Texto Completo

Introdução à Física
S.J.Troise
Ciência é a arte de estudar a natureza e este estudo pode ser feito sob
diferentes aspectos. Cada um destes aspectos define um dos três grandes
ramos da ciência: a Biologia, a Química e a Física. Enquanto a primeira
preocupa-se com o estudo dos seres vivos e a segunda preocupa-se com
o estudo das substâncias e suas transformações, a Física tem por objetivo
o estudo da energia e suas manifestações. Assim estudar Física é uma
forma de estudar a natureza
Principio da pesquisa física
Ao estudar um fenômeno, a Física adota o seguinte procedimento:
A) realiza a observação atenta do fenômeno até não restar nenhuma dúvida sobre o que está sendo
observado;
B) define todas as grandezas envolvidas no fenômeno observado, isto é, tudo que pode ser medido;
C) mede essas grandezas, construindo assim tabelas que mostram as correlações existentes entre
elas;
D) constrói gráficos a partir dessas tabelas, os quais colocam em evidência a existência de relações
matemáticas definidas entre as grandezas, ou seja, de fórmulas relacionando-as;
E) determina essas fórmulas, as quais passam a se constituir num modelo matemático do fenômeno,
isto é, um meio de prever o fenômeno sem ter que observá-lo experimentalmente;
F) manipula essas fórmulas, a partir de regras matemáticas, obtendo novas fórmulas, as quais
permitem, até mesmo. prever novos fenômenos.
Os procedimentos A a E apresentados acima constituem a chamada Física Experimental enquanto
que o procedimento F é a chamada Física Teórica.
O objetivo deste texto é apresentar os procedimentos acima, aplicados a uma classe especial de
fenômenos apresentados pela natureza, chamados genericamente de Fenômenos Elétricos. Este capítulo da
Física é chamado de Eletricidade.
Para efeito didático, a Eletricidade está dividida em três grandes áreas: Eletrostática, Magnetismo e
Eletrodinâmica.
Cap 1 - 1
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
2.
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
2.1
OBSERVAÇÃO
FUNDAMENTAL
Fenômeno fundamental
Existem partículas, encontradas na natureza, que apresentam a
propriedade de se atraírem ou de se repelirem ou seja, quando
colocadas em presença mútua. entre elas aparece uma força de
interação, de atração ou de repulsão.
Para distinguir esta força das demais forças encontradas na natureza ela é denominada “força de natureza
elétrica“. As partículas mais comuns encontradas na natureza, que apresentam esta propriedade, são o elétron e o
próton.
O que se observa, de forma indireta, é que:
a) próton repele próton:
Figura 2-1
b) elétron repele elétron:
Figura 2-2
c) próton atrai elétron:
Figura 2-3
Observa-se ainda que esse processo de interação obedece à Lei da Ação e Repulsão, estudada na
Mecânica.
2.2
Conceito de Carga Elétrica
Para que essas partículas tenham este comportamento é necessário que elas apresentem alguma
propriedade.
Chama-se Carga Elétrica à propriedade apresentada por essas partículas que faz com que elas se atraiam
ou se repilam. Ou em outras palavras: essas partículas têm “alguma coisa” que faz com que elas se atraiam ou se
repilam. Essa “alguma coisa” é chamada Carga Elétrica. É importante que se observe que não estamos dizendo o
que é carga elétrica; estamos apenas estabelecendo um conceito.
2.3
Tipos de Carga Elétricas
É possível concluir-se a partir da observação do fenômeno de interação entre elétrons e prótons que
existem dois tipos de cargas elétricas. Isto é feito analisando-se os três fatos acima colocados.
Observação 1:
prótons se repelem
Raciocinemos: os prótons são partículas idênticas (não há razão para que não sejam). Logo os prótons têm
as mesmas propriedades e portanto devem ter o mesmo tipo de carga elétrica e se repelem
1ª Conclusão:
partículas que têm as mesmas propriedades, isto é a mesma carga
elétrica, se repelem.
Cap 2—1
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Observação 2:
elétrons se repelem
Raciocinemos: os elétrons são partículas idênticas (não há razão para que não sejam). Logo os elétrons
têm as mesmas propriedades e portanto devem ter o mesmo tipo de carga elétrica e se repelem
1ª Conclusão bis:
partículas que têm as mesmas propriedades, isto é a mesma carga
elétrica, se repelem
Observação 3:
elétrons e prótons se atraem
Raciocinemos: se o elétron e o próton tivessem a mesma propriedade, isto é, a mesma carga elétrica,
deveriam repelir-se, conforme as conclusões acima. Como isto não acontece podemos tirar a
2ª Conclusão:
a carga elétrica do elétron é diferente da carga elétrica do próton e
portanto existem dois tipos de carga elétrica.
Podemos também concluir:
3ª Conclusão:
partículas que apresentam propriedades diferentes, isto é, cargas elétricas
diferente se atraem
2.4
A denominação das Cargas Elétricas
Para distinguir estes dois tipos de cargas elas recebem nomes diferentes:
a carga do próton é denominada positiva
a carga do elétron é denominada negativa
Deve-se observar que essas denominações são arbitrárias. Não há nenhuma justificativa natural para elas.
2.5
Medida da Carga Elétrica
A propriedade carga elétrica é mensurável, isto é, pode ser medida. Em vista da conclusão 5 a medida da
carga elétrica do elétron é representada por um número negativo e a carga elétrica do próton por um número positivo.
Métodos indiretos permitem medir essas duas cargas. No Sistema Internacional (SI) a unidade de medida
da carga elétrica é o Coulomb (C) cuja definição não pode ser dada neste momento. Os valores obtidos são:
carga do elétron
q = −1.6 x10 −19 C
e
Carga do próton
q p = +1,6 ⋅ 10 −19 C
2.6
Partículas neutras
Existem também na natureza partículas que não interagem com prótons e com elétrons. Essas partículas
não apresentam a propriedade carga elétrica e são denominadas NEUTRAS. Um exemplo é o nêutron, partícula
constituinte do núcleo atômico.
2.7
O átomo
Sabe-se que o átomo em condições normais apresenta igual número de elétrons e prótons. Sabe-se
também que, nessa condição átomo é neutro, isto é, não apresenta não apresenta carga elétrica pois não interagem
com outros prótons ou elétrons, apesar de conter no seu interior cargas positivas (prótons) e cargas negativas
(elétrons).
4: Conclusão
a carga elétrica positiva dos prótons de um átomo em condições normais
cancela a carga elétrica negativa dos elétrons.
Como no átomo em condições normais o número de elétrons é igual ao número de prótons e ele é neutro
apesar de conter cargas elétricas positivas e negativas podemos concluir que a carga elétrica positiva do próton é
capaz de anular a carga elétrica negativa do elétron, sem o que o átomo não seria neutro, ou ainda:
5: ª Conclusão
a carga elétrica do próton é igual e oposta à carga elétrica do elétron.
Cap 2—2
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
2.8
O átomo ionizado - ions
Sabe-se que os elétrons das camadas externas de um átomo podem se mover com facilidade devido à sua
fraca ligação com o núcleo atômico. Por esta razão os átomos podem, em certas condições, perder ou ganhar
elétrons, ficando conseqüentemente com excesso de próton ou excesso de elétrons. Quando isto acontece passa a
existir no átomo excesso de um dos tipos de carga elétrica. Dizemos então que o átomo está eletrizado ou ainda que
é um ion.
quando ganha elétrons ele passa a apresentar excesso de carga elétrica negativa e é
chamado de ion negativo ou cátion.
quando perde elétrons passa a apresentar excesso de carga elétrica positiva e é
chamado de ion positivo ou ânion
Devemos observar aqui que nos estudos da Eletricidade admite-se o próton fortemente ligado ao núcleo
atômico e portanto impossibilitado de mover-se. Fenômenos que envolvem a mobilidade do próton são estudados na
Física do Átomo.
2.9
Corpos eletrizados
Os corpos em condições normais são constituídos por átomos em condições normais e portanto são
neutros. Como seus átomos podem ganhar ou perder elétrons o corpo como um todo pode apresentar excesso ou
falta de elétrons, passando portanto a apresentar carga elétrica negativa, se ganhar elétrons ou positiva, se perder
elétrons.Um corpo que apresenta carga elétrica é chamado “corpo eletrizado”. O ganho ou perda de elétrons ocorre,
por exemplo, durante o processo de atrito entre corpos. Textos elementares de Física descrevem este fenômeno com
detalhes.
2.10
A divisão da eletricidade
A Eletricidade á a parte da Física que estuda os fenômenos da natureza que envolvem as cargas elétricas e
esses fenômenos podem ser classificados em dois grandes grupos: aqueles que ocorrem quando as cargas estão em
repouso e aqueles que ocorrem quando as cargas estão em movimento.
Para simplificar o estudo, a eletricidade é subdividida em três grandes áreas: a Eletrostática, que estuda
fenômenos que se manifestam quando as cargas geradoras do fenômeno estão em repouso, o Magnetismo que
estuda fenômenos que se manifestam quando as cargas geradoras estão em movimento e Eletrodinâmica que
estuda as relações entre o movimento das cargas e suas causas.
2.10.1
2.10.1.1 (
2.10.1.2 (
2.10.1.3 (
2.10.1.4 (
2.10.1.5 (
Exercícios de revisão teórica
)
)
)
)
)
O que é carga elétrica?
Como é possível concluir que existem dois tipos de cargas elétricas?
Como um corpo pode apresentar carga elétrica?
O que é um corpo carregado positivamente?
O que é um corpo carregado negativamente?
Cap 2—3
Introdução à Eletricidade
3.
S.J.Troise
Estudo da força de interação entre corpos eletrizados
S.J.Troise
3.1
Introdução
Como foi dito na introdução, a Física utiliza como método de trabalho a medida das qrandezas envolvidas
em cada fenômeno que estuda. A força é uma grandeza que aparece entre as cargas elétricas e por essa razão ela e
todas as demais grandezas são estudadas e medidas em laboratório e desse estudo nasce a relação fundamental
que dá origem à Eletricidade e que recebe o nome de Lei de Coulomb.
3.2
A Lei de Coulomb na forma escalar
Para que possamos iniciar o estuda da força de interação entre corpos eletrizados, imaginemos que os
mesmos tenham suas dimensões suficientemente pequenas para que possam ser representadas por pontos
geométricos. Os corpos eletrizados que satisfazem a esta condição são chamados “cargas puntiformes”. Isto é feito
neste momento para que dois fatos ocorram:
1 - que suas posições definam exatamente uma direção no espaço (dois pontos definem uma direção no
espaço);
2 - que a distância entre elas seja bem definida (distância entre dois pontos que representam, as cargas)
Consideremos então duas carga puntiformes, representadas pelos pontos geométricos A e B da figura
abaixo, que apresentem cargas elétricas de medidas Q A e Q B
respectivamente, separadas por uma distância
r.
Figura 3-1
r
A experiência mostra que entre essas duas cargas aparece uma força de atração ou de repulsão F com as
seguintes propriedades:
1) a direção da força coincide com a reta que passa pelos pontos A e B;
Figura 3-2
2) o sentido da força é de repulsão se Q A .Q B > 0 (as cargas têm o mesmo sinal) e de atração se
Q A . QB < 0 (as cargas têm sinais opostos);
Figura 3-3
3) a intensidade da força é proporcional às medidas das cargas Q A e Q B ;
r
F α QA
e
r
F ∝ QA
4) a intensidade da força é inversamente proporcional ao quadrado da distância r entre as cargas;
r
1
F∝ 2
r
5) a intensidade da força depende do meio no qual as cargas se encontram.
Cap 3—1
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
A partir destas observações experimentais é possível determinar uma expressão que permite calcular a
força que atua sobre cada uma das cargas:
As relações 3 e 4 podem ser colocadas sob a forma de uma única relação de proporcionalidade, ou seja
r
QA ⋅ QB
F∝
r2
Esta relação de proporcionalidade pode agora ser transformada numa igualdade, introduzindo-se uma
constante de proporcionalidade, cujo valor depende do meio no qual as cargas se encontram, ou seja
r
QA .QB
F =K⋅
r2
Equação 3-1
Esta equação é denominada Lei de Coulomb na forma escalar. Com ela é possível calcular o modulo da
força de interação entre duas cargas puntiformes de medidas Q A e Q B , separadas por uma distância r
A constante que aparece na lei de Coulomb é determinada experimentalmente e seu valor para o ar ou para
o vácuo á aproximadamente, no Sistema Internacional de Unidades (SI):
K = 9 x10 9
N.m 2
C2
Esta constante é denominada constante da eletrostática e costuma ser escrita sob outra forma, com o
objetivo de simplificar as expressões resultantes dos desenvolvimentos que se seguem. Esta outra forma da
constante é
K=
1
4.π.ε 0
onde ε 0 é denominado permissividade elétrica do meio, cujo valor também depende do meio no qual as cargas se
encontram. Para o ar ou para o vácuo seu valor é, no SI
ε 0 = 8,85x10
−12
C2
N.m 2
Assim, a lei de Coulomb pode a ser escrita:
r
F=
Q ⋅Q
1
⋅ A 2 B
4 ⋅ π ⋅ ε0
r
Equação 3-2
Embora a experiência que dá origem à Lei de Coulomb não possa ser realizada em qualquer meio, a
permissividade de vários diferentes meios é medida e para eles define-se a constante dielétrica relativa ε r , como
sendo a razão entre a permissividade desse meio ε e a permissividade do vácuo ε 0 , ou seja:
εr =
ε
ε0
Equação 3-3
Pode-se observar que essa constante é adimensional. Assim a permissividade de qualquer meio é dada
por
ε = εr ⋅ ε0
Equação 3-4
A tabela abaixo mostra a constante dielétrica relativa de algumas substâncias.
Substância
Ar
Água
Álcool etílico
Borracha
Diamante
Enxofre
Cap 3—2
εr
1,00059
81
28
3,5
16,5
4
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Glicerina
Hidrogênio
Mica
Oxigênio
Papel
Parafina
Poliestireno
Vidro
3.3
56
1,000264
4a7
1,00055
2
2,1
2,5
3,7 a 6,9
A Lei de Coulomb na forma vetorial
Lembremos que o efeito de uma força só é conhecido se conhecermos o vetor que a representa.
Procuremos então uma expressão que permita calcular diretamente o vetor força.
Como este vetor deve estar sobre a reta que passa pelos dois pontos A e B onde estão as duas cargas,
r
tomemos um versor u sobre a reta AB, apontanto para a carga que sofre a força que está sendo calculada.
Figura 3-4
É fácil observar-se que
r (B − A)
u=
(B − A)
Equação 3-5
pode ser determinado simplesmente conhecendo-se a posição das duas cargas dadas por suas coordenadas.
Podemos então escrever:
r
Q .Q r
F = K ⋅ A B .u
r2
Equação 3-6
Esta equação é chamada Lei de Coulomb na forma vetorial pois ela permite calcular diretamente o vetor
força que atua sobre a carga. Para a sua aplicação devemos lembrar sempre da expressão 3-2 que permite calcular o
r
versor u
Observemos que nesta equação não escrevemos Q A e Q B em seus valores absolutos pois agora o sinal
das cargas definirá o sentido da força, ou seja:
r
⇒ se Q A .Q B > 0 , F tem o sentido de u como na figura (repulsão)
r
⇒ se Q A .Q B < O , F tem sentido contrário oposto a u (atração)
3.3.1
3.3.1.1 (
3.3.1.2 (
3.3.1.3 (
3.3.1.4 (
3.3.1.5 (
3.3.2
Exercícios de revisão teórica
)
)
)
)
)
É possível demonstrar-se teoricamente a Lei de Coulomb?
Qual o procedimento experimental que leva à Lei de Coulomb?
Enuncie a Lei de Coulomb na forma escalar. Use palavras e não fórmulas.
Enuncie a forma vetorial de Lei de Coulomb. Use palavras, não use fórmulas.
Porque é importante a forma vetorial de Lei de Coulomb?
Exercícios
3.3.2.1 ( ) Duas cargas puntiformes de medidas
Calcule a intensidade da força de interação
Resp:.
1,3µC e 2,4µC
encontram-se separadas de uma distância de
3.3.2.2 ( ) Qual será a intensidade da força se a segunda carga medir − 2,4µC ?
Resp:
Cap 3—3
0,2m .
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
3.3.2.3 ( ) A força de interação entre duas cargas tem intensidade de
calcule a distância entre as cargas.
Resp:
3.3.2.4 ( ) Uma carga de medida
5,6µC
de 0,5m com uma força de intensidade
2,8 ⋅ 10 −6 N . Se as cargas têm medidas de 3,4µC ,
interage com outra carga de medida desconhecida que se encontra a uma distância
7,8 ⋅ 10 −5 N . Calcule a medida de outra carga
Resp:
3.3.2.5 ( ) Duas cargas de medidas iguais estão separadas de um distância de
intensidade
0,8m e
interagem com uma força de
−6
3,4 ⋅ 10 N . Calcule a medida das cargas.
Resp:
3.3.2.6 ( ) Sobre uma reta estão duas cargas de medidas
− 2,4µC
5,6µC
e
separadas de uma distância de
0,8m . Uma
terceira carga de medida 1,3µC é colocada entre as duas primeiras cargas a uma distância de 0,3m da carga negativa.
Calcule a intensidade da força resultante sobre a terceira carga.
Resp:
3.3.2.7 ( ) Se na questão anterior a terceira carga for colocada fora da região entre as cargas, do lado da carga positiva, a uma
distância de 0,5m desta, calcule a intensidade da força resultante sobre a terceira carga.
Resp:
3.3.2.8 ( ) Na questão anterior, determine onde deve ser colocada a terceira carga para que a força resultante sobre ela seja
nula.
Resp:
3.3.2.9 ( ) Calcular a intensidade da força de interação entre duas cargas puntiformes de medidas
separadas por uma distância d=0,15 m.
Resp:
1,3µC
e
2,6 µC
r
F = 1,35 N
3.3.2.10 ( ) Idem com
− 2,4 µC
e
3,5µC
separadas de d=0,35 m
Resp:.
3.3.2.11 ( ) Suponha possível a seguinte situação: dois elétrons são colocados numa mesma vertical, o de baixo fixo e o de
cima em equilíbrio resultante da força de interação entre os elétrons e a força da gravidade. Calcule a distância entre eles. Dada
a massa do elétron =
9 ,11 x10 −31 kg
eg=
9 ,81 m/s 2
5 ,08 m
Resp:
3.3.2.12 ( ) Resolva o problema anterior considerando dois prótons interagindo. Dada massa do próton igual a 1836 vezes a
massa do elétron.
Resp:
Q 1 = 2 ,8 µC e Q 2 = 4 ,8 µC estão separadas por uma distância
Determinar onde deve ser colocada uma terceira carga Q = 1µC para que a força resultante sobre ela seja nula.
3.3.2.13 ( ) Duas cargas puntiformes
0 ,065 m da c arg a Q1 , entre Q1 e Q 2
Resp:
3.3.2.14 ( ) Resolva o problema anterior sendo
Q1 = −2 ,8 µC
a 1,13 m da c arg a Q1 à esquerda
Resp:
e
Q 2 = 4 ,8 µC
separadas de uma distância d=0,35 m
de Q1
3.3.2.15 ( ) Na situação do exercício 3-1.6 determine a posição em que deve ser colocada a carga
esta permaneça em equilíbrio.
Resp:
r = 15 cm.
a 1,13 m da c arg a Q1 à esquerda
3.3.2.16 ( ) Na
situação
da
figura,
calcule
a
Q = −3,7 µC
para que
Q2 .
Dados
de Q1
força
Q1 = 3 ,7 µ, Q 2 = 1,8 µC e Q 3 = 5 ,3 µC .
Cap 3—4
resultante
sobre
a
carga
Introdução à Eletricidade
Resp:
S.J.Troise
0 ,98 N
3.3.2.17 ( ) No problema anterior suponha
Q 3 = −5 ,8 µC .
Calcule a intensidade da força sobre
Q2 .
Resp:
3.3.2.18 ( ) Na
situação
da
figura
ao
lado,
calcule
a
intensidade
da
força
sobre
a
carga
Q3 .
Dados
Q1 = 1,8 µC. Q 2 = −2 ,3 µC e Q 3 = 2 ,4 µC .
Resp:
0 ,043 N
3.3.2.19 ( ) Na situação da figura, calcule a intensidade da força sobre a carga
Q1 = Q 2 = 2 ,8 µC , Q 3 = −3 ,7 µC e Q 4 = 1,0 µC .
r
r
r
r
Resp: F = 0 ,38 i − 0 ,71 j ( N ) ou F = 0 ,82 N
3.3.2.20 ( ) Calcular
o
vetor
força
de
interação
entre
as
cargas
Q 4 .Dados: h= 20 cm, x = 40 cm, y = 30 cm,
puntiformes
mostradas
na
figura.
Dados:
Q3 .
Dados:
Q1 = 1,7 µC e Q 2 = 2 ,4 µC .
Resp:
3.3.2.21 ( ) Na
r
r
r
F = 2 ,34 ⋅ 10 −3 i + 1,56 ⋅ 10 −3 j (N )
figura
abaixo
calcule
o
vetor
força
resultante
sobre
a
carga
Q1 = 3 ,8 µC , Q 2 = −2 ,7 µC , Q 3 = −5 ,4 µC e Q 4 = −3 ,5 µC
Resp:
3.3.2.22 ( ) Nos pontos A, B, C, D e E existem cargas iguais de
1,0 µC . Calcule a força resultante sobre a carga localizada em
Cap 3—5
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
E
Resp:
3.3.2.23 ( ) Nos pontos A(1,2,3)m, B(4,2,-5)m, C(2,-3,4)m e D(0,-1,3)m existem respectivamente as cargas puntiformes:
Q A = −3 ,2 µC , Q B = 6 ,3 µC , Q C = −2 ,8 µC e Q D = 4 ,3 µC .
carga
Calcule a intensidade da força que atua sobre a
QD .
Resp:
Q H = −3 ,8 µC e Q K = 2 ,0 µC . Determine
qualquer carga puntiforme Q esta permanece em
3.3.2.24 ( ) Nos pontos H(3,-1,2)m e K(2,2,1)m existem as carga puntiformes
as coordenadas de um ponto P(x,y,z) do espaço no qual, colocando-se
equilíbrio.
Resp:
3.3.2.25 ( ) Uma carga de medida
carga de medida
− 2,5µC
− 4,5µC localiza-se
na origem de um sistema de referência bidimensional. Uma outra
localiza-se no ponto P(0,4 ; 0,6)m. Calcule o vetor força que atua sobre a segunda carga.
Resp:
3.3.2.26 ( ) Nos pontos A(0,3 ; 0;4 ; 0,7)m e B(0,5 ; 0,2 ; 0,8)m encontram-se as cargas
de medidas
− 2,4µC
e
6,2µC respectivamente. Calcule o vetor força que atua sobre a primeira carga.
Resp:
1,0µC, 2,0µ e 3,0µC encontram-se respectivamente nos pontos A(0,1 ; -0,3 ; -0,5)m,
e C(0,7 ; 0,5 ; 0,1)m. Calcule a força sobre a carga de 2,0µC .
3.3.2.27 ( ) Três cargas de medidas
B(-0,3 ; 0,5 ; -0,4)m
Resp:
3.3.2.28 ( ) Considerando o exercício anterior, calcule a força sobre a carga de
3,0µC .
Resp:
3.3.2.29 ( ) Nos vértices de um triângulo equilátero encontram-se três cargas de medidas iguais a
lados do triângulo é
0,2m
− 2,4νC . Se a medida dos
calcule a intensidade da força sobre uma das cargas.
Resp:
3.3.2.30 ( ) Se uma carga de medida qualquer for colocada no centro do triângulo do exercício anterior, calcule a força
resultante sobre ela.
Resp:
Cap 3—6
Introdução à Eletricidade
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4.
O Campo Elétrico
4.1
Conceito de Campo
Chama-se Campo a toda região do espaço que apresenta uma determinada propriedade física. Esta
propriedade pode ser de qualquer natureza, dando origem a diferentes campos, escalares ou vetoriais, dependendo
da natureza da propriedade apresentada ser escalar ou vetorial. Abaixo são apresentados alguns exemplos
Propriedade física
força peso
força de atração magnética
força de interação entre cargas elétricas
temperatura
pressão
4.2
Campo
gravitacional
magnético
elétrico
térmico
de pressões
Tipo
vetorial
vetorial
vetorial
escalar
escalar
O Campo Elétrico
Chama-se Campo Elétrico a toda região do espaço em que aparece uma força de natureza elétrica sobre
qualquer carga Q 0 que for nela colocada. Esta carga é chamada “carga de teste”
4.3
O Vetor Campo Elétrico
r
Para se estudar o Campo Elétrico define-se, em cada um de seus pontos, um vetor E , chamado VETOR
CAMPO ELÉTRICO, como sendo a força por unidade de carga que aparece sobre uma carga nele colocada.
r
Seja Q 0 a medida da carga puntiforme colocada no ponto P e seja F a força de natureza elétrica que
passa a atuar sobre ela. Por definição, chama-se VETOR CAMPO ELÉTRICO no ponto P ao vetor dado por
r
r
F
E=
Q0
Equação 4-1
cuja unidade no Sistema Internacional é
Newtom
N
= . Em módulo
Coulomb
C
r
F
r
E =
Q0
Equação 4-2
A definição do Vetor Campo Elétrico pode dar a entender que seu valor depende da carga Q 0 o que na
realidade não ocorre como veremos mais abaixo. O que de fato acontece é que o Vetor Campo Elétrico é uma
propriedade do ponto P do campo e não da carga Q 0 . Esta carga Q 0 é denominada de “carga de teste” e sua
função é apenas investigar o que ocorre em cada ponto do campo.
r
É fácil observar-se que se o Vetor Campo Elétrico for conhecido no ponto P saberemos calcular a força F
que atua sobre qualquer carga colocada no ponto P, ou seja
r
r
F = Q 0 .E
Equação 4-3
Observemos agora o seguinte: se a carga Q 0 sofre a ação de uma força de natureza elétrica é porque ela
deve estar interagindo com uma outra carga elétrica - se esta não existisse não haveria força de natureza elétrica.
Podemos então concluir que o campo elétrico é gerado (produzido) por carga elétrica. Estudemos então alguns
campos gerados por cargas elétricas em diferentes situações.
4.4
Campo gerado por uma carga puntiforme
Imaginemos inicialmente uma região do espaço absolutamente vazia, isolada do universo, (o que é uma
abstração teórica). Colocando-se num ponto P dessa região uma carga Q 0 não aparecerá sobre ela força de
natureza elétrica. Imaginemos agora que nessa região exista uma carga puntiforme Q localizada no ponto A.
Cap 4—1
Introdução à Eletricidade
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r
Colocando-se agora a carga Q 0 no ponto P atuará sobre ela uma força de natureza elétrica F , ou seja, a região
transformou-se num campo elétrico o qual foi gerado pela carga puntiforme Q
Figura 4-1
Calculemos o Vetor Campo Elétrico desse campo. O Vetor Campo Elétrico é dado pela definição Equação
4-3-1 e o vetor força que atua sobre a carga é dada pela Lei de Coulomb, ou seja,
r
r
F
E=
Q0
e
r
Q.Q r
F = K 2 0 .u
r
onde
r (P - A)
u=
(P - A)
Fazendo as substituições:
Q.Q r
r
K 2 0 .u
r
F
r
E=
=
Q0
Q0
r
Q. r
E = K 2 .u
r
ou
Equação 4-4
que é a expressão que permite calcular o Vetor Campo Elétrico num ponto P de um campo gerado por uma carga
puntiforme Q localizada no ponto A. Podemos observar nesta última expressão aquilo que foi colocado
anteriormente: o Vetor Campo Elétrico não depende da carga de teste Q 0 colocada no ponto no qual se quer
calculá-lo.
4.4.1
Exercícios de revisão teórica
4.4.1.1 ( ) O que é um Campo na Física?
4.4.1.2 ( ) Descreva alguns tipos de campos.
4.4.1.3 ( ) Defina Campo Elétrico.
4.4.1.4 ( ) Qual a vantagem de se trabalhar com o conceito de Campo Elétrico?
4.4.1.5 ( ) Descreva a expressão que permite calcular a intensidade do campo elétrico gerado por uma carga puntiforme. Use
palavras, não use formulas.
4.4.1.6 ( ) Descreva a expressão que permite calcular o vetor campo elétrico gerado por uma carga puntiforme. Use palavras,
não use fórmulas.
1.1.1
Exercícios
4.4.1.7 ( ) Uma carga puntiforme de medida
intensidade
− 2,4µC
quando colocada num certo ponto P do espaço sofre uma força de
−6
0,6 ⋅ 10 N . Calcule a intensidade do vetor campo elétrico nesse ponto P.
Resp:
0,25N / m
4.4.1.8 ( ) Uma carga de medida
7,8µC
colocada num certo ponto H do espaço sofre uma força de intensidade
9,8 ⋅ 10 −5 N . Usando o conceito de campo elétrico,
− 2,3µC se esta for colocada nesse ponto H.
calcule a intensidade da força que atuará sobre uma carga de medida
Resp:
4.4.1.9 ( ) Uma carga se encontra localizada num certo ponto M e observa-se que o campo elétrico a uma distância de 0,6m
tem medida
4,7 ⋅ 10 −4 N / C . Qual a medida da carga?
Resp: Q = 1,88 ⋅ 10
−14
C − 2,4µC
4.4.1.10 ( ) A que distância da carga de medida o campo elétrico terá intensidade de
Cap 4—2
8,2 ⋅ 10 −8 N / C ?
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Resp:513000m
4.4.1.11 ( ) Duas cargas de medidas 3,4µC e 5,4µC encontram-se sobre um reta r separadas por uma distância de 0,6m.
Calcule o vetor campo elétrico exatamente no meio da distância entre elas.
Resp: 200000 N / C
4.4.1.12 ( ) No exercício anterior determine o ponto sobre a reta r no qual a intensidade do vetor campo elétrico é nulo
Resp: a 0,26m da carga menor
4.4.1.13 ( ) .Considerando ainda o problema anterior, responda: é possível o campo elétrico ser nulo fora da região entre as
cargas?
Resp:não, pois os vetores campo elétricos são de mesmo sentido
4.4.1.14 ( ) Colocando-se uma carga de medida
3 ⋅ 10 −4 N
200 N / C
elétrica de intensidade
Resp:
1,5µC
num certo ponto do espaço aparece sobre ela uma força de natureza
. Calcule a intensidade do vetor campo elétrico nesse ponto.
4.4.1.15 ( ) Dada a carga puntiforme
0,3m da carga.
3 ⋅ 10 5 N / C
Se a carga Q 1 = 2 µC
Q = 3µc , calcule a intensidade do vetor campo elétrico num ponto P a uma distância de
Resp:
4.4.1.16 ( )
ponto C(1,3,-3)m
Resp:
r
v
141 ,4 j − 200 k
4.4.1.17 ( ) Considere a carga
carga no ponto P(3,5)m
Resp:
localiza-se no ponto A(1,-2,4)m, calcule o vetor campo elétrico e a sua intensidade no
(N / C ) ,
Q = 3,5µC
r
E = 243 N / C
localizada no ponto a(2,3)m. Calcule o vetor campo elétrico gerado por essa
4.4.1.18 ( ) Resolva o exercício anterior admitindo que o valor da carga
Q
Resp:
4.4.1.19 ( ) O vetor campo elétrico no ponto P(1,2,-1)m á dado por
seja
− 6µC .
r
r
r
v
E = 2 ⋅ 10 4 i − 3 ⋅ 10 4 j + 1 ⋅ 10 4 k
(N / C ) .
12
, µC quando esta for colocada nesse ponto.
r
r
r
2 ,4 ⋅ 10 −2 i − 3 ,6 ⋅ 10 −2 j + 1,2 ⋅ 10 −2 k (N / C )
Calcule a força que atuará sobre uma carga de medida
Resp:
4µC é colocada num ponto do espaço aparece sobre ela uma força de natureza elétrica
r
r
r
F = 2 x10 3 i + 3 x10 3 k (N ) Calcule a intensidade da força que atuará sobre uma carga de medida 3,6 µC
4.4.1.20 ( ) Quando uma carga de
dada por .
quando esta for colocada no mesmo ponto do espaço.
Resp:
3 ,24 ⋅ 10 3 N / C
4.4.1.21 ( ) Na origem de um sistema de referência existe uma carga de medida
ponto P(0,1 ; 0,4)m.
Resp:
4.4.1.22 ( ) No ponto F(0,1 ; 0,4 ; -0,5)m existe uma carga de medida
no ponto G(0,0 ; -0,4 ; 0,2)m
Resp:
− 5,7µC . Calcule o vetor campo elétrico no
9,0µC . Calcule o vetor campo elétrico por ela produzido
− 2,3µC quando colocada num
r
r
r
−3
−3
F = 4,7 ⋅ 10 i + 2,3 ⋅ 10 j ( N) . Calcule o vetor campo elétrico nesse ponto W.
4.4.1.23 ( ) A força sobre uma carga de medida
ponto W do espaço é dada pelo vetor:
Resp:
4.4.1.24 ( ) Duas cargas puntiformes de medidas 3,2µC e 5,4µC localizam-se respectivamente nos pontos A(0,5 ; 0,7)m e
B(-0,3 ; -0,5)m. Calcule o vetor campo elétrico e sua intensidade no ponto P(0,7 ; -0,8)m.
Resp:
4.4.1.25 ( ) Três cargas de medidas 1,0µC, 2,0µ e 3,0µC encontram-se respectivamente nos pontos A(0,1 ; -0,3 ; -0,5)m,
B(-0,3 ; 0,5 ; -0,4)m e C(0,7 ; 0,5 ; 0,1)m. Calcule o vetor campo elétrico no ponto H(0,4 ; -0,4 ; 0,3)m.
Resp:
4.4.1.26 ( ) Calcule o vetor força e a intensidade da força que atuará sobre uma carga de medida
Cap 4—3
9,0µC se ela for colocada
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
no ponto P da questão anterior.
Resp:
4.4.1.27 ( ) O campo elétrico num ponto P do espaço é dada pelo vetor
Calcule a força que aparecerá sobre uma carga de medida
r
r
r
r
E = 3 ⋅ 10 −5 i − 5 ⋅ 10 −5 j + 2 ⋅ 10 −5 k ( N / C) .
− 8,2µC se for colocada nesse ponto P.
Resp:
4.4.1.28 ( ) Qual é o vetor campo elétrico num ponto P se, colocada nesse ponto uma carga de medida
ela uma força dada pelo vetor
r
E = 5 ⋅ 10 −5 ( N / C) ?
1,0µC
aparece sobre
Resp:
4.5
Campo gerado por uma coleção de cargas puntiformes
Suponhamos agora que na região do espaço em estudo exista um conjunto de n cargas puntiformes de
medidas Q1 , Q 2 ,..., Q n . Se uma carga Q 0 for colocada num ponto P dessa região aparecerão, atuando sobre ela,
r r
r
as forças F1 , F2 ,..., Fn produzidas respectivamente pelas cargas Q1 , Q 2 ,..., Q n conforme visto na figura abaixo.
Isto significa que a região é um campo elétrico que é gerado pela coleção de cargas puntiformes.
Figura 4-2
Lembremos inicialmente que cada uma das cargas puntiformes do conjunto gera um vetor campo elétrico,
conforme visto no item anterior, e que esses vetores campos elétricos são dados por:
r
r
r
r
r
r
F3
F1 r
F2 r
Fn
E1 =
, E2 =
, E3 =
,..., E n =
Q1
Q2
Q3
Qn
Equação 4-5
De acordo com a Mecânica, a força resultante sobre a carga será:
r r
r
r
r
F = F1 + F2 + F3 + ..... + Fn
Equação 4-6
Aplicando-se a definição de Vetor Campo Elétrico dado pela Equação 4-3-1 e substituindo-se a Equação
4.5-2 teremos:
r r
r
r
r
r
r
r
r
r
F1 + F2 + F3 + ....... + Fn
F3
F1
F2
Fn
F
E=
=
=
+
+
+ ...... +
Q0
Q0
Q0 Q0 Q0
Q0
Equação 4-7
Observemos agora que cada uma das frações do segundo membro é o vetor campo elétrico produzido por
cada uma das cargas puntiformes da coleção. e Equação 4.5-3 fica:
r r
r
r
r
E = E1 + E 2 + E 3 + ....... + E n
Equação 4-8
Este resultado mostra que num campo elétrico gerado por uma coleção de cargas puntiformes o Vetor
Campo Elétrico é a soma dos vetores campo elétrico gerados por cada uma das cargas da coleção individualmente.
4.5.1
Exercícios
4.5.1.1 ( ) Dadas duas cargas puntiformes conforme a figura abaixo, calcular a intensidade do vetor campo elétrico resultante
Cap 4—4
Introdução à Eletricidade
no ponto P. Dados:
Resp:
S.J.Troise
Q1 = 6 µC e Q 2 = −4 µC
r
E = 1,84 ⋅ 10 5 N / C
4.5.1.2 ( ) Considere a mesma situação do exercício anterior, Determine a posição de um ponto A no qual a intensidade do
vetor campo elétrico é nula.
Resp:
1,1 m à direita de Q 2 sobre a reta
4.5.1.3 ( ) Resolva o problema 4.5.1.2 supondo a carga
Q 1 = −Q 2 .
Resp:
4.5.1.4 ( ) Considere a figura abaixo na qual
intensidade no ponto P.
Resp:
Q1 = 2 µC e Q 2 = −2 µC .
r
r
r
E = −2 ,3 ⋅ 10 4 i + 2 ,1 ⋅ 10 5 j (N / C )
4.5.1.5 ( ) Nos pontos A(1,2,3)m e B(3,2,1)m localizam-se as cargas
do vetor campo elétrico no ponto P(0,-2,1)m.
Resp:
Calcule o vetor campo elétrico e a sua
Q A = −1µC e Q B = 3 µC . Calcule a intensidade
r
E = 7 ,63 ⋅ 10 3 N / C
4.6
Cargas elétrica distribuídas
As situações apresentadas acima não correspondem à realidade pois as cargas encontradas normalmente
não são puntiformes mas sim se distribuem sobre um corpo, ocupando uma certa região do espaço. Nessas
condições a carga é chamada distribuída.
Para que possamos estudar esta situação real devemos introduzir o conceito de densidades de carga. Este
conceito permitirá estabelecer uma relação entre a grandeza física carga elétrica e as grandezas geométricas
comprimento, superfície e volume, o que auxiliará na solução de problemas de natureza prática.
4.6.1
Densidade linear de cargas
Consideremos um corpo filiforme que contem sobre ele uma carga distribuída Q . Desse corpo filiforme
consideremos um pedaço de comprimento ∆L que contem uma quantidade de
Figura 4-3
carga ∆Q . Por definição chama-se densidade linear de cargas média à carga por unidade de comprimento contido
no pedaço ou seja
Cap 4—5
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
λm =
∆q ⎛ C ⎞
⎜ ⎟
∆l ⎝ m ⎠
Como o valor médio de uma grandeza pode não apresentar significado, define-se então a densidade linear
no ponto como sendo:
λ = lim
∆l − > 0
∆q
dq ⎛ C ⎞
ou λ =
⎜ ⎟
∆l
dl ⎝ m ⎠
Equação 4-9
Observemos agora que esta última expressão pode ser escrita como
dq = λ.dl
Q = ∫ dq = ∫ λ.dl
ou
Equação 4-10
que permite que seja calculada a carga total contida no corpo, desde que se conheça a densidade linear de cargas e
que a integral seja feita sobre todo o corpo.
4.6.2
Densidade superficial de cargas
Consideremos um corpo pelicular (de espessura desprezível) que contem uma carga Q distribuída.
Consideremos então sobre o corpo uma área ∆Q que contem uma quantidade de cargas ∆Q .
Figura 4-4
Por definição chama-se densidade superficial carga média à carga por unidade de superfície, ou seja
σm =
∆q ⎛ C ⎞
⎟
⎜
∆A ⎝ m 2 ⎠
Ainda por definição, chama-se densidade superficial no ponto à grandeza dada por
∆q
dq ⎛ C
⎜
ou σ =
dA ⎜⎝ m 2
∆a − > 0 ∆A
σ = lim
⎞
⎟⎟
⎠
Equação 4-11
Observemos agora que esta última expressão pode ser escrita como
dq = σ.dA
Q=
ou
∫ dq = ∫ σ.dA
Equação 4-12
que permite que seja calculada a carga total contida no corpo, desde que se conheça a densidade linear de cargas e
que a integral seja feita sobre todo o corpo.
4.6.3
Densidade volumétrica de cargas
Consideremos agora um corpo sólido que contem uma carga Q . Seja ∆V um volume do corpo que
contem a carga ∆Q .
Figura 4-5
Cap 4—6
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Por definição chama-se densidade volumétrica média de cargas à carga por unidade de volume, ou seja
ρm =
∆q ⎛ C
⎜
∆V ⎜⎝ m 3
⎞
⎟⎟
⎠
Ainda por definição, chama-se densidade volumétrica de cargas no ponto a
dq ⎛ C
∆q
⎜
ou ρ =
dV ⎜⎝ m 3
∆V − > 0 ∆V
ρ = lim
⎞
⎟⎟
⎠
Equação 4-13
Observemos agora que esta última expressão pode ser escrita como
dq = ρ ⋅ dV
ou
∫
∫
Q = dq = ρ ⋅ dV
Equação 4-14
que permite que seja calculada a carga total contida no corpo, desde que se conheça a densidade linear de
cargas e que a integral seja feita sobre todo o corpo
4.6.4
Exercícios
4.6.4.1 ( ) Um fio de 1m de comprimento apresenta densidade linear de cargas variável dada pela expressão
λ = 2 ⋅ s C / m , onde s é o comprimento do fio medido a partir de uma de suas extremidades. Calcule a carga total contida no
fio.
Resp:
1C
4.6.4.2 ( ) Um corpo filiforme semi circular de cargas, de raio 0,2m, apresenta densidade linear de cargas igual a
λ = 5 . 10 −4 sen φ C / m
Resp:
, onde
φ
é medido a partir de uma de suas extremidades. Calcule a carga total contida no fio.
Q = 2 ⋅ 10 −4 C
4.6.4.3 ( ) Suponha no exercício 4.6.4.2 que o fio seja uma circunferência. Calcule a carga total no fio. Justifique a resposta
obtida.
Resp:
0C
−5
2
C e tem área igual a 0,34 m . Calcule a densidade
4.6.4.4 ( ) Uma superfície plana apresenta carga total igual a 2 ,3 . 10
superficial de cargas. Podemos afirmar que essa densidade é a mesma em todos os pontos da superfície?.
Resp:
σ = 6 ,76 ⋅ 10 −5 C / m 2 , não .
4.6.4.5 ( ) A superfície plana da figura apresenta densidade superficial de cargas dada por
Calcule a carga total contida na superfície.
Resp:
Q = 1,22 ⋅ 10 −6 C
4.6.4.6 ( ) O paralelepípedo da figura tem densidade volumétrica de cargas dada por
Calcule a carga total contida no mesmo.
Resp:
σ = ( x + y 2 ).10 −4 C / m 2 ,
ρ = ( x + y 2 − z 3 ).10 µC / m 3 .
Q = 1,16 ⋅ 10 −3 C
4.7
Campo gerado por carga distribuída
Cap 4—7
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Suponhamos agora que uma região do espaço contenha uma carga Q distribuída sobre um corpo cujas
dimensões não permitem que o mesmo seja representado por um ponto geométrico, ou seja a carga se distribui
sobre o corpo de tal forma que não pode ser considerada puntiforme. Se uma carga de teste Q 0 for colocada na
região ela sofrerá a ação de uma força de natureza elétrica produzida pela carga distribuída Q, ou seja esta carga
gera um campo elétrico.
Figura 4-6
Procuremos determinar o Vetor Campo Elétrico no ponto P, gerado pela carga Q que se distribui. Para que
r
esse vetor seja calculado é necessário que calculemos a força F que atua sobre a carga Q 0 e essa força dividida
por Q 0 será o vetor campo elétrico.
Sabemos que quando a carga é puntiforme a força de interação entre as cargas é dada pela Lei de Coulomb na forma vetorial, ou
seja
r
Q.Q 0 r
F =K
.u
r2
Observemos que neste caso não podemos aplicar esta expressão diretamente pois a carga Q que produz
a força não é puntiforme e conseqüentemente a distância r não está determinada bem não esta determinado o
r
versor u que define a direção da força.
Figura 4-7
Para podermos calcular o vetor campo elétrico neste caso utiliza-se de um artifício de natureza matemática
(perfeitamente válido) que consiste de:
1- imagina-se a carga não puntiforme Q subdividida em infinitas cargas infinitamente pequenas dq cada
uma das quais pode ser considerada puntiforme (representada por um ponto geométrico).
r
2- cada uma destas cargas dq irá produzir sobre a carga Q 0 uma força infinitamente pequena d F .
r
3- essa força d F pode ser agora calculada pela aplicação da Lei de Coulomb, lembrando apenas que a
carga que está gerando a força é infinitamente pequena, ou seja
r
Q .dq r
.u
dF = K 0
r2
r
4- de acordo com a Mecânica a força resultante sobre Q 0 é a soma de todas as forças d F que atuam
sobre ela, ou seja, matematicamente
r
F=
∫
r
dF =
∫K
Q 0 .dq r
.u
r2
Cap 4—8
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
lembrando agora a definição de vetor campo elétrico Equação 4-3-1
r
r
d
F
r
F
E=
=
=
Q0
Q0
∫
∫
K
Q 0 .dq r
.u
r2
Q0
ou
r
E=
∫
K.
∫
dq r
dq r
.u = K .
.u
r2
r2
Equação 4-15
que é a expressão que permite calcular o vetor campo elétrico produzido pela carga Q distribuída sobre o corpo.
4.7.1
Exercícios
4.7.1.1 ( ) Considere o corpo da filiforme da figura, uniformemente eletrizado (densidade linear de cargas constante
Calcule a intensidade do vetor campo elétrico no ponto P.
Resp:
λ ).
r
K ⋅λ⋅L
E =
s ⋅ (s + L )
4.7.1.2 ( ) Suponha no exercício anterior que a densidade linear de cargas é variável, variando de acordo com a expressão
λ = 3 .x 2 µC / m
. Determine a intensidade do vetor campo elétrico no ponto P, sendo L = 0,3m e s = 0,1 m.
4.7.1.3 ( ) O corpo filiforme da figura apresenta densidade linear de cargas dada por
campo elétrico no ponto C. Dado R = 0,3 m.
Resp:
λ = 3 . cos φµC / m . Calcule o vetor
r
r
3⋅π⋅K
E=−
⋅ 10 − 6 ⋅ i
2⋅R
4.7.1.4 ( ) Calcule o vetor campo elétrico no ponto P da figura abaixo, supondo o corpo filiforme uniformemente eletrizado com
densidade superficial σ .
4.7.1.5 ( ) A superfície plana infinita da figura esta uniformemente eletrizada com densidade superficial de cargas
vetor campo elétrico no ponto P.
Cap 4—9
σ . Calcule o
Introdução à Eletricidade
5.
S.J.Troise
Trabalho da força eletrostática - potencial elétrico
5.1
Introdução
Suponhamos que uma partícula qualquer se desloque desde um ponto A até em ponto B sob a ação de
uma força . Para medir a ação dessa força sobre a partícula a Mecânica define uma grandeza escalar, denominada
Trabalho, como sendo
B
τ AB =
∫
r r
F ⋅ ds
A
Equação 5-1
onde é um deslocamento elementar sobre a trajetória seguida pela partícula e portanto tangente a essa trajetória.
Figura 5-1
r
Lembremos que na Mecânica esta integral quando F é a força resultante sobre a partícula e o resultado
obtido é a variação de energia cinética, ou seja
τ AB =
Br r 1
2
2 1
∫ F ⋅d s = 2 ⋅m ⋅ v B − 2 ⋅m ⋅ v B
A
Equação 5-2
5.2
Trabalho da força eletrostática
Calculemos o trabalho quando a força que atua sobre a partícula é de natureza eletrostática, isto é, dada
pela lei de Coulomb. Para isto, consideremos uma carga puntiforme Q fixa em um ponto C e uma outra carga Q 0
r
que se move desde um ponto A até um ponto B sob a ação da força de natureza eletrostática F existente produzida
pela carga fixa Q .
r
A força F que atua sobre a carga móvel Q 0 é dada pela Lei de Coulomb, ou seja
r
Q.Q 0 r
F =K
.u
r2
Figura 5-2
Substituindo na Equação 5-1,
B
τ AB =
∫
A
K
Q.Q 0 r r
u ⋅ ds
r2
Cap 5—1
Equação 5-3
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Nosso problema agora consiste em calcular o resultado desta integral. Iniciemos colocando fora da integral
os fatores multiplicativos constantes.
r r
u ⋅ ds
B
τ AB = K .Q.Q 0 .
∫
r2
A
Equação 5-4
r r
Observemos agora que o integrando contem o produto escalar u ⋅ d s o qual deve ser efetuado antes da
r
integração. Para isto observe na figura que o vetor deslocamento elementar d s foi decomposto em duas
r
r
r
r
componentes, uma na direção do eixo r , e outra perpendicular a esse eixo d g , tal que d s = d r + d g . O produto
escalar que aparece na equação 5.1-3 fica então:
r r r r r r r r r
u ⋅ d s = u ⋅ (d r + dg ) = u ⋅ d r + u ⋅ dg
Desenvolvendo agora os produtos escalares:
r
r r r r
u ⋅ d r = u . d r . cos( 0 o ) = d r = dr
r r
e o produto escalar se reduz a u ⋅ d s = dr .
r r r r
u ⋅ dg = u . dg . cos(90 o ) = 0
e
Substituindo na equação 5.1-3 obtemos:
B
τ AB = K .Q.Q 0 .
∫r2
dr
A
Equação 5-5
Calculando agora a integral:
B
B
∫ r2 = ∫r
dr
−2
B
r
1
1 B
1
1
dr = −
= −
=−
+
r A
r r
rB rA
A
A
A
onde os limites de integracão foram substituídos pelos respectivos valores de r, conforme indicado na figura.
Substituindo agora este resultado na equação 5.1-4:
⎡ 1
1 ⎤
τ AB = K .Q.Q 0 .⎢−
+
⎥
⎣ rB r A ⎦
Equação 5-6
Esta expressão permite uma importante conclusão: o trabalho realizado pela força eletrostática não
depende da trajetória ao longo da qual o trabalho é realizado. Isto pode ser facilmente observado analisando-se a
expressão resultante do trabalho: ela só depende dos pontos inicial e final da trajetória, não dependendo portanto do
caminho seguido. Quando isto acontece dizemos que a força é conservativa. O que significa que seu trabalho é a
variação de uma forma de energia potencial. Reescrevendo a equação 5.1-5 convenientemente
⎛ Q.Q 0 ⎞ ⎛ Q.Q 0 ⎞
⎟⎟
⎟⎟ + ⎜⎜ K.
τ AB = −⎜⎜ K.
r
r
B
A
⎠
⎠ ⎝
⎝
Equação 5-7
A expressão K ⋅
Q ⋅ Q0
(que aparece calculada nos pontos A e B) é chamada energia potencial elétrica
r
da carga Q 0 . Assim:
τ AB = −Epot B + Epot A
Equação 5-8
Devemos observar aqui a analogia que ocorre entre o trabalho realizado pela força peso e o trabalho
realizado pelas forças elástica e gravitacional que são estudados no curso de introdução a Mecânica.
5.2.1
Exercícios
5.2.1.1 ( ) A figura abaixo mostra uma carga fixa no ponto P. Uma outra carga,
Q 0 = 5 µC
de massa 30g, é abandonada no
ponto A e se desloca livremente passando pelo o ponto B. Calcule a) o trabalho realizado pela força eletrostática; b) a velocidade
Cap 5—2
Introdução à Eletricidade
da carga
Q0
S.J.Troise
ao passar por B.
Resp:
5.2.1.2 ( ) Na figura abaixo a carga puntiforme está fixa no ponto P. Uma outra carga
de encontro à carga Q com velocidade de
Q 0 = −5 ,4 µC
é lançada no ponto C
3,4 x10 4 m / s . Determine a menor distância entre as cargas.
Resp:
5.3
Potencial elétrico gerado por carga puntiforme
Voltemos à equação 5.1-6
⎛ Q.Q 0
τ AB = −⎜⎜ K .
rB
⎝
⎞ ⎛ Q.Q 0
⎟⎟ + ⎜⎜ K .
rA
⎠ ⎝
⎞
⎟⎟
⎠
Esta equação pode ser rescrita convenientemente
⎛
Q
Q
τ AB = −Q 0 ⎜⎜ K ⋅
−K⋅
rB
rA
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
Equação 5-9
Q
, que aparece calculada nos pontos A e B, depende apenas do ponto no
r
Q
qual é calculado, através da distância r e da carga fixa Q . Podemos então afirmar que K ⋅
mede uma
r
propriedade do ponto em que é calculado, propriedade esta que existe devido à existência da carga Q . Essa
propriedade do ponto recebe o nome de POTENCIAL ELÉTRICO gerado pela carga puntiforme Q . Representando
por V essa propriedade:
Q
V=K⋅
r
Observemos que o termo K ⋅
Equação 5-10
Assim, no ponto A: VA = K ⋅
B
τ AB =
∫
A
A expressão
Q
Q
e no ponto B: VB = K ⋅
e a equação 5.2-1 fica:
rB
rA
r r
⎛
Q
Q
F ⋅ d s = −Q 0 ⋅ ⎜⎜ K ⋅
−K⋅
rB
rA
⎝
⎞
⎟⎟ = −Q 0 ⋅ ( VB − VA )
⎠
Equação 5-11
VB − VA recebe o nome de diferença de potencial (ddp) entre os pontos A e B.
Uma informação importante deve ser colocada neste instante: suponha que a carga Q que gera os
potenciais VA e VB não seja fixa, ou seja, que as distâncias r A e r B sejam variáveis no tempo. Nesta condição a
diferença de potencial que aparece no resultado obtido não tem mais significado embora continue existindo a integral
do primeiro membro. Esta integral tem um importante papel o estudo da eletricidade, como veremos posteriormente,
e recebe o nome de força eletromotriz (fem).
A partir da equação 5.2-3 podemos definir a unidade de diferença de potencial. Reescrevendo-a
convenientemente
τ
Joule
J
VB − VA = − AB =
= = Volt = V
Q 0 Coulomb
C
Equação 5-12
Esta última expressão permite que se dê o significado físico da diferença de potencial: é o trabalho
realizado por unidade de carga com o sinal trocado.
Cap 5—3
Introdução à Eletricidade
Voltemos à equação 5.2-2 , V = K ⋅
S.J.Troise
Q
. Observa-se que se a distância r tornar-se infinitamente grande o
r
potencial no ponto torna-se infinitamente pequeno, este fato nos permite atribuir um significado físico ao valor do
potencial no ponto. Para isto imaginemos, na situação descrita acima, que a carga Q 0 seja transportada desde um
ponto A até um ponto infinitamente distante. O trabalho realizado pela força eletrostática será dado por
⎞
⎛
Q
⎟⎟ = Q 0 ⋅ ⎜⎜ K ⋅
rA
⎠
⎝
τ
V A = A∞
Q0
⎛
Q
Q
τ AB( ∞ ) = −Q 0 ⋅ ⎜⎜ K ⋅
−K⋅
( ∞)
rA
⎝
⎞
⎟⎟ = Q 0 ⋅ VA
⎠
ou seja:
Equação 5-13
que nos permite dar o significado de potencial no ponto: é o trabalho realizado pela força eletrostática quando a carga
é deslocada desde o ponto até um ponto infinitamente distante.
5.3.1
Exercícios
5.3.1.1 ( ) Uma carga puntiforme de medida 2µC encontra-se fixa em um ponto P. Uma outra carga de medida − 2 ,0 µC é
transportada de um ponto localizado a 0,3m da carga fixa até um outro ponto localizado a 0,5m da mesma carga fixa. a) Calcule
o potencial elétrico gerado pela carga fixa nos dois pontos extremos do movimento. b) Calcule o trabalho realizado pela força
eletrostática. c) O resultado dependeria da trajetória ser retilíneo ou não? d) O trabalho realizado seria o mesmo se o sentido do
movimento fosse invertido?
Resp
5.3.1.2 ( ) Na figura abaixo a carga puntiforme Q= − 2 ,0 µC é fixa no ponto O. Uma outra carga puntiforme de medida
− 7 ,0 µC
é transportada desde o ponto A até o ponto E seguindo a trajetória indicada A, B, C, D e E. Calcule o potencial
elétrico gerado pela carga fixa em cada ponto particular da trajetória. Calcule o trabalho realizado em cada trecho da trajetória
bem como o trabalho total.
Resp:
5.3.1.3 ( ) Considere uma carga puntiforme fixa Q = 2 ,7 µC . Uma carga móvel de medida − 5 ,8 µC é transportada desde
um ponto a 0,5m da carga fixa até um ponto infinitamente distante. Calcule o trabalho realizado pela força eletrostática sobre a
carga móvel.
Resp:
5.3.1.4 ( ) Uma carga de medida 1,3µC é deslocada desde um ponto A até um ponto B. Se o potencial elétrico em A é
12000V e o potencial elétrico em B é 18000V, calcule o trabalho realizado pela força eletrostática.
Resp:
5.3.1.5 ( ) No ponto P existe uma carga de medida
− 1,3µC
que se encontra a 0,4m de um ponto A e a 0,7m do ponto B.
Calcule o trabalho realizado pela força eletrostática se uma carga de medida
7 ,4 µ C
se esta for transportada desde B até A .
Resp:
5.3.1.6 ( ) O trabalho é o mesmo se o sentido do movimento for invertido? Justifique a resposta.
Resp:
5.3.1.7 ( ) Em que condições o trabalho de uma força eletrostática é nulo?
Resp:
3,4µC e − 5,4µC encontram-se sobre o eixo Ox de um referencial, respectivamente em
x = 0,2m e x = 0,4m. Uma terceira carga de medida 6,7µC é transportada desde um ponto M em x = 0,9m até um ponto N em x
5.3.1.8 ( ) Duas cargas de medidas
= 1,3m. Calcule o trabalho realizado pela força eletrostática.
Cap 5—4
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Resp:
5.4
Potencial gerado por uma coleção de cargas puntiformes
Imaginemos uma carga puntiforme Q 0 movendo-se em presença de uma coleção de cargas puntiformes
r r r
r
Q 1 , Q 2 , Q 3 ,....., Q n . A carga sofrerá a ação de um conjunto de forças F1 , F 2 , F 3 ,....., F n tal que a força
r r
r
r
r
resultante sobre ela será F = F1 + F 2 + F 3 + ..... + F n . Calculemos o trabalho realizado por essa força resultante
usando a definição de trabalho dada pela Equação 5-1-1 quando a carga móvel se deslocar desde A até B.
r r B r r
r
r
r
= F ⋅ d s = (F1 + F2 + F3 + ..... + Fn ) ⋅ d s
B
τ AB
∫
A
A
B
B
r r
r r Br
r r
r
r
r
= F ⋅ d s = F1 ⋅ d s + F2 ⋅ d s + F ⋅ d s + ........ + Fn ⋅ d s
B
τ AB
∫
∫
A
B
∫
∫
A
∫
A
A
∫
A
Equação 5-14
Observemos agora que cada uma das integrais do segundo membro é o trabalho realizado pela força
produzida por cada uma das cargas puntiformes isoladamente cujo resultado é dado pela equação 5.2-3, ou seja:
B
r
∫ F ⋅ d s = −Q
1
0
⋅ (V1B − V1A )
A
B
∫F
2
r
⋅ d s = −Q 0 ⋅ (V2 B − V2 A )
A
B
r
∫ F ⋅ d s = −Q
3
0
⋅ (V3B − V3A )
A
.........................................
B
∫F
n
r
⋅ d s = −Q 0 ⋅ (VnB − VnA )
A
onde os índices 1,2,3,....,n indicam os potenciais gerados por cada uma das cargas puntiformes
isoladamente. Substituindo este conjunto de resultados na equação 5.3-1:
τ AB = −Q 0 (V1B − V1A ) − Q 0 (V2 B − V2 A ) − Q 0 (V3B − V3A ) − ........ − Q 0 (VnB − VnA )
ou, colocando em evidência e agrupando convenientemente
τ AB = −Q 0 [(V1B + V2 B + V3B + ..... + VnB ) − (V1A + V2 A + V3A + ..... + VnA )]
Comparando agora este resultado com a equação 5.2-3 que dá o trabalho realizado pela força produzida
por uma só carga puntiforme observamos que ambas são semelhantes. A diferença entre elas está no fato de que
neste segundo caso os potenciais se somam. Podemos então concluir que o potencial resultante em cada ponto,
produzido por uma coleção de cargas puntiformes é a soma dos potenciais gerados por cada carga isoladamente.
Este resultado recebe o nome de “princípio da superposição dos potenciais elétricos”.
Temos então que o potenciais resultante em cada ponto é:
V = V1 + V2 + V3 + ..... + Vn
Equação 5-15
5.4.1
Exercícios de revisão teórica
5.4.1.1 ( ) O que é o potencial elétrico?
5.4.1.2 ( ) Descreva a expressão que permite calcular o potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme. Use palavras, não
use fórmulas.
5.4.1.3 ( ) Qual a unidade de potencial elétrico? Como ela é definida?
5.4.1.4 ( ) O que significa dizer que a diferença de potencial entre os pólos de uma pilha é 1,5V?
5.4.1.5 ( ) Qual a relação entre o trabalho realizado por uma força de natureza eletrostática e o potencial elétrico?
5.4.1.6 ( ) Por que você pode afirmar que o trabalho realizado pela força dada pela Lei de Coulomb não depende da trajetória?
5.4.2
Exercícios
5.4.2.1 ( ) Um ponto P encontra-se a uma distância de 0,4m de uma carga de medida
ponto P gerado por essa carga.
Cap 5—5
12,3µC . Calcule o potencial elétrico no
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Resp: 277000V
5.4.2.2 ( ) No ponto P existe uma carga de medida
Calcule a diferença de potencial entre os pontos A e B
Resp: 12536V
− 1,3µC
que se encontra a 0,4m de um ponto A e a 0,7m do ponto B.
5.4.2.3 ( ) Sobre o eixo 0x de um referencial existem as cargas:
potencial elétrico em x = 0,8m.
Resp: -22500V
1,3µC em
x = 0,4m,
− 2,3µC em
x = 1,2m. Calcule o
5.4.2.4 ( ) Três cargas de medidas 1,0µC, 2,0µ e 3,0µC encontram-se respectivamente nos pontos A(0,1 ; -0,3 ; -0,5)m, B(0,3 ; 0,5 ; -0,4)m e C(0,7 ; 0,5 ; 0,1)m. Calcule o potencial elétrico na origem do referencial.
Resp: 71845V
5.4.2.5 ( ) Duas cargas de medidas 3,4µC e − 5,4µC encontram-se sobre um reta r separadas por uma distância de 0,6m.
Calcule o potencial elétrico exatamente no meio da distância entre elas.
Resp: -60000V
5.4.2.6 ( ) Encontre um ponto entre as cargas do exercício anterior no qual o potencial elétrico seja nulo.
Resp: 0,23m
5.4.2.7 ( ) As duas cargas Q1 = 2µC e Q 2 = −3µC da figura estão fixas. Determine o potencial elétrico nos pontos A, B
e C..
Resp:
5.4.2.8 ( ) Considere a figura do exercício 5.3.1.1. Determine a posição de um ponto sobre a reta que passa pelas duas cargas
no qual o potencial elétrico é nulo.
Resp:
5.4.2.9 ( ) Considere a figura do exercício 5.3.1.1. Determine medida da carga que deveria ser colocada no ponto A para que o
potencial em C fosse nulo?
Resp:
Q1 = 2 ,3 µC,Q 2 = −3 ,4 µC e Q 3 = −2 µC . Calcule o potencial elétrico resultando
no ponto A. Determine o trabalho realizado se uma carga Q 0 = −6 ,3 µC fosse transportada desde esse ponto A até um ponto
5.4.2.10 ( ) Na figura abaixo tem-se:
muito distante.
Resp:
5.4.2.11 ( ) Considere na figura do exercício 5.3.1.4 somente as cargas
plano no qual o potencial elétrico é nulo
5.5
Q1 e Q 2 .
Determine a equação dos pontos do
Potencial elétrico produzido por uma carga nÃO PUNTIFORME
Vimos que o potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme Q a uma distância r da mesma é dado
pela expressão
V=K⋅
Q
r
Equação 5-16
Imaginemos agora que a carga não seja puntiforme. Nesta condição a distância r não está determinada e
conseqüentemente a equação 5.2-2 não pode ser diretamente aplicada para calcular-se o potencial num certo ponto
P. Para calcular-se o potencial elétrico neste caso utilizamos o recurso matemático, já descrito no capítulo que
estudou o vetor campo elétrico, que consiste de:
Cap 5—6
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Figura 5-3
1- Imagina-se a carga distribuída subdividida em infinitas cargas. infinitamente pequenas dq , cada uma das
quais pode ser considerada puntiforme. Nestas condições a carga dq pode ser considerada puntiforme e portanto a
distância entre cada uma delas e o ponto P fica determinada;
Figura 5-4
2- Cada uma dessas cargas puntiformes produzirá no ponto P um potencial elétrico que pode ser calculado
pela equação 5.2-2, ou seja
dV = K ⋅
Observemos que nesta equação escrevemos
também infinitamente pequeno;
dq
r
Equação 5-17
dV indicando que o potencial elétrico gerado por dq é
3- Aplicando-se o princípio da superposição dos potenciais elétricos podemos dizer que o potencial elétrico
resultante no ponto P é a soma dos infinitos potenciais equação 5.4-1, gerados pelas infinitas cargas dq ou seja:
∫
V = dV =
∫
K⋅
dq
r
Equação 5-18
Deve-se entender que a soma deve ser feita considerando-se todas as cargas dq existentes na carga
distribuída.
5.5.1
Exercícios
5.5.1.1 ( ) Considere uma distribuição linear e retilínea de cargas AB, de comprimento L, uniformemente eletrizada, e um ponto
P, na mesma direção da distribuição. e a uma distância s do extremo da distribuição. Calcule o potencial gerado no ponto P.
Resp:
5.5.1.2 ( ) Resolva o exercício 5.4.1.1 supondo que a densidade linear de cargas varia de acordo com a expressão
λ = 0 ,1 ⋅ x , onde x é medido a partir da extremidade mais afastada do ponto P.
Resp:
5.5.1.3 ( ) Um fio de comprimento L, uniformemente eletrizado com densidade linear de cargas é encurvado formando uma
semicircunferência. Calcule o potencial elétrico gerado no centro da semicircunferência.
Resp:
5.5.1.4 ( ) Resolva o exercício 5.4.1.3 supondo que o fio seja encurvado formando uma circunferência
Resp:.
5.5.1.5 ( ) Na figura abaixo AB é um condutor filiforme, de comprimento L, uniformemente eletrizado com densidade linear de
cargas . Calcule o potencial gerado no ponto P
Resp:
Cap 5—7
Introdução à Eletricidade
6.
S.J.Troise
Relação entre Potencial Elétrico e Campo Elétrico
S.J.Troise
6.1
Introdução
Mostremos agora que existe uma relação definida entre o potencial elétrico e vetor campo elétrico, ou seja, uma
expressão que permite calcular uma deles sempre que se conhece o outro. Isto permite que o campo elétrico seja estudado
conhecendo-se o vetor campo elétrico ou o potencial elétrico.
O estuda do campo elétrico através do potencial elétrico na região é muito mais simples pois, lembremos, o potencial
elétrico é um escalar.
Vimos no capítulo anterior que o trabalho realizado pela força eletrostática é dado por
B
r r
τ AB = F ⋅ d s = −Q 0 (VB − VA )
∫
A
r
F
Equação 6-1
Q 0 que se move entre os pontos A e B e VB − VA
diferença de potencial entre esses dois pontos. Dividamos ambos os membros desta expressão por Q 0
B r
B
r
r
1
F
. F ⋅ ds =
⋅ d s = −(VB − VA )
Q0
Q0
onde
é a força de natureza eletrostática que atua sobre a carga
Porém,
r
F
Q0
∫
∫
A
A
Equação 6-2
nada mais é do que o vetor campo elétrico que atua sobre a carga
B
∫
éa
Q 0 , ou seja, podemos escrever
r r
E ⋅ d s = −( VB − VA )
A
Equação 6-3
Lembremos agora que no capítulo 6 vimos que o trabalho da força eletrostática não depende da trajetória seguida pela
carga móvel. Isso nos permite escrever a diferença de potencial como
B
( VB − VA ) = ∫ dV
A
Equação 6-4
substituindo na Equação 6-1-3
B
r
r
×
=
−
E
ds
∫
∫ dV =
B
A
A
B
A
∫ −dV
Equação 6-5
Sendo as duas integrais iguais, concluímos imediatamente que
r r
E ⋅ d s = −dV
Equação 6-6
Este resultado mostra a existência de uma relação entre o vetor campo elétrico e a diferença de potencial. Mostra mais
exatamente que:
r
<> 0 ) existe variação de potencial ( dV <> 0 )
r
r
2- onde existe variação de potencial ( dV <> 0 ) existe campo elétrico ( E × d s <> 0 ), ou seja, para que se produza
r
1- onde existe campo elétrico ( E
uma campo elétrico basta que se produza uma diferença de potencial.
6.2
O Gradiente do Potencial
Lembremos que qualquer que seja o vetor campo elétrico e qualquer que seja o deslocamento elementar eles podem
ser decompostos em componentes, ou seja,
r
r
r
r
r
r
r
r
E = E x i + E y j + E z k e d s = dx i + dy j + dz k
Cap 6—1
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Equação 6-7
Substituindo na Equação 6-6
(E x ri + E y rj + E z kr )⋅ (dx ri + dy rj + dz kr ) = −dV ou
(E x .dx + E y .dy + E z .dz ) = −dV
Equação 6-8
Suponhamos agora que o deslocamento elementar ocorra somente na direção
x ( dx = 0 e dy = 0 ) . A Equação
6-8 fica
Ex = −
dV
dx
Equação 6-9
Este resultado mostra que a componente do vetor campo elétrico pode ser calculada a partir do potencial elétrico.
Raciocinado de forma semelhante para deslocamentos elementares nos outros eixos
Ey = −
dV
dy
e
Ez = −
dV
dz
Equação 6-10
As equações Equação 6-1-9 e Equação 6-1-10 apresentam um erro de formalismo matemático pois as derivadas
devem ser parciais, ou seja, devemos escrever
Ex = −
∂V
∂V
∂V
, Ey = −
e Ez = −
∂x
∂y
∂z
Equação 6-11
Voltando à Equação 6-8. podemos escrever
r
⎛ ∂V r ∂V r ∂V r ⎞
E = −⎜
i+
j+
k⎟
⎝ ∂x
∂y
∂z ⎠
Equação 6-12
representado por grad ou O termo que aparece entre parênteses é denominado gradiente do potencial elétrico seja
⎛ ∂V r ∂V r ∂V r ⎞
gr a d V = ⎜
i+
j+
k⎟
⎝ ∂x
∂y
∂z ⎠
Equação 6-13
Assim, escreve-se
r
⎛ ∂V r ∂V r ∂V
E = − gr a d V = − ⎜
i+
j+
⎝ ∂x
∂y
∂z
r⎞
k⎟
⎠
Equação 6-14
6.2.1
Exercícios de revisão teórica
6.2.1.1 ( ) Qual a relação existente entre potencial elétrico e campo elétrico?
6.2.1.2 ( ) Como é definido campo elétrico médio? Quando que este conceito é utilizado?
6.2.1.3 ( ) Qual a importância dessa relação?
6.2.2
Exercícios
6.2.2.1 ( ) Entre dois pontos do espaço, separados por uma distância de 0,5m existe uma diferença de potencial igual a 400V.
Calcule a intensidade média do vetor campo elétrico nessa região.
Resp:
6.2.2.2 ( ) O potencial elétrico varia ao longo de um eixo
componente do vetor campo elétrico na direção do eixo
s
1
(V) ‘.
s
Calcule a
V = 6 ⋅ 10 3 − 2 ⋅ 10 3 ⋅ x ( V) .
Calcule o
de acordo com a expressão
V = 3 ⋅ 10 4
s.
Resp:
6.2.2.3 ( ) Numa certa região do espaço o potencial elétrico é dado pela função
vetor campo elétrico na região
Resp
(
)
6.2.2.4 ( ) Sendo V = 3 ⋅ 10 ⋅ x + 2 ⋅ y − z
(V) a função que representa o potencial elétrico numa região do espaço,
determine o vetor campo elétrico nessa região.Numa certa região do espaço o potencial elétrico é dado pela função
4
V = 5.10 3 + 2.10 3 x V
3
3
. Determine o vetor campo elétrico na região.
Cap 6—2
Introdução à Eletricidade
Resp::
S.J.Troise
r
r
E = −2 ⋅ 10 −3 i ( N / C)
6.2.2.5 ( ) Sabe-se que numa região do espaço o vetor campo elétrico tem componente somente no eixo y sendo constante e
igual a
5 ,0.10 4 N / C . Determine o potencial elétrico na região.
Resp::
V( y) = −5.0 ⋅ 10 4 ⋅ y + C ( N / C)
6.2.2.6 ( ) Sendo
determine o vetor campo elétrico.
Resp:
(
)
V = 2.10 3 . x 2 + 2. x. z V
[
a função que representa o potencial elétrico numa região do espaço,
]
r
r
r
E = −4 ⋅ 10 3 ⋅ ( x + z) i + x ⋅ k ( N / C) :
6.2.2.7 ( ) Entre dois pontos do espaço separados de uma distância d = 0,3m existe uma diferença de potencial igual a 270V.
Determine o vetor campo elétrico médio entre esses dois pontos.
Resp:
r
E m = 900 N / C
6.2.2.8 ( ) Suponha que entre dois pontos do espaço existe uma diferença de potencial. Descreva o que acontece com uma
carga elétrica se ela for abandonada entre os dois pontos.
Resp:
6.2.2.9 ( ) Em um tubo de TV elétrons são acelerados por uma diferença de potencial e lançados contra a tela que contem um
material transdutor, isto é, que transforma energia mecânica em energia luminosa. Se a ddp de aceleração é 25 kV, calcule a
velocidade com que os elétrons atingem a tela.
Resp:
r
6.2.2.10 ( ) Na Equação 6-6 d s é um deslocamento qualquer no espaço. Calcule a variação de potencial a) quando este
deslocamento é paralelo ao vetor campo elétrico; b) quando é perpendicular ao vetor campo elétrico; c) quando o deslocamento
faz um ângulo qualquer com o vetor campo elétrico.
Resp:
6.2.2.11 ( ) A partir da análise do exercício anterior, conclua que existem superfícies nas quais o potencial é constante e que o
vetor campo elétrico é sempre normal elas
Cap 6—3
Laboratório de Eletricidade
7.
S,J.Troise
Corrente elétrica, Campo elétrico e potencial elétrico
S.J.Troise
7.1
A Corrente Elétrica
Dissemos anteriormente que os elétrons das camadas mais externas dos átomos são fracamente ligados ao
núcleo e por esta razão podem mover-se. Estes elétrons que podem se mover são chamados elétrons livres. Este
movimento será mais ou menos permitido, ou até mesmo não existir, dependendo das características do material .
Quando o material permitir esse movimento ele é chamado condutor. Caso contrário é chamado isolante. Nos
condutores, estes elétrons livres encontram-se em contínuo movimento aleatório, isto é, sem obedecer a nenhuma
regra. Entretanto, se um agente externo atuar sobre o condutor eles passam a executar um movimento ordenado, o
qual é chamado corrente elétrico. Isto ocorre por exemplo quando um material condutor é submetido a um campo
r
r
r
E . Seus elétrons livres passam a sofrer a ação de uma força F = q e .E e conseqüentemente passam a
r
r
executar um movimento ordenado comandado pela força F e conseqüentemente pelo vetor campo elétrico E . Esse
elétrico
movimento ordenado de elétron é o que se chama corrente elétrica.
Os materiais condutores não são iguais. Cada um tem suas próprias características Chamemos de n o
número de elétrons livres por unidade de volume (elétrons que podem se mover) que o material condutor apresenta.
Se q e é a carga de cada elétron, a carga livre por unidade de volume apresentada pelo material será
q uv = n ⋅ q e
Equação 7-1
Existem duas grandezas associadas à corrente elétrica: a intensidade de corrente e a densidade de
corrente. Estudemos cada uma delas:
7.2
Medida da Corrente Elétrica - Intensidade de Corrente
Para medirmos a intensidade da corrente elétrica, consideremos um fio de material condutor e seja
∆q a
quantidade de carga que atravessa uma secção do condutor num intervalo de tempo ∆t .
Figura 7-1
Por definição, chama-se intensidade média de corrente elétrica à carga por unidade de tempo que
atravessa a secção, ou seja:
Im =
∆q
∆t
(
Coulomb C
= = Ampèré = A)
s
segundo
Como este valor médio pode não corresponder a aquilo que realmente acontece em cada instante, definese então a intensidade instantânea de corrente elétrica, ou simplesmente intensidade de corrente, como sendo
∆q
∆t − > 0 ∆t
I = lim
I=
dq
dt
Cap 7 - 1 -
ou
Equação 7-2
Equação 7-3
Laboratório de Eletricidade
S,J.Troise
Podemos observar facilmente que a corrente elétrica é medida em C / s , que recebe a denominação de
Ampèré = A . Esta unidade em muitas situações é muito grande e por essa razão são usados submúltiplos,
indicados na tabela abaixo:
mA
Miliampèré
µA
Microampèré
7.3
1 / 10 3 A
1 / 10 6 A
A Densidade de Corrente
Consideremos um fio condutor retilíneo percorrido por uma corrente de intensidade I e seja ∆I a corrente
que atravessa uma secção transversal do fio de área ∆A . Por definição chama-se densidade de corrente média ao
valor dado por
Jm =
∆I
∆A
(
A
m2
)
Equação 7-4
Figura 7-2
Como o valor médio pode não ser significativo, define-se a densidade de corrente em cada ponto como
sendo:
⎛ Ampere ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ m2 ⎠
r
∆I
J = lim
∆s − > ∆s
J =
ou
dI
dA
Equação 7-5
Equação 7-6
Esta última relação pode ainda ser escrita
dI = J .dA
ou
I = ∫ dI = ∫ J .dA
Equação 7-7
que permite calcular a corrente que circula sobre um condutor quando se conhece a densidade de corrente.
7.4
Relação entre a Intensidade de Corrente e o Campo Elétrico
Dissemos na introdução que quando um meio condutor é submetido a um campo elétrico aparece um
movimento ordenado de elétrons que é chamado corrente elétrica. Isto significa que deve existir uma relação entre a
intensidade do vetor campo elétrico aplicado
r
E e a corrente I que aparece no meio. Procuremos determinar essa
relação, fazendo um estudo simplificado, supondo que o movimento ocorre sempre na direção do vetor campo
elétrico. Isto nos permite um estudo fazer um estudo escalar do problema.
Figura 7-3
r
Para isto chamemos de v o módulo da velocidade com que as cargas livres (elétrons) se movem no
interior do condutor de secção de área ∆A e seja ∆L o espaço percorrido por essas cargas no intervalo de tempo
∆t .
Cap 7 - 2 -
Laboratório de Eletricidade
S,J.Troise
r
∆L = v ⋅ ∆t . A quantidade de cargas que atravessa uma secção do condutor de área ∆A ,
no intervalo de tempo ∆t , será aquela contida no volume ∆V que é dado por
r
∆V = ∆A ⋅ ∆L = ∆A ⋅ v ⋅ ∆t
É obvio que
e a correspondente carga que atravessa a secção do condutor será aquela contida no volume ∆V , ou seja
r
∆q = q uv ⋅ ∆V = q uv ⋅ ∆A ⋅ v ⋅ ∆t
e usando a Equação 7-1-1 teremos
r
∆q = n .q e ⋅ ∆A ⋅ v ⋅ ∆t
r
∆q
= n ⋅ q e ⋅ ∆A ⋅ v
∆t
ou então
que é a intensidade de corrente média no meio condutor.
Fazendo agora o intervalo de tempo ∆t tender a zero, teremos a intensidade instantânea de corrente, ou
seja
r
∆q dq
=
= I = n .q e .∆A. v
dt
∆t − > 0 ∆ t
lim
que já foi definida na equação 7.2-1, ou seja
r
I = n .q e .A. v
Equação 7-8
que ainda pode ser escrita
r I
r
J = = n.q e . v
A
Equação 7-9
que é a densidade de corrente média que circula no condutor.
Lembremos que os elétrons livres se movem formando a corrente elétrica devido à ação do campo elétrico
aplicado ao condutor. Deve portando existir uma relação entre essa velocidade
r
v e a intensidade do campo elétrico.
r
E faz aparecer sobre cada elétron uma força
r
r
q
.
E
r
r
e
r F
. Se o movimento
F = q e . E o que faz com que os elétrons apresentem uma aceleração dada por a = =
m
m
Lembremos que a existência do campo elétrico de intensidade
dos elétrons não sofresse qualquer força de oposição os mesmos atingiriam uma velocidade infinita (não
considerando efeitos relativísticos) o que de fato não ocorre. Isto significa que existe uma velocidade limite para esse
movimento. Façamos a suposição que essa velocidade limite seja proporcional à intensidade do campo elétrico, ou
seja
r
r
v ∝ E
Introduzindo agora uma constante de proporcionalidade
r
r
v = Μ ⋅E
e substituindo na equação 7.4-2, teremos
Μ teremos
r
J = n.q e .Μ ⋅ E
Equação 7-10
O termo σ = n ⋅ q e ⋅ Μ é uma característica de cada material que recebe o nome de condutividade, cujo
valor pode ser determinado experimentalmente. Ou seja, teremos sempre
r
r
J = σ⋅ E
Equação 7-11
Cap 7 - 3 -
Laboratório de Eletricidade
S,J.Troise
o que coloca em evidência que a densidade de corrente num meio condutor é proporcional à intensidade de vetor
campo elétrico e do material que constitui o meio condutor através da sua condutividade. Ao inverso da condutividade
dá-se o nome de resistividade, ou seja
ρ=
Material
1
σ
Equação 7-12.
Ω −1 .m −1 = S / m
resistividade
Ω.m
Prata
6,3x10 7
1,6x10 −8
Cobre
5,9x10 7
1,7 x10 −8
Alumínio
3,6x10 7
2,8x10 −8
Tungstênio
1,8x10 7
5,6 x10 −8
Ferro
1,0x10 7
1,0x10 −7
7.5
condutividade
Potencial elétrico e corrente elétrica
r
A Equação 7-11 mostra que onde há Campo Elétrico E há corrente desde que material seja condutor. No
capítulo 6 vimos que o Campo Elétrico é gerado por potencial elétrico. Podemos portanto estabelecer a seguinte
relação:
Potencial elétrico gera campo elétrico.
Campo elétrico gera força sobre os elétrons livres.
Estes elétrons livres movem-se sob a ação dessa força, formando a corrente elétrica (desde que o material
seja condutor).
Esta relação explica, por exemplo, o aparecimento de corrente elétrica nos dispositivos eletro-eletrônicos
quando os mesmos são conectados a uma tomada que é uma fonte de potencial elétrico.
7.5.1
7.5.1.1 (
7.5.1.2 (
7.5.1.3 (
7.5.1.4 (
7.5.2
Exercícios de revisão teórica
)
)
)
)
Qual a relação entre a condutividade e a resistividade de um material?
Como se define a densidade de corrente?
Qual a relação entre densidade de corrente e o campo elétrico?
Descreva como, com a aplicação de diferença de potencial, obtém-se corrente?
Exercícios
7.5.2.1 ( ) Num condutor de
media nesse condutor.
Resp:
6mm 2
de secção reta estabelece-se uma corrente de
2A .
Calcule a densidade de corrente
0,33 ⋅ 10 6 A / m 2
7.5.2.2 ( ) Determine a relação entre as correntes que se estabelecem em dois condutores de mesmas dimensões, um de
cobre e outro de ferro, submetidos ao mesmo vetor campo elétrico.
Resp:
1 / 5,9
7.5.2.3 ( ) Observando a tabela acima determine aquele que é melhor condutor e o que é pior condutor.
Resp: melhor Ag, pior Fe
7.5.2.4 ( ) Em um condutor de prata aplica-se um campo elétrico na sua direção longitudinal de intensidade
Se a área de sua secção reta for
Resp:
3mm 2
determine a corrente no condutor.
I = 5,7 mA
7.5.2.5 ( ) A corrente num condutor varia em função do tempo de acordo com a lei matemática
carga que atravessa uma secção do condutor no intervalo de tempo 0 a 5s.
Resp:
3 ⋅ 10 −5 N / C .
3 / 200 C
Cap 7 - 4 -
I = 3.e −200 t A . Calcule a
Laboratório de Eletricidade
S,J.Troise
7.5.2.6 ( ) Considere a condição do exercício 7.5.1.5. Se a secção reta do condutor for 0,008m 2 , determine a variação do
vetor campo elétrico médio ao longo do tempo, no interior do condutor, supondo que o mesmo seja de tungstênio.
Resp:
7.5.2.7 ( ) Um condutor de Fe de 4 mm 2 de secção é percorrido por uma corrente de
vetor campo elétrico em seu interior.
Resp:
0,5A . Calcule a intensidade média do
0,0125 N / C
7.5.2.8 ( ) Entre dois pontos do espaço A e B, separados de uma distância de 05m, existe uma ddp de 0,3V. Uma carga de
medida 1,0µC é colocada entre esses dois pontos. Calcula a força que atua sobre a carga.
Resp:
6 ⋅ 10 −7 N
7.5.2.9 ( ) Um pedaço de fio de comprimento 0,3m é submetido a uma diferença de potencia de
atuará sobre os elétrons desse pedaço de fio.
−22
10 −5 V . Calcule a força que
N
Resp: 1,6 ⋅ 10
7.5.2.10 ( ) Um fio de alumínio tem comprimento de 20cm. Qual deve ser a ddp aplicada sobre o fio para que a força aplicada
sobre os elétrons seja
Resp:
2 ⋅ 10 −20 N ?
Cap 7 - 5 -
Introdução à Eletricidade
8.
S.J.Troise
Fluxo do vetor campo elétrico - A Lei de Gauss
S.J.Troise
8.1
Introdução
Quando estudamos o campo elétrico introduzimos o vetor campo elétrico e mostramos que quando gerado
por uma carga puntiforme em um ponto P é dado por
r
Q r
E=K u
r2
onde
ou em módulo
r
Q
E =K
r2
r é a distância entre a carga Q que gera o campo e o ponto P onde o vetor campo elétrico é calculado.
Dissemos também que a constante K pode ser escrita sob a forma K =
1
e, portanto, o módulo é
4πε o
dado por
r
E =
1 Q
4πε o r 2
Equação 8-1
Observemos agora que esta última expressão pode ser escrita
r
Q
E 4πr 2 =
εo
Equação 8-2
onde S = 4 πr 2 nada mais é do que a medida da superfície de uma esfera centrada na carga Q que gera o campo e
que passa pelo ponto P no qual o vetor campo elétrico é calculado.
Figura 8-1
Portanto
r
Q
E .S =
εo
Equação 8-3
Analisando esta equação verificamos que o produto do módulo do vetor campo elétrico pela superfície
esférica fechada que envolve a carga que gera o campo é uma constante que só depende da medida da carga
elétrica Q no interior da superfície e do meio no qual as cargas se encontram através de sua permissividade ε o
Observemos também que o vetor campo elétrico é sempre normal à superfície fechada S que envolve a
carga. Ao produto da componente normal do cetro campo elétrico pela área da superfície dá-se o nome de fluxo. O
fluxo é uma grandeza auxiliar, que não apresenta significado físico, e que permitirá várias aplicações práticas no
N.m 2
cálculo do vetor campo elétrico. A unidade do fluxo, no SI é o
C
8.2
Generalização do conceito de fluxo do vetor campo elétrico
Cap 8—1
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Suponhamos que uma região do espaço seja um campo elétrico e que portanto, em cada um dos seus
r
E . Nessa região consideremos agora uma pequena superfície dS cujo versor
r
normal seja n . Por definição chama-se fluxo elementar do vetor campo elétrico à grandeza dφ dada por
r r
dφ = E ⋅ n.dS
pontos, exista um vetor campo elétrico
Observemos
que
o
produto
r r
E×n
Equação 8-4
que
desenvolvido
resulta
r r
r
r
E ⋅ n ⋅ cosα = E ⋅ cosα = E n que nada mais é do que a componente normal
r r
r
à superfície do campo elétrico (vide figura). Portanto E ⋅ n ⋅ dS = E n ⋅ dS é o
produto da componente normal do vetor campo elétrico pela superfície que é o
mesmo que aparece na Equação 8.1-1.
Suponhamos agora uma superfície extensa S . Podemos imaginá-la
como constituída de infinitas superfícies infinitamente pequenas dS . Em cada
uma delas haverá um fluxo elementar dφ dado pela Equação 8.2-1. Por
Figura 8-2
definição chama-se fluxo do vetor campo elétrico à soma dos infinitos fluxos
dφ
que ocorrem nas infinitas superfícies dS , ou seja
r r
φ = dφ = E ⋅ n ⋅ dS
∫
∫
S
S
Equação 8-5
Se em particular a superfície S for fechada, a integral é escrita
r r
φ = d φ = E ⋅ n ⋅ dS
∫
∫
S
S
Equação 8-6
Observe que esta última expressão é equivalente à Equação 8-1-1 pois a integral resulta no produto da
componente normal do vetor campo elétrico pela medida da área da superfície que envolve a carga.
8.3
A Lei da Gauss
Lembremos que a Equação 8-3 estabelece que o produto da componente normal do vetor campo elétrico
pela medida da superfície que envolve a carga é igual à carga contida no interior da superfície dividida pela
permissividade do meio. Lembremos também que esse produto pode ser escrito sob a forma dada pela equação
8.2-1. Considerando, como no item 8.1, o campo gerado por uma carga puntiforme e uma superfície esférica
envolvendo-a, podemos escrever
r r
Q
Φ = E ⋅ ndS =
ε0
∫
S
Equação 8-7
Este resultado está sendo obtido a partir de uma situação particular. Entretanto é possível demonstrar-se
que qualquer que seja a forma da superfície que envolve a carga, qualquer que seja a carga no interior dessa
superfície, o fluxo através dela é sempre igual a
8.3.1
Q
. Esse resultado é denominado Lei de Gauss
εo
Exercícios
8.3.1.1 ( ) No interior de uma superfície esférica de raio R = 0,1m encontra-se uma carga puntiforme de medida
Calcule o fluxo do vetor campo elétrico através da superfície esférica.
Resp:
1,47 ⋅ 10 5
N ⋅ m2
C
8.3.1.2 ( ) Se no exercício o raio da superfície esférico for aumentado em 30%, qual o novo valor do fluxo?
Resp:
1,47 ⋅ 10 5
N ⋅ m2
C
Cap 8—2
1,3µC .
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
8.3.1.3 ( ) Se no exercício 8.3.1.1 a carga no interior da superfície for reduzida em 40% qual o novo valor do fluxo?
Resp:
8,82 ⋅ 10 4
N ⋅ m2
C
8.3.1.4 ( ) Usando a lei da Gauss, calcule a intensidade do vetor campo elétrico produzido por uma carga filiforme, suposta
infinita, retilínea e homogênea, de densidade linear de cargas, num ponto P localizado a uma distância s da distribuição.
Resp.
r
E =
λ
2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ s
8.3.1.5 ( ) Usando a lei da Gauss, calcule a intensidade do vetor campo elétrico produzido por uma carga delgada plana,
suposta infinita e homogênea, de densidade superficial de cargas σ , num ponto P localizado a uma distância s da distribuição.
Resp:
r
E =
σ
2 ⋅ ε0
Cap 8—3
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
9.
Capacitância
S.J.Troise
9.1
Introdução
Uma das importantes aplicações da Eletrostática é a possibilidade de construir dispositivos que permitem o
armazenamento de cargas elétricas. Esses dispositivos são chamados capacitores cuja medida é chamada
capacitância.
Para entender os capacitores consideremos dois condutores isolados, separados por um meio isolante,
inicialmente descarregados o que implica que não existe ddp entre eles. Suponhamos agora que entre esses dois
condutores seja aplicada uma diferença de potencial V a qual provocará o aparecimento de uma corrente elétrica
entre os dois condutores que persistirá até que a diferença de potencial entre os condutores seja igual à aplicada.
Lembrando que corrente elétrica é deslocamento de elétrons, cada um dois condutores passa a apresentar cargas
iguais em medida porém de sinais contrários.
Figura 9-1
Por definição chama-se capacitância ou capacidade do sistema à relação entre a carga que se deposita no
sistema e a ddp aplicada, ou seja
C=
Q
V
Equação 9-1
cuja unidade é
Coulomb
C
=
= Farad = F . Na prática usam-se submúltiplos desta unidade, conforme tabela:
Volt
V
miliFarad
mF
1 / 10 3 Farad
µF
microFarad
1 / 10 6 Farad
nF
µµF = pF
nanoFarad
1 / 10 9 Farad
micromicroFarad
ou picoFarad
1 / 10 12 Farad
Os capacitores são representados pelo símbolo
9.1.1
Exercícios
9.1.1.1 ( ) Aplica-se uma diferença de potencial de 10V sobre um capacitor de capacidade
armazenada.
Resp:
9.1.1.2 ( ) Qual a diferença de potencial que deve ser aplicada sobre um capacitor de
de
22 pF
. Calcule a carga por ele
100 µF para que ele adquira uma carga
20 µC ?
Resp:
9.1.1.3 ( ) Aplicando-se uma diferença de potencial de 35V sobre um capacitor observa-se que a carga sobre ele armazenada
é de 135 µC . Calcule a capacitância do capacitor.
Resp:
9.2
Capacitores planos paralelos
Cap 9—1
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Apliquemos a definição acima em um caso particular que consiste de dois condutores planos de área S
separados de um material isolante de permissividade ε 0 de espessura
comparada com a área das placas.
d , tal que esta espessura seja pequena
Figura 9-2
Aplicada uma diferença de potencial V , cada uma das placas adquirirá uma carga Q , tal que as
densidades superficiais de cargas serão dadas por
σ+ =
Q+
S
e σ− =
Q−
S
Equação 9-2
sendo σ + = σ − = σ e, sendo as placas grandes, podemos considerar o vetor campo elétrico gerado por cada uma
σ
(vide capítulo 7). Existirão no interior das placas dois campos
2. ε 0
σ+
σ
elétricos gerados pelas duas placas E + =
e E− = − ,
2. ε 0
2. ε 0
das placas normal a elas e dado por E =
de mesma intensidade e mesmo sentido de tal forma que o campo
resultante será
E = E+ + E− =
σ
ε0
Observando agora que o vetor campo elétrico esta na
direção do eixo x auxiliar, podemos escrever E = −
dV
σ
=
que
dx ε 0
integrando:
B
∫
B
V = dV = VB − VA =
A
σ
σ
σ
∫ ε0 dx = ε0 ⋅ (x B − x A ) = ε0 ⋅ d
Figura 9-3
A
Q
S .d = Q.d ou
Lembrando a definição da densidade superficial de cargas podemos escrever V =
.S.ε 0
ε0
ainda, lembrando a definição de capacitância dada pela Equação 9-3 teremos
C=
Q ε0 ⋅ S
=
V
d
Equação 9-4
que é a expressão que permite calcular a capacitância de um sistema constituído de duas placas planas e paralelas.
Observemos que essa capacitância aumenta com a área das placas e diminui com o aumento da separação entre
elas bem como depende do material isolante que as separa através da sua permissividade.
Observando a Equação 9.2-3 verifica-se que a capacitância do capacitor depende da permissividade do
meio. Lembrando o que foi dito no força de interação entre corpos eletrizados capítulo 3, esta permissividade varia de
meio para meio e é dada por ε = ε r ⋅ ε 0 . Assim, se o meio dielétrico não for o vácuo, a capacitância é dada por
C=
Q εr ⋅ ε0 ⋅ S
=
d
V
Cap 9—2
Introdução à Eletricidade
9.2.1
S.J.Troise
Exercícios
9.2.1.1 ( ) Calcule a capacitância de um capacitor de placas planas e paralelas de área
de
1 mm
10 cm 2
separadas de uma distância
supondo que o dielétrico seja: a) o vácuo, b) o ar, c) água, d) borracha, e) glicerina.
Resp:
9.2.1.2 ( ) Deseja-se construir um capacitor de capacidade 2 mF utilizando-se papel de espessura 2 mm como meio
dielétrico Calcule a área das placas a serem utilizadas.
Resp:
9.2.1.3 ( ) Um capacitor, chamado cilíndrico. é constituído de dois condutores cilíndricos concêntricos, o maior oco de raio a e o
menor, interno, de raio b. Calcule a capacitância do mesmo.
Resp:
9.3
Associação de capacitores
Em muitas aplicações práticas os capacitores são associados, tanto em série como em paralelo. Em ambas
as situações temos interesse em conhecer a chamada capacitância equivalente, isto é, a capacidade de um capacitor
que sozinho produz o mesmo efeito. O princípio básico que nos permite estudar estas associações, e portanto
determinar a capacitância equivalente, é o princípio da conservação da carga, isto é, estando um sistema isolado a
carga elétrica existente no mesmo se conserva. Lembremos que carga elétrica corresponde ao número de elétrons eles não podem aparecer ou desaparecer.
9.3.1
Associação em paralelo
Consideremos os dois capacitores de capacitâncias C1 eC 2 , inicialmente isolados e descarregados.
Suponhamos então que eles sejam associados em paralelo e que sobre essa associação seja aplicada uma diferença
de potencial V .
Figura 9-4
Nestas condições, cada um dos capacitores adquirirá cargas elétricas resultantes da potencial V aplicado
sobre eles. Portanto a carga adquirida por cada um deles pode ser calculada a partir da definição de capacitância, ou
seja:.
Q 1 = C1 ⋅ V e Q 2 = C 2 ⋅ V
Equação 9-5
Isto significa que, como resultado da associação uma carga total
Q = Q1 + Q 2
Equação 9-6
é armazenada pelo sistema. Procuremos a capacitância equivalente, isto é, aquela que sob a mesma diferença de
potencial armazena esta carga.
No capacitor equivalente deveremos ter:
Q = C eq ⋅ V
Equação 9-7
Figura 9-5
Substituindo as relações dadas pela Equação 9-3-1 na Equação 9-3-3 podemos escrever:
Cap 9—3
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Q = C1 ⋅ V + C 2 ⋅ V ou Q = (C1 + C 2 ) ⋅ V
Equação 9-8
Comparando com a Equação 9-3-5 concluímos que:
C eq = C1 + C 2
Equação 9-9
Ou seja, quando capacitores são associados em paralelo, a capacitância equivalente da associação é a
soma das capacitâncias associadas. Este resultado foi obtido com apenas dois capacitores associados. Entretanto
podemos generalizar: quando n capacitores são associados em paralelo, a capacitância equivalente é a soma dos n
capacitores associados.
9.3.2
Associação em série
Consideremos os dois capacitores de capacitâncias C1 e C 2 Suponhamos então que eles sejam
conectados em série e, que seja aplicada uma diferença de potencial V sobre a associação.
Figura 9-6
Quando a diferença de potencial é conectada acontece um movimento de cargas elétricas carregando o
sistema ou seja, os dois capacitores passam a apresentar carga elétrica. Sejam Q1 e Q 2 as cargas adquiridas
pelos dois capacitores respectivamente. Mostremos que essas duas cargas são iguais. Para isto observe a figura
lado que ilustra a situação. A região da associação marcada por (a) inicialmente não apresentava cargas. Agora
passou a apresentar a carga total Q1 + Q 2 . Como a carga elétrica se conserva, deveremos ter
Q1 +Q 2 = 0 ou Q1 = −Q 2
Equação 9-10
o que demonstra que os dois capacitores adquirem cargas iguais.
Chamemos esta carga comum aos dois capacitores de Q . Nestas condições, a diferença de potencial
sobre cada capacitor será:
V1 =
Q
Q
e V2 =
C2
C1
Equação 9-11
Observando que os capacitores estão em série e que portanto os potenciais se somam podemos escrever:
V = V1 + V2 ou V =
⎛ 1
Q
Q
1
ou V = Q ⋅ ⎜⎜
+
+
C1 C 2
⎝ C1 C 2
⎞
⎟⎟
⎠
Equação 9-12
Procuremos agora a capacitância equivalente. Lembremos que é a capacitância de um capacitor que
sozinho é capaz de armazenar a mesma carga sob a mesma diferença de potencial . A carga armazenada pela
associação é Q quando a diferença de potencial é V e portanto, a partir da definição podemos escrever:
V=
Q
C eq
Equação 9-13
Comparando as equações Equação 9-7 e Equação 9-8 podemos concluir:
1
1
1
=
+
C eq C1 C 2
Equação 9-14
Cap 9—4
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
ou seja, numa associação em série o inverso da capacitância equivalente é igual à soma dos inversos das
capacitâncias associadas. Este resultado pode ser generalizado para n capacitores associados em série.
9.3.3
Exercícios
9.3.3.1 ( ) Dois capacitores iguais, de capacitâncias 4 ,7 pF são associados em série e em paralelo. Determine a capacitância
equivalente em cada caso.
Resp:
9.3.3.2 ( ) Determine a capacitância resultante em cada uma das situações abaixo.
Resp:
9.3.3.3 ( ) Considere dois capacitores de capacitâncias
C1 = 2 µF e C 2 = 3 µF
conectados inicialmente aos potenciais
V1 = 3 V e V2 = 2 V respectivamente, Suponha que esses dois capacitores sejam conectados em paralelo, com as
polaridades coincidentes. Determine as cargas resultantes da cada capacitor bem como a tensão final.
Resp:
Q1 = 4 ,8 µF , Q 2 = 7 ,2 µF e V = 2 ,4 V
9.3.3.4 ( ) Resolva o exercício 9.3.3.1 supondo polaridades não coincidentes
Resp:
Q1 = 0 , Q 2 = 0 e V = 0
9.3.3.5 ( ) Suponha que no exercício 9.3.3.3 que a conexão seja feita de tal forma que a placa positiva de um seja conectada à
placa positiva do outro. Calcule a carga e o potencial de cada capacitor após a conexão.
Resp:
9.3.3.6 ( ) Considere os três capacitores da figura abaixo previamente carregados e conectados como mostrado. Observando
atentamente a polaridade de cada capacitor, determine a ddp final da associação.
Resp:
a ) 0 ,76 V b ) 0 ,29 V c ) 3,4 V
d ) 6 ,75 V e ) 2 ,46 V f ) 3,93 V
9.4
9.4.1
carga e descarga de capacitores
Processo Carga do Capacitor:
Cap 9—5
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Estudemos agora o processo de carga de um capacitor. Na definição dissemos que quando um capacitor é
conectado a uma fonte de tensão V0 ele adquire uma carga Q 0 tal que Q 0 = C ⋅ V0 . Observe a figura abaixo: ela
ilustra o processo de carga no qual o capacitor é conectado diretamente sobre a fonte pelo fechamento da chave ch.
Figura 9-7
Quando isto acontece aparece uma corrente através dos fios condutores, chamada corrente de carga, a
qual cessa quando a diferença de potencial sobre o capacitor se iguala àquela da fonte. Como os fios condutores não
apresentam resistência essa corrente de carga é grande e a carga Q 0 aparece sobre o capacitor quase que
instantaneamente.
Suponhamos agora que o processo de carga ocorra através de um resistor conforme figura ao abaixo.
Figura 9-8
Quando é fechada a chave ch aparece a corrente de carga, porém como existe resistência, essa corrente é
limitada e o processo de carga é mais lento pois o potencial sobre o capacitor aumenta gradativamente e portanto a
diferença de potencial[ sobre o resistor diminuí, fazendo com que a corrente fique cada vez menor. Chamemos de
I( t ) a corrente no circuito.
Determinemos como varia a carga sobre o capacitor em função do tempo, ou seja determinemos Q ( t ) ,
supondo que a chave ch é fechada no instante t = 0 no qual o capacitor está descarregado. Para isso lembremos
que, passado o tempo, o capacitor atingirá uma carga Q 0 , tal quer Q 0 = C ⋅ V0 , ou ainda, tal que
V0 =
Q0
C
Equação 9-15
Apliquemos a lei das malhas na Figura 9-4-2:
V0 = VR + VC
Equação 9-16
onde VR = R ⋅ I ( t ) é a queda de potencial no resistor, VC =
Q( t )
é a queda de potencial no capacitor.
C
Substituindo na Equação 9-16
V0 = R ⋅ I( t ) +
Lembrando agora que I ( t ) =
Q( t )
C
Equação 9-17
Q0
dQ ( t )
e que V0 =
a Equação 9-17 fica:
dt
C
Q0
dQ ( t ) Q( t )
=R⋅
+
C
dt
C
Equação 9-18
Cap 9—6
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Que é uma equação na qual não se conhece Q ( t ) que pode ser determinada por integração, bastando
para isto que se separe as variáveis. Assim procedendo:
Q 0 − Q( t ) dQ ( t )
=
R ⋅C
dt
ou
dQ ( t )
1
=
⋅ dt
Q 0 − Q( t ) R ⋅ C
Fazendo agora a mudança de variáveis Q 0 − Q ( t ) = z (a) teremos que dz = −dQ ( t ) e substituindo
− dz
1
=
⋅ dt
z
R ⋅C
que pode ser integrada entre os instantes t = 0 no qual o capacitor está descarregado, Q ( 0 ) = 0 , e um instante
qualquer t tem que o capacitor apresenta carga Q ( t )
− ln z
t
0
=
t
1
⋅t
R ⋅C
0
− ln (Q 0 − Q ( t ))
t
=
0
ln
1
⋅t
R ⋅C
Lembrando a definição de z :
ou − [ln (Q 0 − Q( t )) − ln (Q 0 − Q(0 ))] =
1
⋅ t ou ainda
R ⋅C
Q 0 − Q( t )
1
=−
⋅ t e passando para a exponencial correspondente:
Q0
R ⋅C
1
−
⋅t
Q 0 − Q( t )
= e R ⋅C e finalmente:
Q0
1
⎛
−
⋅t
⎜
Q( t ) = Q 0 ⎜1 − e R ⋅C
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Figura 9-9
que é a expressão que fornece a carga sobre o capacitor em função do tempo.
Figura 9-10
O gráfico acima mostra o comportamento da carga durante o processo de carga, crescente tendendo ao
valor final Q 0 . A partir deste resultado podemos obter a variação do potencial sobre o capacitor, bastando lembrar a
definição de capacitância. Obtermos:
1
⎛
−
⋅t
⎜
R
V( t ) = V0 ⎜1 − e ⋅C
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Equação 9-19
Que apresenta o mesmo comportamento mostrado na figura acima.
A partir da expressão da carga podemos obter o comportamento da corrente no processo de carga. Para
isto lembremos que I =
dQ ( t )
. Derivando então a Equação 9-17Equação 9-17 obteremos:
dt
1
−
⋅t
1
⋅ e R ⋅C
I( t ) =
R ⋅C
Cap 9—7
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Equação 9-20
Figura 9-11
Na figura ao acima é mostrado o comportamento da corrente em função do tempo. Observe que quando
t = 0 temos I(0 ) =
1
= I 0 que é a corrente que acontece no momento do fechamento da chave e que, com o
R ⋅C
passar do tempo a corrente diminui exponencialmente tendendo a zero. Isto se justifica pelo que foi dito acima: na
medida em que o capacitor carrega, o potencial sobre ele aumenta, diminuindo a diferença de potencial sobre o
resistor o quer causa redução na corrente.
9.4.2
Descarga do Capacitor carregado:
Estudemos agora processo inverso, ou seja, o processo de descarga do capacitor. Para isto consideremos
um capacitor que tenha sido carregado por um potencial V0 , adquirindo uma carga Q 0 . Este capacitor pode ser
descarregado diretamente, colocando seus conectores em curso circuito. Quando isto ocorre, aparece uma corrente
de alta intensidade que o descarrega quase que instantaneamente.
Figura 9-12
Consideremos uma outra situação na qual o capacitor seja descarregado através de um resistor R através
do fechamento da chave ch no instante t = 0 conforme mostrado na figura ao lado. Aplicando nesse circuito a lei das
malhas:
VR + VC = 0
ou R ⋅ I( t ) +
Q( t )
=0
C
dQ ( t ) Q( t )
+
= 0 que pode ser integrada desde o instante
dt
C
inicial t = 0 no qual a carga do capacitor é Q 0 até um instante qualquer t no qual a carga é Q ( t ) . Separando as
Sendo I ( t ) =
dQ ( t )
teremos
dt
R
variáveis e integrando:
dQ ( t )
1
=−
⋅ dt
Q(t )
R ⋅C
t
ou
∫
t
∫
dQ ( t )
1
=−
⋅ dt
Q( t )
R ⋅C
0
ou ln Q ( t ) − ln Q ( 0 ) = −
ln
t
ou
ln Q( t )
0
1
⋅ t . A aplicando a propriedade do logaritmo do quociente:
R ⋅C
Q( t )
1
=−
⋅ t Aplicando agora a definição de logaritmo:
Q0
R ⋅C
Cap 9—8
0
=−
t
1
t
RC 0
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Q( t ) = Q 0 ⋅ e
−
1
⋅t
R ⋅C
Equação 9-21
Que dá o comportamento da carga do capacitor durante o processo de descarga através de um resistor.
Este resultado mostra que a carga diminui exponencialmente com o tempo.
Podemos agora aplicar a definição de capacitância e obter o comportamento do potencial sobre o capacitor,
obteremos:
V( t ) = V0 ⋅ e
−
1
⋅t
R ⋅C
Figura 9-13
Nesta equação V0 é o potencial inicial do capacitor. A figura acima mostra o comportamento do potencial
durante o processo de descarga.
Cap 9—9
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
10.
Magnetismo
S.J.Troise
10.1
Introdução
MAGNETISMO é a parte da Física que estuda os chamados fenômenos magnéticos, os quais se
constituem, como todos os demais fenômenos estudados pela Física, em uma manifestação da Natureza. Para
iniciarmos o estudo do Magnetismo, façamos uma descrição de uma nova classe de fenômenos que podem ser
observados.
10.2
Fenômenos fundamentais
1- Existem pedras encontradas na natureza que apresentam a propriedade de atrair pedaços de Ferro,
Níquel e Cobalto, não atraindo outros materiais como Alumínio, Cobre, Madeira, Plásticos, etc. Estas pedras foram
chamadas MAGNETOS e hoje são chamadas IMÃS os quais são produzidas industrialmente para inúmeras
diferentes aplicações. Estes imãs produzidos artificialmente podem apresentar diferentes formatos, dependendo da
aplicação específica à qual se destinam.
Figura 10-1
2- Quando um imã longílineo é suspenso por seu ponto médio observa-se que, após oscilar, ele para
sempre numa mesma direção que coincide aproximadamente com a direção N-S geográficos. (este é o princípio de
funcionamento da bússola).
Figura 10-2
3- Observa-se que os extremos desse imã longilíneo não apresentam as mesmas propriedades pois um
deles sempre aponta para o N geográfico e o outro sempre para o S geográfico, qualquer que seja a situação na qual
o imã é abandonado a oscilar. Para diferenciá-los, recebem denominações diferentes: o que aponta para o
N-geográfico é denominado POLO NORTE MAGNÉTICO (N) e o que aponta para o S-geográfico é denominado
POLO SUL MAGNÉTICO (S).
Figura 10-3
4- Os polos magnéticos são inseparáveis. Se o imã longilíneo utilizado acima for dividido ao meio
observa-se que cada pedaço obtido se comporta como um novo imã, isto é, apresenta os polos N e S magnéticos.
Isto também ocorre se cada um desses pedaços for novamente dividido ao meio. Em nenhuma hipótese se observa
a separação dos polos.
Cap 10—1
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
5- Dois imãs quando aproximados interagem através do aparecimento de uma força de interação. Esta
força será de atração ou de repulsão dependendo da posição relativa dos dois imãs. Se os imãs forem aproximados
segundo polos magnéticos iguais a força será de repulsão. Se os imãs forem aproximados segundo polos
magnéticos diferentes a força será de repulsão.
Figura 10-4
Resumindo: polos magnéticos iguais se repelem e polos magnéticos diferentes se atraem. Este fato,
associado com a observação 3 acima nos permite afirmar que a Terra é um grande imã, e ainda, que o polo
N-geográfico é o polo S-magnético do imã da Terra (pois atrai o que se chamou Polo N- magnético do imã) e o polo
S-geográfico da Terra e o polo N-magnético do imã da Terra (pois atrai o que se chamou polo S-magnético do imã).
6- Se uma carga elétrica for colocada próxima de um imã em repouso em relação a ele não existirá ação do
imã sobre a carga. Entretanto, se essa carga se mover relativamente ao imã, haverá sobre ela uma força resultante
da presença do imã que será denominada força de natureza magnética (esta força será estudada posteriormente).
10.3
Campo Magnético
Chama-se CAMPO MAGNÉTICO a toda região do espaço na qual aparecem forças de natureza magnética,
isto é, produzidas pela ação equivalente à ação de um imã.
Podemos visualizar geometricamente um campo magnético espalhando-se na região limalha de ferro.
Observamos que a limalha formará linhas contínuas, que não se interceptam. Essas linhas formam figuras cuja
aparência depende do campo que está sendo estudado são denominadas linhas de indução. Se considerarmos o
campo magnético produzido por um imã longilíneo, como seus polos N e S magnéticos localizados nos extremos,
observaremos a abaixo (esta figura pode ser facilmente obtida colocando-se sobre o imã uma placa de vidro ou papel
ou plástico e sobre esta placa colocarmos a limalha de ferro; após agitarmos a placa observaremos a formação da
figura).
Figura 10-5
A forma apresentada pelas linhas de indução depende da forma do imã. A figura abaixo mostra as linhas de
indução de um imã em forma de ferradura.
Figura 10-6
10.4
Vetor indução magnética ou Vetor densidade de fluxo
Cap 10—2
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Os fenômenos magnéticos apresentam comportamento vetorial, isto é, as grandezas envolvidas nesses
fenômenos necessitam das três informações: módulo, direção e sentido. Então, para estudarmos o campo
magnético, isto é, a região na qual fenômenos magnéticos ocorrem, definiremos em cada uma dos seus pontos um
r
vetor B , denominado vetor indução magnética ou vetor densidade de fluxo magnético, com as seguintes
propriedades:
r
a- a direção de B é sempre tangente às linhas de indução;
r
b- o sentido de B é sempre do N-magnético para o S-magnético;
r
c- a intensidade ou módulo de B não pode ser definido neste momento; diremos apenas que a
intensidade ou módulo é maior onde mais próximas forem as linhas de indução, isto é, onde maior for a densidade de
linhas de indução.
r
d- no Sistema Internacional de Unidades (SI) a intensidade de B é medida em
Weber/m 2 (Wb/m 2 ) = Tesla (T).
r
Na figura abaixo são mostrados vetores B em diferentes posições do campo magnético observado ao
redor de um imã longilíneo já apresentado acima.
Figura 10-7
Um exemplo interessante é o campo magnético da Terra que apresenta uma
intensidade
de aproximadamente de 5,6x10-5 T (ou Wb/m2), tem sua direção
aproximadamente tangente aos meridianos terrestres e tem seu sentido do S-geográfico
(N-magnético do imã da Terra) para o N-geográfico (S-magnético do imã da Terra). A figura
abaixo mostra o vetor indução magnética em um ponto da Terra.
Cap 10—3
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
11.
ESTUDO DA FORÇA MAGNÉTICA
S.J.Troise
11.1
Força elétrica sobre carga elétrica em movimento
r
Imaginemos uma região do espaço que seja um campo magnético cujo vetor indução magnético seja, B no
r
ponto. P. Seja q a medida de uma carga elétrica que se move nesse campo magnético com velocidade v .
Figura 11-1
r
A experiência mostra que sobre a carga aparece uma forca F de natureza magnética que apresenta as
seguintes propriedades:
A - a intensidade da forca e proporcional ao valor absoluto da carga q ;
B - a intensidade da forca é proporcional à componente da velocidade da carga perpendicular ao vetor
indução magnético ou seja, proporcional ao produto do módulo da velocidade pelo seno do ângulo que a velocidade
r
forma com as linhas de indução do campo, ou seja, com o vetor B . Isto significa que se a velocidade e o vetor
indução magnética forem paralelos, e portanto o ângulo α for 0, a força será nula;
r
C- a intensidade da força F é proporcional ao módulo do vetor indução magnético;
r
D- a direção da forca F é perpendicular ao plano formado pela velocidade e pelo vetor indução magnética,
r
r
isto é, a força é perpendicular a v e a B ;
As observações a, b e c podem ser colocadas sob a forma de uma única expressão de proporcionalidade,
ou seja:
r
r r
F = Cte ⋅ q ⋅ v ⋅ B ⋅ sen α
Equação 11-1
Transformando a proporcionalidade acima em igualdade pela introdução de uma constante de
proporcionalidade teremos:
r
r r
F = Cte ⋅ q ⋅ v ⋅ B ⋅ sen α
Equação 11-2
Escolhendo agora as unidades de tal forma que a constante de proporcionalidade seja unitária podemos
escrever:
r
r r
F = q ⋅ v ⋅ B ⋅ sen α
Equação 11-3
que permite calcular o módulo ou intensidade da força que atua sobre a carga em movimento.
Ocorre que força é uma grandeza vetorial. Isto significa que conhecer apenas o módulo da força não é
suficiente para se saber a ação da força. Faz-se então necessário determinar o vetor força. Para isto analisando
simultaneamente a expressão que fornece o módulo da força, a observação d acima e a definição de produto vetorial,
concluímos que o vetor força pode ser determinado a partir de um produto vetorial, ou seja:
r
r r
F = q .v ∧ B
Equação 11-4
r
r
r
r
O módulo de F a partir desta expressão é dado pela equação 11.1-3 e F é perpendicular a v e a B .
Cap 11—1
Introdução à Eletricidade
11.1.1
S.J.Troise
Exercícios
11.1.1.1 ( ) Um próton move-se num campo magnético uniforme de intensidade 0,05T com velocidade de
3 ,0 x10 7 m / s tal
que o ângulo entre a velocidade e o vetor indução magnética é de 30 ° . Calcule a intensidade da força que atua sobre o próton.
Faça um esboço no qual apareçam a velocidade, o vetor indução magnética e a força.
Resp:
11.1.1.2 ( ) Resolva o exercício 11.1.1.1 supondo que seja um elétron a se mover no campo magnético.
Resp:
11.1.1.3 ( ) Uma partícula de massa 30g move-se num campo magnético uniforme de intensidade 0,6T com velocidade de
2 ,0 x10 5 m / s segundo
um ângulo de 30° com as linhas de indução. Calcule a intensidade da força que atua sobre a
partícula e o módulo da aceleração normal que sofre a partícula.
Resp
11.1.1.4 ( ) Desenhe a trajetória de uma partícula que se move perpendicularmente às linhas de indução de um campo
magnético uniforme.
representa um vetor indução magnética perpendicular ao plano da figura e de
11.1.1.5 ( ) Na figura ao lado o símbolo
r
sentido para dentro do plano da figura. Demonstre que se v é a velocidade da uma carga q , de massa m , a trajetória da
carga é circular, de raio
r
mv
R= r
q. B
11.1.1.6 ( ) Na figura ao lado o símbolo
representa um vetor indução magnética perpendicular ao plano da figura e de
sentido para fora desse plano. Uma carga q, de massa m é lançada através de um orifício O dentro de campo magnético e
r
perpendicularmente às linhas de indução, com uma velocidade v . a) faça um esboço da trajetória seguida pela carga,
considerando que a mesma pode ser positiva ou negativa; b) a trajetória seguida pela carga faz com que ela atinja o anteparo
que contem o orifício O. Calcule a distância entre o ponto O e o ponto em que ocorre o impacto contra o anteparo.
11.1.1.7 ( ) Considere a situação do exercício 11.1.1.6. Suponha que a carga lançada no campo magnético tenha sido
acelerada, antes de entrar no campo magnético por uma diferença de potencial V. Estabeleça uma relação entre essa diferença
de potencial e a distância entre o orifício e o ponto de impacto.
11.1.1.8 ( ) Considere a situação do exercício 11.1.1.7. Analise a possibilidade de construir-se um dispositivo que permita medir
a massa da carga que é lançada no campo magnético. (Tal dispositivo existe e é denominado espectrômetro de massa).
r
r
r
r
v = (3 i + 4 j − 5 k ) ⋅ 10 4 m / s é a velocidade de uma carga q = −5µC num campo magnético uniforme
r
r
r
2
de vetor indução magnética B = 0 ,1 i − 0 ,4 k Wb / m calcule o módulo da força de natureza magnética que atua sobre a
11.1.1.9 ( ) Se
carga.
Resp:
11.2
O trabalho da força de natureza magnética
A força de natureza magnética não realiza trabalho e, conseqüentemente, não altera o módulo da
velocidade da carga, alterando somente a sua direção. Isto pode ser facilmente mostrado aplicando-se o Teorema da
Energia Cinética que afirmar que o trabalho realizado pela força resultante entre dois pontos A e B é a variação da
energia cinética da partícula, ou seja:
B
ΓAB =
∫
r
r 1
1
F × d s = mv 2B − mv 2A
2
2
A
Equação 11-5
Cap 11—2
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
r
r
r
deslocamento elementar sobre a trajetória seguida e portanto tangente a trajetória. Sendo F perpendicular a velocidade, F será
r r
r
sempre normal a trajetória e portanto sempre perpendicular ao deslocamento ds . Conseqüentemente, o produto escalar F .d s
onde v A é a velocidade da carga no ponto A da trajetória e v B é a velocidade da carga no ponto B. Lembremos que d s é um
será sempre nulo e o trabalho será nulo. Isto significa que não há variação de energia cinética e portanto não há variação de
velocidade em módulo. Por outro, sendo a força normal a trajetória da carga ela produzirá apenas uma aceleração normal a qual é
responsável pela mudança da direção da velocidade. Portanto a trajetória de uma carga elétrica em presença de um campo
magnético é curvilínea.
Cap 11—3
Introdução à Eletricidade
12.
S.J.Troise
Força de natureza magnética sobre corrente elétrica
S.J.Troise
12.1
Introdução
Corrente elétrica nada mais é do que cargas elétricas em movimento e quando este movimento ocorre em
presença de uma campo magnético aparece sobre elas um força que é dada pela expressão
r
r r
F = q. v ∧ B
Equação 12-1
Suponhamos então um fio condutor, pelo qual circula corrente elétrica I ,colocado num campo magnético. E
fácil imaginar-se que as cargas elétricas em movimento no interior do fio estarão sob a ação de uma força de
natureza magnética produzida pela ação do campo magnético existente na região. Como estas cargas são solidárias
ao condutor, a força que atua sobre elas atua também sobre o próprio condutor podendo, inclusive, produzir seu
movimento. Este é o princípio de funcionamento dos motores elétricos.
12.2
Estudo do caso mais geral - Campo magnético variável e condutor qualquer
r
Consideremos um condutor AB, de comprimento L , imerso num campo magnético de vetor indução B
conforme figura abaixo.
Figura 12.2—1
Seja dl um pedaço infinitamente pequeno desse condutor que contem uma quantidade de carga também
r
infinitamente pequena dq que se move com velocidade v . Como a carga dq move-se no campo magnético ela
estará sob a ação de uma força dada por, de acordo com o capítulo anterior
r
r r
dF = dq.v ∧ B
Equação 12-2
r
onde escrevemos dF para representar a forca que atua sobre o pedaço dl . Por outro lado, o condutor AB é uma
r
sucessão de pequenos pedaços dl , cada um dos quais sofre a ação de uma força dF e portanto a força total sobre
r
condutor AB será soma de todas as infinitas forças dF , ou seja:
r B r B
r r
F = ∫ dF = ∫ dq . v ∧ B
A
A
Equação 12-3
que fornece a força resultante que atua sobre o condutor AB. Ocorre que, na forma em que se encontra, a expressão
acima não é prática por se tratar de uma integral cuja variável é a carga elétrica e que exige que se conheça a
velocidade com que as cargas se movem no interior do condutor. Procuremos colocar a expressão da força sobre o
r
condutor numa forma mais prática. Para isto seja u T o versor tangente ao elemento de condutor dl . É fácil
r
observar-se que a velocidade v é tangente ao condutor pois a trajetória coincide com o próprio fio. podemos então
escrever:
r
r
v = v. u T
Cap 12—1
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Mas, de acordo com a Mecânica, a velocidade é dada por
v=
dl
dt
e portanto
r dl r
uT
v=
dt
Substituindo na expressão Equação 12-3
r
F=
r
r
dl
.
.
∧
dq
u
B
T
∫ dt
A
B
ou rearranjando
r B dq r
r
F = ∫ dl. . u T ∧ B
dt
A
Equação 12-4
Por outro lado
dq
= I , que aparece nesta expressão é, por definição, a intensidade de corrente que
dl
percorre o condutor. Porém a corrente no interior do fio é constante e portanto não participa do processo de
integração e pode ser colocada fora da integral
B
r
r
r
F = I . ∫ u T ∧ B. d l
A
Equação 12-5
que é a expressão prática para o cálculo da força sobre o condutor pois a sua aplicação exige apenas que se
conheça a corrente I que percorre o condutor, seu versor tangente determinado geometricamente bem como o
r
campo magnético no qual o condutor está mergulhado através de seu vetor indução magnética B .
12.2.1
Exercícios
12.2.1.1 ( ) Um condutor retilíneo é percorrido por uma corrente de 2A e tem comprimento de 0,3m. E está mergulhado num
o
campo magnético uniforme de intensidade igual a 0,02T. Se o ângulo entre o condutor e o vetor indução magnética for de 30
calcule a intensidade da força que atua sobre o condutor.
Resp:
A
12.2.1.2 ( ) O condutor semicircular da figura, de raio 0,3m, pelo qual circula uma corrente de 3 , encontra-se mergulhado num
campo magnético radial, paralelo ao plano yOz do sistema de referência e de intensidade 0,6T. Calcule a força de natureza
magnética que atua sobre o condutor.
Resp:
12.2.1.3 ( ) Resolva o exercício 12.2.1.2 supondo o condutor circular completo.
Resp:
12.2.1.4 ( ) Considere a mesma situação do exercício 12.2.1.2. Calcule a força sobre o condutor AB retilíneo, de comprimento
igual a 2R, coincidente com o eixo Oy.
Resp:
12.3
Caso particular - Campo uniforme e condutor retilíneo
Um caso de particular interesse ocorre quando se tem um condutor retilíneo num campo magnético
r
uniforme. Um condutor retilíneo tem por característica o versor u T constante e um campo magnético uniforme tem
Cap 12—2
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
r
seu vetor indução magnética B constante o que significa que as linhas de indução são retas paralelas. É fácil
observar-se que neste caso
r
r
u T ∧ B = con s t
Nestas condições na equação 12.2-4 o produto vetorial pode ser tirado da integral e a expressão da força
fica
r
r B
r
F = I . u T ∧ B. ∫ dl
A
Observando agora que
B
∫ dl = L
A
ou seja, o comprimento do fio AB, podemos escrever:
r
r
r
F = I . u T ∧ B. L
Equação 12-6
que é a expressão que permite, de forma simples, calcular a força que atua sobre um condutor retilíneo mergulhado
num campo magnético uniforme.
12.3.1
Exercícios
12.3.1.1 ( ) Em cada uma das situações abaixo, calcule a força que atua sobre o condutor. Suponha sempre que a corrente se
desloca de A para B.
Resp:
r
r
r
r
v
a ) F = −1,05 i (N ) b ) F = −0 ,15 i (N ) c ) F = −27 ⋅ 10 −4 k (N )
r
r
r
r
d ) F = −6 ⋅ 10 − 4 i + 24 ⋅ 10 − 4 j + 18 ⋅ 10 − 4 k (N )
12.3.1.2 ( ) A espira mostrada na figura é formada por três condutores retilíneos, percorridos por uma corrente de 2A . Calcule
a força resultante que atua sobre o sistema, sabendo que o campo magnético é vertical, de sentido para cima e de intensidade
0,04T.
Cap 12—3
Introdução à Eletricidade
Resp:
S.J.Troise
r
r
r
r
F AB + F BC + FCA = 0
12.3.1.3 ( ) Na figura abaixo ABC é um fio percorrido por uma corrente de 2A. Calcule a força magnética que atua sobre ele.
Resp:
12.3.1.4 ( ) Considerando a situação da figura do exercício 3 calcule a força que atua sobre condutor retilíneo AC. Compare
este resultado com aquele obtido na solução do exercício 12.3.1.3. Qual a conclusão que pode ser tirada.
Resp:
12.3.1.5 ( ) Calcule a força de natureza magnética que atua sobre o condutor curvilíneo cujos extremos coincidem com os
pontos A(1,1,2)m e B(2,2,3)m quando mergulhado num campo magnético cujo vetor indução magnética é dado por
r
r
r
r
B = 0 ,1 i + 0 ,4 j − 0 ,3 k (T )
Resp:
12.3.1.6 ( ) Considere um condutor de comprimento 1m e massa 30g mergulhado no campo magnético da Terra, na direção
leste-oeste. Calcule a corrente que deve circular por ele para que permaneça em equilíbrio sob a ação da força peso e da força
de natureza magnética.
Resp:
12.3.1.7 ( ) Em que condição a força sobre um condutor retilíneo mergulhado num campo magnético uniforme é nula?. E
máxima?
Resp:
Cap 12—4
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
13.
Torque magnético
S.J.Troise
13.1
Introdução
Sabemos que a força é capaz de produzir tanto movimento de translação como movimento de rotação.
Estudemos agora o fato de que a força magnética quando atua sobre uma espira, isto é, qualquer caminho fechado
percorrido pela corrente, produz o movimento de rotação dessa espira. Para isto consideremos uma espira plana
r
r
retangular, de dimensões a e b, localizada num campo magnético uniforme vertical B = B.k (de sentido para cima
portanto), tal que o ângulo entre o plano da espira e o plano horizontal é φ . Seja ainda I a corrente que circula pela
espira. Calculemos a força de natureza magnética que atua sobre a espira, isto é, sobre os quatro condutores
retilíneos que a constituem.
Figura 13-1
13.2
Cálculo da força resultante sobre a espira
Calculemos a força resultante sobre a espira, calculando a força que atua sobre cada um desses
r
r
condutores retilíneos. Para isto devemos aplicar a F = I ⋅ µ T ∧ B ⋅ L , deduzida no capítulo anterior, em cada um dos
lados retilíneos e somar os quatro resultados obtidos. Observemos que para a aplicação desta equação devemos
conhecer o versor tangente a cada um dos lados e isto e conseguido simplesmente observando-se a figura abaixo na
qual os versores foram desenhados.
Figura 13-2
Os versores tangentes aos lados AB e CD são imediatos pois estes dois lados são paralelos ao eixo x :
r
r
r
r
u AB = − i e u CD = i . Os versores aos lados BC e DA não são imediatos pois a sua determinação depende da
observação da figura em uma vista particular. Olhando a figura no eixo x verificamos que esse versor tangente pode
ser decomposto em componentes, conforme indicado na figura abaixo, ou seja
r
r
r
r
r
u CD = u CD ⋅ cosφ(− j) + u CD ⋅ senφ(k ) .
Analogamente podemos determinar o versor tangente ao lado DA. Basta que observemos na figura 13.2-1
que ele é oposto ao versor ao lado CD, ou seja:
r
r
r
r
r
u DA = u DA ⋅ cosφ( j) + u DA ⋅ senφ(− k ) .
Cap 13 -1 -
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Figura 13-3
Devemos lembrar que estamos trabalhando com versores e portanto seus módulo são unitários.
A) força sobre o condutor retilíneo AB
[ ]
r
r
r
r
r
r
FAB = I.u AB ∧ Bk.L AB = I. − i ∧ Bk.b = I.B.b.( j)
Equação 13-1
B) força sobre o condutor retilíneo CD
r
r
r
r
r
r
FCD = I.u CD ∧ B.L CD = I.( i ) ∧ Bk.a = IBa(− j)
C) força sobre o condutor retilíneo BC
[
]
r
r
r
r
r
v
r
FBC = I.u BC ∧ Bk.L BC = I. cosφ(− j) + senφ(k ) ∧ Bk.b = I.B.b. cos φ.(− i )
D) força sobre o condutor retilíneo DA
[
]
r
r
r
r
r
v
r
FDA = I.u DA ∧ Bk.L DA = I. cosφ( j ) + sen φ(− k ) ∧ Bk.b = I.B.b. cos φ.( i )
Equação 13-2
Equação 13-3
Equação 13-4
r r
r
r
r
A força resultante sobre a espira será F = FAB + FBC + FCD + FDA . Substituindo os resultados acima
teremos:
r
r
r
r
r
v
F = I.B.a.( j ) + I.B.b. cos φ.( − i ) + I.B.a.( − j ) + I.B.b. cos φ.( i ) = 0
Equação 13-5
ou seja, não existe força resultante sobre a espira. Isto significa que a espira se encontra em equilíbrio de rotação
pois não há excesso de força em nenhuma direção.
Por outro lado uma observação atenta das forças que atuam sobre os lados da espira mostra que a espira
não está em equilíbrio de rotação pois existe atuando sobre ela um binário, isto é um sistema constituído de duas
forças iguais e opostas com linhas da ação não coincidentes. A figura abaixo coloca este fato em evidência.
Figura 13-4
Podemos ainda obter uma nova visão do binário olhando-se novamente a figura na direção do eixo x.
Cap 13 -2 -
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Figura 13-5
Vê-se claramente a existência do binário atuando sobre a espira, mostrando uma tendência de rotação no
sentido anti-horário.
Para medir-se esta tendência de rotação a Mecânica define uma grandeza denominada momento do binário
ou torque ou ainda conjugado, medida em N.m, como sendo o produto da força do binário pelo braço, isto é, pela
distância entre as direções das duas forças, que na figura acima está representada por h, ou seja:
r
r
Τ = FAB .h = FCD .h = I.B.a.h
Equação 13-6
Observando agora a figura 13.2-7 obtemos que
sen φ =
h
h
h
=
=
donde h = b. sen φ
BC DA b
Substituindo na figura 13.2-8 teremos
Τ = I.B.a.b. sen φ
Equação 13-7
que é a expressão que permite calcular o torque que atua sobre a espira. Nesta expressão observe que o produto
a.b=S nada mais é do que a área da espira retangular que estudamos. Assim
Τ = I.B.S. sen φ
Equação 13-8
I.S. sen φ que constituído de elementos que só dependem da espira em
estudo (a corrente que por ela circula, sua área e sua posição através do ângulo φ ). A esse produto dá-se o nome de
intensidade do momento magnético da espira, representado por Μ , ou seja
Μ = I.S. sen φ
Nesta expressão aparece o produto
Equação 13-9
que é medido em A.m
Desta forma o torque que atua sobre a espira é dado por
Τ = Μ⋅B
Equação 13-10
Podemos agora fazer um tratamento vetorial que leva ao mesmo resultado. Para isto definamos um versor
r
n , teoria à espira, cujo sentido é dado pela regra da mão direita: o polegar indica o sentido desse versor quando os
demais dados indicam o sentido da corrente. Na figura abaixo é mostrado esse versor.
Cap 13 -3 -
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Figura 13-6
Define-se então o vetor momento magnético da espira como sendo
r
r
Μ = I.S.n
Equação 13-11
Nestas condições, o torque vetorial que atua sobre a espira é dado por
r r r
Τ=Μ∧B
Equação 13-12
A importância desta ultima expressão está no fato que a direção do vetor torque resultante é direção do eixo
de rotação da espira. Observemos que conhecer a direção de um eixo não significa que conheçamos o eixo. Ele
dependerá do vínculo sofrido pela espira, isto é, de como será permitida a rotação da mesma.
13.2.1
Exercícios
13.2.1.1 ( ) Calcule o módulo do vetor torque magnético dado pela Equação 13-12 e compare com o resultado da Equação
13-9
Resp.:
13.2.1.2 ( ) Avalie, teoricamente, o vetor torque magnético que atua sobre a espira do desenvolvimento teórico e verifique se o
mesmo tem a direção obtida na análise do exercício 13.2.1.1
Resp.:
13.2.1.3 ( ) Em cada uma das situações abaixo, determine o vetor momento magnético da espira e o vetor torque que atua
sobre a ela.
Cap 13 -4 -
Introdução à Eletricidade
Resp:
r
r
a ) − 0,06 k + 0,12 j ( N ⋅ m )
S.J.Troise
r
b) 0 ( N ⋅ m ) c) − 0,00 j ( N.m )
13.2.1.4 ( ) Em que condição o torque sobre uma espira mergulhada num campo magnético uniforme é nulo? Em que condição
esse torque é máximo?
Cap 13 -5 -
Introdução à Eletricidade
14.
S.J.Troise
Campo magnético gerado por corrente elétrica
S.J.Troise
14.1
Introdução
Até agora os fenômenos elétricos e magnéticos foram apresentados como fatos isolados. Veremos a partir de agora que
os mesmos fazem parte de uma mesma manifestação da natureza, ou seja, da carga elétrica apresentada por algumas partículas.
Isto nos permitirá ter uma visão mais ampla do universo físico. Lembremos que corrente elétrica é carga elétrica em movimento,
no caso mais geral os elétrons pois os prótons são fortemente ligados ao núcleo. Portanto sempre que se tem corrente elétrica,
têm-se carga elétrica em movimento.
14.2
Fenômeno fundamental: Campo magnético gerado por carga elétrica em
movimento
Consideremos um fio condutor percorrido por uma corrente elétrica de intensidade I . Se colocarmos na região próxima
desse fio uma bússola, veremos que a posição da mesma é alterada pela existência da corrente, ou seja, nas vizinhanças desse
fio aparece um campo magnético, o qual desaparece quando a corrente cessa. A experiência mostra ainda que, considerando um
condutor retilíneo muito longo,:
Figura 14-1
1- o campo magnético gerado pela corrente elétrica está contido num plano perpendicular ao fio;
2- o vetor indução magnética tem sua direção perpendicular ao plano formado pela direção do condutor e pelo raio
r
traçado a partir do condutor até o ponto em que o B está sendo observado;
3- o sentido do vetor indução magnética é dado pela regra da mão direita: quando o polegar indica o sentido da
corrente, os demais dedos indicam o sentido de
r
r
B , ou seja o sentido de B
inverte se inverter-se a corrente;
4- a intensidade do vetor campo elétrico gerado é proporcional á corrente
r
B ∝I
I
que circula pelo condutor;
Equação 14-1
5- a intensidade do vetor indução magnética é inversamente proporcional à distância
r;
r 1
B∝
r
Equação 14-2
6- a intensidade do vetor indução magnética depende do meio no qual o sistema se encontra, ou seja, em meios
diferentes aparece uma intensidade diferente.
Associando as relações de proporcionalidade acima podemos escrever:
r
I
B∝
r
Equação 14-3
Esta nova relação de proporcionalidade pode ser colocada sob a forma de uma igualdade colocando-se uma constante
de proporcionalidade. Trabalhado com unidades do Sistema Internacional de Unidades, determinou-se que a constante é dada por
µ0
2⋅π
onde
µ0
é uma constante denominada permeabilidade magnética do meio e cujo valor para o vácuo é
Assim, podemos escrever:
r
µ ⋅I
B= 0
2⋅π⋅r
Cap 14-1
µ 0 = 4 ⋅ π ⋅ 10 −7 .
Equação 14-4
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Que é a expressão que permite calcular a intensidade do vetor indução magnética gerado por uma corrente num
condutor retilíneo longo quando o sistema se encontra num meio de permeabilidade
Observemos que esta equação pode ser colocada sob a forma
µ0 .
r
B ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r = µ0 ⋅ I
Equação 14-5
A qual nos será útil posteriormente.
14.2.1
Exercícios
14.2.1.1 ( ) Um condutor retilíneo muito longo é percorrido por uma corrente de 5 A . Calcule a intensidade do vetor indução
magnética a 10 cm do condutor, supondo que o sistema encontra-se no vácuo.
Resp:
14.2.1.2 ( ) Qual a corrente que deve circular num fio retilíneo muito longo para que a intensidade do vetor indução magnética a
5 cm do mesmo seja 0,5T?
Resp:
14.2.1.3 ( ) Considere dois fios paralelos separados por uma distância de 10 cm, percorridos pela mesma corrente de 0,5 A em
sentidos opostos, no ponto P da figura. . Calcule o vetor indução magnético no ponto P
Resp:
14.2.1.4 ( ) Considere os dois fios da figura acima percorridos pela mesma corrente, porém de mesmo sentido. Calcule o vetor
indução magnético no ponto P.
Resp:
14.2.1.5 ( ) Considere os dois fios da figura abaixo. Calcule o vetor indução magnética por eles gerado quando os fios são
percorridos pela corrente de 3A em duas situações:a) as correntes são de mesmo sentido e b) são de sentidos opostos.
14.3
A lei circuital de Ampèré
A Equação 14-5 permite uma generalização muito importante. Para isto definamos o conceito de circuitação ou
circulação do vetor indução magnética.
Consideremos um condutor percorrido por uma corrente
caminho C, que envolva o condutor, conforme a figura ao lado.
I
e um caminho qualquer fechado, que chamaremos de
Figura 14-2
Esse caminho fechado é chamado “contorno”
Seja
r
ds
r
B
um deslocamento elementar, isto é, infinitamente pequeno, sobre o caminho C e portanto tangente ao
caminho e seja
o vetor indução magnética existente na região e gerado pela corrente I .
Por definição chama-se “circulação ou circuitação do vetor indução magnética ao longo do contorno C”, à integral:
Cap 14-2
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
r r
Ci = B ⋅ ds
∫
C
Equação 14-6
Lembremos que essa integral pode ser feita em sentidos opostos sobre o contorno. Faz-se necessário sempre que se
defina o sentido em que a circuitação é calculada, conforme indicado na figura por uma farpa colocada sobre o contorno.
Figura 14-3
Façamos uma aplicação desta integral calculando a circuitação na situação da figura acima, na qual se tem um único fio
percorrido por uma corrente I e considerando um contorno circular de raio r . Pode-se observar nessa figura que o deslocamento
elementar
r
ds
r
r e portanto paralelo a B
r r r r
B ⋅ d s = B ⋅ d s ⋅ cos(0 o )
é tangente ao contorno C circular de raio
e portanto o produto escalar fica:
A Equação 14-6 fica então, lembrando que sobre o circunferência a intensidade do vetor indução magnética é
constante:
∫
∫
C
C
C i = B ⋅ ds = B ⋅ ds
Porém,
∫ ds é a soma de todos os pedaços infinitamente pequenos existentes sobre a circunferência e portanto é o
C
seu comprimento, ou seja 2 ⋅ π ⋅ r , Temos portanto que, neste caso, a circuitação se reduz exatamente no primeiro termo da
Equação 14-5, ou seja, podemos escrever:
r r
Ci = B ⋅ ds = µ 0 ⋅ I
∫
C
onde
Equação 14-7
I
é a corrente que atravessa uma superfície qualquer determinada pelo contorno C.
Pode ocorrer que existam diversas correntes atravessando esta superfície e neste caso define-se a chamada “corrente
concatenada”. Para estabelecer este conceito, considere a figura abaixo na qual um contorno C tem a superfície por ele
determinada atravessado por diversas correntes em sentidos quaisquer. Todas essas correntes são chamadas correntes
concatenadas pelo contorno. Cada uma dessas correntes será considerada positiva ou negativa de acordo com a seguinte regra
da mão direita: quando o polegar indicar a direção e o sentido da corrente e os demais dedos indicarem a sentido de integração a
corrente será positiva e negativa caso contrário.
Figura 14-4
Assim, na figura acima, as correntes
I 2 e I3
são positivas enquanto as correntes I1 e I 4 são negativas. A medida da
correntes concatenada será a soma algébrica dessas correntes. No caso da figura, ela será:
I CO = − I1 + I 2 + I 3 − I 4
A Equação 14-8 deve ser escrita neste caso:
Cap 14-3
Equação 14-8
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
r r
Ci = B ⋅ ds = µ 0 ⋅ I
∫
C
Equação 14-9
Este resultado é chamado Lei Circuital de Ampèré. Sua aplicação só pode ser feita em situações em que ocorre alta
simetria, pois se isto não ocorrer a integração torna-se extremamente complicada ou até mesmo impraticável.
14.3.1
Exercícios:
14.3.1.1 ( ) Um condutor cilíndrico de raio 4 mm é percorrido por uma corrente de 2 A.. Calcule a intensidade do vetor indução
magnética para pontos internos e externos ao condutor.
Resp:
14.3.1.2 ( ) Um condutor cilíndrico é oco e seus raios interno e externo são respectivamente 0,001 mm e 0,003 mm. Calcule a
intensidade do vetor indução magnética nas três regiões determinadas pelo condutor.
Resp:
14.3.1.3 ( ) Calcule a intensidade do vetor indução magnética no interior de um solenóide de secção retangular cujos raios
interno e externo são respectivamente 0,004 cm e 0,006 cm, supondo que o mesmo é construído em madeira.
14.4
A lei de Biot-Savart
O vetor indução magnética gerado por um condutor que apresenta uma corrente elétrica
processo. Para isto imaginemos um pedaço de condutor de comprimento
ds
e seja
r
de
ds
I
que o percorre. Consideremos também um ponto P, a uma distância
Chamemos de
r
r
o vetor de posição de
P
em relação a
ds
e de
r
u
I
pode ser calculado por outro
o versor sobre
ds
no sentido da corrente
onde o vetor indução magnética será calculado.
r
u r o seu versor.
Figura 14-5
Sendo o pedaço do condutor infinitamente pequeno, o vetor indução magnética por ele gerado será também
infinitamente pequeno. Chamemos de
r
dB
esse vetor indução magnética
É possível observar-se que o vetor indução magnética
propriedades:
123-
r
dB
r
dB
r
dB
r
dB
é proporcional a
r
dB
gerado pelo pedaço
ds apresenta
as seguintes
ds ;
é proporcional à corrente
I
que circula no condutor que contém
é inversamente proporcional ao quadrado da distância
ds ;
r;
r
sen θ , onde θ é o ângulo entre uv e u r
v r
5- sua direção é perpendicular ao plano que contém u e u r ;
4-
varia proporcionalmente com o
6- o sentido é dado pela regra da mão direita já apresentada anteriormente.
Podemos colocar as relações de proporcionalidade sob a forma de uma única relação, escrevendo:
r I ⋅ sen θ ⋅ ds
dB ∝
r2
Esta relação agora pode ser colocada sob a forma de uma igualdade acrescentando-se uma constante de
proporcionalidade. Trabalhando-se no SI, esta constante assume o valor
µ0
4⋅π
ou seja, podemos escrever:
Cap 14-4
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Por outro lado, sendo
r
r
dB
r µ I ⋅ sen θ ⋅ ds
dB = 0
4⋅π
r2
perpendicular a
v r
u e u r e sendo seu sentido dado pela regra da mão direita, podemos
afirmar que dB esta na direção e sentido do produto vetorial
finalmente escrever:
r r
u ∧ ur
que contém a dependência em
r µ 0 I ⋅ ur ∧ ur r
⋅ ds
dB =
4⋅π
r2
sen θ
e portanto podemos
Equação 14-10
Este resultado é conhecido por Lei de Biot-Savart.
Se considerarmos um condutor muito longo percorrido pela corrente
que constituem o fio, ou seja:
r
B=
∫
todo
o fio
r
dB =
∫
todo
o fio
I , podemos somar a contribuição de todos os ds
r r
µ0 I ⋅ u ∧ u r
⋅ ds
4⋅π
r2
Equação 14-11
14.4.1
Exercícios
14.4.1.1 ( ) Calcule a intensidade do vetor indução magnético produzido por um fio retilíneo, suposto infinito, percorrido por uma
corrente
I , a uma distância r
do mesmo.
Resp.:
14.4.1.2 ( ) Se a corrente que circula no fio do exercício anterior é de 2 A, calcule a intensidade do vetor indução magnética a
uma distância de 0,5m
Resp.:
14.4.1.3 ( ) Considere uma espira circular de raio R . , isto é, um fio de forma circular, percorrido por uma corrente I . Calcule a
intensidade do vetor indução magnética gerado num ponto P sobre o eixo de simetria da espira, e a uma distância r do plano da
mesma.
Resp.:
14.4.1.4 ( ) Considerando a resposta do item anterior, calcule a intensidade do vetor indução magnética no centro da espira.
Resp.:
14.4.1.5 ( ) Considere um solenóide, isto é, um tubo cilíndrico de raio
R . sobre
contém N espiras por unidade de comprimento, percorridas por uma corrente
magnética num ponto qualquer no interior do solenóide e sobre o eixo deste.
Resp.:
Cap 14-5
o qual se enrola espiras de fio condutor, que
I.
Calcule a intensidade do vetor indução
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
15.
Indução Magnética
S.J.Troise
15.1
Introdução
Dissemos anteriormente que campo elétrico produz força sobre cargas e conseqüentemente aparece
corrente elétrica. Dissemos também que corrente elétrica gera campo magnético. Mostremos agora que campo
magnético pode gerar corrente elétrica e conseqüentemente campo elétrico. mostrando que existe reversibilidade no
processo. Este último fenômeno é denominado indução magnética.
A figura abaixo esquematiza o que foi colocado acima.
corrente
elétrica
campo
elétrico
campo
magnético
Figura 15-1
Para estudarmos a indução magnética é necessário que recordemos que o trabalho realizado pelo campo
elétrico é dado pela expressão
B
∫
r r
E ⋅ d s = −(VB − VA ) = fem
A
Nesta expressão o segundo membro é denominado diferença de potencial e a integral do primeiro membro
recebe o nome de força eletromotriz (fem).
Necessitamos também introduzir um novo conceito como segue no item abaixo.
15.2
Fluxo do Vetor Indução Magnético
Consideremos uma região do espaço que seja um campo magnético, isto é, na qual aparece um vetor
indução magnética. Nessa mesma região consideremos um superfície infinitamente pequena dS cujo versor normal
r
seja n .
Por definição chama-se fluxo elementar do vetor indução magnética à expressão dΦ dada por:
r r
dΦ = B ⋅ n ⋅ dS
Equação 15-1
Figura 15-2
Se tivermos agora uma superfície S qualquer podemos supô-la subdividida em infinitos pedaços dS em
cada um dos quais existirá um fluxo elementar dado pela expressão acima. Por definição o fluxo total Φ do vetor
indução magnética através de S será a soma de todos os dΦ , ou seja:
r r
Φ = dΦ = B ⋅ n ⋅ dS
∫
∫
S
S
Equação 15-2
Antes de continuarmos analisemos esta expressão e verifiquemos que o valor desse fluxo pode variar se:
A- o próprio vetor indução magnética variar;
B- quando a área S variar;
C- quando variar o ângulo entre o vetor indução magnética e a normal à superfície, ou seja, quando a
superfície mudar de posição.
Veremos a seguir que quando ocorrer a variação desse fluxo um importante fato ocorre.
15.3
Indução Magnética
Cap 15 - 1 -
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Imaginemos uma região do espaço que seja um campo magnético, ou seja, em que exista o vetor indução
r
magnética B e suponhamos nessa região um circuito elétrico fechado, por exemplo um simples fio, no qual se
coloque um amperímetro que certamente não indica corrente. Esse fio fechado define uma superfície e
conseqüentemente, existe um fluxo do vetor indução magnética.
A experiência mostra que se o fluxo do vetor indução magnética através da área definida pelo circuito varia,
então aparece no mesmo uma corrente elétrica, mesmo sem a existência de um gerador, significando que existe
força sobre as cargas elétricas, ou seja existe campo elétrico mesmo sem a existência de potencial elétrico Este fato
recebe o nome de indução magnética.
Figura 15-3
Lembremos que o fluxo do vetor indução magnética pode variar simplesmente deslocando-se o imã em
relação à espira.
Observemos agora que, se no fio aparece corrente elétrica, deve aparecer no interior do condutor um
campo elétrico que faz aparecer sobre as cargas uma força que as desloca produzindo corrente elétrica. Portanto a
variação do fluxo do vetor indução magnética através da superfície da espira produz sobre esta um campo elétrico .
Lei da indução magnética estabelece que a circuitação do campo elétrico através do contorno coincidente
com a espira é igual à taxa de variação do fluxo do vetor indução magnética com o sinal contrário ou em fórmula:
∫
C
r r
∂Φ
E ⋅dl = −
∂t
Equação 15-3
Este resultado é chamado Lei de Faraday. Nesta expressão a integral do primeiro membro é a força-eletromotriz já definida no capítulo sobre potencial elétrico, calculada num caminho fechado.
Para sabermos o sentido da corrente devemos considerar a seguinte regra:
“a corrente gerada na espira tem um sentido tal que gera um vetor indução magnética cujo fluxo se adiciona
ou se subtrai tentado manter o fluxo do vetor indução magnética constante através da superfície da espira”. Este
resultado é chamado Lei de Lenz.
15.4
Exercícios
15.4.1.1 ( ) O fluxo da vetor indução magnética através de uma espira de área 12 cm2 varia ao longo do tempo de acordo com
a expressão Φ = 10 cos(120πt ) Wb . Calcule a força-eletro-motriz que aparece na espira.
Resp.:
15.4.1.2 ( ) Se um resistor de resistência
10Ω for colocada no espira acima determine a corrente que aparece na espira.
Resp.:
15.4.1.3 ( ) Na figura abaixo ABCD é um fio dobrado em forma de U enquanto EF é um fio retilíneo apoiado sobre o U e que o
fecha formando uma espira retangular. O sistema se encontra mergulhado um campo magnético uniforme, perpendicular ao
plano da espira formada, cujo vetor indução magnética tem intensidade de 0,08T. Se o fio EF mover-se, deslizando sobre o U no
sentido indicado, com velocidade de 0,5 m/s, determine a força eletromotriz que aparecerá na espira.
Resp.:
15.4.1.4 ( ) Na figura abaixo é mostrada um espira retangular que gira no eixo x com velocidade angular ω = 0,5 rad / s . As
linhas de indução indicam a presença de um campo magnético uniforme cujo vetor indução magnética tem intensidade de 0,4
Cap 15 - 2 -
Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
Wb/m2. Determine a força eletromotriz induzida na espira sabendo que sua área é
Resp.:
Cap 15 - 3 -
0,6m 2