simulado de matemática – 2 turmas do 3o ano

SIMULADO DE MATEMÁTICA – 2
TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO MÉDIO
COLÉGIO ANCHIETA-BA - SETEMBRO DE 2011.
ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E
ADRIANO CARIBÉ.
RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
QUESTÕES DE 01 A 08
Assinale as proposições verdadeiras some os resultados obtidos e marque na Folha de
Respostas.
QUESTÃO 01.
Os dados a seguir referem-se aos alunos matriculados nas duas turmas de um curso de Inglês.
Turma A
Turma B
HOMENS
MULHERES
35
15
10
20
Com base nesses dados, é correto afirmar:
(01) A probabilidade de, sorteando-se um aluno deste curso, encontrarmos um homem é
56,25%.
(02) A probabilidade de, sorteando-se um aluno deste curso, encontrarmos uma mulher ou um
aluno da turma B é 81,25%.
(04) A probabilidade de, sorteando-se três alunos da turma B, encontrarmos um homem e duas
mulheres é de aproximadamente 16,6%.
(08) O número de duplas que podem ser formadas apenas com mulheres é igual a 595.
(16) O número de comissões que podem ser formadas com duas mulheres de cada turma é igual
a 295.
(32) Se os Homens da turma B vão disputar uma prova de atletismo onde não há possibilidade
de empate entre dois concorrentes então o número de resultados possíveis para esta disputa
considerando apenas os três primeiros lugares é 720.
1
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
Número de casos possíveis: n(E) = 80.
Número de casos favoráveis: n(A) = 45
p=
45 56,25
=
= 56,25%
80
100
(02) FALSA.
Número de casos possíveis: n(E) = 80.
Número de casos favoráveis: n(A) = 45
p=
45 56,25
=
= 56,25%
80
100
(04) FALSA.
Número de casos possíveis: n(E) = C30,3 =
30 × 29 × 28
= 4060 .
6
Número de casos favoráveis: n(A) = 10 × C20,2 = 1900.
p=
1900
= 0,46798... = 46,80%
4060
(08) VERDADEIRA.
Número de casos favoráveis: n(A) = C35,2 =
35 × 34
= 595 .
2
(16) FALSA.
Número de casos favoráveis: n(A) = C15,2 × C20,2 =
=
15 × 14 20 × 19
×
= 105 × 190 = 19950
2
2
(32) VERDADEIRA.
Número de casos favoráveis: n(A) = 10 × 9 × 8 = 720.
QUESTÃO 02.
Sobre Geometria de Posição pode-se afirmar que:
(01) Se dois planos são paralelos e uma reta é oblíqua a um deles, então é oblíqua ao outro.
(02) Se a reta r é paralela ao plano α, então não existe plano β contendo a reta r e perpendicular
ao plano α.
(04) Se as retas r e s são reversas, então existe uma reta t perpendicular a essas retas.
2
(08) Se dois planos são perpendiculares, toda reta paralela a esses planos é paralela à interseção
deles.
(16) Se a reta r é perpendicular ao plano α, então as retas contidas em α são perpendiculares ou
ortogonais à reta r.
(32) Se uma reta é perpendicular a duas retas de um plano, então é perpendicular ao plano.
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
Na figura ao lado β // δ e r é oblíqua a β e
obliqua a δ
(02) FALSA.
A reta r é paralela `reta s ⊂ α ⇒ r // α.
A reta r ⊂ β e β ⊥ α.
(04) VERDADEIRA.
As retas r e s são reversas e a reta t é
perpendicular a essas retas.
(08) VERDADEIRA.
α ⊥ β, β ∩ α = r, s // α e s // β ⇒ s // r.
(16) VERDADEIRA.
Se a reta r é perpendicular ao plano α, então ela é perpendicular a todas retas contidas em α que
passam pelo ponto
P = r ∩ α e ortogonal a todas as retas do plano α que passam fora de P.
(32) FALSA
A reta pode estar contida no plano.
3
QUESTÃO 03
x 2 + 4x; se x < 0

Considerando-se a função real f ( x ) = 1 − 2 x ; se 0 ≤ x < 3 , pode-se afirmar:
2 x − 13; se x ≥ 3

(01) f assume valor mínimo para x = 3.
(02) A imagem de f é o intervalo [ –7; +∞ [.
(04) A função f é crescente no intervalo [− 2;7]
(08) A reta y = – 2 intercepta o gráfico de f em quatro pontos.
(16) Se x < – 4, então f(x) > 0.
RESOLUÇÃO:
Analisando o gráfico tem-se a solução da questão
(01) VERDADEIRA.
Para x = 3 f(3) = 2(3) – 13 = – 7.
(02) VERDADEIRA.
(04) FALSA.
No intervalo [− 2; 7] a função f não é crescente nem
decrescente.
(08) VERDADEIRA.
(16) VERDADEIRA.
Se x < – 4, então f(x) > 0.
QUESTÃO 04
Considere os pontos A = (1, 2), B = (3, 4) e C = (5, −1).
É verdade que:
(01) A distância entre os pontos A e B é
2 u.c.
(02) A área do transformado do triângulo ABC por uma homotetia de razão k =
triângulo de área
1
, é um
3
7
u.a.
9
(04) A equação da reta AB na forma reduzida é y = x + 1.
4
(08) A altura do triângulo ABC relativa ao lado AB é igual a
7 2
u.c.
2
(16) Se o ponto P = (p, 3) é tal que o ângulo PĈB é reto, então p = 12.
(32) A equação da circunferência que tem AB como diâmetro é x 2 + y 2 − 4 x − 6 y + 11 = 0 .
RESOLUÇÃO:
(01) FALSA.
AB =
(3 − 1)2 + (4 − 2)2
= 4+4 = 2 2 .
(02) VERDADEIRA.
1 2 1
1
1
1
A área do triângulo ABC é S = .3 4 1 = . 4 − 3 + 10 − 20 + 1 − 6 = . − 14 = 7
2
2
2
5 − 1 1
O transformado do triângulo ABC por uma homotetia de razão k =
1
, é um triângulo A’B’C’
3
semelhante a ele. Os lados
deste triângulo medem
S
S
1
7
1
dos lados do triângulo ABC. A 'B'C' = ⇒ SA 'B'C' = ABC = u.a.
3
S ABC
9
9
9
(04) VERDADEIRA.
y−2=
4−2
(x − 1) ⇒ y − 2 = x − 1 ⇒ y = x + 1
3 −1
A = (1, 2), B = (3, 4) e C = (5, −1).
(08) VERDADEIRA.
A medida do segmento CH é a distância do ponto
C = (5, −1) á reta AB cuja equação é x – y + 1= 0,
logo
AH =
5 +1+1
1+1
=
7
2
=
7 2
2
5
(16) FALSA.
Se o ângulo PCˆB é reto, BP2 = BC2 + PC2 ⇒
(p − 3)2 + (3 − 4)2 = (5 − 3)2 + (− 1 − 4)2 + (p − 5)2 + (3 + 1)2 ⇒
p 2 − 6p + 9 + 1 = 4 + 25 + p 2 − 10p + 25 + 16 ⇒ 4p = 60 ⇒ p = 15
(32) VERDADEIRA.
Como AB = 2 2 (item 01), o raio da circunferência mede
 3 +1 4 + 2 
2 e o seu centro é o ponto M = 
,
 = (2,3)
2 
 2
A equação da circunferência é:
(x − 2)2 + (y − 3)2 = 2 ⇒ x 2 + y 2 − 4x − 6y + 13 − 2 = 0 ⇒
x 2 + y 2 − 4x − 6 y + 11 = 0
QUESTÃO 05
Considerando-se a função real f(x) = 3 + 2x – 1 e sendo g: A → R a sua inversa, pode-se afirmar:
(01) A imagem de f é A
(02) O gráfico de f está acima da reta y = 4
(04) g  11  = log25
2
(08) Se f(h(x)) = 3 + 2x então h  1  = 0
4
(16) O conjunto solução da inequação f(2x + 1) < 1 + 3 . 2x é o intervalo ]0,1[
(32) O gráfico da função g intercepta o eixo Ox no ponto (1,0)
Determinação da inversa de f(x);
f (x ) = 3 + 2 x −1 ⇒ x = 3 + 2 g ( x )−1 ⇒
2g( x)
= x − 3 ⇒ 2 g ( x ) = 2 x − 6 ⇒ g( x ) = log 2 (2x − 6)
2
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
Se f(x) e g(x) são funções inversas, o conjunto domínio de f é o conjunto imagem de g e
vice-versa.
6
(02) FALSA.
Fazendo f(x) = 4 ⇒ 3 + 2 x −1 = 4 ⇒ 2 x −1 = 1 ⇒ x − 1 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ a reta y = 4 intercepta o gráfico
de f(x) no ponto (1, 4).
(04) VERDADEIRA.
 11 
g( x ) = log 2 (2x − 6) ⇒ g  = log 2 (11 − 6) = log 2 5
2
(08) VERDADEIRA.
Se f(h(x)) = 3 + 2x ⇒
3 + 2 h ( x )−1 = 3 + 2x ⇒ 2 h ( x )−1 = 2 x ⇒ h ( x ) − 1 = log 2 (2x ) ⇒ h ( x ) = log 2 (2 x ) + 1 ⇒
1
 1
1
h   = log 2  2 ×  + 1 = log 2   + 1 = −1 + 1 = 0
4
4

2
(16) VERDADEIRA.
f(2x + 1) < 1 + 3 . 2x ⇒ 3 + 2 2 x +1−1 < 1 + 3.2 x ⇒ 2 + 2 2 x < 3.2 x ⇒ 2 2 x − 3.2 x + 2 < 0 .
As raízes da equação 2 2 x − 3.2 x + 2 = 0 são: 2 x =
3± 9 −8
3 ±1
⇒ 2x =
⇒ 2 x = 1 ou 2 x = 2 .
2
2
{
A solução da inequação 2 2 x − 3.2 x + 2 < 0 é: 1 < 2 x < 2 ⇒ 2 0 < 2 x < 21 ⇒ 0 < x < 1 , logo o
intervalo ] 0,1[
(32) FALSA.
O domínio da função g( x ) = log 2 (2x − 6) é dado para todo x tal que 2x – 6 ≥ 0 ⇒ 2x ≥ 6 ⇒
x ≥ 3.
QUESTÃO 06
Seja a sequência (a n ) = ( x , 2 x + 1, 4 x ,...) .
É verdade que:
(01) Se (a n ) é uma PA, então sua razão é r = 3.
(02) Se (a n ) é uma PG, então sua razão é q = − 2.
(04) Se (a n ) é uma PA, então a soma dos seus 10 primeiros termos é 300.
(08) Se (a n ) é uma PG, então a soma dos seus 10 primeiros termos é igual a
1 10
2 −1
12
(
)
(16) Se (a n ) é uma PA, então o primeiro termo que excede 1999 é o de ordem 666.
(32) Se (a n ) é uma PG, então a 32 + a 30 = 5.2 27.
7
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
4x + x = 2(2x+1) ⇒ 5x = 4x + 2⇒ x = 2 ⇒ (a n ) = (2, 5, 8,...) ⇒ r = 3.
(04) FALSA.
(a n ) = (2, 5, 8,...) ⇒ a 10 = 2 + 9 × 3 = 29 ⇒ S10 =
(2 + 29)×10 = 155
2
(02) VERDADEIRA.
1
 1 1

4 x.x = (2 x + 1)2 ⇒ 4x 2 = 4 x 2 + 4 x + 1 ⇒ 4 x = −1 ⇒ x = − ⇒ (a n ) =  − , , − 1,... ⇒ q = −2
4
 4 2

(08) VERDADEIRA.
 1 1

(a n ) =  − , , − 1,... ⇒ q = −2 ⇒ S10 =
4
2


−
1
(− 2)10 − 1 1
4
=
210 − 1
− 2 −1
12
(
)
(
)
(16) FALSA.
(a n ) = (2, 5, 8,...) ⇒ a n > 1999 ⇒ 2 + (n − 1) × 3 > 1999 ⇒ 3n − 3 > 1997 ⇒ 3n > 1997 ⇒ 3n > 2000 ⇒ n > 666,666..
⇒
o primeiro termo que excede 1999 é o de ordem 667.
(32) VERDADEIRA.
 1
 1
 1
a 32 =  − (− 2)31 e a 30 =  − (− 2 )29 ⇒ a 32 + a 30 =  − (− 2)29 (− 2)2 + 1 = 2 27.5
4
4




 4
(
)
QUESTÃO 07(UFBA2006)
O custo de produção diária e a receita pela venda de um determinado produto fabricado por uma
empresa, em milhares de reais, são dados, respectivamente, pelas funções C: [0, +∞[ → [0, +∞[
e R: [0, +∞[ → [0, +∞[, com C(x) = 2 + log2(x +1) e R(x) = 2x – 1, sendo x o número de
centenas de unidades produzidas.
Com base nessas informações, é correio afirmar:
(01) As funções C e R são crescentes.
(02) R é a função inversa de C.
(04) Para uma receita igual a R$ 7.000,00, o custo é igual a R$ 4.000,00.
(08) Se a produção é de 100 unidades, então um aumento de 200% na produção acarretará um
aumento de 100% no custo.
(16) A função lucro, definida por L = R – C, satisfaz a condição L(0)=L(1), mas não é uma
função constante.
8
(32) A figura ao lado representa um esboço do gráfico da
função C.
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
Tanto em C(x) quanto em R(x) as bases das respectivas
funções são números
maiores que 1.
Veja a representação gráfica:
(02) FALSA.
C(x) = 2 +log2 (x +1) ⇒ x = 2 + log2 (y +1) ⇒ log2 (y +1) = x – 2 ⇒ y + 1 = 2x – 2
C’(x) = 2 x – 2 – 1 ≠ R(x).
(04) VERDADEIRA.
R(x) = 2x − 1 = 7 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 3. Substituindo este valor em C(x) , tem-se: 2 +log2 (3 +1),
logo 2 +2 = 4
(08) FALSA.
Considerando a produção de 1 centena e a produção com um aumento de 200% igual a 3
centenas e calculando os custos:
C(x) = 2 + log2 (x+1) ⇒ C(1) = 2 + log2 2= 3 e C(3) = 2+log2 4= 4 ⇒ um aumento de 1 no
custo, que equivale a
1
= 0,3333 = 33,33%
3
9
(16) VERDADEIRA.
L(x) = 2x – 1 – [2 + log2 (x+1)] = 2x – 3 –
log2 (x+1).
L(0) = 1 – 3 – log2 (0+1).= – 2.
L(1) = 2 – 1 – 2 – log2 2 = – 2.
A função L(x) é dependente de x, logo não
é constante.
Graficamente:
(32) VERDADEIRA.
Vide gráfico apresentado na resolução do item (01)
QUESTÃO 08 (UFBA-01)
Uma micro-empresa fabrica um determinado bem de consumo e o coloca à venda, no mercado.
O custo de fabricação do produto é composto de uma parcela fixa, correspondendo a R$ 300,00,
e mais R$ 3,00 por unidade fabricada. A quantidade vendida depende do preço da unidade e
obedece à lei de uma função afim. Quando o preço da unidade é de R$ 6,00 são vendidas,
mensalmente, 200 unidades do produto. Aumentando-se o preço em R$ 2,00 por unidade,
passam a ser vendidas 100 unidades mensais.
Com base nessas informações, pode-se concluir:
(01)
A quantidade vendida em relação ao preço unitário é uma função decrescente.
(02)
Se o preço unitário for de R$ 3,00, serão vendidas exatamente 250 unidades.
(04)
O custo de fabricação de 1000 unidades do produto é igual a R$ 3.300,00.
(08)
A receita máxima pela venda do produto é igual a R$ 1.250,00.
(16)
Sendo
L(x) o
2
L(x) = – 0,02x + x – 100.
(32)
lucro
em
função
das
unidades
vendidas,
então
Quando o preço unitário se situar entre R$ 6,50 e R$ 9,00, o lucro será crescente.
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
Sendo p a quantidade de produtos vendidos e x o valor unitário: p(x) = ax + b que é satisfeita
pelos pares ordenados (6, 200) e (8, 100). Logo:
2a = −100
6a + b = 200 
⇒ a = −50 ⇒ p( x ) = −50x + 500

8a + b = 100
b = 500

10
(02) FALSA.
p(3) = −150 + 500 = 350
(04) VERDADEIRA.
C(1000) = 3000 + 300 = R$ 3.300,00.
(08) VERDADEIRA.
R (p( x )) = x (− 50x + 500) = −50x 2 + 500x ⇒ a receita máxima pela venda do produto é igual a:
R=
−∆ −(250000)
=
= R$ 1.250,00.
− 200
4a
(16) FALSA.
Sendo L(x) = − 50x 2 + 500x − [3(−50x + 500) + 300] ⇒ L(x) = − 50x 2 + 650x − 1800 .
(32) FALSA.
Quando o preço unitário se situar entre R$ 6,50 e R$ 9,00, o lucro será crescente.
∆ = 422500 − 360000 = 62500 ⇒ ∆ = 250 ⇒ x =
−650 ± 250
⇒ x = 4 ou x = 9 ⇒ x v = 6,50
− 100
Sendo o coeficiente de x2 um número negativo, a função se comporta conforme o gráfico
abaixo e portanto, quando o preço unitário se situar entre R$ 6,50 e R$ 9,00, o lucro será
decrescente.
QUESTÕES 09 E 10
Efetue os cálculos necessários e marque os resultados na Folha de Respostas.
QUESTÃO 09.
Seja S a soma dos termos da sequência (a n ) = (1,2,3,6,5,10,7,14,9,18,...,118)
Calcule o valor de
S
.
100
RESOLUÇÃO:
S10 = 100 − 40 = 60 e S9 = 81 − 36 = 45
⇒ a 10 = S10 − S9 = 60 − 45 = 15
RESPOSTA: 15
11
QUESTÃO 10
Colocando-se em ordem crescente todos os números inteiros de cinco algarismos distintos
formados com os elementos do conjunto {2, 4, 5, 6, 7}, o número 24567 ocupa a posição
número 1 , o número 76542 ocupa a posição número 120 e o número 62754 ocupa a posição
número x. Calcule x.
RESOLUÇÃO:
Começando por 2, 4 ou 5 tem-se: 3 × 4 × 3 × 2 × 1 = 72 números distintos.
DM
UM
C
D
U
números distintos.
6
2
5 ou 4
DM
UM
C
D
U
números distintos.
6
2
7
4
5
1
6
2
7
5
4
1
1 × 1× 2 × 2 × 1 = 4
Total de números: 72 + 4 + 1 + 1 = 78
RESPOSTA: 78.
12