3 ano do ensino médio – data: 19/03/11

RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA
– 3o ANO DO ENSINO MÉDIO –
DATA: 19/03/11
PROFESSORES: CARIBE E MANUEL
O salário bruto mensal de um vendedor é constituído de uma parte fixa igual a R$ 1.500,00 mais uma
comissão de 5% sobre o valor de suas vendas que excede a R$ 20.000,00, ou seja, se ele vender
R$ 30.000,00, ganha R$ 500,00 de comissão. Sobre o salário bruto incidem dois descontos, um de 8%
para a previdência social e outro de 12% para o imposto de renda. Em um determinado mês este
vendedor vendeu um total de x reais e recebeu liquido de salário R$ 4.000,00.
Calcule a soma dos algarismos de x.
Salário bruto = 1500 + 5% (x – 20000)
Salário líquido = 80% (1500 + 5% (x – 20000))
80% (1500 + 5% (x – 20000)) =
1500 + 5% (x – 20000) =
4000
= 5000
0,8
4000
= 5000
0,8
5% (x – 20000) = 3500
x – 20000 =
3500
= 70000
0,05
x = 90000
Resposta: 9
Um determinado tipo de cogumelo fresco contém 90% de água e, quando desidratado, apresenta 12%
de água. Com 220 kg de cogumelos frescos, a quantidade, em kg, de cogumelos desidratados que
pode ser obtida é:
⎧90% 220 = 198 kg (água )
⎨
⎩10% 220 = 22 kg (outros )
Antes: 198 kg (água) + 22 kg (outros) = 220 kg
–x
–x
Depois: (198 – x) kg (água) + 22 kg (outros) = 220 – x
⇓
⇓
⇓
12%
88%
100%
22 kg
y
88%
100%
Logo y (o novo total) é igual a 25 kg.
O preço do Barril de Petróleo teve forte queda no ano de 2008 por conta da crise econômica mundial.
Nesse ano (2008) a cotação do Barril caiu 45%. No ano de 2009 ele teve uma forte recuperação tendo
se valorizado 25%. E no ano de 2010 ele continuou subindo tendo fechado o ano em alta de 20%.
Sendo assim, em relação ao triênio 2008/2009/2010 podemos afirmar que:
fatores
2008: – 45% ⎯⎯→ 0,55
2009: + 25% ⎯⎯→ 1,25
2010: + 20% ⎯⎯→ 1,2
Multiplicando os fatores (0,55) . (1,25) . (1,2) obtemos o fator
resultante 0,825 que significa que no referido triênio a cotação do
petróleo caiu 17,5%.
Resposta: A cotação do barril de petróleo teve uma desvalorização de 17,5%.
Um mestre-de-obras e quatro pedreiros foram contratados para fazer um certo serviço, pelo qual
receberiam a quantia de Q reais. Essa quantia seria repartida entre eles de modo que todos os
pedreiros recebessem o mesmo valor e o mestre-de-obras ganhasse 50% a mais que cada um deles.
Na última hora, um dos pedreiros desistiu. Então, o mestre-de-obras e os três pedreiros restantes
decidiram fazer sozinhos o serviço e combinaram uma nova divisão dos Q reais: os três pedreiros
receberiam valores iguais, mas o mestre-de-obras ganharia, agora, 40% a mais que cada um deles.
Então, a quantia que cada um dos três pedreiros recebeu teve um aumento de:
1a hipótese:
Cada pedreiro recebe x e o mestre 1,5x.
Logo, 4x + 1,5x = 5,5x = Q.
2a hipótese:
Cada pedreiro recebe y e o mestre 1,4y.
Logo, 3y + 1,4y = 4,4y = Q.
Portanto, 4,4y = 5,5x e sendo assim, y = 1,25x, o que significa que houve aumento de 25%.
Resposta: 25%
Uma pessoa aplicou metade do seu capital à taxa de 30% ao semestre no regime de juros compostos e
a outra metade à taxa de 27% ao quadrimestre no sistema de juros simples e obteve ao final de um ano
um montante de R$ 4.200,00. Qual o capital inicial desta pessoa?
Capital inicial: x
⎧c 1 = 0,5 x
⎫
⎪
⎪
⎨i = 30% a.s. ( j. comp )⎬
⎪t = 2 sem
⎪
⎩
⎭
m1 = c . (1 + i)
t
m1 = 0,5 x . (1 + 30%)
2
m1 = 0,845 x
m2 = c . (1 + i . t )
c 2 = 0,5 x
i = 27% a.q.
m2 = 0,5 x . (1 + 27% . 3 )
t = 3q
m2 = 0,905 x
m1 + m2 = 4200
0,845x + 0,905x = 4200
1,75x = 4200 ∴ x = 2400
Resposta: 2400
Uma empresa tem uma divida de R$ 8.000 que vence daqui a três meses e outra de R$ 9.500 que
vence em sete meses com o mesmo credor. Ela resolve então, acertar com o credor um pagamento
único hoje utilizando uma taxa de desconto comercial simples de 2% ao mês.
Calcule o valor deste pagamento.
D1 = 8000 .
2
. 3 = 480
100
D2 = 9500 .
2
. 7 = 1330
100
Pagamento = (8000 – 480) + (9500 – 1330) = 15.690.
Resposta: 15.690,00
Considere a sequência (an) dada por:
a1 = 3
⎧
⎪
a2 = 1
⎨
⎪a = a − a
n −1
n−2
⎩ n
Qual é o 70º termo da sequência de números (an) definida acima?
a 3 = a2 – a 1 = 1 – 3 = – 2
a4 = a3 – a2 = – 2 – 1 = –3
a 5 = a4 – a 3 = – 3 + 2 = – 1
a 6 = a5 – a 4 = – 1 + 3 = 2
a 7 = a6 – a 5 = 2 + 1 = 3
a 8 = a7 – a 6 = 3 – 2 = 1
Podemos observar que a sequência (an) é periódica e se repete a cada 6 termos.
Logo, dividindo 70 por 6 obtemos resto 4, o que significa que a70 = a4 = – 3.
Resposta: – 3
Quantos números naturais não divisíveis por 7 existem entre 2000 e 3000?
Números naturais entre 2000 e 3000:
(2001, 202, 2003, ... ..., 2999)
an = a1 + (n – 1) . r
2999 = 2001 + (n – 1) . 1 ∴ n = 999
Múltiplo de 7 entre 2000 e 3000:
(202; 2009; 2016; ... ...; 2996)
an = a1 + (n – 1) . r
2996 = 2002 + (n – 1) . 7 ∴ n = 143
Logo, entre 2000 e 3000, existem 856 (999 – 143) números naturais não disponíveis por 7.
Resposta: 856
Para estudar o desevolvimento de um grupo de bactérias, um laboratório realizou uma pesquisa durante
15 semanas. IniciaImente, colocou-se um determinado número de bactérias em um recipiente e, ao final
de cada semana, observou-se o seguinte:
ƒ na primeira semana, houve uma redução de 20% no número de bactérias;
ƒ na segunda semana, houve um aumento de 10% em relação à quantidade de bactérias existentes ao
final da primeira semana;
ƒ a partir da terceira semana, o número de bactérias cresceu em progressão aritmética de razão 12;
ƒ no final da décima quinta semana, o número de bactérias existentes era igual ao inicial.
Com base nessas informações, determine o número de bactérias existentes no início da pesquisa.
Considere x o número inicial de bactérias.
ƒ No final da 1a semana, o número de bactérias é igual a x – 20% x = 0,8 x.
ƒ No final da 2a semana, o número de bactérias é igual a 0,8x + 10% (0,8)x = (1,1)(0,8)x = 0,88x.
Uma vez que, a partir da 3a semana, o número de bactérias cresceu em progressão
aritmética de razão 12, tem-se:
ƒ No final da 3a semana, o número de bactérias é igual a 0,88x + 12.
ƒ No final da 4a semana, o número de bactérias é igual a (0,88x – 12) + 12.
E assim, sucessivamente, até a 15a semana, quando o número de bactérias existentes é
igual a x.
O número de bactérias da 2a até a 15a semanas, corresponde a uma progressão aritmética
de 14 termos, sendo o 1o termo a1 = 0,88x, o 14o termo a14 = x e a razão r – 12.
Sabendo-se que em uma progressão aritmética an = a1 + (n – 1)r tem-se que a14 = a1 + 13(12),
portanto, x = 0,88x + 156, ou seja é x =
156
= 1300.
0,12
Logo, no inicio da pesquisa havia 1300 bactérias.
Resposta: 1300
Um teatro tem 10 poltronas na primeira fila, 14 na segunda, 18 na terceira, e assim sucessivamente.
Se o número total de poltronas é 2.880, qual o número de filas que ele possui?
a1 = 10
a2 = 14
a3 = 18
⁞
Sn = 2880
(a1 + an ) . n = 2880
2
(a1 + a1 + (n – 1) . r) . n = 5760
(10 + 10 + (n – 1) . 4) . n = 5760
(20 + 4n – 4) . n = 5760
4n2 + 16n – 5760 = 0
n2 + 4n – 1440 = 0
Δ = 16 + 5760 = 5776
36
4 ± 76
n=
2
– 40 (não serve)
Logo, o teatro possui 36 filas.
Resposta: 36
Sejam as matrizes A = (aij)3x2 e B(bij)3x2, definidas por aij = i + j, se i ≠ j e aij = 1, se i = j e bij = 0 se i ≠ j e
bij = 2i – j, se i = j, então A + B é igual a:
⎛ a11
⎜
⎜ a 21
⎜a
⎝ 31
⎛ b11
⎜
⎜ b 21
⎜b
⎝ 31
a12 ⎞
⎛1 3 ⎞
⎟
⎜
⎟
a 22 ⎟
= ⎜3 1 ⎟
a 32 ⎟⎠ 3 x 2 ⎜⎝ 4 5 ⎟⎠
b12 ⎞
⎛1 0 ⎞
⎟
⎜
⎟
b 22 ⎟
= ⎜ 0 2⎟
b 32 ⎟⎠ 3 x 2 ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠
i≠j
i=j
i≠j
a1 2 = 1 + 2 = 3
a11 = 1
b12 = 0
b11 = 2 . 1 – 1 = 1
a2 1 = 2 + 1 = 3
a22 = 1
b21 = 0
b22 = 2 . 2 – 2 = 2
a3 1 = 3 + 1 = 4
b31 = 0
a3 2 = 3 + 2 = 5
b32 = 0
ij
⎛1
⎜
A + B = ⎜3
⎜4
⎝
3 ⎞ ⎛1
⎟ ⎜
1 ⎟ + ⎜0
5 ⎟⎠ ⎜⎝ 0
0⎞ ⎛2
⎟ ⎜
2⎟ = ⎜3
0 ⎟⎠ ⎜⎝ 4
3⎞
⎟
3⎟
5 ⎟⎠
i=j
1
1
A solução da equação 2
4
1
2
1
3
4
7−x
1
4
1
4
= 0 , no coeficiente R, é um número:
16 + x
3
7−x
1
2
16 + x 4
1
3 =0
7−x
= [ 3 (16 + x ) + 16 + 2 (7 − x ) ] − [ 12 + 4 (7 − x ) + 2 (16 + x ) ] = 0
= 48 + 3x + 16 + 14 – 2x – 12 – 28 + 4x – 32 – 2x = 0
= 6 + 3x = 0
3x = – 6 Æ x = – 2
Resposta: Racional e menor que (– 1)
⎛1⎞
⎜ ⎟
Dadas as matrizes A = ⎜1⎟ e B = (2 2 2), é correto afirmar que:
⎜1⎟
⎝ ⎠
⎛1⎞
⎛ 2 2 2⎞
⎜ ⎟
⎜
⎟
A . B = ⎜1⎟ . = (2 2 2)1x 3 = ⎜ 2 2 2 ⎟
⎜1⎟
⎜ 2 2 2⎟
⎝ ⎠3 x1
⎝
⎠3 x 3
2 2
A .B = 2 2
2 2
2
2 =0
2
⎛1 1 1 ⎞
⎜
⎟
A inversa da matriz ⎜ 2 3 2 ⎟ é a matriz
⎜ 4 7 5⎟
⎝
⎠
2
⎛ 1
⎜
x
⎜− 2
⎜ 2 −3
⎝
A . A–1 = Id
⎛1 1 1 ⎞
⎜
⎟
⎜2 3 2⎟
⎜ 4 7 5⎟
⎝
⎠3 x 3
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
− 1⎞
⎛1 0 0 ⎞
⎟
⎜
⎟
0⎟
= ⎜0 1 0⎟
⎜ 0 0 1⎟
1 ⎟⎠3 x 3
⎝
⎠
⎛ 1 2
⎜
⎜− 2 x
⎜ 2 −3
⎝
4+3 x−6
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠3 x 3
⎛1 0 0 ⎞
⎟
⎜
⎜0 1 0⎟
⎜ 0 0 1⎟
⎠
⎝
4 + 3x – 6 = 1
3x = 1 + 2
x=1
⎛2 0⎞
⎟⎟ é a matriz:
A inversa da matriz ⎜⎜
⎝0 2⎠
detA = 4 – 0 = 4 (é inversível)
A
−1
⎛ 2
⎜⎜
−0
=⎝
− 0⎞
⎟
2 ⎟⎠
4
⎛1
⎜ 2
=⎜
⎜0
⎝
0 ⎞⎟
⎟
−1 ⎟
2⎠
− 1⎞
⎟
0 ⎟ , o valor de x é:
1 ⎟⎠