UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE ESCOLA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
Princípios e Fenômenos da Mecânica
Professor: Humberto
EXPERIMENTO Nº 6 – LANÇAMENTO HORIZONTAL DE PROJÉTIL
Discentes:
Camila de Oliveira Silva
(2009028716)
David Jefferson Cardoso Araújo (2009028910)
Kelvin da Cruz Praxedes
(2009029666)
Thiago Mateus B. da Silva
(2009030605)
Turma 2 A
NATAL
02/06/2010
Objetivo
O referido relatório tem por objetivo explicitar tudo o que foi realizado na atividade
proposta do dia 24/05/2010, uma segunda-feira, e que está voltada à análise do lançamento
horizontal de projéteis. Essa atividade aconteceu no Laboratório de Física Experimental de
Mecânica dos Fluidos, no período de 10h50min às 12h 30min, e contou com a participação dos
alunos da turma 02A do curso do Bacharelado em Ciências e Tecnologia, e dos professores de
laboratório .
Já o experimento tem como principal objetivo pôr em prática algumas idéias que foram
vistas em sala de aula acerca do conteúdo de lançamento horizontal de projéteis e a cinética do
rolamento, através de experimentos voltados para tal conteúdo.
Introdução teórica
No decorrer do nosso dia-dia, vemos que objetos se movimentam no ar, após serem
lançados, ou mesmo quando caem de algum lugar. Observando isso, percebemos que, independente
da força inicial aplicada ao objeto, da altura na qual ele se encontra, ou da velocidade no instante de
queda, no movimento obliquo, uma das componentes da aceleração a que um corpo está submetido é voltada
para o centro da Terra. Mas, como esses pontos influenciam na queda ou no deslocamento de um
projétil que rola?
Iniciamos agora um novo tema da Física, que é de grande aplicabilidade nos dias atuais – o
rolamento. Tais aplicações são vistas nos automóveis, nas engrenagens, nas bolas de boliche, no
ioiô, entre outros objetos. Os conceitos de rotação e translação vêm juntos e, dessa forma, todas as
equações que estudamos e vimos até agora são a junção desses dois tipos de movimentos.
Rotação
𝑣𝐶𝑀
Translação
𝑣𝐶𝑀
Fig 1. Representação de um movimento de rolamento (rotação e translação)
Um objeto em rolamento possui dois tipos de energia cinética: uma energia cinética de
1
rotação ( 𝐼𝐶𝑀 𝜔2 ) associada à rotação em torno do centro de massa, e uma energia cinética de
2
1
translação ( 𝑀𝑣 2 𝐶𝑀 ) associada à translação do centro de massa.
2
1
1
2
2
K = 𝐼𝐶𝑀 𝜔2 + 𝑀𝑣 2 𝐶𝑀
No caso de uma roda de raio R rolando suavemente (sem deslizamento):
𝑣𝐶𝑀 = 𝜔R
Contando com esses conceitos e com os conceitos anteriores de cinemática, ficamos aptos a
entender, de maneira eficaz, o experimento do laboratório.
Materiais utilizados
Para a realização desse experimento foram usados os seguintes materiais:

Régua: Utilizada para medir a distância entre o ponto inicial e o alcance da esfera;

Tripé: Base onde se encaixou a haste;

Conjunto de Mecânica Arete II: é uma plataforma com uma rampa de madeira acoplada.
Essa rampa possui, por sua vez, uma canaleta, que é de onde serão efetuados os
lançamentos;

Esfera Metálica: É o objeto que será lançado para análises;

Fio de Prumo: Utilizado para marcar a região de origem. O mesmo estava localizado num
ponto logo abaixo de onde termina a rampa, que é o local de onde a bola metálica é lançada;

Papel Carbono: Usado para medir o alcance da esfera, marcando os pontos de onde a mesma
batia;

Papel seda: Usado para marcar o ponto onde a esfera batia na bancada (ao invés deste,
utilizamos uma folha de ofício);

Fita Adesiva: Utilizada para fixar a folha de ofício na mesa.
Plataforma
Tripé
Papel carbono
Papel de seda
Fig.2: Conjunto de Mecânica de Arete II com fio de prumo, tripé, e bola metálica. Na mesa podemos observar a folha de marcação(ofício) e o papel
carbono, e mais ao fundo uma régua e uma trena.
Fig.3: Conjunto de Mecânica Arete II vista horizontalmente, juntamente com fio de prumo, bola metálica, papel seda e papel carbono.
Procedimento experimental
Inicialmente, o grupo teve o devido cuidado de verificar todos os materiais utilizados no
experimento. Colocamos o papel carbono sobre uma folha de ofício, para que pudéssemos obter as
marcações do lançamento da esfera metálica. Depois, engatamos a extremidade do fio de prumo na
plataforma da rampa através de uma rosca e esperamos ele estabilizar para marcar (no papel) um
ponto, que corresponde à origem 𝒙𝟎 no plano horizontal da mesa. Outro procedimento importante
para o desenvolvimento do experimento foi a medição das alturas de onde a esfera seria lançada.
Com o auxílio da trena e das próprias marcações existentes na rampa, medimos a altura h’
entre a linha da base (marcação existente na rampa) e a mesa, e somamos este valor com a
marcação da rampa(h”), que resultaria na altura final h (altura do lançamento). Portanto, as medidas
h’ e h0 (altura entre o nível de saída da rampa e a mesa) são:
Tabela 20: Alturas
h’= 474 mm 𝒉𝟎 = 479 mm
Para cada altura h” utilizada para largar a esfera, calcule a altura h correspondente (h= h’+
h”) e preencha a tabela 21.
Tabela 21: Alturas de lançamento
h’’(mm)
h(mm)
10
484
20
494
30
504
40
514
50
524
60
534
70
544
80
554
90
564
100
574
Depois de obter alguns dados e preparar todos os materiais, demos início aos lançamentos da
esfera metálica. Nessa parte do experimento, tivemos alguns cuidados, como: deixar o centro de
massa da esfera aproximadamente alinhado com a marcação da altura de lançamento; a cada
lançamento verificar o papel carbono e o ofício, e ter cuidado para a esfera tocar somente uma vez o
ofício; para cada altura h” foram feitos cinco lançamentos e, dentre as cinco marcas produzidas,
caso alguma ficasse mais distante das outras, esta seria desprezada.
Com isso, para cada conjunto de lançamentos, marcamos sua altura correspondente. Para
evitar a confusão entre os pontos, circulamos cada conjunto (pontos mais próximos de cada etapa de
lançamento), enumerando-os. Marcamos, também, o centro dos dez círculos encontrados.
Posteriormente, com o auxílio da régua, medimos o raio de cada um, que corresponde,
estatisticamente, ao desvio padrão da medida do alcance (σA), e a distancia entre o centro do circulo
e o ponto 𝒙𝟎 , correspondente ao alcance médio da esfera para a altura de largada em estudo. A cada
lançamento obtemos os dados para preencher a tabela 22.
Tabela 22 : Altura versus alcance
h”(mm) h(mm) Alcance(mm)
10
484
122 3.5
20
494
162 6.0
30
504
196 3.5
40
514
223 3.5
50
524
239 4.0
60
534
258 6.0
70
544
281 6.0
80
554
303 6.0
90
564
311 5.5
100
574
329 8.0
Algebricamente, aplicando a lei da conservação da energia mecânica e utilizando as
equações horárias de lançamento de um projétil no plano, pode-se deduzir duas equações para o
alcance.
1. Sem energia cinética de rotação
ASR = 2 𝑕0 𝑕 − 𝑕0
2. Com energia cinética de rotação
ACR = 2
5
7
𝑕0 𝑕 − 𝑕0
Resultados e discussão
(a) Analisando os resultados da tabela 22, você concluiria que a altura inicial de largada da
esfera influencia ou não no alcance correspondente? Justifique sua resposta.
Se considerarmos que apenas forças conservativas agem sobre esse sistema, perceberemos,
pela Lei da Conservação da Energia Mecânica, que existem apenas as energias potencial (U) e
cinética (K) agindo sobre ele. A energia potencial da bolinha é máxima quando ela está na altura h
em relação à mesa, e a energia potencial cinética é máxima quando não existe mais energia
potencial atuando sobre a bolinha, ou seja, no plano da mesa. Dessa forma concluímos que uma
dessas energias aumenta exatamente na mesma quantidade que a outra diminui:
𝑈𝑖 + 𝐾𝑖 = 𝑈𝑓 + 𝐾𝑓
mgh =
𝑚 𝑣𝑓 2
2
Dessa maneira, vemos que quanto maior energia potencial adquirida no início, maior será a
velocidade final e, portanto, maior a energia cinética. Como a componente da velocidade na direção
x (𝑉𝑥 ) é constante, pois nesse plano o movimento é retilíneo uniforme, quanto mais alto estiver a
bolinha na plataforma, maior será a velocidade 𝑉𝑥 que ela terá ao sair dela, e se o alcance é:
𝑆𝑥 = 𝑉𝑥 t
Então, podemos concluir que maior será o alcance.
(b) Trace os gráficos do alcance (A) versus altura (h) na escala linear, segundo os resultados da
tabela 22. Você acha que este resultado depende da aceleração da gravidade? Ou seja, se
este experimento for realizado na lua, você obteria o mesmo resultado?
Fig. 4 – Gráfico do alcance experimental
Como vimos, a equação do alcance em relação ao tempo é:
𝑆𝑥 = 𝑉𝑥 t
O tempo de queda da bolinha é calculado através da componente y da velocidade (𝑉𝑦 ):
𝑉𝑦 = 𝑉𝑜𝑦 + gt
𝑉𝑜𝑦 = 0
𝑉𝑦
𝑔
=t
O alcance será:
𝑆𝑥 = 𝑉𝑥
𝑉𝑦
𝑔
𝑉𝑦 = gt
Independente da aceleração da gravidade, o alcance será o mesmo, visto que o tempo é
constante. Isso pode ser explicado porque a velocidade é proporcional à aceleração da gravidade. A
explicação para esse fato é que: em um espaço onde a gravidade é menor ou maior g (Terra) = 9,78
m/s², a velocidade será diferente, mas o temo de queda é igual ao anterior.
2
(c) Sabendo que o momento de inércia de uma esfera maciça é dado por I = m𝑟 2 , onde m e r
5
são a massa e o raio da esfera, respectivamente. A energia cinética de rotação associada ao
1
seu movimento é dada por I𝜔2 , onde w é a velocidade angular da esfera, deduza as
2
expressões do alcance teórico sem e com rotação (ASR e ACR). Aplique a lei da
conservação da energia mecânica e as equações horárias do movimento de um projétil num
plano para chegar às equações finais.
Partindo do fato que inicialmente a esfera estava em repouso a uma altura h em relação à
mesa (h=0), deduzimos fórmulas para o alcance teórico com e sem rotação.
(𝑐1 ) Alcance da esfera sem considerar a rotação
Pelo princípio da conservação da energia, temos que a energia mecânica se conserva, uma
vez que as forças dissipativas não serão consideradas nesse cálculo teórico. Dessa forma, a energia
mecânica inicial (𝐸𝑚𝑖 ) é igual e energia mecânica final (𝐸𝑚𝑓 ). Nesse contexto, inicialmente a esfera
tinha apenas energia potencial gravitacional (𝑈𝑔 = 𝑚𝑔𝑕), que foi, posteriormente, transformada em
1
energia cinética de translação (𝐾 = 𝑚𝑣 2 ).
2
2𝑔𝑕 = 𝑣 2
𝐸𝑚𝑖 = 𝐸𝑚𝑓
Decompondo a velocidade em vetores
𝑈𝑔 = 𝐸𝑐𝑡
ortogonais 𝑣𝑥 e 𝑣𝑦 , temos:
1
𝑚𝑔𝑕 = 𝑚𝑣 2
2
1
𝑔𝑕 = 𝑣 2
2
𝑣𝑥 2 + 𝑣𝑦 2 = 2𝑔𝑕
(I)
Considerando o movimento do corpo ao deixar a rampa, temos dois movimentos distintos.
Um movimento é retilíneo uniforme (direção x) e um movimento retilíneo uniformemente variado
(direção y), com uma velocidade inicial nula em y.
Movimento na direção y:
𝑣𝑦 2 = 𝑣𝑜𝑦 2 + 2𝑔∆𝑦
𝑣𝑦 2 = 2𝑔𝑕𝑜
(II)
𝑣𝑦 = 𝑣𝑜𝑦 + 𝑔𝑡
𝑣𝑦 = 𝑔𝑡
𝑡=
𝑣𝑦
𝑔
(III)
Na equação III, o t é o momento em que a esfera toca a mesa.
Movimento na direção x:
𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑣𝑥 𝑡
𝑥 = 𝑣𝑥 𝑡
(IV)
Uma vez que o t da equação (III) é o momento em que a esfera toca a mesa, quando
substituímos essa equação na equação (IV), teremos o alcance da esfera em função de 𝑣𝑦 , 𝑣𝑥 , 𝑔.
Substituindo (III) em (IV):
𝑣𝑦
𝑔
𝑣𝑦
𝑥 = 𝑣𝑥
𝑔
𝑥 = 𝑣𝑥
Isolando 𝑣𝑥 na equação temos:
𝑣𝑥 =
𝑥𝑔
𝑣𝑦
(V)
Substituindo (V) em (I), vem:
𝑥2 g2
+ 𝑣𝑦 2 = 2𝑔𝑕
vy2
E substituímos (II) nessa última equação:
𝑥2 g2
+ 2𝑔𝑕𝑜 = 2𝑔𝑕
2𝑔𝑕𝑜
𝑥2
+ 2𝑕𝑜 = 2𝑕
2𝑕𝑜
𝑥 2 = 2𝑕𝑜 2𝑕 − 2𝑕𝑜
𝑥 2 = 4𝑕𝑜 𝑕 − 𝑕𝑜
𝐴𝑆𝑅 = ± 4𝑕0 𝑕 − 𝑕0
Nesse caso, não faz sentido o sinal negativo, portanto:
𝐴𝑆𝑅 = 2 𝑕0 𝑕 − 𝑕0
Sendo, portanto, x o alcance da esfera quando consideramos apenas a energia cinética de
translação.
(𝑐2 ) Alcance da esfera considerando a rotação dela:
Conforme mostra a figura:
𝐸𝑚𝑖 = 𝑈𝑔 = 𝑚𝑔h
𝐸𝑚𝑓 = 𝑈𝑔 = 𝑚𝑔𝑕0 + 𝐾𝑟 + 𝐾𝑡
Fig. 5 – Representação do movimento do projétil
Partindo do mesmo pressuposto de conservação de energia do tópico 𝑐1 , faremos apenas a
adição de uma energia cinética de rotação da esfera. Vale salientar que os pontos considerados para
o cálculo da energia são: o ponto de partida da esfera (y=h) e o ponto onde a esfera deixa a rampa
(y=𝑕𝑜 ).
𝐸𝑚𝑖 = 𝐸𝑚𝑓
𝑈𝑔𝑖 = 𝑈𝑔𝑓 + 𝐾𝑡 + 𝐾𝑟
1
1
𝑚𝑔𝑕 = 𝑚𝑔𝑕𝑜 + 𝑚𝑣𝑥2 + 𝐼𝜔2
2
2
Nesse ponto, fizemos duas considerações:
2
O momento de inércia (I) de uma esfera maciça é 5 𝑚𝑟 2 ;
𝑣
Considerando o rolamento sem deslizamento, temos 𝑣 = 𝜔𝑟 ou 𝜔 = 𝑟 .
Partindo das considerações feitas, temos:
1
1 2
𝑣2
𝑚𝑣𝑥2 + . 𝑚𝑟 2 2
2
2 5
𝑟
1
1
𝑔𝑕 = 𝑔𝑕𝑜 + 𝑣𝑥2 + 𝑣 2
2
5
7 2
𝑔𝑕 = 𝑔𝑕𝑜
𝑣
10 𝑥
𝑣𝑥2 =
𝑚𝑔𝑕 = 𝑚𝑔𝑕𝑜 +
𝑣𝑥 =
10
𝑔 𝑕 − 𝑕𝑜
7
10
𝑔 𝑕 − 𝑕𝑜
7
(𝑉𝐼)
O alcance da esfera é dado por:
𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑣𝑥 𝑡
𝑥 = 𝑣𝑥 𝑡
(𝑥𝑜 = 0)
(𝑉𝐼𝐼)
O tempo de queda da esfera é dado por:
1
𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑣𝑜𝑦 𝑡 − 𝑔𝑡 2
2
1
0 = 𝑕𝑜 − 𝑔𝑡 2
2
𝑡=
2𝑕𝑜
𝑔
(𝑉𝐼𝐼𝐼)
Substituindo a equação (VIII) na equação do alcance (VII), e depois substituindo a equação (VI)
nessa última, temos:
𝑥 = 𝑣𝑥
𝑥=
10
7
𝑥=
𝑥=2
2𝑕𝑜
𝑔
𝑔 𝑕 − 𝑕𝑜
20
7
5
7
2𝑕𝑜
𝑔
𝑕𝑜 𝑕 − 𝑕𝑜
𝑕𝑜 𝑕 − 𝑕𝑜
Onde x é o alcance da esfera quando consideramos o movimento de rotação desse corpo.
(d) Faça no mesmo plano de coordenadas xy os gráficos teóricos (com e sem energia de rotação) e
experimental da dependência do alcance da esfera com a altura que a esfera foi solta (tabela 22).
Compare as curvas obtidas. Qual o melhor modelo teórico (com ou sem rotação da esfera) explica
melhor os resultados experimentais?
Fig. 6 – Gráficos dos alcances experimentais e teóricos
A partir dos gráficos apresentados na figura, percebemos que quando consideramos a rotação do
corpo, os dados experimentais são mais satisfatórios do que quando a rotação não é levada em conta, uma
vez que descreve com uma precisão razoável o alcance da esfera.
No gráfico do alcance (com rotação), percebemos que, à medida que a altura aumenta, os dados
teóricos e experimentais tendem a se distanciar. A causa desse fato é o aumento da altura (h), que gera um
maior erro nos dados experimentais.
Conclusão
O experimento foi uma análise de assuntos importantes para os dias atuais, o qual conseguiu
incluir a física no mundo real. Aprendemos e conseguimos identificar conceitos fundamentais, tais como:
a energia cinética de rolamento e o manuseio de equações da cinemática e da dinâmica para o posterior
encontro de fórmulas de alcance que se baseassem apenas nas alturas.
Percebemos que a distância entre os alcances da esfera diminui à medida que aumentamos a altura
de onde ela foi solta. Esse fato deve-se à taxa de variação do alcance em função do aumento da altura. A
função que descreve o alcance da esfera é uma função de raiz quadrada 𝑥, e, portanto, sua derivada é do
tipo
1
2 𝑥
.
Referências Bibliográficas
HALLIDAY; RESNICK. Fundamentos de Física. 8ª Ed. V1. LTC. 2008, RJ.