Apresentação do PowerPoint

Disciplina Física III
Selma Rozane
Relatividade – uma área importante da física, cujo
campo de estudo é dedico à medida de acontecimentos
(eventos): onde e quando ocorrem e qual a distância
que os separa no espaço e no tempo. Além disso, a
relatividade tem a ver com a relação entre valores
medidos em referenciais que estejam, se movendo um
em relação ao outro (daí o nome relatividade).
Albert Einstein
(14/03/1887 – 18/04/1955)
• Teoria da Relatividade Restrita (TRR) – 1905
• Teoria da Relatividade Geral (TRG) – 1915/1916
1905 – Ano miraculoso (Annus mirabilis) de Einstein.
•
Em 30/04 submete para publicação sua tese de doutoramento “Uma nova
determinação das dimensões moleculares”.
•
Em 09/06 publica um trabalho sobre o Efeito Fotoelétrico. Nobel de 1921.
•
Em 18/07 publica um trabalho sobre Movimento Browniano.
•
Em 26/09 publica um trabalho sobre a Teoria da Relatividade Restrita.
•
Em 21/11 publica um trabalho que trata da famosa equação 𝐸 = 𝑚𝑐 2 , em sua forma
original, é introduzida em um artigo curto “A inércia de um corpo depende de seu
conteúdo energético?”.
Teoria da Relatividade Restrita
O objetivo da teoria da relatividade é saber como relacionar as observações
feitas em referenciais diferentes.
Na teoria da relatividade restrita estudamos: como dois observadores, em
movimento uniforme um em relação ao outro, descrevem os fenômenos
físicos.
• Os postulados que se baseia a Teoria da Relatividade Restrita de Eintein (1905)
Postulado da Relatividade: As leis da física são as mesmas em todos os
referenciais inerciais. Não existe um referencial absoluto.
Postulado da velocidade da luz: A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo
valor c em todas as direções e em todos os referenciais inerciais.
Ao longo dos anos, este dois postulados vem sendo exaustivamente
testados, e nenhuma exceção até hoje foi descoberta!
A velocidade limite
A existência de um limite para a velocidade dos elétrons foi demostrada em
1964 em um experimento de W. Bertozzi. Ele acelerou elétrons até que
atingissem várias velocidades e ao mesmo tempo, usando um método
diferente independente da medida da velocidade, mediu energia cinética
desses elétrons. O experimento mostrou que, quando um força é aplicada a
um elétron que está se movendo em alta velocidade, a energia cinética
aumenta, mas a velocidade praticamente não varia.
Já se conseguiu acelerar elétrons a uma velocidade 0,999 999 999 95 vezes a
velocidade da luz; embora muito próximo da velocidade limite, ainda é
menos que c!
A velocidade limite foi definida como sendo exatamente:
c = 299 792 458 m/s
Na figura ao lado, os pontos mostram valores
experimentais da energia para diferentes valores
da velocidade. Por maior que seja a energia
fornecida a um elétron (ou qualquer outra
partícula com massa), a velocidade da partícula
jamais atinge ou supera a velocidade limite c.
Referenciais Inerciais
• Definimos um referencial inercial como sendo um sistema de referência
em que vale a Lei da Inércia (1ª. Lei de Newton) – “um corpo sobre o qual
atua uma força externa total nula move-se com velocidade constante”.
• Um referencial acelerado em relação a um referencial inercial não é
inercial
• Todos ao referenciais em movimento relativo uniforme são equivalentes
para a formulação de todas as leis física (1º. Postulado).
Na TRR – usamos um sistema de referência, ou referencial, por exemplo:
 Um sistema de coordenadas para medir
distâncias entre pontos no espaço;
 Um sistema de relógio para medir os
instantes de tempo.
UM EVENTO é algo que acontece; um observador pode
atribuir quatro coordenadas a um evento, três espaciais
(x,y,z) e uma coordenada temporal t.
Exemplos de eventos:
i) O acender de uma lâmpada;
ii) Uma colisão entre duas bolas de bilhar;
iii) Explosão de uma bomba, etc.
 O mesmo evento pode ser registrado
com diferentes coordenadas por um
outro observador em um outro
referencial.
 O evento não faz parte de nenhum
referencial em particular. É apenas
um acontecimento e qualquer um
pode observá-lo e atribuir
coordenadas x,y,z e t para ele.
Como “passar” de um referencial para outro?
A relatividade restrita (especial) – nos responde como dois observadores
em movimento relativo uniforme entre si vão descrever o mesmo evento.
Experimento imaginário
Vamos imaginar um sistema de coordenadas em que o observador está em
repouso como tendo uma grade densa tridimensional (na figura abaixo – no plano)
de réguas cobrindo todo o espaço. Se alguém acender um lâmpada (ponto
vermelho) em um dado ponto do espaço, o observador precisa apenas ler nas
réguas as três coordenadas da localização da lâmpada, e terá (x,y,z).
Vamos imaginar que em cada ponto de interseção da grade de réguas tenha um
relógio e que o observador pode ler a coordenada temporal no relógio que está no
local em que o dado evento acontece.
Os relógios têm que estar
sincronizados!
Comparando: (x,y,z,t) – visto por um observador em S com
(x’,y’,z’,t’) – visto por um observador em S’
Transformação de Galileu (antes de Einstein )
As coordenadas para dois observadores em movimento relativo, de acordo com
Galileu, seguem as relações:
𝑡′ = 𝑡
𝑥 ′ = 𝑥 − 𝑢𝑡
𝑦′ = 𝑦
𝑧′ = 𝑧
Usando essa transformação:
𝑑𝑥 ′ 𝑑𝑥
=
𝑑𝑡 𝑑𝑡
−𝑢
→
(1)
(2)
𝑣′𝑥 = 𝑣𝑥 − 𝑢
Aplicando a equação (2) para a velocidade da luz no vácuo, teríamos
𝑐′ = 𝑐 − 𝑢
contradiz o segundo postulado!
Devemos definir a velocidade
𝑣′
no sistema S’ como:
𝑣′
=
𝑑𝑥 ′
𝑑𝑡 ′
Relatividade da Simultaneidade
Dois observadores em movimento
relativo não concordam, em geral,
quando à simultaneidade de dois
eventos. Se um observador os
considera simultâneos, o outro em
geral conclui que não são
simultâneos.
A simultaneidade não é um
conceito absoluto e sim um
conceito relativo, que depende do
movimento do observador.
Intervalos de tempo entre dois
eventos podem ser diferentes em
sistemas de referência diferentes.
Então, como se comprar intervalos de tempo
em diferentes sistemas de referência?
Fig. Uma experiência imaginária sobre simultaneidade
Relatividade dos Intervalos de Tempo
O intervalo de tempo entre dois
eventos depende da distância entre
os eventos tanto no espaço como no
tempo, ou seja, as separações
espacial e temporal estão
interligadas.
Intervalos de tempo:
∆𝑡0 =
2𝐷
(Mavis) (3)
𝑐
Da figura: 𝐿 =
∆𝑡=
1
2
𝑢∆𝑡
2
2𝐿
(Stanley) (4)
𝑐
+ 𝐷2
Combinando estas equações, temos
∆𝒕 =
∆𝒕𝟎
𝟏−
𝒖 𝟐
𝒄
Fig. (a) Mavis, a bordo do trem, mede o
intervalo de tempo t0 entre os eventos 1 e 2
usando o mesmo relógio C. (b) Stanley, que
se encontra na plataforma da estação quando
os eventos ocorrem, precisa de dois relógios
sincronizados, C1 no local do evento 1 e C2 no
local do evento 2, para medir o intervalo de
tempo entre os dois eventos, t.
(5)
Como a expressão 1 −
𝑢
𝑐
2
é menor do que, ∆𝑡 é maior
do que ∆𝑡0 . Assim, Stanley mede um tempo de ida e
volta mais longo para o pulso de luz do que Mavis.
Dilatação do Tempo
∆𝒕 =
∆𝒕𝟎
𝟏−
𝒖 𝟐
𝒄
(5)
Chamamos de t0 o intervalo de entre os dois eventos, medido por um
observador em repouso no mesmo sistema (sistema de referência em
repouso em relação ao observador). Então, um observador situado em um
segundo sistema de referência que se move com velocidade constante u em
relação a um sistema de referência em repouso medirá um intervalo de
tempo t, dado pela equação (5).
Lembrando que nenhum observador pode se deslocar com 𝒖 = 𝒄, e como a
equação (5) fornece valores reais apenas quando 𝒖 < 𝒄 . O denominador é
sempre menor do que 1, de modo que t é sempre maior que t0. Chamamos
esse efeito de dilatação do tempo.
Resumindo: todo observador que se desloca em relação a um relógio mede
um tempo mais logo do que o tempo medido com este relógio.
Os parâmetros  e 
Definindo 𝛽 = 𝑢𝑐 e 𝛾 =
1
1− 𝛽 2
podemos expressar
a relação que dá a dilatação do tempo por:
∆𝑡 = 𝛾∆𝑡0
(dilatação do tempo) (6)
Quando 𝑢 ≪ 𝑐  𝛽 2 ≪ 1  𝛾 ≅ 1. Neste limite,
temos ∆𝑡 = ∆𝑡0 , correspondente ao mesmo
intervalo de tempo em todos os sistemas de
referência.
Fig. A grandeza  em função de 
Se a velocidade relativa 𝑢 for grande o suficiente para que 𝛾 seja significativamente
maior que 1, diz-se que a velocidade é relativística; se a diferença entre 𝛾 e 1 é
desprezível, a velocidade é dita não-relativística.
Exemplos: 𝑢 = 0,200𝑐 = 6,0 × 107 𝑚/𝑠 → 𝛾 = 1,02 (velocidade relativística)
𝑢 = 0,000200𝑐 = 6,0 × 104 𝑚/𝑠 → 𝛾 = 1,00000002 (velocidade não − relativística)
Tempo próprio: expressão usada para descrever um intervalo de tempo ∆𝑡0
entre dois eventos que ocorrem no mesmo ponto.
O paradoxo dos gêmeos
Lembrando: ∆𝒕 =
∆𝒕𝟎
𝟏−
𝒖 𝟐
𝒄
(5) ou ∆𝑡 = 𝛾∆𝑡0 (6)
Dois gêmeos (A e B) fazem a seguinte experiência: Um deles (B) parte da Terra numa
astronave, com destino a uma Estrela distante (-Centauri), enquanto o outro (A)
permanece na Terra. Ao retornar, B encontra-se com A e observa que este está
alguns anos mais velho do que ele. Como se explica isso no contexto da TRR?
Solução: Desprezando o movimento da Terra em
torno do Sol e a Terra e -Centauri, fixas em S. Do
ponto de vista de A, seu irmão B viaja por um tempo
de t= L0/u = 5 anos até a Estrela e um tempo igual
De volta; portanto A envelheceu 10 anos entre a
partida e o retorno de B.
Para B, o tempo de viajem é o tempo que ele observa em seu relógio, portanto, é o
tempo próprio ∆𝑡0=∆𝑡/ 𝛾 = 3 anos, e tempo igual para a volta. Portanto, envelheceu
6 anos. No fim da experiência B está 4 anos mais novo do que A.
O aparente paradoxo está no fato de que o gêmeo B pode alegar que o referencial S’
da astronave ficou parado enquanto o referencial S foi e voltou, porque na TRR só
importa movimentos relativos. Nesse caso, A é quem estaria 4 anos mais novo do
que B e teríamos um paradoxo na teoria.
Relatividade do Comprimento
Experiência imaginária: Em uma das
extremidades de uma régua, colocamos
uma fonte de luz, e na outra extremidade
um espelho. A régua está em repouso no
Sistema S’, no qual seu comprimento é
L0 . Portanto, o tempo próprio é:
∆𝑡0 =
2𝐿0
𝑐
(7)
No sistema S, a distância total d entre a
fonte e o espelho é dado por:
𝑑 = 𝐿 + 𝑢∆𝑡1
(8)
O pulso de luz se desloca com velocidade c; portanto, também é verdade que
𝑑 = 𝑐∆𝑡1
De (8) e (9), temos: 𝑐∆𝑡1 = 𝐿 + 𝑢∆𝑡1
(9)
𝐿
→
∆𝑡1 = 𝑐−𝑢
(10)
Por outro lado, o intervalo de tempo ∆𝑡2 que a luz leva para voltar do espelho até o
ponto de partida é
𝐿
∆𝑡2 = 𝑐+𝑢
(11)
O intervalo de tempo total ∆𝑡 = ∆𝑡1 + ∆𝑡2 que o pulso de luz leva para ir da
fonte até o espelho e voltar ao ponto inicial é:
𝐿
𝐿
∆𝑡 = 𝑐−𝑢 + 𝑐+𝑢 =
Lembrando de: ∆𝑡 = 𝛾∆𝑡0
(6)
; ∆𝑡0 =
∆𝑡 1 −
2𝐿
𝑢2
2𝐿0
(7)
𝑐
𝑢
𝑐
2
(12)
𝑐 1− 2
𝑐
=
1
e 𝛾=
2𝐿0
𝑐
1−
𝑢 2
𝑐
, temos
(13)
Por fim, combinando (12) e (13) para eliminar ∆𝑡, obtemos
𝑳 = 𝑳𝟎 𝟏 −
𝒖
𝒄
𝟐
=
𝑳𝟎
𝜸
(contração do comprimento) (14)
Como  > 1, o comprimento L medido em S, o sistema no qual a régua se move, é
menor do que o comprimento 𝐿0 medido no sistema de repouso S’.
As Transformações de Lorentz
Na mecânica de Newton, a transformação de Galileu e o princípio de relatividade de
Galileu são coerentes. Isto é, se aplicarmos a transformação de Galileu a uma das
equações da mecânica clássica, a equação preserva sua forma e é, portanto, válida no
novo referencial. Quando porém, juntamos a esse conjunto de leis a teoria
eletromagnética de Maxwell, perdemos a consistência - as equações de Maxwell não
são invariantes para uma transformação de Galileu. Diferentes caminhos poderiam
ser procurados para evitar esse conflito:
(a) Modificar as equações de Maxwell para ficarem invariantes à transf. Galileu;
(b) Admitir que o princípio da relatividade se aplica somente à mecânica clássica;
(c) Substituir a transf. Galileu por outra transformação que preserve a invariância
das equações de Maxwell numa mudança de referencial inercial.
A opção (c) foi a escolhida por Einstein. A nova transformação preserva a teoria
eletromagnética de Maxwell, generaliza o princípio da relatividade para todas as
equações da física e substitui a transf. Galileu. A substituição da transf. Galileu
exigirá uma modificação da mecânica de Newton, que passará a ser uma
aproximação da nova mecânica para pequenas velocidades.
É possível mostrar que as equações de Maxwell são invariantes à transf. Lorentz e
essa é a transformação que deve ser utilizar para passar de um referencial inercial a
outro.
As Transformações de Lorentz
(1853-1928)
As transformações de Lorentz relaciona as coordenadas e o
tempo de um evento que ocorre em um sistema de referência
inercial S com o tempo e as coordenadas do mesmo evento
medidas por um observador em um segundo sistema de
referência inercial S’ que se desloca com velocidade relativa
constante 𝑢 em relação ao sistema S. Para o movimento em
uma dimensão, as relações são:
𝑥′ =
𝑥−𝑢𝑡
𝑢2
1− 2
𝑐
= 𝛾 𝑥 − 𝑢𝑡
𝑦′ = 𝑦
′
𝑡 =
𝑧′ = 𝑧
𝑡−𝑢𝑥 𝑐 2
𝑢2
1− 2
𝑐
(15) (Transformações de Lorentz para as coordenadas)
= 𝛾 𝑡 − 𝑢𝑥 𝑐 2
𝑣𝑥′ =
𝑣𝑥 −𝑢
1−𝑢𝑣𝑥 𝑐 2
(16)
(Transformações de Lorentz para velocidade)
O espaço e o tempo estão interligados; não podemos mais dizer que o espaço e o tempo possuem
significados absolutos independentes do sistema de referência.
Chamamos o conjunto (x,y,z,t) de coordenadas do espaço-tempo de um evento.
𝑢 = 𝑢𝑥
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagnéticas
O efeito Doppler é um fenômeno exibido por todas as ondas quando emitidas por
uma fonte que está em movimento em relação ao observador. Tal efeito foi descrito
teoricamente, pela primeira vez, por Johann Christian Andreas Doppler em 1852.
Um exemplo típico, do efeito Doppler, é o da sirene da ambulância: o som que se
ouve quando está longe e perto do receptor é diferente. Neste caso, a onda (sonora)
se propaga num meio.
Esse fenômeno também pode ser observado em ondas eletromagnéticas, que não
precisam de um meio para se propagarem. As ondas eletromagnéticas se propagam
com velocidade da luz e, portanto, temos que levar em conta os efeitos relativísticos.
Considerando 𝑓 a frequência da onda eletromagnética registrada pelo observador, 𝑓0 a
frequência emitida pela fonte, e 𝑢 a velocidade relativa entre observador e fonte, as
equações para o Efeito Doppler têm as seguintes formas:
𝑓 = 𝑓0
𝑓 = 𝑓0
𝑐+𝑢
𝑐−𝑢
= 𝑓0
𝑐−𝑢
𝑐+𝑢
= 𝑓0
1+𝛽
1−𝛽
1−𝛽
1+𝛽
(17) (fonte e observador se aproximando : 𝑓 > 𝑓0 )
(18)
(fonte e observador se afastando: 𝑓 < 𝑓0 )
𝑓 = 𝑓0
𝑐+𝑢
𝑐−𝑢
𝑓 = 𝑓0
= 𝑓0
𝑐−𝑢
𝑐+𝑢
1+𝛽
1−𝛽
= 𝑓0
1−𝛽
1+𝛽
(fonte e observador se aproximando : 𝑓 > 𝑓0 )
(fonte e observador se afastando: 𝑓 < 𝑓0 )
O efeito Doppler das ondas eletromagnéticas, permite a medir a velocidade de objetos através da
reflexão de ondas emitidas pelo próprio equipamento de medição, que podem ser radares,
baseados em radiofrequência, ou lasers, que utilizam frequências luminosas. Basicamente um
radar detecta a posição e velocidade de um objeto emitindo uma onda na direção do objeto e,
analisando o eco recebido de volta. Medindo a frequência do eco e comparando a com a frequência
da onda emitida, é possível determinar a velocidade do objeto e se ele se aproxima ou se afasta do
radar. Exemplos: medição de velocidade de automóveis, aviões, bolas de tênis etc.
Em astronomia, o efeito Doppler permite a medição da velocidade relativa das estrelas e outros
objetos celestes em relação à Terra. Medidas que permitiram aos astrônomos concluir que o
universo está em expansão, efeito conhecido como “deslocamento para o vermelho” (“red shift”). A
observação de que as frequências de luz chegando de todas as galáxias distantes estão deslocadas
para frequências menores, que indica o afastamento destas galáxias da Terra. Foi percebido que
quanto maior a distância desses objetos, maior o desvio para o vermelho observado (lei de
Hubble), indicando assim a maior velocidade de afastamento. Este fato apoia a teoria de que há
muito tempo atrás toda matéria do Universo era concentrada em um só ponto do espaço, e que o
Universo de hoje foi criado pela explosão gigantesca que aconteceu neste ponto (teoria do “Big
Bang”).
Fonte: slide - F428_Aula06_1S2014 - UNICAMP
Momento Linear Relativístico
Vimos em Física I que na Mecânica Newtoniana,
𝐹=0
𝑛
𝐹=
𝑑𝑝
, onde o momento linear é:
𝑑𝑡
𝑝 = constante
𝑝 = 𝑚𝑣
(19)
Qual o análogo do momento linear, na dinâmica relativística? Para que se
tenha as seguintes propriedades:
1. O momento relativístico deve ser conservado em sistemas isolados, assim
como na Mecânica Newtoniana .
2. A expressão obtida deve ser reduzida à forma newtoniana no limite 𝛽 → 0.
Não é nosso objetivo aqui deduzir a generalização relativística correta do momento
linear; porém, a seguir apresentaremos o resultado dessa dedução. Suponha que, ao
medirmos a massa de uma partícula quando ela está em repouso em relação a nós,
achamos um valor 𝒎; geralmente chamamos de massa de repouso.
𝑚𝑟𝑒𝑙 =
𝑚
𝑣2
1− 2
𝑐
(massa relativística)
Considerando partícula material toda partícula com massa de repouso
diferente de zero, quando essa partícula possui velocidade 𝑣 , seu
momento linear relativístico 𝑝 é dado por:
𝑝=
𝑚𝑣
𝑣2
1− 2
𝑐
= 𝛾𝑚𝑣
(20)
Generalização relativística da Segunda Lei de
Newton
𝑑
𝐹 = 𝑑𝑡
𝑚𝑣
𝑣2
1− 2
𝑐
(21)
Como o momento linear não é mais diretamente proporcional à velocidade, a taxa
de variação do momento linear não é mais diretamente proporcional à aceleração.
Desse modo, uma força constante não produz uma aceleração constante .
Quando a força resultante e a velocidade estão ambas situadas ao longo do
eixo Ox, da equação (21), temos:
𝐹=
𝑚
3/2
𝑣2
1− 2
𝑐
𝑎 = 𝛾 3 𝑚𝑎
𝑎=
Portanto,
𝐹
𝑚
(22) (válida para 𝐹 𝑒 𝑣 ao longo da mesma linha)
𝑣2
𝑐2
1−
3/2
1 𝐹
= 𝛾3 𝑚
(23)
Quando a força resultante e a velocidade são perpendiculares, temos:
𝐹=
Portanto,
𝑚
1/2
𝑣2
1− 2
𝑐
𝑎 = 𝛾𝑚𝑎
𝐹
(válida para 𝐹 𝑒 𝑣 perpendiculares) (23)
2
𝑎 = 𝑚 1 − 𝑣𝑐2
1/2
1𝐹
= 𝛾𝑚
(24)
Trabalho e Energia na Relatividade
Quando a força resultante e o deslocamento estão na mesma direção, o trabalho realizado por essa
força é dado por:
𝑊=
(25)
𝐹 𝑥 𝑑𝑥
Substituindo (22) em (25) , obtemos a relação realística da segunda lei de Newton. Então, para
deslocar uma partícula com massa de repouso 𝑚 de um ponto 𝑥1 até um ponto 𝑥2 , o trabalho
realizado é dado por:
𝑥2
𝐹𝑑𝑥
𝑥1
𝑊=
=
𝑥2
𝑥1
𝑚𝑎
3/2
𝑣2
1− 2
𝑐
𝑑𝑥
(26)
Vamos passar de uma integral em 𝑑𝑥 para uma integral em 𝑑𝑣, usando:
𝑎𝑑𝑥 =
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑑𝑥
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
= 𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑥
(27)
Substituindo (27) em (26), obtemos
𝐾=𝑊=
𝑣
0
𝑚𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑥
3/2
𝑣 2
1− 𝑥2
𝑐
(28)
Integrando a expressão (28), obtemos (energia cinética relativística)
𝐾=
𝑚𝑐 2
1/2
𝑣2
1− 2
𝑐
− 𝑚𝑐 2 →
𝐾 =  − 1 𝑚𝑐 2
(29)
À medida que 𝑣 se aproxima de 𝑐, a energia
cinética se aproxima do infinito. Se a
expressão (28) estiver correta, ela deve atingir
1
𝐾 = 2 𝑚𝑣 2 , quando 𝑣 << 𝑐.
Usando a série binomial:
(1 + 𝑥)𝑛 = 1 + 𝑛𝑥 + 𝑛 𝑛 − 1
𝑥2
2
+⋯
(30)
2
Para o caso em questão, 𝑛 = −12 e 𝑥 = −𝑣𝑐2 , logo
𝑣2
𝛾 = 1− 2
𝑐
−1/2
1 𝑣2 3 𝑣4
=1+
+
+⋯
2 𝑐2 8 𝑐4
Combinando a relação com 𝐾 =  − 1 𝑚𝑐 2, temos
𝐾 = 1+
1 𝑣2
2 𝑐2
3 𝑣4
+ 8 𝑐4
+⋯
𝑚𝑐
2
→
𝑲=
𝟏
𝒎𝒗𝟐
𝟐
+
𝟑 𝒎𝒗𝟒
𝟖 𝒄𝟐
+⋯
(31)
Quando 𝑣 é muito menor do que 𝑐, todos os termos da série anterior são desprezível
com exceção do primeiro termos.
Energia Total de uma Partícula
(32)
𝐸 = 𝐾 + 𝑚𝑐 2 = 𝛾𝑚𝑐 2
Para uma partícula em repouso (𝐾 = 0), temos 𝐸 = 𝑚𝑐 2 . A energia 𝑚𝑐 2 associada à massa de
repouso 𝑚 da partícula é chamada de energia de repouso da partícula.
Historicamente, o princípio da conservação da energia e o princípio de conservação de
massa foram desenvolvidos de modo independentes. A teoria da relatividade mostra que
esses dois princípios são na verdade casos particulares de um princípio de conservação
mais geral, o princípio da conservação de massa-energia.
Relação entre energia total (𝐸) e o momento linear (𝑝):
𝐸 2
𝑚𝑐 2
=
1
𝑣2
1− 2
𝑐
𝑝 2
𝑚𝑐
e
𝑣2
=
𝑐2
𝑣2
1− 2
𝑐
(33)
Subtraindo membro a membro dessas duas relações, obtemos
𝑬𝟐 = 𝒎𝒄𝟐
𝟐
+ 𝒑𝒄
(34)
𝟐
Para uma partícula em repouso (𝑝 = 0), obtemos (𝐸 = 𝑚𝑐 2 ). A equação (34) também sugere
que uma partícula pode ter energia e momento linear mesmo quando ela não possui massa
de repouso. Em tal caso, 𝑚 = 0;
𝐸 = 𝑝𝑐
(35).
Partículas com massa de repouso igual a zero existe. Um exemplo é o fóton!
Referencias:
1. YOUNG H e FREEDMAN R, Física IV - Sears e Zemansky, Ed. Pearson / A.W.;
2. HALLIDAY D, RESNICK R e WALKER J, Fundamentos de Física. Vol. 4. Ed. L.T.C.;
3. Aulas da Disciplina Física Geral IV (F428) - Unicamp;
4. Material didático da UFS/UAB. Física C, aula 7.