará na coordenada 4d/9.
Como conseqüência, do primeiro para o segundo encontro o pássaro percorre uma distância igual a
2d/3 4d/9 = 2d/9, que é igual a 2/3 de d/3. Também pode ser demonstrado que do segundo para o
terceiro encontro ele percorre uma distância igual a 2/3 de 1/3 de d/3, e assim por diante. Em
resumo:
Viagem do pássaro
Distância percorrida
1
2/3 d =
2/3 d
2
2/3 . 1/3 . d =
2/32 d
3
2/3 . 1/3. 1/3 . d =
2/33 d
…
…
…
n
n
2/3 . 1/3 . …. 1/3 . d =
2/3 d
x1
A soma das distâncias percorridas em cada trecho de ida e vinda do pássaro deve ser igual a d
(resposta do item b):
2
2
2
2
d
d
d 
d d
2
3
3
3
3
3n
Ou seja:
1 1
1
1 1
 n
2
3
3 3
2
3
3
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 02 – Movimento Unidimensional
8
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
n
i 1
1
3i
1
2
(4)
Pode-se demonstrar que (4) somente será verdadeira se n = (Utilize sua calculadora para verificar
esta afirmação). Portanto, em teoria, o pássaro fará um número infinito de viagens.
[Início seção]
[Início documento]
14. Que distância percorre em 16 s um corredor cujo gráfico velocidade-tempo é o da figura
abaixo?
(Pág. 28)
Solução.
Conhecendo-se a função x(t) que descreve a posição x de um objeto em qualquer instante de tempo t,
pode-se calcular sua velocidade em qualquer instante a partir da derivada de x(t) em relação a t.
dx(t )
v(t )
dt
No caso inverso, conhecendo-se a velocidade v(t) de um objeto em qualquer instante t, pode-se
determinar sua posição x em qualquer instante, bem como seu deslocamento, no intervalo de tempo
considerado.
dx(t ) v( t ) dt
x
x0
v
dx(t )
x x0
v0
v
v0
v(t ) dt
v(t ) dt
De acordo com esta, o deslocamento x x0 corresponde à área sob a curva do gráfico v(t) = f(t). Cada
quadrado mostrado no gráfico possui área equivalente a (2 m/s) (2 s) = 4 m. Portanto,
contabilizando toda a área sob a curva mostrada no gráfico, chegaremos ao seguinte resultado:
t (s)
0
2
2
10
10
12
12
16
Total
x (m)
8
64
12
16
88
Portanto:
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 02 – Movimento Unidimensional
9
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
x(16)
x(0)
98 m
[Início seção]
[Início documento]
29. Para decolar, um avião a jato necessita alcançar no final da pista a velocidade de 360 km/h.
Supondo que a aceleração seja constante e a pista tenha 1,8 km, qual a aceleração mínima
necessária, a partir do repouso?
(Pág. 29)
Solução.
Trata-se de movimento retilíneo com aceleração constante. O cálculo pode ser feito por meio da Eq.
(1).
v2
a
a
v02
v
2
(1)
2a x
2
1 m/s
360 km/h
3, 6 km/h
2 (1,80 103 m)
2
0
v
2 x
02
2, 7777 m/s2
2,78 m/s 2
[Início seção]
[Início documento]
31. A cabeça de uma cascavel pode acelerar 50 m/s2 ao atacar uma vítima. Se um carro pudesse
fazer o mesmo, em quanto tempo ele alcançaria a velocidade escalar de 100 km/h a partir do
repouso?
(Pág. 29)
Solução.
Trata-se, naturalmente, de movimento retilíneo com aceleração constante. A velocidade inicial, v0, é
igual a zero. O cálculo do tempo (t) é feito através da Eq. 1.
v v0 at
(1)
t
v v0
a
t
0,56 s
1 m/s
3, 6 km/h
(50 m/s 2 )
(100 km/h)
[Início seção]
0
0,55556 s
[Início documento]
33. Um elétron, com velocidade inicial v0 = 1,5 105 m/s, entra numa região com 1,2 cm de
comprimento, onde ele é eletricamente acelerado (veja Fig. 29). O elétron emerge com
velocidade de 5,8 106 m/s. Qual a sua aceleração, suposta constante? (Tal processo ocorre no
canhão de elétrons de um tubo de raios catódicos, utilizado em receptores de televisão e
terminais de vídeo.)
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 02 – Movimento Unidimensional
10
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
(Pág. 30)
Solução.
Trata-se de movimento retilíneo com aceleração constante. O cálculo pode ser feito através da Eq.
(1).
v2
a
v02
2a x
v 2 v02
2 x
(1)
(5,8 106 m/s) 2 -(1,5 105 m/s) 2
2(1,2 10-2 m)
1, 4007 1015 m/s 2
a 1, 4 1015 m/s 2
[Início seção]
[Início documento]
34. A maior velocidade em terra já registrada foi de 1.020 km/h, alcançado pelo coronel John P.
Stapp em 19 de março de 1954, tripulando um assento jato-propulsado. Ele e o veículo foram
parados em 1,4 s; veja a Fig. 30. Que aceleração ele experimentou? Exprima sua resposta em
termos da aceleração da gravidade g = 9,8 m/s2. (Note que o corpo do militar atua como um
acelerômetro, não como um velocímetro.)
(Pág. 30)
Solução.
Trata-se de movimento retilíneo com aceleração (negativa ou desaceleração) constante. O cálculo
pode ser feito através da Eq. (1).
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 02 – Movimento Unidimensional
11
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
v
a
v0
(1)
at
0 (1.020 km/h)
v v0
t
1 m/s
3, 6 km/h
202,38095 m/s 2
(1,4 s)
Para obter a aceleração em termos de unidades g, basta dividir a aceleração obtida pelo valor da
aceleração da gravidade.
a
g
a
( 202,38095 m/s 2 )
(9,8 m/s 2 )
20, 6511
21 g
[Início seção]
[Início documento]
41. Um trem de metrô acelera a partir do repouso a 1,20 m/s2 em uma estação para percorrer a
primeira metade da distância até a estação seguinte e depois desacelera a 1,20 m/s2 na segunda
metade da distância de 1,10 km entre as estações. Determine: (a) o tempo de viagem entre as
estações e (b) a velocidade escalar máxima do trem.
(Pág. 30)
Solução.
Considere o esquema abaixo para auxiliar a resolução:
a
-a
x
x1 = d/2
x2 = d
(a) Sabendo-se que o tempo gasto na primeira metade do caminho (acelerado) é igual ao tempo
gasto para percorrer a segunda metade do caminho (desacelerado), o tempo de viagem entre as
estações pode ser calculado da seguinte forma (trecho x0
x1):
1 2
1 2
x x0 v0t
at v0t1
at1
2
2
x0 = 0
d
1 t
0 0
a
2
2 2
t
4d
a
t
60,6 s
2
4(1,10 103 m)
(1, 2 m/s2 )
60,553... s
(b) A velocidade escalar máxima do trem (v1), que é atingida em x1 = d/2, pode ser calculada da
seguinte forma (trecho x0 x1):
v2
v0 2
2a( x x0 )
v12
v0 2
2a( x1 x0 )
v12
0 2a (
v1
v1
ad
d
2
0)
(1, 20 m/s2 )(1,10 103 m)
36,331... m/s
36,3 m/s
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 02 – Movimento Unidimensional
12
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
[Início seção]
[Início documento]
45. No momento em que a luz de um semáforo fica verde, um automóvel arranca com aceleração de
2,2 m/s2. No mesmo instante um caminhão, movendo-se à velocidade constante de 9,5 m/s,
alcança e ultrapassa o automóvel. (a) A que distância, além do ponto de partida, o automóvel
alcança o caminhão? (b) Qual será a velocidade do carro nesse instante? (É instrutivo desenhar
um gráfico qualitativo de x(t) para cada veículo.).
(Pág. 31)
Solução.
Considere o esquema abaixo para a resolução do problema. Observe que tanto o caminhão quanto o
automóvel percorrem a mesma distância em tempos iguais.
d
vC
vC
a
v0A = 0
vA = ?
x0 = 0
x=d=?
(a) O movimento do caminhão (C) ocorre com velocidade constante.
x x0 vt
x x0
x
vC t
x vC t
(1)
O movimento do automóvel ocorre com aceleração constante, partindo do repouso em x0 = 0.
1 2
x x0 v0t
at
2
1 2
x x0 v0C t
at
2
1 2
d 0
at
2
1 2
d
at
2
Substituindo-se o valor de t de (1) em (2):
d
1
d
a
2 vc
d
2vc 2
a
2
(2)
a d2
2 vc 2
2(9,5 m/s) 2
(2, 2 m/s 2 )
82, 045045... m
d 82 m
(a) A velocidade com que o automóvel alcança o caminhão (vA) vale:
v2
vA2
v0 2
v0 A2
2a( x x0 )
2a( x x0 )
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 02 – Movimento Unidimensional
13
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
vA2
0 2ad
vA
2ad
2(2, 2 m/s2 )(82,04545... m) 18,999... m/s
vA 19 m/s
[Início seção]
[Início documento]
49. No manual de motorista diz que um automóvel com bons freios e movendo-se a 80 km/h pode
parar na distância de 56 m. Para a velocidade de 48 km/h a distância correspondente é 24
m.Suponha que sejam iguais, nas duas velocidades, tanto o tempo de reação do motorista,
durante o qual a aceleração é nula, como a aceleração quando aplicados os freios. Calcule (a) o
tempo de reação do motorista e (b) a aceleração.
(Pág. 31)
Solução.
Considere o seguinte esquema para a resolução do problema:
Frenagem (A)
Tempo de
reação (A)
Situação A
v0A
v1A = v0A
x1B
x0 = 0
v0B
x1A
v1B = v0B
x2B
v2A = 0
x2A
x
v2B = 0
Situação B
Tempo de
Frenagem (B)
reação (B)
(a) Vamos inicialmente analisar a situação A. Durante o tempo de reação, o carro desloca-se com
velocidade constante.
x x0 vt
x1 A
x0 A v0 At R
x0 A
0
x1 A
v0 At R
Mas:
Logo:
(1)
Análise do movimento de frenagem na situação A.
v2
v0 2
v2 A2
2a( x x0 )
v1 A 2
2a( x2 A
x1 A )
Mas:
v1 A
v0 A
Logo:
0
v0 A 2
2a( x2 A
x1 A )
(2)
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 02 – Movimento Unidimensional
14
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
Substituindo-se (1) em (2):
v0 A2
2a( x2 A v0 At R )
(3)
A análise da situação B através do caminho seguido pelas Eqs. (1) a (3) conduz ao seguinte
resultado:
v0 B 2
2a( x2 B v0 Bt R )
(4)
Dividindo-se (3) por (4):
x2 A v0 At R
x2 B v0 B t R
v0 A 2
v0 B 2
Logo:
tR
v0 A 2 x2 B v0 B 2 x2 A
v0 Av0 B (v0 A v0 B )
tR
0, 72 s
(5)
(b) Substituindo-se (5) em (3):
a
v0 A 2
2( x2 A v0 At R )
a
6, 2 m/s2
6,17284... m/s 2
[Início seção]
[Início documento]
54. Uma rocha despenca de um penhasco de 100 m de altura. Quanto tempo leva para cair (a) os
primeiros 50 m e (b) os 50 m restantes?
(Pág. 31)
Solução.
(a) Considere o seguinte esquema para a situação:
y0 = 0
g
y1 = 50 m
y2 = 100 m
y
Trata-se de movimento retilíneo (vertical) com aceleração constante. O cálculo do tempo de queda
nos primeiros 50 m pode ser feito através da Eq. (1). De acordo com o esquema ao lado, a
aceleração da gravidade tem o mesmo sentido do referencial adotado e, portanto, possui sinal
positivo.
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 02 – Movimento Unidimensional
15
Problemas Resolvidos de Física
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
1
a y t12
2
(1)
y1
y0
v0 y t
Como v0y = 0:
t1
2( y1 y0 )
ay
t1
2[(50 m) 0)
(9,81 m/s2 )
t1
2( y1
y0 )
g
10, 20408 s 2
3,19438 s
3,2 s
(b) Para calcular o tempo de queda dos 50 m seguintes (y1 = 50 m a y2 = 100m), primeiramente
vamos calcular o tempo de queda de y0 = 0 a y2 = 100m.
1
y 2 y 0 v0 y t
a y t 22
2
t2
t2
2( y2
y0 )
g
2[(100 m) 0)
(9,81 m/s2 )
20,40816 s 2
4,51753 s
O cálculo do tempo de queda y1 a y2 (t12) é feito por diferença:
t12
t2
t12
1,3 s
t1
(4,51753 s) (3,19438 s) 1,32315 s
[Início seção]
[Início documento]
59. Enquanto pensava em Isaac Newton, uma pessoa em pé sobre uma passarela inadvertidamente
deixa cair uma maçã por cima do parapeito justamente quando a frente de um caminhão passa
exatamente por baixo dele. O veículo move-se a 55 km/h e tem 12 m de comprimento. A que
altura, acima do caminhão, está o parapeito, se a maçã passa rente à traseira do caminhão?
(Pág. 31)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 02 – Movimento Unidimensional
16
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
y
v0 = 0
y0 = h
h
y1 = 0
Inicial
x1= l
x0 = 0
vC
x
l
Final
vC
v1
A solução deste problema consiste em analisar as equações do movimento horizontal do caminhão e
vertical da maçã e combiná-las, pois são sincronizadas no tempo. Movimento do caminhãoem x:
x x0 vx t
l
0 vC t
t
l
vC
(1)
Movimento da maçã em y:
1 2
y y0 v0t
at
2
1
0 h 0
( g )t 2
2
1 2
h
gt
2
Substituindo-se (1) em (2):
(2)
2
h
1
l
g
2
vC
2
1
9,81 m/s 2
2
12 m
55 km/h
m/s
3, 6
km/h
3, 026 m
h 3,0 m
[Início seção]
[Início documento]
61. Um jogador de basquete, no momento de “enterrar” a bola, salta 76 cm verticalmente. Que
tempo passa o jogador (a) nos 15 cm mais altos do pulo e (b) nos 15 cm mais baixos? Isso
explica por que esses jogadores parecem suspensos no ar no topo de seus pulos.
(Pág. 32)
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 02 – Movimento Unidimensional
17
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
Solução.
Considere o seguinte esquema para a resolução do problema.
y
yD
D
yC = yE
15 cm mais
altos
E
C
a = -g
B
F
A
G
yB = yF
yA = yG = 0
15 cm mais
baixos
Como a aceleração é a mesma na subida e na descida, temos que:
t
t AB 15 B
t AB t FG
t15 B 2t AB
2
t
tCD 15 A
t15 A 2tCD
tCD t DE
2
onde tAB é o tempo para ir de do ponto A ao ponto B e t15A e t15B são os tempos em que o jogador
passa nos 15 cm mais altos e mais baixos, respectivamente.
A velocidade inicial do jogador (vA) pode ser calculada pela análise do movimento no trecho AD.
v2
vD 2
v0 2
2a ( y
vA2
y0 )
2( g )( yD
y A ) 1)
0 vA2 2 g ( yD 0)
vA
2 gyD
2(9,81 m/s2 )(0,76 m)
3,8615022... m/s
(a) Análise do movimento no trecho CD.
1 2
y y0 vt
at
2
1
yD yC vD tCD
( g )tCD 2
2
(0,15 m) 0
t15 A
t15 A
1 t15 A
g
2
2
8(0,15 m)
(9,81 m/s2 )
2
0,3497... s
0,35 s
(b) Análise do movimento no trecho AB.
1 2
y y0 v0t
at
2
1
yB y A v At AB
( g )t AB 2
2
t
(0,15 m) vA 15 B
2
1 t15 B
g
2
2
2
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 02 – Movimento Unidimensional
18
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
(9,81 m/s2 )
(3,8615022... m/s)
t15 B
t15 B (0,15 m) 0
8
2
A Eq. (1) é uma equação do segundo grau cujas raízes são:
t15 B ' 1, 492560... s
(1)
t15 B '' 0, 081955... s
Como t15B deve ser menor do que t15A:
t15 B
0, 082 s
[Início seção]
[Início documento]
64. O laboratório de pesquisa da gravidade nula do Centro de Pesquisa Lewis da NASA (EUA) tem
uma torre de queda de 145 m. Trata-se de um dispositivo vertical onde se fez vácuo e que, entre
outras possibilidades, permite estudar a queda de uma esfera com diâmetro de 1 m, que contém
equipamentos. (a) Qual o tempo de queda do equipamento? Qual sua velocidade ao pé da torre?
(c) Ao pé da torre a esfera tem uma aceleração média de 25 g quando sua velocidade é reduzida
a zero. Que distância ela percorre até parar?
(Pág. 32)
Solução.
(a) Considere o seguinte esquema da situação:
y0 = 0
g
Acel.
y1 = 145 m
Desacel.
y2
y
Trata-se de movimento retilíneo (vertical) com aceleração constante. O cálculo do tempo de queda
livre pode ser feito através da Eq. (1). De acordo com o esquema, a aceleração da gravidade tem o
mesmo sentido do referencial adotado e, portanto, possui sinal positivo.
1
y1 y 0 v0 y t
a y t12
(1)
2
Como v0y = 0:
t1
t1
2( y1 y0 )
ay
2( y1
y0 )
g
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 02 – Movimento Unidimensional
19
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
2[(145 m) 0)
(9,81 m/s2 )
t1
t1
5, 43706 s
5,44 s
(b) O cálculo da velocidade de chegada da esfera à base da torre também é direto.
v1 y v0 y a y t1
v1 y
0 (9,81 m/s2 )(5, 43706 s) 53,337604 m/s
v1y
53,3 m/s
(c) A desaceleração ocorre entre as posições y1 e y2.
v22y
y
v12y
2a y ( y y
y1 )
v22y v12y
v22y v12y
2a y
2 25 g
02 (53,337604 m/s) 2
2 (25 9,81 m/s 2 )
5,8 m
y 5,8 m
Obs.: O diâmetro da esfera não tem utilidade na resolução dos itens pedidos. Ele só foi dado para
ilustrar a situação.
[Início seção]
[Início documento]
70. Um balão está subindo a 12,4 m/s à altura de 81,3 m acima do solo quando larga um pacote. (a)
Qual a velocidade do pacote ao atingir o solo? (b) Quanto tempo ele leva para chegar ao solo?
(Pág. 32)
Solução.
O balão desloca-se em movimento retilíneo para cima, com velocidade constante. Considere o
esquema abaixo para a resolução do problema. Como o balão está em movimento, a velocidade
inicial do pacote é a mesma do balão.
v0 = vB
y
y0 = h
a = -g
y=0
(a) A velocidade (v) do pacote ao atingir o chão pode ser calculada da seguinte forma:
v2
v0 2
2a ( y
v2
vB 2
2( g )(0 h)
v2
vB 2
2 gh
v2
(12, 4 m/s)2 2(9,81 m/s 2 )(81,3 m)
v
41,819445... m
y0 )
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 02 – Movimento Unidimensional
20
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
v
41,8 m
(a) O tempo (t) gasto para o pacote atingir o chão pode ser calculado da seguinte forma:
1
y y0
(v0 v)t
2
1
0 h
(vB v)t
2
2h
t
vB v
2(81,3 m)
(12, 4 m/s) (41,819445... m/s)
t
t
5,5269567... s
5,53 s
[Início seção]
[Início documento]
73. No Laboratório Nacional de Física da Inglaterra (o equivalente ao nosso Instituto Nacional de
Pesos e Medidas) foi realizada uma medição de g atirando verticalmente para cima uma bola de
vidro em um tubo sem ar e deixando-a retornar. A figura 35 é o gráfico da altura da bola em
função do tempo. Seja tL o intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas da bola pelo
nível inferior, tU o intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas pelo nível superior e
H a distância entre os dois níveis. Prove que
8H
.
g
2
tL
tU 2
(Pág. 32)
Solução.
Considere o seguinte esquema para a resolução do problema.
y
C
yC
B
yB
A
yA
0
Movimento do ponto A ao ponto C é dado por:
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 02 – Movimento Unidimensional
21
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
1 2
at
2
1
yC y A vC t
( g )t 2
2
No ponto C a velocidade da bola (vC) é zero.
y
yC
y0
vt
1
0
g
2
yA
tL
2
2
1
g tL 2
8
De maneira idêntica, o movimento do ponto B ao ponto C é dado por:
1
yC yB
g tU 2
8
Subtraindo-se (2) de (1):
1
( yC y A ) ( yC yB ) yB y A H
g ( tL 2
tU 2 )
8
Portanto:
yC
g
yA
(1)
(2)
8H
tL
2
tU 2
[Início seção]
[Início documento]
74. Uma bola de aço de rolamento é largada do teto de um edifício com velocidade inicial nula. Um
observador em pé diante de uma janela com 120 cm de altura nota que a bola gasta 0,125 s para
ir do topo da janela ao parapeito. A bola continua a cair, chocando-se elasticamente com uma
calçada horizontal e reaparece no parapeito da janela 2,0 s após passar por ela ao descer. Qual a
altura do edifício? (Após uma colisão elástica, a velocidade escalar da bola em dado ponto é a
mesma ao subir e ao descer.)
(Pág. 33)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 02 – Movimento Unidimensional
22
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
y
v0 = 0
t1
y0 = H
v 4 = v3
t2 h
a = gj
v1
y1
y2 = y4
v2
H
t3
v3
y3 = 0
v3
Vamos analisar o movimento de queda livre da esfera entre os pontos 0 (topo do edifício) e 2
(parapeito da janela):
v2
v02 2a y y0
v22
v02 2
v22
0 2 g y2 H
H
v22
2g
g
y2 H
y2
(1)
Agora vamos analisar o movimento da esfera entre os pontos 1 (topo da janela) e 2 (parapeito da
janela):
1 2
y y0 vt
at
2
1
y2 y1 v2 t2
g t22
2
1
h v2 t2
g t22
2
v2
v2
h
t2
1
g t2
2
1, 20 m
0,125 s
1
m
9,81 2
2
s
0,125 s
10, 213125 m/s
Finalmente, vamos analisar o movimento da esfera entre os pontos 2 (parapeito da janela) e 3 (solo).
Note que o tempo requerido para a esfera ir do parapeito ao solo e retornar ao parapeito é de 2,0 s.
Logo, o tempo para ir do parapeito ao solo é de t3 = 1,0 s.
1 2
y y0 v0t
at
2
1
y3 y2 v2 t3
g t32
2
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 02 – Movimento Unidimensional
23
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
0 y2
v2 t3
1
g t32
2
y2
1
g t32 v2 t3
2
y2
15,118125 m
1
m
9,81 2 1, 0 s
2
s
2
10, 213125 m/s 1, 0 s
2
Substituindo-se os valores de v2 e y2 em (1), teremos a resposta do problema:
10, 213125 m/s
H
2
15,118125 m
2 9,81 m/s2
H
20, 434532m
20 m
[Início seção]
[Início documento]
75. Um cachorro avista um pote de flores passar subindo e a seguir descendo por uma janela com
1,1 m de altura. O tempo total durante o qual o pote é visto é de 0,74 s. Determine a altura
alcançada pelo pote acima do topo da janela.
(Pág. 33)
Solução.
O tempo no qual o vaso é visto subindo (tS) é igual ao tempo no qual ele é visto descendo (tD).
Portanto:
tS tD 2tS t
t
0,34 s
2
Considere o esquema abaixo para a resolução do problema.
y
y2
tS
y1
a = -g
y0 = 0
Cálculo da velocidade do vaso na coordenada y1 (v1):
1 2
y y0 vt
at
2
1
y1 y0 v1t S
( g )t S 2
2
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 02 – Movimento Unidimensional
24
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
y1
v1
1 2
gtS
2
y0
tS
(1,1 m) 0
v1
1
(9,81 m/s 2 )(0,37 s) 2
2
(0,37 s)
v1 1,15812297... m/s
Cálculo da distância acima da janela atingida pelo vaso (y2 y1):
v2
v0 2
2a ( y
v2 2
v12
2( g )( y2
y2
y1
v12 v2 2
2g
y2
y1
(1,15812297... m/s) 2 0
2(9,81 m/s 2 )
y2
y1
6,8 cm
y0 )
y1 )
0, 068361... m
[Início seção]
[Início documento]
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 02 – Movimento Unidimensional
25
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 1
CAPÍTULO 3 – VETORES
01
11
21
31
41
51
02
12
22
32
42
52
03
13
23
33
43
53
04
14
24
34
44
05
15
25
35
45
06
16
26
36
46
07
17
27
37
47
08
18
28
38
48
09
19
29
39
49
10
20
30
40
50
[Início documento]
16. Uma roda com raio de 45 cm rola sem deslizar ao longo de uma superfície horizontal, como
mostra a Fig. 25. P é um ponto pintado no aro da roda. No instante t1, P é o ponto de contato
entre a roda e o chão. No instante t2 posterior, a roda girou de meia revolução. Qual é o
deslocamento de P nesse intervalo de tempo?
(Pág. 46)
Solução.
Considere o esquema a seguir:
P
r
y
y
x
P
x
O deslocamento do ponto P corresponde ao vetor r, que é dado por:
r
xi
yj
Analisando-se o esquema acima, podemos concluir que x é corresponde a meia volta da
circunferência da roda ( R) e y é igual a 2R. Logo, o vetor deslocamento vale:
r
Ri 2Rj
1, 4137 m i
0,90 m j
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 03 – Vetores
26
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
r
1, 4 m i
0,90 m j
O módulo do deslocamento vale:
r
r
x2
y2
2, 2237 m
2, 2 m
[Início seção]
[Início documento]
24. Uma estação de radar detecta um míssil que se aproxima do leste. Ao primeiro contacto, a
distância do míssil é 3.200 m, a 40,0o acima do horizonte. O míssil é seguido por 123o no plano
leste-oeste, e a distância no contacto final era de 7.800 m; veja a Fig. 27. Ache o deslocamento
do míssil durante o período de contacto com o radar.
(Pág. 46)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
r
r0
r
y
x
A posição inicial do míssil é dada por:
r0 r0 x i r0 y j
r0
r0 cos i r0 sen j
A posição final do míssil é dada por:
r rx i ry j
r
r cos
i r sen
j
O vetor deslocamento do míssil é dado por:
r
xi yj
r
r cos
r0 cos
r
10.216,9370 m i
r
10 km i
i
r sen
r0 sen
j
33,5360 m j
33 m j
O módulo do deslocamento é:
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 03 – Vetores
27
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
r
rx 2
ry 2
10.216,9921 m
r 10 km
[Início seção]
[Início documento]
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 03 – Vetores
28
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 1
CAPÍTULO 4 – MOVIMENTO BI E TRIDIMENSIONAL
02
12
22
32
42
52
62
72
82
01
11
21
31
41
51
61
71
81
03
13
23
33
43
53
63
73
83
04
14
24
34
44
54
64
74
84
05
15
25
35
45
55
65
75
85
06
16
26
36
46
56
66
76
86
07
17
27
37
47
57
67
77
87
08
18
28
38
48
58
68
78
09
19
29
39
49
59
69
79
10
20
30
40
50
60
70
80
[Início documento]
02. A posição de uma partícula que se move em um plano xy é dada por r = (2t3 5t)i + (6 7t4)j,
com r em metros e t em segundos. Calcule (a) r, (b) v e (c) a quando t = 2 s.
(Pág. 64)
Solução.
(a) Em t = 2,00 s a posição (r) da partícula vale:
r [2 (2)3 5 (2)]i [6 7 (2) 4 ]j
r (16 10)i (6 112) j
r (6i 106j) m
(b) A velocidade instantânea v é derivada primeira de r em relação ao tempo:
dr d
v
[(2t 3 5t )i (6 7t 4 ) j]
dt dt
v
(6t 2 5)i 28t 3 j
Substituindo-se o valor de t = 2 s:
v [6 (2)2 5]i [28 (2)3 ]j
v (21i 224j) m/s
(c) A aceleração instantânea a é derivada primeira de v em relação ao tempo:
dv d
a
[(6t 2 5)i 28t 3 j]
dt dt
a 12ti 84t 2 j
Substituindo-se o valor de t = 2 s:
a 12 (2)i 84 (2) 2 j
a (24i 336 j) m/s2
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional
29
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
[Início seção]
[Início documento]
44. Um canhão é posicionado para atirar projéteis com velocidade inicial v0 diretamente acima de
uma elevação de ângulo , como mostrado na Fig. 33. Que ângulo o canhão deve fazer com a
horizontal de forma a ter o alcance máximo possível acima da elevação?
(Pág. 67)
Solução.
Análise do movimento no eixo horizontal (x), onde
à horizontal:
x x0 vx t
R cos
t
é o ângulo de inclinação do canhão em relação
0 v0 cos t
R cos
v0 cos
(1)
Análise do movimento no eixo vertical (y):
1 2
y y0 v y 0 t
at
2
1 2
R sin
0 v0 sin t
gt
2
Substituindo-se (1) em (2):
R sin
1 R cos 2
g
2 v0 2 cos 2
cos
cos
sin
sin
tan cos
R
1 R 2 cos 2
g
2 v0 2 cos 2
R cos
v0 sin
v0 cos
sin
tan cos
(2)
gR cos 2
2v0 2 cos 2
sin
2v0 2 cos 2
g cos 2
(3)
Como R( ) é uma função cujo ponto de máximo deve ser localizado, devemos identificar o valor de
tal que dR/d = 0.
dR
d
2v0 2 cos(
Resolvendo-se (4) para
2 )sec 2
g
0
(4)
encontramos duas possíveis soluções:
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional
30
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
1
(2
4
1
(2
4
Como 0
)
)
/2 (ver figura), a resposta mais coerente é:
1
(2
4
)
É claro que resta demonstrar que d2R/d 2 0, equação (3), pois como se trata de um ponto de
máximo, a concavidade da curva nesse ponto deve ser voltada para baixo.
[Início seção]
[Início documento]
48. Um foguete é lançado do repouso e se move em uma linha reta inclinada de 70,0 o acima da
horizontal, com aceleração de 46,0 m/s2. Depois de 30,0 s de vôo com o empuxo máximo, os
motores são desligados e o foguete segue uma trajetória parabólica de volta à Terra; veja a Fig.
36. (a) Ache o tempo de vôo desde o lançamento ao impacto. (b) Qual é a altitude máxima
alcançada? (c) Qual é a distância da plataforma de lançamento ao ponto de impacto? (Ignore as
variações de g com a altitude.)
(Pág. 68)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional
31
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
y
v2
y2 = H
v1
0
H
y1
a = gj
a0
0
v0 = 0
y0 = y3 = 0
x
x0 = 0
x1
x2
x3
v3
R
(a) O cálculo do tempo total de vôo, t03, é a soma do tempo de aceleração em linha reta com os
foguetes, t01 = 30,0 s, e o tempo de queda livre, t13, que precisa ser calculado.
t03
t01
t13
(1)
Para o cálculo de t13, precisamos de y1 e v1. Cálculo de y1:
1 2
y y0 v y 0 t
a yt
2
1
2
y1 y0 v0 y t01
a0 y t01
2
1
2
y1 0 0
a0 sen 0 t01
2
1
1
2
y1
a0 sen 0 t01
46, 0 m/s 2 sen 70, 0o 30, 0 s
2
2
2
y1 19.451, 63 m
Cálculo de v1:
v y v0 y
v1 y
v1
ayt
v0 y
v1 sen
(2)
0
a0 t01
a0 y t01
0 a0 sen
0
t01
46,0 m/s2 30,0 s
v1 1.380 m/s
(3)
Agora podemos determinar t13, com a ajuda dos valores obtidos em (2) e (3):
1 2
y y0 v y 0 t
a yt
2
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional
32
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
y3
y1
v1 y t13
0 y1
t132
2
13
t
t132
v1 sen
0
2v1 sen
g
0
1
2
g
t13
1
g t132
2
t13
2 y1
g
t132
2
g
0
2 1.380 m/s sen 70, 0o
9,81 m/s
264,3783s
2
t13
t13
2 19.451, 63 m
9,81 m/s 2
3.965,6752s2
0
0
As raízes da equação acima são:
t13'
278,6120s
''
13
14, 2336s
t13
278, 6120s
t
Logo:
(4)
Substituindo-se (4) em (1):
t03
t03
278,6120s
30,0 s
308,6120s
309 s
(b) A altitude máxima de vôo do foguete pode ser obtida pela análise do movimento na coordenada
y do ponto 1, o início da queda livre, ao ponto 2, que corresponde ao topo da trajetória.
vy2
v22y
v02y 2a y y y0
v12y
2
0 v12 sen 2
g
H
H
105 km
y1
2g H
0
v12 sen 2
2g
y2
y1
2
0
1.380 m/s sen 2 70,0o
y1
2 9,81 m/s2
19.451,63 m
105.161,50 m
(c) Para determinarmos a distância pedida, precisamos apenas analisar o movimento horizontal
entre os pontos 1 e 3, que ocorre com velocidade horizontal constante.
x x0 vx t
x3
x1 v1x t13
R
x1 v1 cos
0
t13
Lembremos que x1 pode ser obtido pela relação:
y1
tan 0
x1
Logo:
R
y1
tan
v1 cos
0
0
t13
19.451, 63 m
tan 70, 0o
1.380 m/s cos 70, 0o 278, 6120s
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional
33
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
R 138.581, 29m
R 139 km
[Início seção]
[Início documento]
49. Um canhão antitanque está localizado na borda de um platô a 60,0 m acima de uma planície,
conforme a Fig. 37. A equipe do canhão avista um tanque inimigo parado na planície à distância
de 2,20 km do canhão. No mesmo instante a equipe do tanque avista o canhão e começa a se
mover em linha reta para longe deste, com aceleração de 0,900 m/s2. Se o canhão antitanque
dispara um obus com velocidade de disparo de 240 m/s e com elevação de 10,0 o acima da
horizontal, quanto tempo a equipe do canhão teria de esperar antes de atirar, se quiser acertar o
tanque?
(Pág. 68)
Solução.
A estratégia que vamos adotar consiste em calcular o tempo que o obus leva para atingir o solo da
planície (tb) e o tempo que o tanque leva para chegar ao local onde o obus cai (tt), que fica a uma
distância horizontal R do canhão. O tempo de espera será:
t tb t t
(1)
Em primeiro lugar vamos analisar o movimento do obus. Em x o movimento se dá com velocidade
constante:
x x0 vx t
R 0 v0 cos tb
R
v0 cos
tb
(2)
Movimento do obus em y:
1 2
y y0 v y 0 t
a yt
2
1 2
0 h v0 sen t
gtb
2
Substituindo-se (2) em (3):
R
h v0 sen
v0 cos
g
2v cos 2
2
0
(3)
1
R
g
2 v0 cos
2
R 2 tan R h 0
Daqui para adiante não há vantagem em continuar a solucionar o problema literalmente. As raízes
desta equação do 2o grau são:
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional
34
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
R1
R2
2.306, 775 m
296,5345 m
Como R corresponde a uma coordenada positiva no eixo x, temos:
R 2.306,775m
(4)
Substituindo-se (4) em (2):
tb 9, 7598s
(5)
Agora vamos analisar o movimento do tanque, que se dá com aceleração constante:
1 2
x x0 vx 0t
axt
2
1 2
R d0 0
at tt
2
tt
2 R d0
at
15, 4038 s
(6)
Substituindo-se (5) e (6) em (1):
t 5,6440s
t
5,64 s
[Início seção]
[Início documento]
60. Uma criança gira uma pedra em um círculo horizontal a 1,9 m acima do chão, por meio de uma
corda de 1,4 m de comprimento. A corda arrebenta e a pedra sai horizontalmente, caindo no
chão a 11 m de distância. Qual era a aceleração centrípeta enquanto estava em movimento
circular?
(Pág. 68)
Solução.
Considere o seguinte esquema:
r
y
v
x
h
d
A aceleração centrípeta procurada é dada por:
v2
r
Análise do movimento no eixo horizontal (x):
x x0 vx t
ac
d
(1)
0 vt
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional
35
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
d
v
Análise do movimento no eixo vertical (y):
1 2
y y0 v y 0 t
at
2
1 2
0 h 0
gt
2
1 2
h
gt
2
Substituindo-se (2) em (3):
t
1 d
g
2 v2
h
(2)
(3)
2
2
gd
v
2h
Substituindo-se (4) em (1):
2
(4)
2
ac
gd
2rh
ac
(9,81 m/s 2 )(11 m)
2(1, 4 m)(1,9 m)
ac
2, 2 103 m/s 2
2
223,1221... m/s 2
[Início seção]
[Início documento]
70. A neve está caindo verticalmente à velocidade escalar constante de 7,8 m/s. (a) A que ângulo
com a vertical e (b)com qual velocidade os flocos de neve parecem estar caindo para o
motorista de um carro que viaja numa estrada reta à velocidade escalar de 55 km/h?
(Pág. 69)
Solução.
Considere o seguinte esquema vetorial de velocidades, onde vC é a velocidade do carro em relação
ao solo, vN é a velocidade da neve em relação ao solo e vNC é a velocidade da neve em relação ao
carro:
vNC
vN
y
x
vC
(a) O ângulo que a neve faz com a vertical vale:
vC
tan
vN
tan
1
vC
vN
27,0463
27
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional
36
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
(b) A velocidade escalar da neve é dada por:
vNC
vNC
vC2
vN2
61, 7534 km/h
62 km/h
Obs. Apenas como curiosidade, vamos mostrar o vetor vNC. Os vetores vN e vC são definidos como:
vC
vN
vC i
vN j
De acordo com o esquema, temos:
v N vC v NC
v NC
vN
vC
Logo:
v NC
vC i vN j
[Início seção]
[Início documento]
71. Um trem viaja para o Sul a 28 m/s (relativamente ao chão), sob uma chuva que está sendo
soprada para o sul pelo vento. A trajetória de cada gota de chuva faz um ângulo de 64 o com a
vertical, medida por um observador parado em relação à Terra. Um observador no trem,
entretanto, observa traços perfeitamente verticais das gotas na janela do trem. Determine a
velocidade das gotas em relação à Terra.
(Pág. 69)
Solução.
Considere o seguinte esquema vetorial de velocidades, onde vT é a velocidade do trem em relação à
Terra, vG é a velocidade das gotas de chuva em relação à Terra e vGT é a velocidade das gotas de
chuva em relação aotrem:
vGT
vG
y
x
vT
Os vetores vT e vGT são definidos como:
vT
vGT
vT i
vG cos j
(1)
(2)
De acordo com o esquema, temos:
vG vT vGT
(3)
Substituindo-se (1) e (2) em (3):
vG
vT i vG cos j
(4)
O esquema mostra que vG é definido por:
vG
vG sen i vG cos j
(5)
Comparando-se (4 e (5), conclui-se que:
vG sen
vT
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional
37
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
vT
sen
Substituindo-se (6) em (4):
vT
vG
vT i
j
tan
O módulo de vG é dado por:
vG
vNC
vT2
vNC
31 m/s
vT
tan
(6)
2
31,1528 m/s
[Início seção]
[Início documento]
81. Um homem quer atravessar um rio de 500 m de largura. A velocidade escalar com que consegue
remar (relativamente à água) é de 3,0 km/h. O rio desce à velocidade de 2,0 km/h. A velocidade
com que o homem caminha em terra é de 5,0 km/h. (a) Ache o trajeto (combinando andar e
remar) que ele deve tomar para chegar ao ponto diretamente oposto ao seu ponto de partida no
menor tempo. (b) Quanto tempo ele gasta?
(Pág. 70)
Solução.
(a) O trajeto procurado é definido pelo ângulo que o remador deve adotar para direcionar o barco
durante a travessia, de forma que a soma dos tempos gastos remando (t1) e andando (t2) deve ser o
menor possível. Logo, a solução deste item consiste em construir uma função matemática t1 + t2 =
f( ) e, em seguida, achar o valor de onde t1 + t2 tem seu valor mínimo, ou seja, d(t1 + t2)/d = 0.
Considere o seguinte esquema para a situação:
v
C
t2 ,d2
B
vA
t1 ,d1
y
l
vHA
vH
x
A
A velocidade do homem em relação à água (vHA) deve fazer um ângulo em relação à margem. A
velocidade da água (vA) fará com que o barco percorra a trajetória retilínea AB, que faz um ângulo
em relação à margem. O trajeto AB mede d1 e será percorrido num tempo t1. Ao chegar ao ponto
B, o homem irá caminhando até C num tempo t2 através de uma distância d2. Seja o esquema
vetorial de velocidades:
vA
vHA
vH
De acordo com o esquema acima:
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional
38
Problemas Resolvidos de Física
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
v HA
(1)
vH
vA
vA
va i
(2)
v HA
vHA cos i vHA sen j
(3)
Mas:
Logo, substituindo-se (2) e (3) em (1):
v H (va vHA cos )i vHA sen j
Movimento do ponto A ao ponto B:
r r0 vt
rB
rA
v H t1
Considerando-se um sistema de coordenadas cartesianas com origem no ponto A, temos:
rB
d2i l j
Logo:
d2i l j 0 [(vA vHA cos )i vHA sen j]t1
(4)
A equação (4) somente é verdadeira se e somente se:
d 2 (vA vHA cos )t1
e
l
vHA sen t1
(5)
Logo, de acordo com (10):
l
t1
vHA sen
Mas, de acordo com o esquema principal acima:
l
d2
tan
(6)
Também podemos dizer que:
v H v Hx i v Hy j
Onde:
v Hy
tan
v Hx
v HA sen
(v A v HA cos )
(7)
Substituindo-se (7) em (6):
d2
l (v A v HA cos )
v HA sen
(8)
Movimento de B até C:
x x0 v x t
0 d2
vt2
d2
v
Substituindo-se (8) em (9):
t2
(9)
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional
39
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
l (v A v HA cos )
vvHA sen
t2
Agora podemos construir a função t1 + t2 = f( ):
l (v A v HA cos )
l
t1 t 2
v HA sen θ
vvHA sen
t1
t2
l (v v A v HA cos )
vvHA sen
(10)
O mínimo da função (10) agora pode ser encontrado.
l [( vHA ) sen 2
vvHA
d (t1 t2 )
d
(v v A vHA cos ) cos ]
sen 2
0
(11)
A equação (11) somente é verdadeira se:
v HA sen 2
(v v A
v HA (sen 2
cos2 )
v HA cos ) cos
0
Logo:
(v v A ) cos
v HA
v vA
cos
cos
1
cos
1
v HA
v vA
(3,0 km)
[(5,0 km) (2,0 km)]
115,3769 o
115 o
(b) Da equação (10):
t1 t2
(0,500 km)[(5, 0 km/h) (2, 0 km/h) (3, 0 km/h) cos115,3769o )
(5, 0 km/h)(3, 0 km/h)sen115,3769o
t1 t 2
0,2108 h
t1
0,21 h
t2
[Início seção]
[Início documento]
82. Um navio de guerra navega para leste a 24 km/h. Um submarino a 4,0 km de distância atira um
torpedo que tem a velocidade escalar de 50 km/h. Se a posição do navio, visto do submarino,
está 20o a nordeste (a) em qual direção o torpedo deve ser lançado para acertar o navio, e (b)
que tempo decorrerá até o torpedo alcançar o navio?
(Pág. 70)
Solução.
(a) Considere o seguinte esquema da situação:
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional
40
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
vN
y
v TN
vT
x
Pelo esquema acima, temos:
vT v N vTN
vTN
vT
vN
onde vTN é o vetor velocidade do torpedo em relação ao navio. Os vetores vN e vT são assim
definidos:
v N vN i
vT
onde
(1)
(2)
vT sin i vT cos j
é o ângulo procurado no item (b) do enunciado.
vTN
vT sin i vT cos j vN i
vTN
vTN sin i vTN cos j
vT sin
vN i vT cos j
(3)
Mas:
(4)
Como os vetores (3) e (4) são iguais, suas componentes também são iguais.
vT sin
vN vTN sin
vT cos
vTN cos
(5)
(6)
Dividindo-se (5) por (6):
vT sin
vN
tan
vT cos
(7)
Resolvendo-se (7) :
sec
1
vN vT tan
vT 4 vT 4 tan 2
vT 2 vN 2
vN 2vT 2
São duas as soluções possíveis:
173,89...o
46,8112...o
Pelo esquema inicial, conclui-se que a resposta mais coerente é a segunda opção:
47o
(b) Equação de movimento do navio e do torpedo:
rN rN 0 v N t
rT
rT 0
vT t
Como no instante t da colisão entre o torpedo e o navio ambos estarão na mesma posição, temos:
rN rT
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional
41
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
rN 0
vNt
rT 0
vT t
rT 0
0
rN 0
vNt
rN 0
d sin i d cos j
Mas:
Logo:
(8)
vT t
Porém:
(9)
Substituindo-se (1), (2) e (9) em (8):
d sin i d cos j vN ti vT sin ti vT cos tj
(d sin
vN t )i d cos j vT sin ti vT cos tj
(10)
Como os vetores descritos em ambos os membros de (10) são iguais, suas componentes também são
iguais. Igualando-se as componentes y desses vetores:
d cos
vT cos t
t
d cos
vT cos
t
(4, 0 km) cos(20o )
(50 km/h) cos(46,8112...o )
t
0,11 h
0,109838... h
[Início seção]
[Início documento]
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 04 – Movimento Bi e Tridimensional
42
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2003.
FÍSICA 1
CAPÍTULO 2 – MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO
EXERCÍCIOS
01
11
21
31
41
51
61
02
12
22
32
42
52
03
13
23
33
43
53
04
14
24
34
44
54
05
15
25
35
45
55
06
16
26
36
46
56
07
17
27
37
47
57
08
18
28
38
48
58
09
19
29
39
49
59
10
20
30
40
50
60
07
17
27
08
18
28
09
19
29
10
20
30
PROBLEMAS
01
11
21
31
02
12
22
32
03
13
23
33
04
14
24
05
15
25
06
16
26
[Início documento]
[Início seção]
[Início documento]
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 5 Ed. - LTC - 2003.
Cap. 02 – Movimento em Uma Dimensão
43
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2003.
FÍSICA 1
CAPÍTULO 4 – MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES
EXERCÍCIOS
01
11
21
31
41
02
12
22
32
42
03
13
23
33
43
04
14
24
34
44
05
15
25
35
45
06
16
26
36
07
17
27
37
08
18
28
38
09
19
29
39
10
20
30
40
07
17
27
08
18
28
09
19
10
20
PROBLEMAS
01
11
21
02
12
22
03
13
23
04
14
24
05
15
25
06
16
26
[Início documento]
[Início seção]
[Início documento]
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 5 Ed. - LTC - 2003.
Cap. 04 – Movimento em Duas e Três Dimensões
44