Notas de curso - Instituto de Matemática

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GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
References
Katrin Gelfert
Notas de curso
IM-UFRJ 2017 1st semestre
Contents
1. Postulados de Euclides
Problemas de E-V
2. Axiomas de Hilbert
2.1. Axiomas de incidência (“estar em”)
2.2. Axiomas de ordem (“estar entre”)
2.3. Axiomas de congruência
2.4. Axiomas de continuidade
2.5. Axiomas das paralelas
3. Geometria neutra
3.1. Ângulos
3.2. Equivalências ao postulado dos paralelas
3.3. Soma dos ângulos internos de um triângulo
3.4. Revisão do axioma das paralelas
4. História da Geometria hiperbólica
4.1. Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274)
4.2. John Wallis (1616–1703)
4.3. Girolamo Saccheri (1667–1733)
4.4. Adrien-Marie Legendre (1752–1833)
4.5. János Bolyai (1802–1860)
4.6. Carl Friedrich Gauss (
4.7. Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856)
5. Geometria hiperbólica
5.1. Axioma hiperbólica
5.2. Não existência de semelhança
5.3. Paralelismo
5.4. Ponto ideal
5.5. Modelos
5.6. Congruências em triângulos generalizados
5.7. Bissetrizes e mediatrizes
5.8. Horociclos
5.9. Construção de reta paralela limitante
(seguindo J. Bolyai)
6. Transformações de Möbius
6.1. Grupos e isometrias no plano euclideano
6.2. Transformações de Möbius
6.3. Cı́rculos e (linhas) retas
6.4. Razões cruzadas e Möbius
7. O modelo do disco de Poincaré
7.1. Retas hiperbólicas
7.2. Axioma de incidência
7.3. Transporte de retas hiperbólicas
8. O modelo do semiplano de Poincaré
8.1. Retas hiperbólicas
8.2. Distância hiperbólica e geodésicas em H
8.3. Ângulos hiperbólicos
9. O modelo do disco de Poincaré – de novo
9.1. Distância hiperbólica e geodésicas em D
33
Aviso: faremos geometria plana (embora discutiremos uns
outros modelos)
objetos comuns: ponto, reta, plano, pertencer ou incidência, congruente
são conceitos primitivos que não se definem, pois qualquer
1 tentativa de definição utilizaria de outros conceitos que
2 não foram definidos previamente.
3
linguagem comun: um ponto A está na reta n ou a reta n
3
passa por um ponto A ou a reta n contém o ponto A; duas
3
retas n e m tem o ponto A em comum ou suas retas n e
6
m interceptam-se em A
7
8
1. Postulados de Euclides
8
8 Utilizamos conceitos primitivos sem definir-los. Não ob11 stante, Euclides definiu eles em [4].
12
N1 Coisas que são iguais a uma mesma coisa são iguais
13
entre si.
13
N2 Se iguais são adicionados a iguais, os resultados são
13
iguais.
13
N3 Se iguais são subtraı́dos de iguais, os restos são
14
iguais.
14
N4 Coisas que coincidem uma com a outra são iguais.
15
N5 O todo é maior do que qualquer de suas partes.
15
15
15
15
16
16
17
18
19
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21
22
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23
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25
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28
29
31
32
32
Euclides fez os seguintes postulados, que são axiomas especı́ficos da geometria plana.
Na lógica tradicional, um axioma ou postulado
é uma sentença ou proposiç~
ao que n~
ao é provada
ou demonstrada e é considerada como óbvia ou
como um consenso inicial necessário para a
construç~
ao ou aceitaç~
ao de uma teoria. Por
essa raz~
ao, é aceite como verdade e serve como
ponto inicial para deduç~
ao e infer^
encias de
outras verdades (dependentes de teoria).
Na matemática, um axioma é uma hipótese inicial
de qual outros enunciados s~
ao logicamente derivados. Pode ser uma sentença, uma proposiç~
ao,
um enunciado ou uma regra que permite a construç~
ao de um sistema formal. Diferentemente
1
2
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
de teoremas, axiomas n~
ao podem ser derivados
por princı́pios de deduç~
ao e nem s~
ao demonstráveis por derivaç~
oes formais, simplesmente
porque eles s~
ao hipóteses iniciais. Isto é,
n~
ao há mais nada a partir do que eles seguem
lógicamente (em caso contrário eles seriam
chamados teoremas). Em muitos contextos,
"axioma", "postulado" e "hipótese" s~
ao usados
como sin^
onimos.
[Wikipedia]
E-I Pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer
dois pontos A e B distinctos, que denotamos por
←→
AB.
←→
Definição (reta AB).
Problemas de E-V. Como verificar se retas são paralelas? Verificando usando transversais se torna em um
problema logicamente equivalente com o E-V.
opostas se são distintas, tem o mesmo origem, e pertencem
←→ ←→
a mesma reta AB = AC.
Demonstração. [Tentativa de mostrar E-V [Adrien Marie
n
P
R'
m
R
B
l
A
Q
Legendre]]
Definição (Segmento AB). Dado dois pontos A e B, o Seja P um ponto que não pertence `.
segmento AB é o conjunto dos pontos A, B e todos os Seja P Q a perpendicular de P a `.
←→
pontos na reta ligando A e B que estão entre A e B.
Seja m a reta passando P é perpendicular a P Q. Como
←→
E-II Para qualquer segmento AB e qualquer segmento P Q e perpendicular com ` e m, as retas são paralelas.
CD existe um único ponto E tais que B está entre Seja n qualquer reta passando P diferente com m e com
←→
A e E e CD é congruente com BE.
P Q. Mostraremos que n intersepta `:
→
−−→
Pode-se continuar (de uma única maneira) qual- Seja −
P R um raio de n entre P Q e um raio de m com
−−→
quer reta finita continuamente em uma reta.
origem em P . Existe R0 no lado de P Q oposto de R,
0 ∼
Definição (cı́rculo, centro, raio). Dado dois pontos O e tal que ∠QP R = ∠QP R. Então Q está no interior de
A, o conjunto de todos os pontos P tais que o segmento ∠RP R0 . Como ` intersecta Q neste interio, ` deve in−→
OP é congruente com o segmento OA é chamado cı́rculo, tersectar um lado deste ângulo. Se intersecta P R então `
−−→0
chamamos O o seu centro e OA o seu raio.
intersecta n. Seja A onde ` intersecta P R . Seja B o único
−→
∼
∼
E-III Para quaisquer dois pontos distinctos A e B pode- ponto em P R tal que P A = P B. Então 4P QA = 4P QB
(LAL).
Então
∠P
QR
é
reto.
Portanto
B
está
em
` (e n)
se traçar um cı́rculo com centro A e raio AB.
e
intersecta.
−−→
Definição (raio AB com origem). Um raio ou semireta Problemas:
−−→
AB é o conjunto de todos os pontos no segmento AB e de
• o que significa “perpendicular”?
←→
todos os pontos C na reta AB tal que B está entre A e
• falta provar LAL (Lado-Ângulo-Lado)
C, chamamos A o seu ponto de origem ou simplesmente
• definir “interior” de ângulo
origem.
• mostrar que uma reta passando o interior de um
−−→
−→
ângulo intersecta um dos lados
Definição (raios opostas). Dois raios AB e AC são
Definição (angulo com vértice). Um ângulo com vértice
−−→
é um ponto A com dois raios distinctos não-opostos AB e
−→
AC; que denotamos por ∠A ou ∠BAC ou ∠CAB.
Definição (angulos suplementares). Se dois ângulos
−−→
∠BAD e ∠CAD tem um lado comum AD e os outros
−−→ −→
lados AB e AC são raios opostas, então chamamos estes
ângulos suplementares.
Definição (angulo reto). Um ângulo ∠BAD é reto se existe um ângulo suplementares com o qual é congruente.
E-IV Todos os ângulos retos são dois a dois congruentes.
Definição (retas paralelas). Duas retas são paralelas se
elas não se interceptam.
Exercı́cio. Quais dos seguintes fatos são verdadeiros:
• O postulado das paralelas de Euclides diz: Para
qualquer reta ` e para qualquer ponto A que não
pertence na ` existe uma única reta m que é paralela á `.
• Pela definição, uma reta m é paralela com uma reta
` se para quaisquer pontos A, B em m a distância
perpendicular de A a ` é igual a distância perpendicular de B a `.
• Não foi necessário para Euclides de assumir o postulado das paralelas, pois Legendre já o mostrou.
• Pela definição, um ângulo reto é um de 90◦ .
• Axiomas e postulados são fatos que assuminos
sem demais justificativa, enquanto teoremas e
proposições são fatos que precisam demonstrações
usando os axiomas e postulados.
E-V (Postulado das paralelas de Euclides) Para
qualquer reta ` e para qualquer ponto A que não Exercı́cio. Definir os seguintes objetos:
1. ponto médio do segmento AB
pertence na ` existe uma única reta m que contém
2. bissetriz perpendicular do segmento AB
A e que é paralela á `.
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
−−→
3. raio bisector BD do ângulo ∠ABC (supondo que
D está entre A e C
4. pontos A, B e C são colinear
5. triângulo 4ABC formado por três pontos A, B, C
não colineares
Exercı́cio.
1. Dados pointos A e B e um ponto C
“entre eles” (notamos que ainda não definimos “entre”), você poderia mostrar usando os postulados
←→
que C está na reta AB? Supondo que você consegue
←→
mostrar que C está em AB, usando a definição
de “raio” e os postulados, você pode mostrar que
−−→ −→
AB = AC?
2. Se S, T são dois conjuntos definimos a sua uniaão
S∪T sendo um ponto pertence a S∪T se, e somente
se, ele pertence a S e ele pertence a T . Definimos a
interseção S ∩ T sendo um ponto pertence a S ∩ T
se, e somente se, ele pertence ambos S e T .
Dado dois pontos A, B, faz um diagrama para
−−→ −−→
←→ −−→ −−→
verificar que AB ∪ BA = AB e AB ∩ BA = AB.
Quais axiomas se precisa ainda para mostrar estes
formulas?
3. Usando os postulados de Euclides, se pode mostrar
que
(a) existe um ponto que está em `,
(b) existe um ponto que não está `.
2. Axiomas de Hilbert
3
Notamos que I-I=E-I.
Se pode mostrar que
• Existem retas.
• Dado `, existe um ponto em `.
• Dado `, existe um ponto não em `.
• Existem pontos não colineares.
• Qualquer reta tem pelo menos dois pontos.
Com os axiomas de incidência se pode mostrar pouca
coisa:
Proposição 2.1. Se ` e m são retas distintas não paralelas, então tem um único ponto comum.
Demonstração. sejam ` e m retas não paralelas, i.e. ` e
m se interceptam, i.e. ` e m tem um ponto A em comum.
por contradição, supomos que existe um ponto B diferente
de A contido em ` e m. Pelo I-I, existe uma única reta
←→
ligando AB, contradição.
Proposição 2.2. Existem pelo menos três segmentos não
congruentes.
Proposição 2.3. Para qualquer reta existe pelo menos
um ponto que não está contida nela.
Demonstração. seja ` uma reta. pelo I-III, existem três
pontos A, B, C distintos tais que nenhuma reta contém
eles. em particular ` não contém todos os três pontos, i.e.
existe um, digamos A, que não está em `.
Proposição 2.4. Para qualquer ponto existe pelo menos
uma reta que não o contém.
Demonstração. seja A um ponto. pelo I-III, existem três
pontos distintos C, D, E tais que nenhuma reta contém todos os três. pelo menos dois deles, digamos C, D, é distinto
←→
com A. pelo I-I, pode-se traçar uma única reta ` = CD.
←→
no caso A 6∈ CD terminamos.
←→
no caso A ∈ CD: temos A 6= E, pois no caso contrário
seria A = E na reta ` em contradição com a escolha de
←→
C, D, E em I-III. portanto A 6∈ ED, pois no caso contrário,
←→
pelo I-II a única reta AD = `
Problemas com os postulados de Euclides
• ainda não foi mostrado a existência de pontos e retas
• ainda não foi mostrado que nem todos pontos são
colineares
• ainda não foi mostrado que toda reta tem pelo
menos dois pontos nela
• ainda não definimos “estar entre”
O sistema de axiomas de Hilbert não foi o primeiro, mas
talvez o mais intuitivo e mais próximo com o de Euclides.
2.1. Axiomas de incidência (“estar em”). assumindo
os objetos comuns reta, ponto, incidência:
I-I Pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer
dois pontos A e B distinctos, que denotamos por
←→
AB.
I-II Em qualquer reta ` existem pelo menos dois pontos
distintos.
I-III Existem três pontos distintos tais que nenhuma reta
contém todos os três.
Proposição 2.5. Para qualquer ponto existem pelo menos
duas retas que o contém.
Exercı́cio. completar as outras demonstrações
Exemplo. esféra, ponto=pontos, reta=cı́rculos na esféra,
incidência=usual. não há paralelas. I-I não satisfeito: passam infinitas retas (i.e. cı́rculos) pelo polo norte A e polo
sul B.
Exemplo. pontos=as letras A,B,C,D. retas=todos conjuntos {A,B},...,{C,D}. incidência=propriedade de incidir. mostrar que este modelo satisfaz axiomas I-I – I-III
e E-V.
2.2. Axiomas de ordem (“estar entre”). .
Tentativa de mostrar a seguinte proposição:
Assumimos que já temos definidos triângulos etc. e temos:
Definição (triângulo isósceles). Um triângulo isósceles é
um que possui dois lados de mesma medida, isso é, dois
lados congruentes.
4
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
Proposição 2.6. Em um triângulo isósceles os ângulos na mesma reta; portanto exatamente uma das relações
da base são congruentes.
A ∗ C ∗ B ou A ∗ B ∗ C ou C ∗ A ∗ B vale (B-III).
−−→
no caso que A ∗ B ∗ C, C ∈
/ BA. no caso que C ∗ A ∗ B,
C
−−→
C∈
/ AB. em qualquer um destes casos C não pertence ambos raois. portanto vale A ∗ C ∗ B e portanto C ∈ AB. Exercı́cio. mostrar item 2. em Proposição 2.7
A
D
B
Demonstração. [Tentativa de demonstração] Seja 4ABC
com AC ∼
= BC.
1. Seja D o ponto onde a bissetriz relativa ao vértice
C intersecta AB. (todo ângulo tem uma bissetriz )
2. em 4ACD e 4BCD, AC ∼
= CB (hipótese)
3. ∠ACD ∼
= ∠BCD (definição de bissetriz de ângulo)
4. CD ∼
= DC (coisa igual é congruente)
5. 4ACD ∼
= 4BCD (LAL)
6. ∠A ∼
= ∠B (ângulos de triangulos congruentes)
mostrando a proposição.
Problemas desta tentativa:
• item 1.: existência da bissetriz, é de fato proposição
(precisamos mostrar)
• D está bem definida?
• D estrá “entre” A e B?
Definição (estar entre). Notamos A ∗ B ∗ C se B está
entre of pontos A e C.
Os seguintes são os axiomas de ordem (B=between):
B-1 Se A∗B ∗C, então A, B, C são três pontos distintos
na mesma reta. E vale C ∗ B ∗ A.
B-II Dado pontos distintos B e D, existem então pontos
←→
A, C, e D na reta BD tais que A ∗ B ∗ D, B ∗ C ∗ D
e B ∗ D ∗ E.
B-III Se A, B, C são três pontos distintos na mesma reta,
exatamente um deles está entre os outros dois.
A
B
C
D
E
Comentário.
• B-III exclua o Exemplo 2.1.
• um segmento AB são os pontos A e B e todos os
pontos C tais que A ∗ C ∗ B.
−−→
• um raio AB são o segmento AB e todos os pontos
←→
C na reta AB tais que A ∗ B ∗ C. B-II garante a
existência de tais ponto C.
O seguinte resolve o problema em Exercı́cio 1 item 2.
Proposição 2.7. Para quaisquer pontos A e B tem-se
−−→ −−→
1. AB ∩ BA = AB
−−→ −−→ ←→
2. AB ∪ BA = AB
−−→
−−→
−−→ −−→
Demonstração. AB ⊂ AB, AB ⊂ BA ⇒ AB ⊂ AB ∩ BA.
−−→ −−→
seja C ∈ AB ∩ BA. mostraremos C ∈ AB:
se C = A ou C = B, então C é ponto final de AB.
caso contrário, (por definição de raio e B-1) A, B, C são
Proposição 2.8. Se A∗B ∗C e B ∗C ∗D, então A∗B ∗D
e A ∗ C ∗ D.
Se A ∗ B ∗ C e B ∗ D ∗ C, então A ∗ B ∗ D.
Definição (lado de reta). Seja ` uma reta e A, B pontos
que não estão em `. Se A = B ou se AB não intersecta
` dizemos que A e B estão no mesmo lado de `. Caso
contrário, se A 6= B e AB intersecta `, dizemos que A e B
estão em lados opostos de `.
B-IV Para toda reta ` e para quaisquer pontos A, B, C
que não pertencem em ` tem-se:
(i) se A e B estão no mesmo lado de ` e B e C
estão no mesmo lado de `, então A e C estão
no mesmo lado de `.
(ii) se A e B estão em lados diferentes de ` e B e
C estão em lados diferentes de `, então A e C
estão no mesmo lado de `.
A
A
B
C
C
l
l
B
Proposição 2.9. Se A e B estão em lados diferentes de
` e B e C estão no mesmo lado de `, então A e C estão
em lados diferentes de `.
B-IV implica geometria “plana” (não vale em 3 dimensões)
podemos falar de semi-plano limitado pela reta.
Definição (semi-plano). Dado uma reta ` e um ponto A
que não estáem ` (pela Proposição 2.3, tais pontos existem) definimos o semi-plano limitado por ` que contém A
o conjunto dos pontos que estão no mesmo lado de ` como
A, denotamos por HA (`).
Em particular HA (`) não contém pontos de `.
Comentário. Estar no mesmo lado é uma relação de
equivalência no complemento de `: para A, B 6∈ ` define-se
A ∼` B se, e somente se, A está no mesmo lado como B.
A ∼` A (reflexividade: pela definição)
A ∼` B ⇔ B ∼` A (simetria: segue da definição)
A ∼` B ∧ B ∼` C ⇒ A ∼` C (transitividade: B-IV(i))
∼` define classes de equivalência (os “lados” da reta `)
Pelo seguinte resultado, existem exatamente duas classes
de equivalência.
Proposição 2.10. Para qualquer reta existem exatamente
dois semi-planos limitado por ela que não tem nenhum
ponto em comum.
Demonstração. seja ` uma reta.
existe um ponto A que não está em ` (Proposição 2.3)
existe um ponto O em ` (I-II)
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
existe B tal que B ∗ O ∗ A (B-II)
então A e B estão em lados opostos e portanto ` tem lados
diferentes
seja C um ponto C 6= A, C 6= B, C 6∈ `: se C e B estão
em lados diferentes, C e A estão no mesmo lado (B-IV(ii)).
portanto {C : C 6∈ `} = HA (`) ∪ HB (`).
se C estivesse nos dois lados, A e B estariam no mesmo
lado (B-IV(i)), contradição. portanto HA (`) e HB (`) estão
disjuntos.
Teorema 2.11 (Teorema de Pasch). Dados três pontos
A, B, C não colineares e uma reta ` no plano determinado
por estes três pontos, e que não contém nenhum deles, se
` passa por um ponto de AC, então também passa por um
ponto de BC ou de AB.
Proposição 2.14. Dado A ∗ B ∗ C, então B é o único
−−→ −−→
−−→ −→
ponto comum aos dois raios BA e BC e tem-se AB = AC.
Definição (interior de ângulo e interior de triângulo).
Dado um ângulo ∠CAB, um ponto D está em seu in←→
terior se D está no mesmo lado de AC como B e se D
←→
está no mesmo lado de AB como C.
C
D
A
B
Dado três pontos não colineares, o interior de um
triângulo 4ABC é a interseção do interior dos seus três
ângulos ∠ABC, ∠BCA e ∠CAB. Um ponto está no exterior de um triângulo se não está no seu interior.
B
A
5
C
Demonstração. C, A, B 6∈ ` por hipótese.
A e B não estão em ` e AB intersecta ` (hipótese)
⇒ A e B estão em lados diferentes de `
como C 6∈ `, ou C está no lado de A ou no lado de B
(B-IV)
se C está no lado de A, então C está no lado oposto de
B e portanto CB intersecta ` mas CA não intersecta `
(B-IV); similar se C está no lado de B.
Proposição 2.15. Dado um ângulo ∠CAB e um ponto
←→
D na reta BC, então D está no interior de ∠CAB se e
somente se B ∗ D ∗ C.
C
A
D
B
Proposição 2.12. Se A∗B ∗C, D ∈ AC, D 6∈ {A, B, C}, Demonstração.
temos ou D ∗ B ∗ C ou B ∗ D ∗ C ou B ∗ C ∗ D (B-III)
então ou A ∗ D ∗ B ou B ∗ D ∗ C.
←→
seja ` = AB
Demonstração. A, B, C numa mesma reta ` (A ∗ B ∗ C)
se D ∗ B ∗ C, então D 6∼` C e D não está no interior como
D ∈ ` (D ∈ AC)
deveria.
existe reta m 6= ` que contém B (exercı́cio)
B ∗ C ∗ D também não possı́vel por argumento análogo
A, C em lados diferentes de m (B ∈ AC ∩ m)
portanto B ∗ D ∗ C.
ou D ∈ HA (m) ou D ∈ HC (m)
−−→
−→ −−→
se D ∈ HA (m):
Definição (raio entre raios). AD está entre AC e AB se
−
−
→
−
→
• não vale B ∗ A ∗ D (D ∈ AC e A ∗ B ∗ C)
AB e AC não estão opostas e se D está no interior de
• não vale A ∗ B ∗ D (D ∈ HA (m))
∠CAB.
• ⇒A∗D∗B
da forma análoga, se D ∈ HC (m) ⇒ B ∗ D ∗ C
Teorema 2.16 (Teorema de barras cruzadas). Para
quaisquer pontos A, B, C não-colineares e um ponto D no
−→
Proposição 2.13. Dado A ∗ B ∗ C, então tem-se AC = interior de ∠CAB, o raio −
AD intersecta BC.
AB ∪ BC e B é o único ponto comum em AB e BC.
C
Demonstração. Mostrar primeiro que AC = AB ∪ BC
(Exercı́cio).
Basta então mostrar que B é único ponto comum em AB
e BC:
?
Por contradição: seja D 6= B, D ∈ AB ∩ BC.
A
D
D = A ⇒ D ∗ B ∗ C (com hipótese (D = A) ∗ B ∗ C), em
contradição com D ∈ BC ⇒ D 6= A
análogo: D 6= C
B
D ∈ BC implica B ∗ D ∗ C
por outro lado, com a hipótese A ∗ B ∗ C e como D ∈ AB
←→
implica A ∗ D ∗ B, com Proposição 2.8 podemos concluir Demonstração. [Demonstração do Teorema 2.16] c = CA
←→
D ∗ B ∗ C em contradição com axioma B-III.
e b = BA (I-I)
6
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
c
C
portanto, congruência entre ângulos é uma relação de
equivalência. da mesma forma (e com C-II), congruência
entre segmentos é uma relação de equivalência.
em vez de ter um axioma de ”somar ângulos”, similar com
axioma C-III, usaremos o seguinte.
C-VI (LAL) Para qualquer 4ABC e 4A0 B 0 C 0 tais que
AB ∼
= A0 B 0 , BC ∼
= B 0 C 0 e ∠ABC ∼
= ∠A0 B 0 C 0 tem
0
0
0
se 4ABC ∼
= 4A B C .
D
G
A
l
B
C'
b
B∈
/ c (pontos não colinear)
D ∼c B, D 6∈ c, D 6∈ b, D 6= A (D no interior de ∠CAB)
←→
seja ` = AD
a ∩ ` = {A} = b ∩ ` (I-I)
C 6∈ `, B 6∈ ` (C 6= A 6= B)
existe C 0 ∈ c tal que C ∗ A ∗ C 0 (B-II)
C 0 6∈ ` (C 0 6= A e C 6∼` C 0 )
Agora usamos o seguinte fato.
Proposição 2.19. Para qualquer 4ABC e segmento
DE ∼
= AB, existe um único ponto F num lado da reta
←→
DE tais que 4ABC ∼
= 4DEF .
F
C
D
A
E
B
Proposição 2.17. Para pontos A, B, C não-colineares e
−−→
= ∠F DE
D no interior de ∠CAB e C 0 ∗ A ∗ C, tem-se que B está Demonstração. existe raio DF tal que ∠CAB ∼
(C-IV)
no interior de ∠DAC 0 .
podemos escolher F tal que AC ∼
= DF (C-I)
segue então B ∼` C 0 (Proposição 2.17)
então 4ABC ∼
4DEF (C-VI LAL).
=
B 6∼` C (C 6∼` C 0 e B-IV(ii))
Comentário. existe um modelo que satisfaz todas as axexiste G ∈ ` ∩ BC, C ∗ G ∗ B (BC intersecta `)
G está no interior de ∠CAB (Proposição 2.15), portanto iomas menos C-V (LAL) mostrando que este não pode ser
implicado dos axiomas anteriores.
G 6∈ c e G ∼c B, portanto G 6= A
G ∼c D (G ∼c B e B ∼c D)
Definição. Dizemos que AB < CD (ou CD > AB) se
portanto A 6∈ GD
existe E tais que C ∗ E ∗ D e AB ∼
= CE.
−−→
−−→
portanto G ∈ AD e G ∈ AD \ {A}
Proposição 2.20.
• Vale
somente
uma
das
∼ CD ou
seguintes relações: AB < CD ou AB =
2.3. Axiomas de congruência. congruência entre segAB > CD.
mentos e ângulos e entre triângulos, quadriláteros,
• Se AB < CD e CD ∼
= EF , então AB < EF .
pentágos, etc.
• Se AB > CD e CD ∼
= EF , então AB > EF .
C-I Se A e B são pontos distintos, para qualquer ponto
• Se AB < CD e CD < EF então AB < EF .
A0 e em qualquer raio com origem A0 existe um
Proposição 2.21. Se A ∗ B ∗ C, D ∗ E ∗ F , AB ∼
= DE,
único ponto B 0 tal que B 0 6= A0 e AB ∼
= A0 B 0 .
∼
AC ∼
DF
,
então
BC
EF
.
=
=
C
Proposição
2.22.
Se
em 4ABC tem-se AB ∼
= AC,
B
A
então ∠B ∼
∠C.
=
Demonstração. [Demonstração
C'
(Pappus
A.D.
300)]
A
B'
A'
C-II Se AB ∼
= CD e AB ∼
= EF , então CD ∼
= EF . Tem∼
se AB = BA.
C-III Se A∗B∗C e A0 ∗B 0 ∗C 0 e AB ∼
= A0 B 0 e BC ∼
= B0C 0,
0 0
∼
então AC = A C .
−−−→
C-IV Para qualquer ângulo ∠BAC e qualquer raio A0 B 0
−−→
existe um único raio A0 C 0 num lado especificado
dele tal que ∠B 0 A0 C 0 ∼
= ∠BAC.
C-V Se ∠A ∼
= ∠B e ∠B ∼
= ∠C, então ∠A ∼
= ∠C. Tem-se
∠A ∼
= ∠A.
Comentário. ver a relação de C-II com N1 e N4 e de
C-III com N2.
Corolário 2.18. ∠A ∼
= ∠B ⇒ ∠B ∼
= ∠A.
B
C
Identificamos os vértices A com A, B com C, C com B.
assim, com a hipótese AB ∼
= AC, os lados de 4ABC são
congruentes com os lados identificados de 4ACB.
∠CAB ∼
= ∠BAC (C-V)
4ABC ∼
= 4ACB (C-VI LAL)
⇒ ∠B = ∠C
Proposição 2.23 (ALA). Para quaisquer 4ABC e
4DEF com ∠A ∼
= ∠D, ∠B ∼
= ∠F , AB ∼
= DF , tem-se
∼
então 4ABC = 4DEF .
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
C
7
Proposição 2.28. Quaisquer par de ângulos retos são
congruentes.
notamos que esta proposição era postulado E-IV de Euclides.
A
B
Definição (retas pendiculares). Duas retas ` e m são perpendiculares se eles intersectam num ponto A tais que ex−−→
−→
istem raios AB ⊂ ` e AC ⊂ m tais que ∠BAC é reto.
G
E
C
B
F
Proof. D
l
sejam 4ABC, 4CDE, ∠A ∼
= ∠D, ∠B ∼
= ∠F , AB ∼
= DF
A
(hipótese)
−−→
∃!G ∈ DE tal que AC ∼
= DG (C-I)
Proposição 2.29. Para qualquer reta ` e qualquer ponto
4ABC ∼
4CGF
(LAL)
⇒ ∠DF G ∼
=
= ∠C
−−→ −−→
P existe uma reta perpendicular com `.
⇒ FE = FG
⇒G=E
Demonstração. supomos primeiro P 6∈ `.
⇒ 4ABC ∼
= 4DEF
sejam A, B ∈ ` (I-II)
−−→
∼
Proposição 2.24 (LAA). Dado AC ∼
DF
,
∠A
∠D
e
=
=
no lado de ` oposto com P existe raio AX tal que
∠B ∼
= 4DEF .
= ∠E, então tem-se 4ABC ∼
∠XAB ∼
= ∠P AB (C-IV)
−−→
C
F
existe P 0 ∈ AX tal que AP 0 ∼
= AP (C-I)
0
P P intersecta ` em um ponto Q (definição de lado oposto
de `)
−−→
se Q = A então P P 0 ⊥ ` (com ∠XAB ∼
= ∠P AB e
definição de ⊥)
se Q 6= A então 4P AQ ∼
= 4P 0 AQ (LAL)
A
B D
E
0
∼
⇒ ∠P QA = ∠P QA
←−→
Proof. Como AC ∼
= DF , ∠A ∼
= ∠D e ∠B ∼
= ∠E, tem-se
⇒ P P 0 ⊥ ` (definição de ⊥)
◦
◦
◦
◦
supomos agora P ∈ `.
(∠C) = 180 − (∠A) − (∠B)
◦
◦
◦
existe A 6∈ `,
= 180 − (∠D) − (∠E)
com o anterior, existe reta passando A perpendicular com
= (∠F )◦
`
portanto ∠C ∼
existe ângulo em P congruente com esse e com lado ` (C= ∠F .
P
portanto 4ABC ∼
= 4DEF (ALA).
Proposição 2.25. Se em 4ABC tem-se ∠A ∼
= ∠B,
então AC ∼
= BC.
Proof. usaremos o truque de Pappus.
l
C
C
A
B
Q
P'
A
B B
IV)
A
∠CAB ∼
= ∠CBA (hipótese)
∠CBA ∼
= ∠CAB (hipótese)
AB ∼
= BA (mesmo segmento)
⇒ 4ABC ∼
= 4BCA (ALA)
X
lembramos das definições de ângulos suplementares e retos
Proposição 2.26. Ângulos suplementares de ângulos
congruentes são congruentes.
2.4. Axiomas de continuidade. Mais um axioma - o
de continuidade - será necessário para fazer o seguinte
proposição de Euclides rigorosa.
Proposição 2.30. Dado qualquer segmento AB, existe
Proposição 2.27. Qualquer ângulo congruente com um um triângulo equilátero com um (qualquer) lado congruente com AB.
ângulo reto é reto.
8
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
2.5. Axiomas das paralelas. Com todos os axiomas de
Hilbert e o de continuidade de Dedekind, podemos desenvolver o que se chama ”geometria neutra”.
Em particular, tal geometria não usa o seguinte - mais
controverso - axioma.
E-V’ (Postulado das paralelas de Hilbert) Para
qualquer reta n e para qualquer ponto A que não
pertence na n existe no máximo uma reta m que
contém A e que é paralela a n.
C
A
B
Demonstração. ver figura
P
m
[Axioma de Continuidade de Dedekind] Supondo
que o conjunto de todos os pontos de uma reta `
é a união disjunta Σ1 ∪ Σ2 de dois conjuntos nãovazios tal que nenhum ponto de qualquer um deles
está entre dois pontos do outro, Então existe um
único ponto O em ` tal que Σ1 é um raio em ` com
origem em O e Σ2 é o seu raio oposto.
l
Comentário. Existência de “pelo menos” uma tal reta
é consequencia dos axiomas anteriores (veremos isso a
seguir), portanto o axioma não disse “existe pelo menos
uma reta”.
note que, em particular a geometria “elı́tica” (grandes
cı́rculos na esfera) não é consistente com uma tal geometria (não existem paralelas).
A existência do ponto de interseção dos dois circulos segue
deste axioma.
Exemplo (Plano Euclidiano).
3. Geometria neutra
A geometria neutra é aquela que satisfaz os axiomas de incidência, ordem, congruência e continuidade de Hilbert, mas
não aquele das paralelas.
Estudar geometria neutra não tem primeiramente interesse intrinsica, mas mostra a importância e necessidade do
axioma das paralelas.
Postulados de Euclides Axiomas de Hilbert
E-I
I-I
E-II
dado AB e CD, existe E tal que A ∗ B ∗ E e CD ∼
= BE:
−−→
considere raio com orı́gem em A e oposto de BA, E neste raio (C-I)
E-III
definição: cı́rculo com centro O e raio OA são todos os pontos P tais que OP ∼
= OQ:
em qualquer raio com orı́gem O existe tal ponto P (C-I)
E-IV
é proposição (i.e. consequência dos axiomas)
3.1. Ângulos.
Demonstração. Ver figura.
Definição (transversal). Uma reta ` é transversal com
retas n e m se ` intersecta n e m em pontos distinctos.
E
A'
l
B'
Definição (ângulo interno). Dado uma reta ` transversal com retas n e m, definimos ângulos interno e ângulos
alternos internos (veja a figura).
C'
l
l
A
n
m
Teorema 3.1. Se duas retas cortadas por uma reta
transversal tem um par de ângulos alternos internos congruentes, então elas são paralelas.
t
B
C
?
D
Por contradição, supomos que ` e `0 intersectam num
ponto D, digamos no mesmo lado do transversal t como
C e C 0 que são pontos em ` e `0 , respectivamente.
−−−→
existe E em B 0 E 0 tal que B 0 E ∼
= BD (C-I)
4B 0 BD ∼
= 4BB 0 E (LAL)
⇒ ∠DB 0 B ∼
= ∠EBB 0
0
∠DB B é suplemento de ∠EB 0 B
⇒ ∠EBB 0 é suplemento de ∠DBB 0 (Proposição 2.26)
⇒E∈`
⇒ `, `0 tem pontos E e D em comum.
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
9
−→
isto é em contradição com o fato que duas retas paralelas AE intersecta BC em G (Teorema de barras cruzadas)
tem um único ponto em comum.
contradição!
⇒ ` k `0
⇒ ∠A < ∠ACD
para ver ∠B < ∠ACD, mostrar primeiro ∠ACD ∼
=
Corolário 3.2. Duas retas que são perpendiculares a uma
∠BCF e aplicar argumentos análogos.
reta, são paralelas.
Portanto dado uma reta ` e um ponto P 6∈ `, existe uma Comentário. O Teorema do ângulo externo não vale na
única reta perpendicular com ` contendo P .
geometria esférica. Ele foi baseado no Teorema 3.1 que
implica a existência de paralelas, mas na esfera não há
Demonstração. Duas retas perpendicular a uma reta tem
paralelas.
ângulos alternos internos que são retos, portanto congruentes (Proposição 2.28).
Temos as seguintes consequências:
∼ DF , ∠A =
∼ ∠D e
Corolário 3.3. Para qualquer reta ` e qualquer ponto Proposição 3.5 (LAA). Dado AC =
∼
∼
0
∠B
∠E,
então
tem-se
4ABC
4DEF
.
=
=
P 6∈ `, existe pelo menos uma reta ` contendo P e paralela
C
F
com `.
P
l'
l
t
Demonstração.
A
B D
E
existe reta t contendo P e perpendicular com `
0
existe reta ` contendo P e perpendicular com t Proposição 3.6 (Ponto médio). Para qualquer segmento
(Proposição 2.29).
AB existe um único C tais que A ∗ C ∗ B e AC ∼
= CB
como ` e `0 ambas estão perpendicular com t, tem-se ` k `0
(Corolário 3.2)
Proposição 3.7 (Bisector). Todo ângulo tem um único
bisector. Todo segmento tem um único bisector perpendicAtenção: Não usar:
ular.
Se duas retas são paralelas, então os ângulos alternos
Proposição 3.8. Num triângulo, o ângulo maior está
internos de uma transversal são congruentes.
oposto do segmento maior e o segmento maior está oposto
Este fato é equivalente ao axioma das paralelas.
do ângulo maior, i.e. AB > BC se e somente se ∠C >
∠A.
Definição
(ângulos
externos/não
adjacentes).
Finalmente vamos “medir” ângulos, usando fortemente o
B
axioma de continuidade.
Teorema 3.9. Existe uma única maneira de associar a
medida (o seu grau) ◦ de um ângulo tais que os seguintes
propriedades estão satisfeitos:
A
(0) (∠A)◦ é um número real tal que 0 < (∠A)◦ < 180◦
C
(1) (∠A)◦ = 90◦ se e somente se ∠A é reto.
∠A e ∠B são os ângulos não adjacentes
(2) (∠A)◦ = (∠B)◦ se e somente se ∠A ∼
= ∠B
∠C é ângulo exterior do triângulo
−→
(3) se AC está no interior de ∠DAB, então
Teorema 3.4 (Teorema do ângulo externo). Um ângulo
(∠DAB)◦ = (∠DAC)◦ + (∠CAB)◦
exterior de um triângulo é maior do que qualquer um dos
(4) Para qualquer número real α entre 0 e 180 existe
ângulos a ele não adjacentes.
um ângulo ∠A tal que α◦ = (∠A)◦ .
(5) se ∠B é suplementar com ∠A, então (∠B)◦ =
Demonstração. Mostraremos primeiro ∠ACD > ∠A:
180◦ − (∠A)◦ .
A
(6) (∠A)◦ < (∠A)◦ se e somente se ∠A < ∠B.
Dado um segmento unitário OI, existe uma única maneira
de associar o comprimento AB a um segmento AB tais
E
que os seguintes propriedades estão satisfeitos:
(7) AB é um número real entre 0 e OI = 1.
G
(8) AB = CD se e somente AB ∼
= CD.
B
C
D
F
(9) A ∗ B ∗ C se e somente se A, B, C estão em uma
←→ ←→
reta em comum e AC = AB + BC.
se ∠A ∼
= ∠ACD então AB k CD (Teorema 3.1) e portanto
(10) AB < CD se e somente se AB < CD
é um contradição com hipótese que estas retas intersectam
(11) Para qualquer que seja o número positivo real x exem B
iste um segmento AB tal que AB = x.
por contradição, supomos então que ∠A > ∠ACD.
−→
−−→ −→
∼
⇒ ∃AE entre AB e AC tal que ∠ACD = ∠CAE
Definição (agudo e obtuso). Um ângulo ∠A é agudo se
←→ ←→
⇒ AE k CD (Teorema 3.1)
(∠A)◦ < 90◦ e obtuso se (∠A)◦ > 90◦ .
10
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
O seguinte é uma consequência do Teorema de ângulo ex- tem-se ou
1
terno e do teorema anterior e será essencial para mostrar
(∠EAC)◦ ≤ (∠BAC)◦
2
o Teorema de Saccheri-Legendre.
ou
1
Corolário 3.10. A soma dos graus de quaisquer dois
(∠AEC)◦ ≤ (∠BAC)◦
◦
2
ângulos em um triângulo é menor do que 180 .
Construimos dessa maneira um triângulo com soma de
Demonstração. ver a figura
graus de ângulos internos igual a 180◦ + p◦ mas com um
∠A < ∠BCD, ∠B < ∠BCD (Teorema 3.4)
ângulo ≤ 14 (∠A)◦ etc.
◦
◦
◦
⇒ max{(∠A) , (∠B) } < (∠BCD) (Teorema 3.9 (6))
Desta forma, usando também o axioma de continuidade,
(∠BCD)◦ = 180◦ − (∠C)◦ (Teorema 3.9 (5))
obtemos um triângulo cuja soma de graus de ângulos inter⇒
nos igual a 180◦ +p◦ e que tem um ângulo arbitráriamente
pequeno, digamos, menor do que p◦ . portanto a soma
(∠A)◦ + (∠C)◦ < (∠BCD)◦ + (∠C)◦ = 180◦
dos outros dois é maior do que 180◦ , em contradição com
Corolário 3.10.
B
A
Corolário 3.13. A soma dos graus de dois ângulos num
triângulo é menor ou igual ao grau do ângulo externo não
adjacente, i.e. (∠A)◦ + (∠B)◦ ≤ (∠BCD)◦ .
D
C
B
outros ângulos análogo.
Corolário 3.11 (Desigualidade triângular). Se A, B, C
são pontos não colineares, então tem-se
A
D
C
AC < AB + BC.
Definição (segmento “aberto” (A, B)). dado dois pontos
Demonstração. existe único D tal que A ∗ B ∗ D e BD ∼
= A, B definimos o conjunto (A, B) sendo o conjunto dos
−−→
←→
BC (C-I em raio com origem B oposto de BA)
pontos D ∈ AB satisfazendo A ∗ D ∗ B.
C
A
B
D
⇒ AD = AB + BD (Teorema 3.9 (9))
⇒ ∠BCD ∼
= ∠BDC (ângulos base de triângulo isósceles)
⇒ BD = BC (Teorema 3.9 (2))
⇒ AD = AB + BC
−−→
−→ −−→
CB está entre CA e CD
⇒ ∠ACD > ∠BCD
⇒ AD > AC (Proposição 3.8)
⇒ AB + BC > AC (Teorema 3.9 (10))
Definição (quatrilateral). Sejam A, B, C, D pontos dos
quais não há três deles que são colinear. Definimos
o quadrilateral ABCD sendo a união dos segments
AB, BC, CD, DA tais que (A, B) ∩ (C, D) = ∅ e (B, C) ∩
(A, D) = ∅. Dizemos que um quadrilateral ABCD
é convexo se A ∈ int ∠BCD, B ∈ int ∠CDA, C ∈
int ∠DAB, D ∈ int ∠ABC.
A
D
B
Teorema 3.12 (Saccheri-Legendre). A soma dos graus
dos três ângulos num triângulo é menor ou igual a 180◦ .
Demonstração. por contradição, supomos que a soma é
180◦ + p◦ para um tal p > 0.
E
B
C
Corolário 3.14. A soma dos graus dos ângulos num quatrilateral convexo é menor ou igual a 360◦ .
A
D
D
A
C
Truque: seja D pondo médio em BC
−−→
seja E em AD tal que A ∗ D ∗ E e AD ∼
= DE
⇒ 4BDA ∼
= 4CDE
⇒ (∠EAC)◦ + (∠AEC)◦ = (∠BAC)◦
⇒ soma dos ângulos em 4AEC = soma em 4ABC
B
C
Proof.
◦
tem-se então
◦
(∠B) + (∠BAC) + (∠ACB)◦ ≤ 180◦
(∠D)◦ + (∠DAC)◦ + (∠ACD)◦ ≤ 180◦
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
11
−→
portanto com Teorema 3.9 (3), se AC está no interior de
−→
∠BAD (C está no interior de ∠BAD) e se CA está no
interior de ∠BCD (A está no interior de ∠BCD), então
P
m
1
(∠BAC)◦ + (∠DAC)◦ = (∠BAD)◦
(∠ACB)◦ + (∠ACD)◦ = (∠BCD)◦
e portanto
Q
(∠B)◦ + (∠D)◦ + (∠BAD)◦ + (∠BCD)◦ ≤ 360◦
R
l
t
seja t perpendicular com ` num ponto P
seja m perpendicular com t em P
⇒ m k ` (Corolário 3.2)
3.2. Equivalências ao postulado dos paralelas. LemSeja n 6= m outra reta contendo P . vamos mostrar n 6k `
bramos primeiro o
seja ∠1 o ângulo agudo de n com t
E-V’ (Postulado das paralelas de Hilbert) Para ⇒ (∠1)◦ + (∠P QR)◦ < 90◦ + 90◦ = 180◦
qualquer reta n e para qualquer ponto A que não ⇒ n intersects ` neste mesmo lado (E-V”). assim termipertence na n existe no máximo uma reta m que namos a demonstração de E-V’.
contém A e que é paralela á n.
Proposição 3.16. O axioma das paralelas de Hilbert vale
E-V (Postulado das paralelas de Euclides) Para se e somente se uma reta intersecta uma de duas retas parqualquer reta ` e para qualquer ponto A que não alelas, então também intersecta a outra.
pertence na ` existe uma única reta m que contém
O seguinte é a afirmação do Teorema 3.1 como hipotese
A e que é paralela á `.
na equivalência.
Nos reformulamos este postulado usando os termos
Proposição 3.17. O axioma das paralelas de Hilbert vale
definidos anteriormente.
E-V” Se duas retas estão intersectadas por uma reta se e somente se duas retas paralelas cortadas por uma
transversalmente tal que a soma dos graus dos dois reta transversal tem um par de ângulos internos alternaângulos internos num lado da transversal é menor dos congruentes.
do que 180◦ , então as duas retas intersectam neste
lado da transversal.
Teorema 3.15. E-V” é equivalente a E-V’.
Demonstração. ⇐: Assumimos o axioma de Hilbert E-V’.
B'
C'
2
31
B
Proof. ⇒: Supomos o axioma E-V’.
` k m (hipotese)
t reta que intersecta ` e m transversalmente, e P e Q pontos da interseção (hipotese)
por contradição, supomos que o ângulo interno alternado
com ∠AQP é differente.
−−→
(1) se fosse > ∠AQP , existe P C com C no lado oposto de
t tal que ∠QP C ∼
= ∠AQP .
s
m
l
(∠1)◦ + (∠2)◦ < 180◦ (hipotese em E-V”)
(∠1)◦ + (∠3)◦ = 180◦ (ângulos supl., Teorema 3.9 (5))
⇒ (∠2)◦ < 180◦ − (∠1)◦ = (∠3)◦
−−−→
existe única raio B 0 C 0 tal que ∠3 ∼
= ∠C 0 B 0 B (C-IV)
←−→0
←−
→
0 0
BB é transversal com B C e `, ∠C 0 B 0 B e ∠3 são internos
alternados congruentes
←−→
⇒ B 0 C 0 k ` (Teorema 3.1)
←−→
(∠2)◦ 6= (∠3)◦ ⇒ ∠2 =
6∼ ∠3 ⇒ m 6= B 0 C 0
⇒ m intersecta ` (axioma E-V’) em ponto D
←−→
basta ver que D está no mesmo lado de BB 0 como C 0 :
por contradição, supomos que D está no lado oposto de
←−→0
BB .
⇒ ∠2 é ângulo exterior de 4DBB 0 . mas ∠2 < ∠3 um
ângulo interior deste triângulo. contradição com Teorema 3.4. assim terminamos a demonstração de E-V”.
⇒: Assumimos o postulado E-V” de Euclides.
t
P
l
C
A
B m
Q
←→
P C 6k m (E-V’)
←→
⇒ P C intersecta m, seja B ponto de interseção P
(∠BQP )◦ = 180◦ − (∠AQP )◦ (ângulos suplementares,
Teorema 3.9 (5))
⇒ (∠BQP )◦ + (∠QP B)◦ = 180◦
⇒ contradição com Corolário 3.10
(2) se fosse < ∠AQP
t
P
l
D
A
Q
E
◦
◦
m
⇒ (∠EQP ) = 180 − (∠AQP )◦ (ângulos suplementares,
Teorema 3.9 (5))
⇒ (∠EQP )◦ + (∠QP D)◦ < 180◦ − (∠AQP )◦ + (∠AQP )◦
⇒ ` intersecta m no mesmo lado de t como D (E-V” ⇔
E-V’)
contradição com ` k m
12
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
Proposição 3.18. Se o axioma das paralelas de Hilbert Teorema 3.23. Se existir um triângulo 4ABC com
vale, então a soma dos graus dos três ângulos num δABC = 0, então existe um retângulo.
triângulo é 180◦ .
Demonstração. Existência de triângulo com ângulo reto e
defeito 0:
seja 4ABC com δABC = 0 (hypothesis)
ou um ângulo de 4ABC é reto
ou (pelo menos) dois ângulos de 4ABC estão agudos (a
soma de dois é menor que 180◦ , Corolário 3.10), digamos
∠A e ∠B
←→
existe o perpendicular contendo C com AB, intersectando
a reta em D
Proof. imediato com Proposição 3.17
1
3
2
2
1
C
Proposição 3.19. O axioma das paralelas de Hilbert vale
se e somente se t é transversal com ` e m, ` k m, t ⊥ `,
então t ⊥ m.
Proposição 3.20. O axioma das paralelas de Hilbert vale
se e somente se
k k `, m ⊥ k, n ⊥ ` ⇒ ou m = n ou m k n
3.3. Soma dos ângulos internos de um triângulo.
Definição (defeito). Dado um triângulo 4ABD, definimos o seu defeito como
D
A
B
se D ∗ A ∗ B, então em 4DAC, 90◦ = (∠CDA)◦ >
(∠CAB)◦ , em contradição com Teorema do ângulo exterior 3.4
se A ∗ B ∗ D, similar
⇒ A ∗ D ∗ B (B-III)
C
δABC = 180◦ − ((∠A)◦ + (∠B)◦ + (∠C)◦ ).
def
Teorema 3.21 (Defeito é aditivo). Dado 4ABC e A ∗
D ∗ B, então tem-se
δABC = δACD + δBCD.
C
A
D
B
⇒ δACD = 0 = δDCB (Corolário 3.22)
Existência de retângulo:
seja 4CDB triânglo reto com defeito 0, (∠D)◦ = 90◦ .
C
A
D
E
X
B
←→
Demonstração. CD é interior de ∠ACB
⇒ (∠ACB)◦ = (∠ACD)◦ + (∠BCD)◦ (Teorema 3.9 (3))
180◦ = (∠ADC)◦ + (∠BDC)◦ ) (ângulos suplementares, D
B
−−→
Teorema 3.9 (5))
existe CX com ∠DBC ∼
= ∠BCX (C-IV)
basta fazer a conta.
existe E nele com CD ∼
= DB (C-I)
⇒ 4DCB ∼
= 4CBE (LAL)
Corolário 3.22. δABC = 0 se e somente se
⇒ 4CBE é triânglo reto com defeito 0
δACD = 0 = δBCD.
⇒ (∠DBC)◦ + (∠BCD)◦ = 90◦
Demonstração. ⇐: se δACD = 0 = δBCD, então ⇒ (∠DBC)◦ + (∠EBC)◦ = 90◦
δABC = 0 + 0 = 0 (Teorema 3.21)
B é no interior de ∠ECD
⇒: se δABC = 0, então δACD + δBCD = 0 (Teo- ⇒ (∠ECD)◦ = 90◦ = (∠EBD)◦
rema 3.21)
portanto DBCE é retângulo
δACD ≥ 0, δBCD ≥ 0 (Teorema de Saccheri-Legendre)
⇒ δACD = 0 = δBCD.
Definição (Retângulo). Dizemos que um quatrilateral é Proposição 3.24. Se existir um retângulo, então todo
um retângulo se todos os seus ângulos são retos.
triângulo tem defeito zero.
Comentário. ainda não sabemos que existem retângulos.
tentar construir retângulos sem usar o axioma das paral- Corolário 3.25. Se há um triângulo com defeito positivo,
lelas!
então todos tem.
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
3.4. Revisão do axioma das paralelas.
Definição (reta mediatriz). A reta mediatriz do segmento
AB é a reta perpendicula ao segmento no seu ponto médio,
i.e. no ponto C tais que A ∗ C ∗ B e AC ∼
= CB.
13
Proposição 3.29. Considere uma geometria neutra e assume o axioma das paralelas. Todo triângulo admite um
cı́rculo circumscrito.
Proposição 3.26. Seja t a reta mediatriz do segmento
AB. Então para qualquer D ∈ t tem-se AD ∼
= BD.
Reciprocamente, se AD ∼
= BD para todo D ∈ t, enão t é
a reta mediatriz de AB.
Proposição 3.27. Considere uma geometria neutra. Se
as mediatrizes de dois lados do triângulo 4ABC concorrem no ponto D, então a mediatriz do terceiro lado
também incide em D.
Proof.
Notamos que não é possı́vel mostrar numa geometria neutra que as mediatrizes de dois lados de um triângulo sempre se intersectam.
Lembramos os seguintes fatos mostrado anteriormente:
• Na geometria neutra, se duas retas cortadas por
uma reta transversal tem um par de ângulos internos alternados congruentes, então elas são paralelas.
• Na geometria neutra, o axioma das paralelas de
Hilbert vale se e somente se duas retas paralelas
cortadas por uma reta transversal tem um par de
ângulos internos alternados congruentes.
• Na geometria neutra e também assumindo o axioma das paralelas de Hilbert tem-se o segunte: se
duas retas são paralelas e são cortadas por uma
reta transversal, então eles tem um par de ângulos
internos alternados congruentes.
Corolário 3.30. Considere uma geometria neutra e assume o axioma das paralelas. Exsite um único ponto
equidistante de quaisquer três pontos não colineares dados.
4. História da Geometria hiperbólica
4.1. Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274). .
Proposição 3.28 (Existência de circumcentro). Considere uma geometria neutra e assume o axioma das paralelas. Então as mediatrizes de dois lados de um triângulo 4.2. John Wallis (1616–1703). .
sempre se intersectam, chamamos ortocentro o ponto da
concorreência.
Proof. Por contradição, supomos que 4ABC é tais que as
mediatrizes n e m dos lados AB e BC não se intersectam.
Sejam A ∗ D ∗ B e B ∗ E ∗ C os pontos médios dos dois
lados, respectivamente. Supondo n e m não concorrem
implica n k m.
←→
⇒ AB concorre m, seja F o ponto de concorrência.
⇒ ∠AF E é reto (ângulos internos alternados congruentes
e ângulo suplementar)
Tem-se ∠F EB é reto (ângulo suplementar)
⇒ soma dos ângulos em 4BF E é > 180◦ .
Tentou mostrar axioma das paralelas na geometria neutra,
contradição com Teorema de Saccheri-Legendre
sem successo.
C
E
A
D
B
n
F
Definição (Ângulos similares). Triângulos 4ABC e
4DEF são similares se ∠A ∼
= ∠D, ∠B ∼
= ∠E, ∠C ∼
= ∠F ,
neste caso usamos a notação 4ABC ∼ 4DEF .
Em vez postulou outro fato:
m
Dado 4ABC e DE, existe 4DEF ∼ 4ABC.
Proposição 4.1. O axioma das paralelas é equivalente ao
axioma de Wallis.
14
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
Proof. ⇐: Supomos o axioma de Wallis.
m
P
S
R
n
l
Q
Sejam ` reta e P 6∈ `
←→
Seja P Q perpendicular com ` contendo P .
←→
Seja m perpendicular com P Q contendo P .
←→
Seja n 6= m, n 6= P Q raio com origem em P .
Todos esses objetos são únicos.
Existe 4P QT com 4P QT ∼ 4P SR (Axioma de Wallis)
m
P
S
R
T
n
l
Q
←→
Supomos que T está no mesmo lado de P Q como R. (outro
caso igual)
∠QP T ∼
= ∠SP R (4 similares)
−−→ −→
∠QP T = ∠SP R (T e R no mesmo lado, P Q = P S)
−→ −→
⇒ PR = PT
⇒T ∈n
⇒ T ∈ ` (análogo)
⇒T ∈m∩`
⇒ m 6k `.
⇒ conclusão do axioma das paralelas.
⇒: ....
Proposição 4.2. Num quadrilateral de Saccheri os
ângulos diferente dos ângulos na base são congruentes entre si.
Restam três possibilidades para o grau desses ângulos: obtuso, reto ou agudo.
4.3. Girolamo Saccheri (1667–1733). .
É fácil ver que eles não podemo se obtusos. Ele não conseguiu descartar a possibilidade de ângulos agudos e acho
contraintuitvo. Mas de fato desta forma tinha descubrido
a geometria não-Euclideana.
Publicou “Euclides ab amni naevo vindicatus (Euclides
Liberto de Cada Falha)” em 1733, que restou quase deconsiderado até Eugenio Beltrami percebeu a sua importância. Saccheri investigou em particular retângulos.
A primeira consideração conhecida sobre o quadrilátero
de Saccheri foi feita por Omar Khayyam no final do
século XI, o que pode, ocasionalmente, ser referido como
o quadrilátero de Khayyam-Saccheri.
4.4. Adrien-Marie Legendre (1752–1833). Legendre
não conheceu o trabalho de Saccheri e remostrou os seus
resultados da geometria neutra.
Ele tentou mostrar o postulado das paralelas, mas sem
successo. O seguinte é a tentativa dele de mostrar que a
soma dos graus dos ângulos num triângulo é 180◦ .
Definição (Quadrilateral de Saccheri). Um quadrilateral
ABCD tal que ∠A ∼
= ∠B são ângulos retos e tal que
AD ∼
= BC se chama quadrilateral de Saccheri, AB é
chamado a sua base.
Demonstração falsa de Legendre. Por contradição, supomos que existe 4ABC com δABC 6= 0.
Pelo Teorema de Saccheri-Legendre, δABC > 0.
⇒ (∠A)◦ < 60◦
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
5. Geometria hiperbólica
B'
B
D
A
15
Geometria hiperbólica é aquela que satizfaz os axiomas
de Hilbert de incidência, ordem e congruência, o axioma
de continuidade de Dedekind e a negação do axioma das
paralelas de Hilbert E-V’, o chamado axioma hiperbólica.
C
C'
5.1. Axioma hiperbólica. Postulamos uma negação do
∼ 4ABC (LAL, ver figura)
construir 4BCD =
axioma das paralelas.
←→ ←→ ←→ ←→
⇒ BD k AC, BA k DC
H (Axioma hiperbólico) Existe uma reta n e um
⇒ D está no interior de ∠ABC
ponto A que não pertence na n tais que existem
−−→
−→
∃` tal que D ∈ ` e D intersecta AB em um ponto B 0 e AC
pelo menos duas retas distintas que contém A e
em um ponto C 0
que são paralelas á n.
←→ ←→ ←→ ←→
⇒ B 0 6= B, C 0 6= C (CD k AB, BD k AC)
P
⇒ .... ⇒ δBCD = δABC
⇒ δAB 0 C 0 ≥ 2δ
l
continuando esta construção eventualmente resulta em um
◦
A
seguinte
outra
negação
do
axioma
das
paralelas
levará
triângulo com defeito > 180 , contradição.
a geometria ellṕtica.
4.5. János Bolyai (1802–1860). .
E (Axioma ellı́ptico) Existe uma reta n e um ponto
A que não pertence na n tais que não existem retas
distintas que contém A e que são paralelas á n.
Proposição 5.1. Na geometria hiperbólica, a soma dos
graus dos três ângulos num triângulo é < 180◦ , isto é, o
defeito sempre é positivo.
Proposição 5.2. Na geometria hiperbólica, não existem
retângulos.
Corolário 5.3. Na geometria hiperbólica, todo
quadriláteral convexo tem soma dos ângulos < 360◦ .
Se unicidade de paralelas vale para um ponto, será possı́vel
que não vale para outros? Não!
4.6. Carl Friedrich Gauss (. .
4.7. Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856). .
Teorema 5.4 (Teorema universal hiperbólico). Na geometria hiperbólica, para qualquer reta n e para qualquer
ponto A que não pertence na n existem pelo menos duas
retas que contém A e que são paralelas á n.
←→
Proof. Seja ` reta e P Q perpendicular.
←→
Seja m perpendicular com P Q.
Seja R ∈ `, R 6= Q.
Seja t perpendicular com ` contendo R.
←
→
Seja P S perpendicular com t, S ∈ t.
←
→
⇒ P S 6= m: Por contradicção, se S estivesse em m, segueria P QRS é retângulo. Contradição com Proposição 5.2.
P
t
m
S
l
Q
R
Corolário 5.5. Na geometria hiperbólica, para qualquer
reta n e para qualquer ponto A que não pertence na n existem infinitas retas que contém A e que são paralelas á
n.
16
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
Proof. Demonstração anterior, variando S.
5.2. Não existência de semelhança. O seguinte é a
negação do axioma de Wallis (que é equivalente com o
axioma das paralelas).
C'
A'
B'
Corolário 5.6 (Critério AAA para congruência de
triângulos). Na geometria hiperbólica, se dois triângulos
são similares, então são congruentes.
B
A
C
Proposição 5.8 (Ângulo do paralelismo). Para qualquer
Proof. Por contradicção, supomos que existem 4ABC ∼ reta ` e qualquer ponto P 6∈ `, seja Q o ponto na per4A0 B 0 C 0 tal que 4ABC ∼
6 4A0 B 0 C 0 .
=
pendicular com ` em P . Então existem exactamente dois
−−→ −−→
←→
A
A'
semi-retas P X e P X 0 não-opostas em lados opostos de P Q
que não intersectam ` e que tem a seguinte propriedade:
qualquer semi-reta com orı́gem P não intersecta ` se e
−−→ −−→
somente se ele está entre P X e P X 0 .
B''
B'
C''
Além disso, ∠QP X ∼
= ∠QP X 0 .
C'
←
→
Proof. SQ
B
−→
Σ1 é o conjunto de pontos T ∈ SQ tal que P T ∩ ` 6= ∅
C
Σ2 = SQ \ Σ1
⇒ A0 B 0 ∼
6 AB, B 0 C 0 ∼
6 BC, C 0 A0 ∼
6 CA (ALA).
=
=
=
⇒ Q ∈ Σ 1 , S ∈ Σ2
entre (AB, BC, CA) e (A0 B 0 , B 0 C 0 , C 0 A0 ) pelo menos dois
segmentos esão maiores do que seus pares, digamos AB >
m
S
P
A0 B 0 e AC > A0 C 0 .
00
00
00 ∼
00
⇒ existem B ∗ B ∗ A e C ∗ C ∗ A, AB = AC .
Y
X
⇒ 4AB 00 C 00 ∼
= A0 B 0 C 0 (LAL)
T
⇒ ∠C 00 B 00 A ∼
= ∠B 0 , ∠B 00 C 00 A ∼
= ∠C 0
l
⇒ ∠C 00 B 00 A ∼
= ∠B, ∠B 00 C 00 A ∼
= ∠C (C-V)
−→
←→ ←−
00 00
R
Q
⇒ BC k B C
se T ∈ Σ1 então Z ∈ Σ1 para qualquer T ∗ Z ∗ Q (Teorema
⇒ BCC 00 B 00 é convexo
⇒ (∠B)◦ + (∠BB 00 C 00 )◦ = 180◦ = (∠CC 00 B 00 )◦ + (∠C)◦ de barras cruzadas)
⇒ (Σ1 , Σ2 ) é corte de Dedekind e pelo axioma de con(ângulos suplementares e Teorema ??)
←
→
⇒ BCC 00 B 00 tem soma dos seus ângulos = 360◦ .
tinuidade de Dedekind existe único ponto X ∈ SQ tal que
←
→
Contradição com Corolário ??.
para qualquer P1 , P2 ∈ SQ tem-se P1 ∗ X ∗ P2 se e somente
se X 6= P1 , X 6= P2 e P1 ∈ Σ1 , P2 ∈ Σ2
5.3. Paralelismo.
−−→
Mostramos que P X ∩ ` = ∅:
−→
Definição (Equidistante). Dado retas ` e `0 e pontos Por contradição, supondo que W ∈ −
PX ∩ `
A, B, C, . . . ∈ ` e perpendiculares AA0 , BB 0 , CC 0 , . . . com
A0 , B 0 , C 0 , . . . ∈ `0 dizemos que pontos são equidistantes se
m
S
P
AA0 ∼
= BB 0 ∼
= CC 0 ∼
= . . ..
Corolário 5.7. Na geometria hiperbólica, para qualquer
par de retas paralelas ` e `0 e qualquer conjunto de pontos em ` existem no máximo dois pontos em `0 que são
equidistantes com os em `.
A
B
C
l
l'
A'
B'
C'
Proof.
Por contradição, supomos que existem A, B, C ∈ ` equidistantes com `0 .
⇒ A0 B 0 BA, A0 C 0 CA, B 0 C 0 CB são quadrilaterais de
Saccheri
⇒ ∠A0 AB ∼
= ∠B 0 BA, ∠A0 AC ∼
= ∠C 0 CA, ∠B 0 BC ∼
=
0
∠C CB
⇒ ∠B 0 BA ∼
= ∠B 0 BC
0
⇒ ∠B BA, ∠B 0 BC são retos
⇒ são retângulos. contradição.
Y
X
l
V
W
Q
considere V ∗ W ∗ Q
←
→
⇒ V, W estão no mesmo lado de SQ
←
→
⇒ V, P estão em lados opostos de SQ
⇒ V P ∩ SQ 3 Y
⇒ Y ∗ X ∗ Q (Proposição ?? 2.15, estar no interior de
ângulo)
Q ∈ Σ1 ⇒ Y ∈ Σ2
−−→
⇒ P Y ∩ ` = ∅, contradição.
−−→
Definir P X 0 análogo
Mostramos ∠QP X ∼
= ∠QP X 0 :
Por contradição, supondo que ∠QP X 6∼
= ∠QP X 0 .
Se ∠QP X < ∠QP X 0 , então pela definição de X 0 existe
−−→ −−→
raio entre P X 0 e P Q que intersecta `, em R0 , tal que
∠QP R0 ∼
= ∠QP X
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
17
seja R tal que R ∗ Q ∗ R0 e RQ ∼
= QR0
0
⇒ 4RQP ∼
= 4R QP (LAL)
⇒ ∠QP R ∼
= ∠QP R0
−→
⇒ ∠QP R ∼
= ∠QP X 0 , contradição com o fato que P R
−−→ −−→
estar entre P X e P Q
Definição (reta paralela limitante). Observando que o
interior de [ABCD é a interseção do interior de ∠ABC e
do interior de ∠BCD. Se X está no interio de [ABCD,
−−→
chamamos BX um raio interior de biângulo. Dizemos
−−→
−−→
que BA é paralela limitante para CD se todo raio interior
−−→
−−→ −−→
m
intersecta CD, usamos a notação BA|CD. Dizemos neste
P
caso que [ABCD está fechado em B.
X
X'
−−→ −−→
Proposição 5.10. Se P ∗ B ∗ A ou B ∗ P ∗ A e BA|CD,
−→ −−→
então P A|CD.
l
−−→ −−→
−−→ −−→
Q
R'
R
Proposição 5.11. Se BA|CD, então CD|BA.
−−→ −−→ −−→ −−→
−−→ −−→
Proposição 5.12. Se AB|EF e CD|EF , então AB|CD.
Definição (Ângulo de Paralelismo). Chamamos o ângulo
←→ ←→
∠QP X o ângulo de Paralelismo em P relativamente a `. Demonstração da Proposição. Se AB = CD, o resultado
←−→
←→
Chamamos a reta P X e a reta P X 0 dados pela segue trivialmente.
←→ ←→
Proposição 5.8 a reta paralela a ` por P à esquerda e a Assumimos então que AB 6= CD.
←→ ←→
reta paralela a ` por P à direita, respectivamente.
Afirmação. AB ∩ CD = ∅.
Proposição 5.9. Sejam m reta paralela a n por P ∈
/ n à
G
direita. Suponha que Q ∈ m está à direita de P . Provar
que m é paralela a n por Q nesse mesmo sentido.
W
C
Proof. seja P ∗ Q ∗ W (axioma B-II)
P
D
A
Q
B
W
V
Z
R
S
seja R pé da perpendicular baixando de P a n
seja S pé da perpendicular baixando de Q a n
←→ ←
→
portanto RP k QS (teorema dos ângulos internos alternados congruentes)
seja V no interior de ∠W QS
portanto V está no interior de ∠W P R
−−→
portanto P V intersecta n em um ponto Z
−−→
portanto QV intersecta RZ (teorema de Pasch em
4RP Z)
portanto ângulo de paralelismo em Q é ≤ ∠W QS
como m é paralela com n certamente temos que ângulo de
paralelismo em Q é ≥ ∠W QS
portanto = ∠W QS e m é paralela à direita a n por Q 5.4. Ponto ideal.
Definição (Biângulo). Sejam A, B, C, D pontos tais que
←→ ←→ ←→
A, D estão no mesmo lado de BC e AB k CD. Chamamos
−−→ −−→
[ABCD um biângulo com base BC, lados BA e CD e vertices B e C.
P
E
F
Proof.
←→ ←→
Por contradição: Supondo que AB ∩ CD 6= ∅. Seja G um
ponto de interseção.
←→
Seja P o pé da perpendicular baixada de G a EF .
←→
←→
Seja V ∈ AB e W ∈ CD.
⇒ ∠P GV ∼
= ∠P GW (ângulos de paralelismo).
←→ ←→
⇒ AB ≡ CD, contradição.
←→ ←→
Como AB e CD são disjuntos temos duas possibilidades.
Por hipotese, como estão paralelas, ambas estão disjuntas
←→
com EF .
←→ ←→
Na seguinte demonstração assuminos que AB e CD estão
←→
em lados diferentes de EF (outre caso da demonstração
será feito em outro momento, talvez).
←→
⇒ AC intersecta EF , seja G o ponto da interseção.
←→
qualquer raio no interior de ∠GAB intersecta EF , seja I
o ponto da interseção.
seja A ∗ I ∗ H
−→
⇒ IH está no interior de ∠CAB
A
I
G
A
B
C
D
E
F
H
C
X
B
D
−−→ −−→ −−→
⇒ intersecta CD (CD|EF )
⇒ qualquer raio no interior de ∠CAB = ∠GAB intersecta
−−→
CD
−−→ −−→
⇒ CD|AB.
18
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
Definição. Dado semi-retas r e s, dizemos que r ∼LP s
se e somente se
• ou r ⊂ s
• ou s ⊂ r
• ou r|s.
Proposição 5.13. A relação ∼LP define uma relação de
equivalência no conjunto de todos os semi-retas. Uma
classe de equivalência desta relação chamamos ponto ideal
ou fim.
B
P
A
Q
Este modelo é um modelo conforme no sentido que todos
Proposição 5.14. Qualquer reta define dois pontos os ângulos coincidem com ângulos no plano Euclideano (o
ideais.
modelo de Klein não é conforme).
Exemplo de retas perpendiculares e paralelas
5.5. Modelos.
5.5.1. O plano Euclidiano. é um modelo para os sistema
axiomático de Hilbert com as Axiomas de Incidência, da
Ordem, da Congruência e da Continuidade junto com o
Axioma das Paralelas.
P
l
B
5.5.2. O disco de Poincaré. Pode ser mostrado que quaisquer modelos para a geometria hiperbólica são isomorfos
entre si.
Exemplo de retas paralelas assintóticas:
os pontos A, B ∈ γ = ∂D são os pontos ideais da reta `
A
O disco de Poincaré é um modelo para os sistema axiomático de Hilbert com as Axiomas de Incidência, da
Ordem, da Congruência e da Continuidade junto com o
Axioma Hiperbólico.
• disco de Poincaré
P
l
B
D = {(x, y) : x + y < 1} ⊂ R .
2
2
2
Exemplo de quadrilateral de Lambert
• pontos = pontos em D
• retas = com γ = ∂D a fronteira de D, retas são
– diâmetros de γ abertos ou
– arcos abertos de cı́rculos ortogonais com γ, i.e.
intersecções de D com um cı́rculo perpendicular ao borde de D.
• estar em = incidência Euclidiano
• estar entre = sentido Euclidiano
• congruência de segmentos = congruência do comExemplo de quadrilateral de Saccheri
primento hiperbólico
d(X, Y ) = |log(AB, P Q)|,
onde (AB, P Q) é o cross ratio ou razão cruzada
(AB, P Q) =
AP · BQ
,
BP · AQ
onde AP é o comprimento Euclidiano do segmento
Axioma C-II. Observamos que
Euclidiano AP ⊂ R2 .
|log 1/x| = |− log x| = |log x|.
• ângulos formados por semi-retas = ângulos entre
seus vetores tangentes
Portanto
• congruência de ângulos = congruência de ângulos
1
(AB, P Q) = x ⇒ (BA, P Q) = ⇒ (AB, P Q) = (BA, P Q)
Euclidianos
x
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
Portanto d(A, B) = d(B, A).
Axioma C-I. Seja Q ∗ A ∗ B ∗ P .
Fixando A e deslocando B de A para P :
AP /AQ constante
BP → 0, BQ → P Q
⇒ 1 % (AB, P Q) % ∞
−−→
⇒ dados segmento AB e qualquer raio CD, existe único
−−→
E ∈ CD tal que CE = AB
19
isomorfismos entre os modelos de Klein e de Poincaré
(Figure: http://web1.kcn.jp/hp28ah77/)
Axioma C-III. Seja Q ∗ A ∗ C ∗ B ∗ P
⇒ AP > BP , BQ > AQ etc.
⇒ (AB, P Q) > 1, (AC, P Q) > 1, (CB, P Q) > 1
⇒ log(AB, P Q) > 0, log(AC, P Q) > 0, log(CB, P Q) > 0
d(A, C) + d(CB) = log(AC, P Q) + log(CB, P Q)
= log(AC, P Q) · (CB, P Q)
AP CQ CP BQ
AP BQ
= log
CP AQ BP CQ
BP AQ
= d(A, B)
= log
5.5.3. O modelo de Beltrami-Klein.
• disco
•
•
•
•
•
D = {(x, y) : x2 + y 2 < 1} ⊂ R2
5.5.4. O semi-plano de Poincaré.
• semi-plano complexo
H = {x + iy : y > 0}
• pontos = pontos
• retas são
– semi-retas verticais
– semi-cı́rculos com centro na reta {(x, y) : x ∈
R}
pontos = pontos em D
retas = retas no plano Euclideano ∩D
ângulos = mais tarde (o modelo não é conforme)
congruência de segmentos = mais tarde
congruência de ângulos = mais tarde
P
A
B
5.6. Congruências em triângulos generalizados.
Q
Definição (Triângulos e ângulos generalizados ). Se r =
−−→
−−→
AB e s = CD são dois raios equivalentes, r ∼LP s e se
Exemplo de retas paralelas:
Ω = [r]∼LP = [s]∼LP denota o ponto ideal correspondente,
−−→ −−→
denotamos por 4ACΩ sendo a união dos raios AB e CD
e do segmento AB o triângulo generalizado com vértizes
P
−→ −→
A, B, Ω e seus lados AΩ, CΩ e AB.
Chamamos ∠AΩC um ângulo generalizado.
n
Dado pontos ideais distintos Ω1 , Ω2 , Ω3 , da forma
m
análoga definimos os triângulos generalizados 4AΩ1 Ω2 e
l
4Ω1 Ω2 Ω3 .
O interior de um triângulo generalizado é definida de
Exemplo de retas paralelas assintóticas:
←→ forma análoga.
os pontos P, Q ∈ γ = ∂D são os pontos ideais da reta AB
P
X
X'
A
B
20
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
C'
A'
Compare o seguinte resultado com o Teorema de barras l
cruzadas 2.16
A
C
Proposição 5.15. Na geometria hiperbólica, se num
triângulo 4ACΩ generalizado um raio emana num dos
m
seus vértizes para o interior, então ele interseta o lado
oposto ao vértize do qual emana.
B'
C''
B
t
Proof. Se a vértize é A (ou C) basta lembrar a definição ⇐: exercı́cio
do ângulo do paralelismo para ver que o raio intersecta
−→
Compare com o Teorema do ângulo externo 3.4 na geomeCΩ.
tria neutra.
A
Proposição 5.18 (Teorema do ângulo externo num
triângulo generalizado). Na geometria hiperbólica, se
4ABΩ é um triângulo generalizado, então um ângulo externo é maio que o ângulo não adjacente a ele.
O
C
Se o raio r dado emana de Ω, a reta que o contém é par−→ −→
alela ás retas suportadas pelos raios AΩ e CΩ e está entre
−→
eles. Seja W ∈ CΩ.
⇒ AW intersecta r (ângulo do paralelismo).
⇒ r intereseta AC (Pasch em 4AW C)
A
C
O
Proof. seja 4ABΩ triângulo generalizado.
seja B ∗ A ∗ E.
seja C tal que ∠CAE ∼
= ∠ABΩ onde C está no lado de Ω
seja D ponto médio de AB
←→ ←→
⇒ em D existe perpendicula comum de AC e BΩ
tem-se:
−→
AC não interior do triângulo (caso contrário intersetaria
←→
BΩ
−→
AC 6⊃ AΩ (retas paralelas não admitem perpendicular comum, aplicar para perpendicular baixada de A a `)
−→
portanto, AΩ emana para o interior de ∠EAΩ
W
E
A
k
C
Similar ao Teorema de Pasch 2.11 temos
Proposição 5.16. Na geometria hiperbólica, se num
triângulo 4ACΩ generalizado uma raio r que não contém
nenhum dos vértizes interseta um lado do triângulo generalizado então r interseta um, e somente um, dos outros
dois lados.
D
l
O
B
⇒ ∠ABΩ = ∠EBΩ < ∠EAΩ
Para mostrar um resultado sobre a soma dos graus dos
Corolário 5.19. Na geometria hiperbólica, a soma dos
ângulos num triângulo, precisaremos o seguinte resultado
graus dos ângulos de um triângulo generalizado 4ACΩ é
da geometria neutra.
estritamente menor do que 180◦ .
Proposição 5.17. Na geometria neutra, sejam ` e m re- Proof. ∠1 > ∠3
tas intersetadas por uma reta t. Os ângulos alternos internos são congruentes se, e somente se, existe uma perpendicular comum e t incide no ponto médio do segmento
1
perpendicular comum.
2
Proof. ⇒: suponha que k interseta ` e m com ângulos alternos internos congruentes com interseção nos pontos A
e B, respectivamente.
seja C ponto médio de AB.
seja C 0 pé da perpendicular baixada de C a `.
seja C 00 pé da perpendicular baixada de C a m.
⇒ 4CC 00 B ∼
= 4CC 0 A (LAA)
0 ∼
⇒ ∠ACC = ∠BCC 00
−−→ −−→
⇒ CC 0 e CC 00 são raios opostos
⇒ C, C 0 , C 00 são colineares.
3
O
⇒ 180◦ = (∠1)◦ + (∠2)◦ > (∠3)◦ + (∠2)◦
Se pode mostrar os seguintes resultados de congruência
para triângulos generalizados.
Proposição 5.20 (LA). Na geometria hiperbólica, se para
dois triângulos generalizados 4ABΩ e 4CDΓ valem as
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
21
congruências AB ∼
= CD e ∠ABΩ ∼
= ∠CDΓ, então vale
também ∠BAΩ ∼
= ∠DCΓ.
5.8. Horociclos. Na geometria plana, para um ponto A
num cı́rculo centrado no ponto O com raio OA, tem-se que
um ponto B está no cı́rculo se e somente se ou 4AOB é
Proposição 5.21 (AA). Na geometria hiperbólica, se isosceles ou O é o ponto médio de AB.
para dois triângulos generalizados 4ABΩ e 4CDΓ valem
B
as congruências ∠ABΩ ∼
= ∠CDΓ e ∠BAΩ ∼
= ∠DCΓ,
então vale também AB ∼
= CD.
Proposição 5.22. Na geometria hiperbólica, se dois
triângulos osósceles generalizados têm bases congruentes,
então os ângulos são congruentes.
A
5.7. Bissetrizes e mediatrizes.
Este fato levou a seguinte definição.
O
Definição (Reta bissetriz de ângulo generalizado). Dado Definição (pontos correspondentes). Dois pontos A e B
duas retas ` e m paralelas e equivalentes com ponto ideal em retas ` e m paralelas e equivalentes com ponto ideal Ω
Ω comum, diz-se que n é reta bissetriz do ângulo general- comum são correspondentes se ∠ABΩ ∼
= ∠BAΩ.
izado constituı́do por ` e m se n também concorre em Ω e
existe A ∈ n tal que AP ∼
= AQ onde P e Q são os pés das A
perpendiculares baixadas de n a ` e m, respectivamente.
P
O
l
A
n O
m
B
Q
Proposição 5.23 (Existência da bissetriz de ângulo generalizado). A reta bissetriz de ângulo generalizado existe.
Proof. ` e m com ponto ideal Ω
B ∈ `, C ∈ m, 4BCΩ
⇒ raios bissetores de ∠B e de ∠C concorrem num ponto
A do interior de 4BCΩ (Pasch)
P e Q pé da perpendicular baixando de A a ` e m, resp.
B ∗ P ∗ D tal que BC ∼
= BD
⇒ 4BCA ∼
= 4BDA (LAL)
⇒ 4CQA ∼
= 4DP A (LAA)
−→
⇒ AΩ é reta bissetriz de Ω
B
P
Proposição 5.26. Sejam ` e m duas retas paralelas equivalentes com ponto ideal comum Ω. Então para cada A ∈ `
existe um, e somente um, ponto B ∈ m correspondente a
A.
Proof. Existência:
n bissetriz do ângulo generalizado constituı́do por ` e m.
A∈`
C pé da perpendicular baixada de A à n
P e Q pés das perpendiculares de B à ` e m
B ∈ m tal que BQ ∼
= AP e B ∗ Q ∗ Ω
⇒ 4BQC ∼
= 4AP C (LAL)
⇒B∗C ∗A
⇒ ∠P AC ∼
= ∠QBC
A
P
l
D
n
l
A
O
C
m
O
m
B
Q
Unicidade:
segue do teorema do ângulo externo (ver figura)
Q
C
A
Proposição 5.24. Seja 4ABΩ triângulo generalizado
isósceles. Uma reta n é reta bissetriz do ângulo generalizado se e somente se n é a reta mediatriz da base AB.
Corolário 5.25. Se `, m são paralelas com ponto ideal
comum Ω e A ∈ `, B ∈ n tais que 4ABΩ é triângulo
generalizado isósceles, então as mediatrizes concorrem em
Ω.
l
O
m
B
22
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
Proposição 5.27 (Transitividade). Sejam A, B, C pontos
em retas paralelas `, m, n com ponto ideal comum, respectivamente. Se A corresponde a B e B corresponde a C,
então A corresponde a C.
Proof.
Lema 5.28. A, B, C não são colineares.
Demonstração do lema. duas retas paralelas estão em lados opostos da terceira.
por contradição, supomos que A, B, C são colineares.
Caso A ∗ B ∗ C:
⇒ soma dos ângulos do triângulo 4ACΩ é 180◦
⇒ contradição.
A
a
B a
c
l
O
m
Cı́rculos num empaquetado apoloniano tangente ao cı́rculo
externo pode ser considerado como horociclos no modelo
do disco hiperbólico de Poincaré.
Caso A ∗ C ∗ B:
⇒ soma dos ângulos do triângulo 4ACΩ é 180◦
⇒ contradição.
5.9. Construção de reta paralela limitante
(seguindo J. Bolyai). Lembramos primeiro o seguinte
resultado.
C c
Proposição 5.30. Seja ABCD um quadrilateral cujos ângulos na base ∠A e ∠B são ângulos retos (ver
figura). Então tem-se AD < BC então (∠C)◦ < (∠D)◦ .
A
a
l
a
C c
a=c
B
C
O
D
E
m
(Lema)
A
Considere 4ABC.
4ABΩ isósceles (A, B são correspondentes)
4BCΩ isósceles (B, C são correspondentes)
⇒ mediatriz de AB é raio bissetor de ∠Ω
⇒ mediatriz de BC é raio bissetor de ∠Ω
⇒ mediatrizes de AB, BC e CA concorrem, e concorrem
em Ω (este fato ainda não foi mostrado, mas vale)
⇒ 4ACΩ é isósceles
⇒ A, C correspondem.
Esta proposição implica que ser correspondente é uma
relação de equivalência no conjunto dos pontos em paralelas com ponto ideal comum. As classes de equivalência
chamamos horociclos.
Definição (Horociclo). O horociclo com centro Ω que incide em A é o conjunto dos pontos correspondentes a A.
Corolário 5.29. Dois horocı́clos com mesmo centro ou
não se intersetam ou são coincidentes.
B
De fato, vale a equivaência neste resultado no seguinte
sentido.
Proposição 5.31. Se ` e m são dois paralelas, A ∈ ` e
←−→
A0 ∈ m tais que AA0 é perpendicular comum, então AA0
é o segmento mais curto entre ` e m.
←−→
Proof. seja AA0 perpendicular comum.
B0 ∈ m
B pé da perpendicular baixado de B 0 a `
B'
m
A'
l
A
⇒ BB 0
⇒ BB 0
⇒ BB 0
B
∼
6= AA0 (quadrilateral Saccheri, ângulo congruente)
6< AA0 (Prop. 5.31 e soma ângulos quadrilateral)
> AA0
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
Construção:
•
•
•
•
•
` reta e P 6∈ `
Q pé de perpendicular baixado de P a `
←→
m perpendicular baixado de P a P Q
R ∈ `, R 6= Q
S pé de perpendicular baixado de R a m
P
S
m
X
Q
R
l
23
Proposição 6.2. O conjunto das isometrias que preservem a orientação em R2 com ◦ sendo a concatenação
forme um subgrupo de Isom(R2 ), denotado por Isom+ (R2 ).
Notamos que o conjunto das isometrias que não preservem
a orientação em R2 não forme um subgrupo de Isom(R2 ).
Exemplo. Seja Rθ a rotação em R2 pelo ângulo θ ∈
[0, 2π),
cos θ
sen θ
Rθ =
.
− sen θ cos θ
Dado (a, b) ∈ R2 , seja T(a,b),θ
x
cos θ
T(a,b),θ)
=
y
− sen θ
sen θ
cos θ
x
a
+
.
y
b
←→ ←
→
Seja
⇒ P Q k SR e m perpendicular comum
def
G = {T(a,b),θ) : (a, b) ∈ R2 , θ ∈ [0, 2π)}.
⇒ P S < QR (Proposição 5.31)
2
⇒ existe R ∗ X ∗ S tal que P X ∼
= QR (argumento de Dados θ, φ ∈ [0, 2π), (a, b), (u, v) ∈ R , encontre uma expressão para
continuidade)
←→
T(a,b),θ ◦ T(u,v),φ .
⇒ P X é a reta paralela limitante
Mostre que (G, ◦) é um grupo, i.e. mostre que este pro←→
Proposição 5.32. P X é reta paralela a ` por P .
duto é
• bem definido,
Demonstração de J. Bolyai, é difı́cil.
• associativo,
• existe elemento e,
6. Transformações de Möbius
• existe elemento inverso.
6.1. Grupos e isometrias no plano euclideano. Lem- Mostre que todas as rotações formam um subgrupo de G.
bramos
Mostre que todas as translações formam um subgrupo de
G.
Definição (grupo e subgrupo). Seja G um conjunto e ◦
uma operação binária definida sobre G. O par (G, ◦) é um 6.1.1. Tesselações.
grupo se são satisfeitas as seguintes propriedades:
Definição (tesselao de plano). Uma tesselaçãoo do plano
• Associatividade: Quaisquer elementos a, b, c ∈ G,
é um recobrimento, tendo, como unidades básicas, polgonos
congruentes ou não, sem que existam espaços entre
(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)
eles e de modo que o plano total seja igual ao espaço par• Existência do elemento neutro: Existe um ele- ticionado.
mento e ∈ G tal que para todo a ∈ G tem-se Uma tesselação é dito regular se são n-gons regulares e
e◦a=a◦e=a
todos iguais e em cada vertex se encontram k deles.
• Existência do elemento simétrico: Para qualquer Chamamos {n, k} o simbolo de Schläfli da tesselação regelemento a ∈ G, existe outro elemento a−1 ∈ G, tal ular.
que, a ◦ a−1 = a−1 ◦ a = e
Proposição 6.3. No plano euclideano há somente três
Dado um grupo (G, ◦) dizemos que um subconjunto H ⊂ tipos de tesselações: Triângulos, Quadrados, Hexágonos.
G de G é um subgrupo, quando (H, ◦) é um grupo.
Proof. Para um n-gon regular os ângulos internos δ satisDefinição (isometria). Uma isometria é uma bijeção de fazem
2
2π
um espaço métrico sobre outro que preserva as distâncias.
+ δ = π ⇒ δ = π(1 − )
n
n
Exemplo. No espaço R2 euclideano são isometrias:
Com k poligons n-gons regulares em cada vertex temos
•
•
•
•
Id(x, y) = (x, y) a identidade,
T(a,b) (x, y) = (x + a, y + b) a translação,
a rotação,
a reflexão.
π(1 −
2
2π
)=δ=
n
k
⇒
1
1
1
= +
2
k n
De fato estes são todas as simetrias de R2 em R2 .
Notamos que identidade, translação e rotação “preservem
a orientação” e que apenas a reflexão “reverte a orientação”.
Proposição 6.1. O conjunto das isometrias em R2 com
◦ sendo a concatenação forme um grupo, denotado por
Isom(R2 ).
k = 6, n = 3 (triângulos)k = 4, n = 4 (quadrados), k = 3, n = 6 (hexágonos),
24
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
Note que há uma relação entre uma tesselação e um grupo
que preserve ela. De fato, este tı́po de relação vale em um
contexto mais abrangente.
Quantas tesselações há no plano hiperbólico?
6.2. Transformações de Möbius. Consideramos
C = {z = x + iy : x, y ∈ R}
o corpo dos números complexos. Lembrando que
z = x − iy
é o conjugado complexo de z. Consideramos a norma
√
kzk = zz, onde z = x − iy
é o conjugado complexo de z.
Lembramos
1
1
x = (z + z), y = (z − z).
2
2i
• homotetia
S(z) = µz,
µ∈Z
se kµk = 1, então µ = eiθ e S é rotação por ângulo
θ
• translação
S(z) = z + b
• inversão no cı́rculo unitário e reflexão no eixo real
1
S(z) =
z
Proposição 6.5. A composição de duas transformações
de Möbius é uma transformação de Möbius.
Proof. Se ad − bc 6= 0 e ps − qr 6= 0 e
az + b
pz + q
S(z) =
, T (z) =
cz + d
rz + s
então
a pz+q
rz+s + b
(S ◦ T )(z) = pz+q
c rz+s + d
Definição (transformação linear fracionária). Uma trans(ap + br)z + (aq + bs)
formação linear fracionária é uma aplicação racional com=
.
(cp + dr)z + (cq + ds)
plexa
az + b
Notamos que det A = ad − bc e det B = ps − qr e portanto
S(z) =
,
det(AB) = det A det B 6= 0 e
cz + d
onde a, b, c, d ∈ C e ad − bc 6= 0.
a b
p q
ap + br aq + bs
AB =
=
.
c d
r s
cp + dr cq + ds
• se c 6= 0, então S : C \ {−d/c} → C \ {a/c}
• se c = 0, então S : C → C
• S é holomorfa, i.e., ela é diferenciável em todo
ponto num disco aberto sendo a sua derivada é
ad − bc
S (z) =
(cz + d)2
0
portanto S é analı́tica (há expansão em série de
potências).
• S é conforme, i.e. preserve ângulos
Portanto S ◦ T é transformação de Möbius.
Corolário 6.6. Dado S
az + b
cz + d
uma transformação de Möbius, então S é invertı́vel e sua
inversa é
1
dw − b
S −1 (w) =
.
ad − bc −cw + a
S(z) =
Observamos que se
Definição (Transformação de Möbius). Uma transaz + b
formação de Möbius é uma extensão de uma trans, ad − bc 6= 0
S(z) =
cz + d
formaçõa linear fracionária para C∞ (que continuamos deentão se c 6= 0
notar com o mesmo sı́mbolo S) sendo
bc − da
a
1
S : C∞ → C∞
S(z) =
+
c2 z + d/c
c
definida por
e se c = 0

a
b
 az + b
S(z) = z + .
se z 6= ∞,
def
d
d
S(z) =
d
∞
se z = ∞,
Corolário 6.7. Qualquer transformação de Möbius é uma
concatenação finita de homotetia, translação e inversão.
se c = 0 e

n −d
o
Proposição 6.8. O conjunto das transformações de
az + b


se z 6∈
,∞ ,

Möbius em C∞ com ◦ a concatenação forme um grupo.

cz
+
d
c

def
−d
S(z) = ∞
Uma transformação de Möbius admite infinitas aprese z =
,


c

sentações distintas, pois se w ∈ C tem-se
a


se z = ∞,
c
az + b
waz + wb
S(z) =
=
.
cz + d
wcz + wd
se c 6= 0.
Lema 6.4. S : C∞ → C∞ é bijetora.
Exemplos:
Proposição 6.9. Se uma transformação de Möbius fixa
três ou mais pontos, então ela é a função identidade de
C∞ .
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
25
Proof. Seja S(z) = (az + b)/(cz + d) fixando três ou mais Exercı́cio. Dada uma reta em C, determine o seu grapontos.
diente e sua interseção com os eixos real e imaginário em
Supor c 6= 0 (e ∞ portanto não é ponto fixo). Portanto os termo de α, β, γ.
pontos fixos são três números complexos distintos.
Resposta: gradiente −a/b = <(β)/=(β) , x-intercept −c/a = −γ/2<(β) ,
Se w é ponto fixo de S, então S(w) = w e portanto
y-intercept −c/b = γ/2=(β)
Dado um cı́rculo em C, determine o seu centro e raio em
aw + b
w=
termo de α, β, γ.
s
cw + d
r
γ
kβk2
γ
=
− .
Resposta: centro z0 = −β/α , raio r = kz0 k2 −
portanto
α
α2
α
cw2 + (d − a)w + b = 0.
6.3.3. Linhas retas no modelo do semi-plano de Poincaré:
Como esta equação há no máximo duas raı́zes distintas, Proposição 6.12. Se A é ou um cı́rculo o reta em C
estamos numa contradição.
satisfazendo a equação
No caso c = 0, tem-se
zz + βz + βz + γ = 0,
az + b
.
S(z) =
onde β ∈ R, então A é ou um cı́rculo com centro no eixo
d
real ou uma linha reta vertical.
Portanto w = ∞ é ponto fixo e os outros são números
Proposição 6.13. Transformações de Möbius aplicam
complexos satisfazendo
cı́rculos em cı́rculos.
dw = aw + b
Proof. Como o que foi visto acima, basta ainda mostrar
e portanto d = a e b = 0, portanto S(z) = z.
que a inversão S(z) = 1/z transforma cı́rculos em cı́rculos.
Seja
Corolário 6.10. Se duas transformações de Möbius asσ(z) = αzz + βz + βz + γ = 0,
sumem os mesmos valores em três pontos distintos, então
onde α, γ ∈ R e β ∈ C, a equação de um cı́rculo A.
eles coincidem em todos os pontos.
Sendo w = σ(z) ∈ f (A). Assim, como w = 1/z se e
6.3. Cı́rculos e (linhas) retas.
somente z = 1/w e como 1/w = 1/w, tem-se
6.3.1. Retas em R2 : A equação de uma reta em R2 é
1 1
1
1
+ β + β + γ = α + βw + βw + γww,
ww
w
w
que é uma equação de um cı́rculo.
0=α
ax + by + c = 0.
Portanto
6.4. Razões cruzadas e Möbius.
1
1
a (z + z) + b (z − z) + c = 0
2
2i
Definição (Transformação Razão Cruzada). A transformação razão cruzada determinada por três pontos
distintos v, z1 , z2 ∈ C∞ é atransformação de Möbius
R : C∞ → C∞ tal que
ou
1
1
(a − ib)z + (a + ib)z + c = 0.
2
2
Sendo β = (a − ib)/2 tem-se
R(v) = 1,
βz + βz + c = 0.
Usamos a notação
R(z1 ) = 0,
R(z2 ) = ∞.
6.3.2. Cı́rculos em R : A equação de um cı́rculo em R é
R(z) = (z; v; z1 ; z2 ).
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r2 = 0.
Pela unicidade da “representação” de uma transformação
de Möbius tem-se
• se v, z1 , z2 ∈ C
z − z1 v − z2
R(z) = (z; v; z1 ; z2 ) =
z − z2 v − z1
• se v = ∞, z1 , z2 ∈ C
z − z1
R(z) = (z; v; z1 ; z2 ) =
z − z2
• se v ∈ C, z1 = ∞, z2 ∈ C
v − z2
R(z) = (z; v; z1 ; z2 ) =
z − z2
• se v, z1 ∈ C, z2 = ∞
z − z1
R(z) = (z; v; z1 ; z2 ) =
v − z1
Exercı́cio. Calcular S tal que S(−1) = 1, S(i) =
0, S(−i) = ∞
z − i −1 + i
z−i
S(z) = (z; −1; i; −i) =
=
z + i −1 − i
iz − 1
2
2
Sendo z = x + iy e z0 = x0 + iy0 tem-se
kz − z0 k2 −r2 = 0,
onde consideramos a norma
kwk=
√
ww.
Tem-se
ou
(z − z0 )(z − z0 ) = r2
zz − z0 z − z0 z + z0 z0 − r2 = 0.
Sendo β = −z0 e γ = z0 z0 − r2 = kz0 k2 − r2 tem-se
zz + βz + βz + γ = 0.
Proposição 6.11. Cada reta e cada cı́rculo em C tem a
equação
αzz + βz + βz + γ = 0,
onde α, γ ∈ R e β ∈ C.
26
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
Proposição 6.14. Qualquer transformação de Möbius é Definição (conformal). Uma transformação S : C → C
uma transformação razão cruzada. Mais precisamente, é conformal se preserve ângulos, i.e. se curvas σ1 , σ2
S : C∞ → C∞ é
intersectam em z com ângulo θ = ∠(σ10 (0), σ20 (0)) onde
σ1 (0) = σ2 (0) = z, então o ângulo entre S ◦ σ1 e S ◦ σ2 em
S(z) = (z; v; z1 ; z2 )
S(z) é θ.
onde
Proposição 6.18. A transformação S : C → C
∞
v=S
−1
(1),
z1 = S
−1
(0),
z2 = S
−1
(∞).
def
S(z) =
∞
z−i
iz − 1
Proof. Desde que S é bijetiva, os pontos v, z1 , z2 são
1
bem definidas e distintas, e portanto definem uma trans- transforma da forma bijetiva o cı́rculo S sobre o cı́rculo
−1
formação razão cruzada R. Como R e S assumen valores R∞ . Mais ainda tem-se T = T .
iguais em cada um dos três pontos, segue R = S.
Proof. Escolhendo os pontos −1, i, −i ∈ S2 , a transformação S é a razão cruzada
Proposição 6.15. Sejam z1 , z2 , z3 ∈ C∞ e w1 , w2 , w3 ∈
C∞ três pontos distintos, respectivamente. Então existe S(z) = (z; −1; i; −i)
z−i 1+1
z−i
z − i −1 + i −1 − i
uma e somente uma transformação de Möbius S : C∞ →
·
=
=
=
C∞ tais que
z + i −1 − i −1 − i
z + i 1 + 2i − 1
zi − 1
Como S(−1) = 1, S(i) = 0, S(−i) = ∞ pertencem R∞ ,
S(vi ) = wi , i = 1, 2, 3.
segue S(S1 ) = R∞ . Além disso
−1
Proof. S = R2 ◦ R1 onde
1 −i
1 −i
2 0
AT ◦ AT =
=
i −1
i −1
0 2
R1 = (·; z1 , z2 , z3 ) R2 = (·; w1 , w2 , w3 ).
segue
2z
(T ◦ T )(z) =
=z
2
Proposição 6.16. Um cı́rculo σ ⊂ C∞ é determinado
e portanto T = T −1 .
por três pontos distintos v, z1 , z2 ∈ C se, e somente se
R(σ) = R∞ .
Proposição 6.19. Uma transformação de Möbius S
preserva R∞ se, e somente se, ela pode ser apresentada
Proof. R(σ) é um cı́rculo contendo os pontos R(v) =
na forma
1, R(z1 ) = 0, R(z2 ) = ∞.
az + b
, a, b, c, d ∈ R.
S(z) =
Exercı́cio. Verifiquamos que os pontos 1, 2 + i, 1 + 2i, i
cz + d
pertencem num cı́rculo:
Proof. ⇒: Se a, b, c, d ∈ R, então R(t) ∈ R para todo
∞
i − (2 + i) 1 − (1 + 2i)
R(i) = (i; 1, 2 + i, 1 + 2i) =
i − (1 + 2i) 1 − (2 + i)
−2
4i
−2i
4i
=
=
=2∈R
=
2
−i − 1 −1 − i
(i + 1)
2i
t ∈ R∞ .
⇐: Suponha que S preserva R∞ . Como S é bijetiva, existem v, z1 , z2 ∈ R∞ tais que S(v) = 1, S(z1 ) = 0, S(z2 ) =
∞ e assim
S(z) = (z; v, z1 , z2 ).
Proposição 6.17 (Möbius preserve razões cruzadas). Como qualquer razão cruzada é uma transformação de
Sejam S : C∞ → C∞ uma transformação de Möbius e Möbius, tem-se
v, z1 , z2 ∈ C∞ três pontos distintos. Então, para qualquer
S(z) =
z ∈ C∞ tem-se
tem que ter os coeficientes reais.
(z; v; z1 , z2 ) = (S(z); S(v); S(z1 ); S(z2 )).
Definição (Transformação de Möbius de D ou Difeomorfismo de Poincaré). Uma transformação de Möbius
Proof. Seja M = R ◦ S −1 onde R = (·; v; z1 ; z2 ).
S : C∞ → C∞ é um transformação de Möbius de D ou
portanto
difeomorfismo de Poincaré se
(M ◦ S)(v) = R(v) = 1
(M ◦ S)(0) = R(z1 ) = 0
S(D) = D,
(M ◦ S)(z2 ) = R(z2 ) = ∞
onde
⇒ M é razão cruzada, e
def
D = {z ∈ C : kzk ≤ 1}.
M = (·; S(v); S(z1 ); S(z2 )).
Observamos:
Por outro lado
• Como uma transformação de Möbius de D S é
(z; v; z1 ; z2 ) = R(z)
biunı́voca, contı́nua e preserva D, segue que S
e S −1 preservam biunı́vocamente o disco unitário
= (M ◦ S)(z)
canônico aberto D e o cı́culo unitário S1 .
= (S(z); S(v); S(z1 ); S(z2 )).
• O conjunto de todos as transformações de Möbius
de D forma um grupo, notamos Mob(D).
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
27
Teorema 6.20. Uma transformação S : C∞ → C∞ é uma
7. O modelo do disco de Poincaré
transformação de Möbius de D se, e somente se, ela pode
7.1. Retas hiperbólicas.
ser apresentada na forma
• disco de Poincaré
z + w0
S(z) = µ
,
onde kµk = 1, kw0 k < 1.
D = {z = x + iy : kzk < 1}.
w0 z + 1
• pontos = pontos em D
Proof. ⇒: Seja S uma transformação de Möbius de D.
• retas = com γ = ∂D a fronteira de D, retas são
Seja T (z) = (z; −1; i; −i).
– diâmetros de γ abertos ou
−1
−1
Tem-se S = T ◦ (T ◦ S ◦ T ) ◦ T .
– arcos abertos de cı́rculos ortogonais com γ, i.e.
−1
T ◦S◦T
preserva R∞ e portanto
intersecções de D com um cı́rculo perpendicuaz + b
lar ao borde de D.
−1
, a, b, c, d ∈ R.
T ◦ S ◦ T (z) =
cz + d
7.2. Axioma de incidência.
Usando T = T −1 , e observando
Definição (Inversão em relação a S1 ). Seja
1 −i
a b
1 −i
def 1
f : C∞ → C∞ , f (z) = .
i −1
c d
i −1
z
−θ
(a + d) + i(b − c) −(c + b) − i(a − d)
Se z = kzke , então tem-se
=
−(c + b) + i(a − d) (a + d) − i(b − c)
1 iθ
e .
f (z) =
kzk
com α = (a + d) + i(b − c) e β = −(c + b) − i(a − d) tem-se
S(z) =
αz + β
.
βz + α
Construção:
u
w=f(v)
⇐: Suponha que
S(z) = µ
z + w0
,
w0 z + 1
onde kµk = 1, kw0 k < 1.
Claro que S é Möbius. Como
v
O
S(0) = kµw0 k = kw0 k < 1,
basta mostrar que S preserva S1 .
Seja z ∈ S1 : kzk2 = kzk2 = zz = 1.
z + w0 z(1 + w0 z) k1 + w0 zk
4(Ovu) ∼ 4Ouw
=
kS(z)k = w0 z + 1 w0 z + 1 = kzk kw0 z + 1k = 1
kvk
1
⇒
=
1
kwk
assim segue o desejado.
como w = λv para algum λ > 0 segue
1
Exercı́cio. Transformação de Möbius de D tais que
= kwk = λkvk
kvk
S(1) = 1 e S(−1) = −1 preserve [−1, 1] ⊂ D.
Como
e portanto λ = 1/kvk2 . Portanto w = f (v).
z + w0
Proposição 7.1. Seja σ ⊂ C∞ um cı́rculo cuja interseção
S(z) = µ
, onde kµk = 1, kw0 k < 1
w0 z + 1
com S1 são pontos distintos z e z . São equivalentes:
1
com S(1) = 1 e S(−1) = −1 segue
(
µ + µw0 = w0 + 1
−µ + µw0 = w0 − 1.
e portanto µ = 1 e w0 = w0 e assim
S(z) =
z + w0
,
w0 z + 1
−1 < w0 < 1.
Assim, S preserva R∞ and D e, portanto, [−1, 1].
De fato
1 − w02
S 0 (z) =
>0
(w0 z + 1)2
e
S([−1, 1]) = [S(−1), S(1)] = [−1, 1]
2
a) Existe v0 ∈ σ e v0 6∈ S1 tal que f (v0 ) ∈ σ;
b) O cı́rculo σ é invariante por f , isto é, f (σ) = σ;
c) o cı́rculo σ interseta S1 ortogonalmente.
Proof. a)⇒b): σ é o único cı́rculo determinado pelos pontos distintos z1 , z2 , f (v0 ). Por outro lado, f (σ) é um
cı́rculo contendo os mesmos pontos:
z1 = f (z1 ),
z2 = f (z2 ),
f (v0 ) ∈ f (σ)
portanto f (σ) = σ.
b)⇒c): Caso σ incida na origem:
∞ = f (0) ∈ σ (pela hipotese, σ é invariante)
⇒ σ = ` ∪ {∞} e σ é diâmetro de D e ortogonal a S
b)⇒c): Caso σ não incida na origem:
σ é cı́rculo euclideano.
por contradição, se não estivesse ortogonal.
28
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
Proof. S preserva S1
o cı́rculo gerador σ da reta hiperbólica ` = hσ é ortogonal
ao S1
def
⇒ τ = S(σ) ⊂ C∞ é um cı́rculo
ortogonal ao S1 (conformidade de S)
como S é invertı́vel e deixa D invariante
contradição com invariancia do raio euclideano
O
S(σ ∩ D) = S(σ) ∩ S(D) = τ ∩ D =: hτ
é uma reta hiperbólica com pontos ideais S(z1 ), S(z2 ). Proposição 7.4. Seja hσ1 reta hiperbólica. Então qualquer outra reta hiperbólica é a imagem de hσ2 por alguma
transformação de Möbius de D.
c)⇒a): Caso σ incida na origem: Exercı́cio
c)⇒a): Caso σ não incida na origem:
σ é cı́rculo euclideano.
....
Proof. Para i = 1, 2 seja ui ∈ hσi e
z − ui
Si (z) =
−ui z + 1
Teorema 7.2. Se v, w ∈ D são dois pontos distintos,
1
⇒
S
(σ)
é
diâmetro
de
D
(S(u
então existe um único cı́rculo σ ⊂ C∞ ortogonal a S que
i
i ) = 0)
Considere
rotação
R
(que
é
transformação
de Möbius de
os contém.
D) tal que R(S1 (σ1 )) = S2 (σ2 ).
Proof. v = λw, λ > 0:
def
v 6= λw, λ > 0:
T = S2−1 ◦ R ◦ S1
v, w ∈ S1 : interseção das tangentes ao cı́rculo em v, w é
faz o desejado
centro do cı́rculo.
w 6∈ S1 :
8. O modelo do semiplano de Poincaré
8.1. Retas hiperbólicas.
• semi-plano complexo
H = {x + iy : y > 0}
• pontos = pontos
• retas são
– semi-retas verticais
– semi-cı́rculos com centro na reta {(x, y) : x ∈
R}
u
O
w
f(w)
⇒ mediatrizes de vw e wf (w) não são paralelas
⇒ intersectam em C
cı́rculo com centro C e raio Cu ∼
= Cw ∼
= Cf (w)
⇒ cı́rculo é único que contém os três pontos
⇒ intersecta S1 ortogonalmente
Assim, mostramos I-I:
I-I Pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer
dois pontos A e B distinctos, que denotamos por
←→
AB.
Proof. sejam v, w ∈ D, considere σ tal que u, w, f (w) ∈ σ Definição (Transformação de Möbius de H). Uma trans⇒ σ é ortogonal
formação de Möbius S : C∞ → C∞ é um transformação
de Möbius de H se
são óbvious os outros:
S(H) = H.
I-II Em qualquer reta ` existem pelo menos dois pontos
Observamos
distintos.
• preserva R∞
I-III Existem três pontos distintos tais que nenhuma reta
• forma um grupo SL(2, R)
contém todos os três.
• If we require the coefficients a, b, c, d of a Mobius transformation to be integers with ad-bc = 1,
7.3. Transporte de retas hiperbólicas.
we obtain the modular group PSL(2,Z), a discrete
Proposição 7.3. Seja ` reta hiperbólica com pontos ideais
subgroup of PSL(2,R) important in the study of
z1 , z2 e seja S transformação de Möbius de D, então S(`)
lattices in the complex plane, elliptic functions and
é reta hiperbólica com pontos ideais S(z1 ), S(z2 ).
elliptic curves. The discrete subgroups of PSL(2,R)
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
29
are known as Fuchsian groups; they are important
in the study of Riemann surfaces.
Exemplo. Consideramos um caminho com pontos finais
−2 + i e 2 + i é 4
(
(2t − 2) + i(1 + t) se 0 ≤ t ≤ 1,
Teorema 8.1. Uma transformação S : C∞ → C∞ é uma
γ(t) =
transformação de Möbius de H se, e somente se, ela pode
(2t − 2) + i(3 − t) se 1 ≤ t ≤ 2.
ser apresentada na forma
Portanto
az + b
(
√
S(z) =
,
onde a, b, c, d ∈ R tais que ad − bc = 1.
|2 + i| = 5 se 0 ≤ t ≤ 1
0
cz + d
√
|γ (t)| =
|2 − i| = 5 se 1 ≤ t ≤ 2
8.2. Distância hiperbólica e geodésicas em H.
e
(
√
Definição (caminho). Um caminho σ é uma função
1 + t = 5 se 0 ≤ t ≤ 1
contı́nua σ : [1, b] → C, [a, b] ⊂ R um intervalo. As vezes
√
=(γ(t)) =
3 − t =2. Length
5 seand
1≤
t ≤ 2 in hyperbolic geometry
distance
entendemos como caminho o conjunto σ([a, b]), asMATH3/4/62051
vezes
se chama σ como definido uma curva parametrizada ou a e portanto
Hence
Z 1 √
Z 2 √
parametrização da curva σ([a, b]).
! 51 √
! 2 5√
1
0
lengthH (γ) =
dt5+
Dizemos que σ é de classe C se σ é diferenciável e σ é
5dt
lengthH (σ) 0= 1 + t
dt 1+ 3 − t dt
contı́nua.
1
+
t
3
−
t
√1
√
0
√ + t)|10 −""1 5 log(3
√
− t)|2""2
= 5 log(1
Chamamos σ(a), σ(b) os pontos finais de σ.
5 log(1 + t)" − 5 log(3 − t)1"
√=
1
√2 ≈ 3.1 0
= 2 5 log
Exemplo. σ1 : [0, 1] → C, σ1 (t) = t + it, e σ2 : [0, 1] → C,
=
2
5
log
2,
σ2 (t) = t2 +it2 são duas parametrizações do segmento reto Notamos que com o caminho do exemplo anterior
which is approximately 3.1.
(euclideano) entre os pontos 0 e 1 + i.
σ(t) = −2 + t(2 − (−2)) + i, t ∈ [0, 1]
Note that the path from −2 + i to 2 + i in the third example has a shorter hyperbolic length
Definição (integral de linha e comprimento de curva).
temos
from −2 + i to 2 + i in the second example. This suggests that the geodesic
Dado um caminho σ : [1, b] → C de classe C 1 e f : than
C →the
R path
|2 −geometry
(−2)| are very diﬀerent to the geodesics we
(the
paths
uma função contı́nua, definimos a integral de linha de f of shortest length)
lengthinHhyperbolic
(σ) =
= 4 > 3.1.
1
are used to in Euclidean geometry.
ao long de σ por
Z
Z b
def
f =
f (σ(t)) |σ 0 (t)| dt.
σ
a
Lembramos que aqui
p
|σ 0 (t)| = (<(σ 0 (t)))2 + (=(σ 0 (t)))2
-2+i
2+i
-2+i
2+i
O comprimento (euclideano) de σ([a, b]) é definido por
Exemplo. Consideramos o caminho entre i e ai. Tem-se
Z
Z b
Figure 2.3.2: The first path has hyperbolic length 4, the second path has hyperbolic
def
|σ 0 (t)| = |a − 1|, =(σ(t)) = 1 + t(a − 1).
length 3.1
length(σ) =
1=
1 |σ 0 (t)| dt
σ
a
Portanto
• Lembramos que se pode mostrar queExercise
essas 2.2
Z 1
|a − 1|
definições não depende da parametrização. Consider the pointslength
(σ)
=
dt
i and ai
where
0 < a < 1.
H
1
+
t(a − 1)
0
• Se pode també definir integrais de linha (e compri(i) Consider the path σ between i and ai that consists of the 1arc of imaginary axis
= log(1 + t(a − 1)) sgn(a − 1)|0
mentos) para curvas com parametrizações que são
between them. Find a parametrisation
of this path.
(
continuous por partes, mas não vamos tratar (nem
1
log a se a ∈ (0, 1)
(ii) Show that
precisar) dessa generalidade.
=
.
log a H (σ)se=alog
> 1/a.
1
length
Definição (comprimento hiperbólico de caminho em H).
Notamos
→ 0. Esse
re-call R ∪ {∞}
(Notice that
as a → 0,que
we length
have that
log →
1/a ∞
→ quando
∞. This a
motivates
why we
H (σ)
Dado um caminho σ : [a, b] → H, o seu comprimento
the circle at
infinity.)
sultado
justifica porque R∞ também é chamado circle at
hiperbólico é a integral de linha da função
infinity.
1
def
§2.4 Hyperbolic distance
f (z) =
=(z)
Definição (distância hiperbólica em H). Sejam z, w ∈ H.
We are nowDefinimos
in a position
to define the
hyperbolic entre
distance
two points in H.
a distância
hiperbólica
z ebetween
w sendo
ao longo de σ
Z
Z b
Definition. d Let
z, z ′ def
∈ H. We define the hyperbolic distance dH (z, z ′por
) between z and z
H (z, w) = inf{lengthH (σ) : σ é caminho contı́nuo
1
|σ 0 (t)|
def
lengthH (σ) =
=
dt. to be
partes com pontos finais z e w}.
σ =(z)
a =(σ(t))
Exemplo. Dado o caminho
dH (z, z ′ ) = inf{lengthH (σ) | σ is a piecewise continuously diﬀerentiable
Um caminho σ com pontos finais z e′ w que realiza o infipath with end-points z and z }.
mum, isto é
σ(t) = a1 + t(a2 − a1 ) + ib, 0 ≤ t ≤ 1
Remark. Thus we consider all
dHpiecewise
(z, w) =continuously
lengthH (σ),diﬀerentiable paths between z and
que parametriza a curva (reta euclideana) ligando os
z ′ , poncalculate the hyperbolic length of each such path, and then take the shortest. Later we
é chamado uma geodésica entre estes pontos.
tos a1 + ib e a2 + ib, como σ 0 (t) = (a2 − a1 ) e =(σ(t))
will=
seeb,that this infimum is achieved by a path (a geodesic), and that this path is unique
tem-se
Vamos mostrar que o infimum na definição é de fato asZ 1
sumido por um (unico!) caminho
(a única geodésica lig|a2 − a1 |
|a2 − a1 |
15
lengthH (σ) =
dt =
.
ando
estes
pontos),
que
é
uma
curva
de classe C 1 .
b
b
0
30
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
Exercı́cio. Mostre que dH define uma métrica em H. Em Seja agora γ(t) = x(t) + iy(t), t ∈ [0, 1], um caminho
particular, mostre que vale a desigualidade triangular
qualquer com pontos finais ia e ib. Então tem-se
Z 1p 0
(x (t))2 + (y 0 (t))2
lengthH (σ) =
dt
dH (z, w) ≤ dH (z, v) + dH (u, w).
y(t)
0
Z 1 0
|y (t)|
Proposição 8.2 (transformação de Möbius preserva a
≥
dt
distância hiperbólica). Sejam S : H → H uma transy(t)
0
Z 1 0
formação de Möbius em H e z, w ∈ H. Então
y (t)
≥
dt
0 y(t)
dH (S(z), S(w)) = dH (z, w).
= log y(t)|10
Proof. Se σ é caminho com pontos finais z, w, então S ◦ σ
b
= log b − log a = log .
é caminho com pontos finais S(z), S(w).
a
Basta mostrar
Portanto, qualquer caminho tem comprimento hiperbólico
pelo menos log b/a, com igualidade se, e somente se,
lengthH (σ) = lengthH (S ◦ σ).
x0 (t) ≡ 0, que acontece somente quando x(t) ≡ const a
linha reta ligando ia a ib.
Se
Para encontrar a distância hiperbólica entre pontos quaisaz + b
quer em H precisamos trabalhar ainda um pouco mais:
S(z) =
,
cz + d
Proposição 8.4. Seja ` ⊂ H uma reta hiperbólica. Então
então
existe S uma transformação de Möbius em H tal que S(`)
é a parte superior do eixos imaginário.
ad − bc
ad − bc
, =(S(z)) =
=(z).
S 0 (z) =
Proof. Seja ` é uma linha reta hiperbólica vertical <(z) ≡
(cz + d)2
|cz + d|2
a, a translação z 7→ z − a é uma transformação de Möbius
em H tal que S(`) é a parte superior do eixos imaginário
Então
<(z) ≡ 0.
Z b
0
Seja ` uma linha hiperbólica sendo um semi-cı́rculo cen|(S ◦ σ) (t)|
lengthH (S ◦ σ) =
dt
trado num ponto no eixo real com pontos finais ζ− , ζ+ ∈ R,
a =(S ◦ σ)(t)
Z b 0
ζ− < ζ+ . Considere a transformação
|S (σ(t))| |σ 0 (t)|
dt
=
z − ζ+
=(S ◦ σ)(t)
.
S(z) =
a
z
− ζ−
Z b
2
ad − bc
|cσ(t)
+
d|
1
Como −ζ− + ζ+ > 0, S é uma transformação de Möbius.
=
|σ 0 (t)|
dt
2
ad − bc =(σ(t))
a |cσ(t) + d|
Como
todos os coeficientes de S são números reais, S é
Z b
|σ 0 (t)|
uma transformação de Möbius em H. Tem-se
dt
=
a =(σ(t))
S(ζ+ ) = 0, S(ζ− ) = ∞,
= lengthH (σ)
portanto S(`) é a parte superior do eixos imaginário. Proposição 8.3. Seja a ≤ b. Então
b
dH (ia, ib) = log .
a
Exercı́cio. Dado uma transformação de Möbius S em H,
az + b
S(z) =
,
cz + d
mostre que para quaisquer z, w ∈ H tem-se
Ainda mais, o caminho σ : [a, b] → H sendo
σ(z) = ai + t(bi − ai),
t ∈ [0, 1]
é o único caminho com estes pontos finais e com comprimento log b/a e qualquer outro caminho com estes pontos
finais tem um comprimento stritamente maior.
Proof. Seja σ(t) = it, t ∈ [a, b] o caminho “reto” com
pontos finais ia e ib. Como |σ 0 (t)| = 1, tem-se
lengthH (σ) =
Z
a
b
1
b
dt = log .
t
a
|S(z) − S(w)| = |z − w| |S 0 (z)|1/2 |S 0 (w)|1/2 ,
onde |z − w| denota a distância euclideana usual e que
|S 0 (z)| =
ad − bc
,
|cz + d|2
=(S(z)) =
(ad − bc)
=(z).
|cz + d|2
Proposição 8.5 (Distância hiperbólica em H). Para
quaisquer par de pontos z, w ∈ H tem-se
cosh dH (z, w) = 1 +
|z − w|2
.
2=(z)=(w)
Proof. Dado pontos z, w ∈ H, denotamos o lado esquerdo
(LE) e o lado direito (LD) da equação acima por
def
LE(z, w) = cosh dH (z, w),
respectivamente.
def
LD(z, w) = 1 +
|z − w|2
,
2=(z)=(w)
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
Como cada transformação S de Möbius é uma isometria,
tem-se
LE(S(z), S(w)) = LE(z, w).
Usando o Exercı́cio anterior tem-se
|S(z) − S(w)|2
LD(S(z), S(w)) = 1 +
2=(S(z))=(S(w))
|z − w|2 |S 0 (z)||S 0 (w)|
= 1 + (ad−bc)
(ad−bc)
|cz+d|2 =(z) |cw+d|2 =(w)
=1+
=1+
ad−bc ad−bc
|cz+d|2 |cw+d|2
(ad−bc)
(ad−bc)
|cz+d|2 =(z) |cw+d|2 =(w)
2
|z − w|2
|z − w|
= LD(z, w).
=(z)=(w)
Seja então ` a reta hiperbólica contendo z e w e S a transformação de Möbius que manda ` para o eixo imaginário.
Sejam S(z) = ia e S(w) = ib, assumindo a < b. Usando o
fato que
b
dH (ia, ib) = log ,
a
e lembrando que cosh t = (et + e−t )/2, tem-se
31
Para definir ângulos em H corretamente, lembramos
primeiro como ângulos estão definidos em R2 .
Definição (ângulo euclideano entre dois vetores). Sejam
(x, y) ∈ R2 um ponto e v = (v1 , v2 ), w = (w1 , w2 ) vetores
no ponto (x, y). Definimos o produto interior h·, ·i entre
v, w por
def
hv, wi(x,y) = v1 w1 + v2 w2
e a norma do vetor v no ponto (x, y) por
q
q
def
kvk(x,y) = hv, vi(x,y) = v12 + v22 .
Com isso definimos o ângulo euclideano θ = ∠(v, w) de
dois vetores v e w em (x, y) por
cos θ =
hv, wi(x,y)
.
kvk(x,y) kwk(x,y)
Exercı́cio. Lembramos a desigualidade de CauchySchwartz
|hv, wi(x,y) ≤ kvk(x,y) kwk(x,y) .
A definição de ângulo em H é similar, mas usa outro produto escalar.
|b − a|2
b
=1+
a
2ab
= LD(S(z), S(w))
Definição (ângulo hiperbólico entre dois vetores em H).
Sejam z ∈ H um ponto e v = (v1 , v2 ), w = (w1 , w2 ) vetores
no ponto z. Definimos o produto interior h·, ·iz no ponto
z entre v, w por
e portanto
1
def
LE(z, w) = LD(z, w).
hv, wiz =
(v w + v2 w2 )
2 1 1
(=(z))
e a norma do vetor v no ponto z por
Exercı́cio. Verifique que um cı́rculo hiperbólico no semiq
p
1
def
plano H é um cı́rculo euclideano cujo centro hiperbólico é
kvkz = hv, viz =
v12 + v22 .
=(z)
diferente do seu centro euclideano. (Dica: Verifique que se
z = x0 + iy0 é o centro e r é o raio do cı́rculo
p hiperbólico, Com isso definimos o ângulo euclideano θ = ∠z de dois
verifique que (x0 , y0 cosh r) é o centro e y0 cosh2 r − 1 é vetores v e w em z por
o raio do cı́rculo euclideano.)
hv, wiz
.
cos θ =
De fato, com z = x0 + iy0 e w = x + iy tem-se
kvk kwk
LE(S(z), S(w)) = cosh log
z
(x0 − x)2 + (y0 − y)2
cosh r = 1 +
2y0 y
que é equivalente ao fato que
(x − x0 )2 + (y − y0 cosh r)2 = y02 (cosh2 r − 1)
que, por sua vez, é a equação depum cı́rculo euclideano
com centro z = x0 + iy0 e raio y0 cosh2 r − 1.
8.3. Ângulos hiperbólicos.
z
Exercı́cio. Verifique que a desigualidade de CauchySchwartz
|hv, wiz ≤ kvkz kwkz
vale igualmente para este produto vetorial e esta norma
em H.
Proposição 8.6. Qualquer transformação de Möbius em
H é conforme.
Proof. Seja S transformação de Möbius em H e escreveDefinição (Ângulos entre retas). Dado dois caminhos mos
σ, γ : [0, 1] → H com ponto incial comum σ(0) = γ(0) = z,
S(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)
chamamos o ângulo entre os vetores tangencias em z o
e consideramos S como transformação de R2 para R2 cuja
ângulo entre σ e γ em z,
matriz das derivadas parciais é
∠(σ 0 (0), γ 0 (0)).
ux (z) uy (z)
DS(z)
=
,
Lembramos:
vx (z) vy (z)
Definição (transformação conformal). Uma transformação S : H → H é conformal se preserve ângulos,
i.e. se curvas σ1 , σ2 intersectam em z com ângulo θ =
∠(σ10 (0), σ20 (0)) onde σ1 (0) = σ2 (0) = z, então o ângulo
entre S ◦ σ1 e S ◦ σ2 em S(z) é θ.
onde ux (z) = ∂u/∂x(z) etc.
Sejam σ1 , σ2 caminhos com ponto inicial comum z =
σ1 (0) = σ2 (0) e vetores tangenciais σ10 (0), σ20 (0). Então
Sσ1 , Sσ2 são caminhos com ponto inicial comum S(z) e
vetores tangenciais DS(z)σ10 (0), DS(z)σ20 (0).
32
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
Sejam v = (v1 , v2 ), w = (w1 , w2 ) vetores em z. Basta Definição (comprimento hiperbólico de caminho em D).
mostrar
Dado um caminho σ : [a, b] → D, o seu comprimento
hiperbólico é a integral de linha da função
hDS(v), DS(w)iS(z)
hv, wiz
=
kDS(v)kS(z) kDS(w)kS(z)
kvkz kwkz
2
def
h(z) =
1
−
|z|2
Usamos
ao longo de σ,
hDS(v), DS(w)iS(z) = hv, DS T DS(w)iS(z)
1
=
hv, DS T DS(w)i.
=(S(z))
def
lengthH (σ) =
Lembrando as equações de Cauchy-Riemann
u x = vy ,
tem-se
Z
a
b
2
|σ 0 (t)| dt.
1 − |σ(t)|2
Definição (distância hiperbólica em D). Sejam z, w ∈ D.
Definimos a distância hiperbólica entre z e w sendo
uy = −vx ,
def
dD (z, w) = inf{lengthD (σ) : σ é caminho contı́nuo por
ux (z) vx (z)
ux (z) uy (z)
T
DS DS =
uy (z) vy (z)
vx (z) vy (z)
2
2
ux (z) + uy (z)
0
=
0
u2x (z) + u2y (z)
partes com pontos finais z e w}.
Um caminho σ com pontos finais z e w que realiza o infimum é chamado uma geodésica entre estes pontos.
= (u2x + u2y )Id
Observamos, para S como acima,
Portanto
dH (S(z), S(w)) = dD (z, w).
hDS(v), DS(w)iS(z) =
e
kDS(v)kS(z) = (
e ai segue
1
(u2 + u2y )hv, wi
=(S(z)) x
1
(u2 + u2y ))1/2 kvk
=(S(z)) x
hDS(v), DS(w)iS(z)
hv, wiz
=
kDS(v)kS(z) kDS(w)kS(z)
kvkz kwkz
Proposição 9.1. Para quaisquer x ∈ [0, 1) tem-se
dD (0, x) = log
1+x
.
1−x
Proof. Sendo σ : [0, x] → D, σ(t) = t, tem-se σ 0 (t) = 1 e
Z x
Z x
1
1
2
dt
=
+
dt
lengthH (σ) =
2
1−t 1+t
0
0 1−t
1+x
= − log(1 − t)|x0 + log(1 + x)|x0 = log
1−x
9. O modelo do disco de Poincaré – de novo
9.1. Distância hiperbólica e geodésicas em D. Lembramos que a transformação de Möbius S : C∞ → C∞
S(z) =
−z + i
−iz + 1
transforma D em H e sua inversa
w−i
S −1 (w) =
iw − 1
Lembrando a definição de razão cruzada tem-se
log
1+x
1 1+x
0P xP
= log
= |log
·
| = |log(0x, P Q)|
1−x
1−x 1
xQ 0Q
Proposição
transforma H em D.
Se σ : [a, b] → D é caminho em D, então γ = S ◦ σ : [a, b] →
H é caminho em H. O comprimento hiperbólico em H de P
γ é
Z b
Z b
|(S ◦ σ)0 (t)|
|(S 0 (σ(t))||σ 0 (t)|
lengthH (γ) =
dt =
dt.
=(S ◦ σ(t))
a =(S ◦ σ(t))
a
9.2
0
(Distância
x
hiperbólica
em
D).
Q
Usando
S 0 (z) =
−2
,
(−iz + 1)2
segue
lengthH (γ) =
Z
a
b
=(S(z)) =
1 − |z|2
|−iz + 1|2
2
|σ 0 (t)| dt.
1 − |σ(t)|2
Proposição 9.3. No disco de Poincaré há uma tesselação
regular de n-gons regulares todos congruentes tal que em
cada vertex se encontram k deles se, e somente se tem-se
1
1
1
+ < .
n k
2
GEOMETRIA
NÃO EUCLIDIANA
MATH3/4/62051
7. The Gauss-Bonnet Theorem
MATH3/4/62051
Figure 7.3.6: A tessellation of the Poincaré disc with n = 8, k = 4
33
7. The Gauss-Bonnet Theorem
Figure 7.3.8: A tessellation of the Poincaré disc with n = 4, k = 8
Remark. Here is a tiling of the hyperbolic plane that you can scroll around in:
https://www.math.univ-toulouse.fr/ cheritat/AppletsDivers/Escher/index.
You can make your own tilings of the hyperbolic plane here:
http://www.malinc.se/m/ImageTiling.php.
References
[1] P. Andrade - Introdução à Geometria Hiperbólica - O
modelo de Poincaré, SBM.
Remark. The game ‘Bejeweled’ (playable online for free here:
[2] I. Arcari, Um Texto de Geometria Hiperbólica, Dishttp://www.popcap.com/games/bejeweled2/online) works in Euclidean space. The plane
sertação de Mestrado, Instituto de Matemática, Esis tiled by (Euclidean) squares (with, necessarily, 4 squares meeting at each vertex). The
tatı́stica e Computação Cientı́fica da Universidade Estadaim of the game is to swap neighbouring pairs of squares so that three or more tiles of the
ual de Campinas, UNICAMP, 2008.
same colour lie along a geodesic; these tiles then disappear. One could set up the same
game in hyperbolic space: given a hyperbolic tiling, swap neighbouring tiles so that three or
[3] J. L. M. Barbosa, Geometria Euclidiana Plana, Rio
more tiles lie along a common geodesic which, again, then disappear. This is implemented
deprojected
Janeiro:
- Sociedade
detheMatemática
Figure 7.3.9: When
ontoSBM
a (Euclidean)
plane, Brasileira
the surface of
Earth is disin the game ‘Circull’, this was available for iOS here but no longer seems to be available:
(Coleçõ do Professor de Matemática). 1995.
torted
http://itunes.apple.com/gb/app/circull/id392042223?mt=8.
[4] Euclides, Os Elementos.
Other online games that take place in hyperbolic geometry include ‘Hyperbolic Maze’:
M.octahedron,
J. Greenberg,
Euclidean
and Non-euclidean
cube,
dodecahedron
and icosahedron
(corresponding Geometo (n, k) =
http://www.madore.org/ david/math/hyperbolic-maze.html and ‘Hyperrogue’ the tetrahedron,[5]
(3, 3), (4, 3), (3, 4), (5,tries,
3) andN.Y.,
(3, 5), W.H.
respectively).
http://www.roguetemple.com/z/hyper.
Freeman and company,3ed,1993.
[6] Ch. Walkden, Hyperbolic Geometry, Course notes, 2017.
One technical point that we have glossed over is the existence of regular n-gons in
hyperbolic geometry. To see that such polygons exist we quote the following result.
Proposition 7.3.2
Let α1 , . . . , αn be such that
(n − 2)π −
n
!
αk > 0.
k=1
Then there exists a polygon with internal angles αk .
Proof. See Beardon Theorem 7.16.2.
✷
46
48

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