Pesquisa operacional e aplicações

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Pesquisa operacional e aplicações
Cristiano Arbex Valle
8 de abril de 2016
1
Introdução
2
Exemplo
3
Sub-áreas da Pesquisa Operacional
4
Aplicação em finanças
Cristiano Arbex Valle
Pesquisa operacional e aplicações
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Introdução
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Exemplo
3
Sub-áreas da Pesquisa Operacional
4
Aplicação em finanças
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Introdução
Pesquisa operacional (PO): É a representação de problemas reais
através de modelos matemáticos em conjunto com o uso de
métodos quantitativos (algoritmos) para resolve-los, com a
intenção de auxiliar o processo de tomada de decisões.
É uma área multidisciplinar, profissionais e pesquisadores na área
normalmente são:
Matemáticos
Cientistas da computação
Estatı́sticos
Engenheiros
Economistas
...
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Introdução
É (grande) parte da matemática aplicada.
Exemplos:
Definição de escalas de pilotos, tripulação
Gerenciamento de minas, desde a extração do minério até a
exportação
Tabela do Campeonato Brasileiro
Onde construir uma delegacia, ou um quartel do corpo de
bombeiros
Definição das rotas dos caminhões de lixo
Tratamento de câncer com quimioterapia / radioterapia
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Introdução
É (grande) parte da matemática aplicada.
Exemplos:
Definição de escalas de pilotos, tripulação
Gerenciamento de minas, desde a extração do minério até a
exportação
Tabela do Campeonato Brasileiro
Onde construir uma delegacia, ou um quartel do corpo de
bombeiros
Definição das rotas dos caminhões de lixo
Tratamento de câncer com quimioterapia / radioterapia
Otimização: em problemas onde existem inúmeras soluções
possı́veis, encontrar a melhor dentre elas.
A solução ótima depende do critério de avaliação escolhido e das
caracterı́sticas do problema.
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Introdução
Em inglês: Operational research, Decision science, Management
sciences.
Data science é outro termo que lida com as mesmas questões
que consideramos em PO:
Temos dados, temos decisões a tomar, como podemos analisar os
dados para tomarmos as decisões apropriadas?
PO pode ser considerado um ramo da Data Science.
Na minha visão, PO tem muito a contribuir e fazer uma
diferença real no mundo.
PO pode nos ajudar a tomar decisões melhores e é bem claro que
muitas pessoas e empresas não tomam decisões tão boas assim.
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História
Ainda sem um nome formal, muitos trabalhos em PO foram
desenvolvidos por indivı́duos ao longo do tempo.
Por exemplo, Charles Babbage (inventor do conceito de
computador programável) estudou o custo do transporte e
separação de cartas nos correios da Inglaterra em 1840.
Este estudo contribuiu para transformar os correios no que
conhecemos hoje (envelopes padronizados, selos pré-pagos, etc.).
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História
A formalização do termo Operational Research ocorreu durante a
2a Guerra Mundial.
Durante a guerra, havia escassez de recursos essencias (tropas,
munição, remédios, etc).
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História
A formalização do termo Operational Research ocorreu durante a
2a Guerra Mundial.
Durante a guerra, havia escassez de recursos essencias (tropas,
munição, remédios, etc).
Na Inglaterra, passou-se a estudar métodos matemáticos para
gerenciamento destes recursos.
O termo foi cunhado e definido como “um método cientı́fico para
prover decisões baseadas em critérios quantitativos sobre os
processos operacionais”.
Após o fim da guerra, PO se expandiu e passou a tratar
problemas em diversas outras áreas, além da militar.
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Introdução
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Exemplo
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Sub-áreas da Pesquisa Operacional
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Aplicação em finanças
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Exemplo: O problema da dieta
Em uma cidade pequena com um mercado bem limitado, temos
apenas os seguintes produtos:
Alimento
Preço por porção Proteı́na (g) Vit. A (mg)
Carne de boi
R$3.00
3
60
Soja
R$1.20
1
22
Leite
R$1.50
2
34
Devemos consumir pelo menos 8g de proteı́na por dia e 150mg
de Vitamina A (valores totalmente fictı́cios).
O que comprar (e consumir) de forma que o nosso gasto seja o
mı́nimo possı́vel?
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Exemplo: O problema da dieta
Temos que decidir quantas porções comprar de carne de boi, soja
e leite.
Como ainda não sabemos quantas porções comprar, vamos criar
variáveis B, S e L.
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Exemplo: O problema da dieta
Temos que decidir quantas porções comprar de carne de boi, soja
e leite.
Como ainda não sabemos quantas porções comprar, vamos criar
variáveis B, S e L.
Queremos gastar o mı́nimo possı́vel, por isso gostarı́amos de
valores para as variáveis de forma que o valor da função
3B + 1.2S + 1.5L seja o menor possı́vel.
Temos que garantir que vamos consumir o mı́nimo recomendado
de proteı́na e Vitamina A:
3B + 1S + 2L ≥
8
(Proteı́na)
60B + 22S + 34L ≥ 150 (Vitamina A)
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Exemplo: O problema da dieta
Alimento
Preço por porção Proteı́na (g) Vit. A (mg)
Carne de boi
R$3.00
3
60
Soja
R$1.20
1
22
Leite
R$1.50
2
34
Transformamos um problema da vida real em um modelo
matemático:
Minimize R$3B + R$1.2S + R$1.5L
sujeito a
3B + 1S + 2L
≥8
60B + 22S + 34L ≥150
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(Proteı́na)
(Vitamina A)
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Sub-áreas da Pesquisa Operacional
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Aplicação em finanças
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Sub-áreas
PO é uma área extensa e que possui várias subáreas, algumas
das áreas são mais antigas que a própria PO.
Alguns exemplos:
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Sub-áreas
PO é uma área extensa e que possui várias subáreas, algumas
das áreas são mais antigas que a própria PO.
Alguns exemplos:
Controle de inventário
Também conhecido como controle de estoque
Manter itens em estoques custa caro
Não ter os itens na hora da venda significa perder o cliente
Quando fazer compras para preencher o estoque? Quantos
produtos comprar por vez?
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Sub-áreas
Teoria de Filas
Estudo da formação de filas
O que vale mais a pena?
Mais caixas no supermercado: custo alto, mas filas menores.
Menos caixas: Custo baixo, mas filas maiores.
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Teoria de Filas
Estudo da formação de filas
O que vale mais a pena?
Mais caixas no supermercado: custo alto, mas filas menores.
Menos caixas: Custo baixo, mas filas maiores.
Exemplo de aplicação: Canal de Suez.
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Sub-áreas
Processos de Markov
Estudo de processos estocásticos com certas caracterı́sticas:
Dependem apenas do estado atual e da probabilidade de
mudanças de um estado para o outro.
Muito utilizado, por exemplo, para prever fatias de mercado e
direcionar campanhas de marketing.
Ex.: Divisão de mercado entre Apple x Android x Windows
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Sub-áreas
Processos de Markov
Estudo de processos estocásticos com certas caracterı́sticas:
Dependem apenas do estado atual e da probabilidade de
mudanças de um estado para o outro.
Muito utilizado, por exemplo, para prever fatias de mercado e
direcionar campanhas de marketing.
Ex.: Divisão de mercado entre Apple x Android x Windows
Outras aplicações:
Identificação de mudanças no “humor” do mercado (ex.: crises
como a de 2008)
Reconhecimento automático de voz
É base do algoritmo PageRank do Google, utilizado para definir
quais páginas aparecem primeiro na busca.
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Sub-áreas
Teoria de jogos
Modelos matemáticos que estudam conflito e cooperação entre
tomadores de decisão racionais.
Aplicações em ciência polı́tica, economia, biologia, filosofia, etc.
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Sub-áreas
Teoria de jogos
Modelos matemáticos que estudam conflito e cooperação entre
tomadores de decisão racionais.
Aplicações em ciência polı́tica, economia, biologia, filosofia, etc.
Dilema do prisioneiro: dois prisioneiros, A e B, são interrogados
separadamente, e são dadas a ambos as seguintes opções:
B fica em silêncio
B entrega A
A fica em silêncio 1 ano de prisão para ambos B fica livre, A pega 10 anos
A entrega B
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A fica livre, B pega 10 anos Ambos pegam 5 anos
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Sub-áreas
Programação linear
Modela matematicamente problemas através de equações e
variáveis lineares
Possui um número enorme de aplicações práticas.
Modelos possuem uma função objetivo, variáveis lineares e
restrições.
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Sub-áreas
Programação linear
Modela matematicamente problemas através de equações e
variáveis lineares
Possui um número enorme de aplicações práticas.
Modelos possuem uma função objetivo, variáveis lineares e
restrições.
Exemplo: O problema da dieta
Minimize R$3B + R$1.2S + R$1.5L
sujeito a
3B + 1S + 2L
≥8
60B + 22S + 34L ≥150
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(Proteı́na)
(Vitamina A)
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Sub-áreas
Programação inteira
Semelhante à Prog, Linear, mas algumas (ou todas) variáveis
têm que ser necessariamente inteiras.
Muito mais difı́ceis de resolver, do ponto de vista computacional,
que modelos de Prog. Linear.
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Sub-áreas
Programação inteira
Semelhante à Prog, Linear, mas algumas (ou todas) variáveis
têm que ser necessariamente inteiras.
Muito mais difı́ceis de resolver, do ponto de vista computacional,
que modelos de Prog. Linear.
Modelam inúmeros problemas da vida real:
Onde construir antenas de celulares
Escala de trabalho de pilotos, médicos, etc.
Planejamento de produção de uma fábrica
Menor rota para veı́culos que devem fazer várias entregas
Problemas de otimização combinatória são normalmente
tratados com Prog. Inteira.
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Perspectiva histórica
O problema de seleção de portfolios:
Como distribuir o seu dinheiro em diferentes ações?
Até os anos 50 (no mundo) e até hoje (no Brasil), investidores
analisavam cada ação individualmente para a tomada de decisões.
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Perspectiva histórica
O problema de seleção de portfolios:
Como distribuir o seu dinheiro em diferentes ações?
Até os anos 50 (no mundo) e até hoje (no Brasil), investidores
analisavam cada ação individualmente para a tomada de decisões.
Harry Markowitz observou que esta abordagem é de alto risco
pois não leva em consideração o risco de mercado:
Ex. Algumas ações tendem a se mover em conjunto.
Markowitz propôs um modelo de Prog. Quadrática que minimiza
o risco e que possua retorno esperado desejável.
O risco de um portfolio é definido pela sua volatilidade.
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Perspectiva histórica
Muitos outros modelos já foram propostos desde então (CAPM,
Arbitragem, etc.)
Um problema do modelo de Markowitz:
A volatilidade como medida de risco captura tanto o risco de
queda quanto o risco de alta.
Pesquisadores inventaram novas medidas de risco, como VaR e
CVaR, que tratam apenas do risco de queda.
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Value-at-Risk (VaR)
O VaR depende de como modelamos o retorno esperado de nosso
portfolio:
VaR95 significa dizer que ”com 95% de probabilidade, seu
portfolio não vai gerar um prejuı́zo maior que X”.
O VaR não captura bem casos extremos.
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Conditional Value-at-Risk (CVaR)
o CVaR foi proposto por Rockafeller e Uryasev em 2000 como
alternativa:
É definido como a média ponderada entre o VaR e todas as
perdas que excedem o VaR.
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Minimização de CVaR
O estudo matemático do comportamento do mercado financeiro
se chama Análise Quantitativa ou Quantitative Finance.
Uma vantagem do CVaR:
Existe um modelo de Programação Inteira que minimiza o CVaR:
Ele busca a combinação de ações que possui o menor risco
esperado possı́vel;
Muitos fundos de investimento utilizam modelos como este e o
de Markowitz na prática.
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Pesquisa
Em parceria com cientistas ingleses, estamos trabalhando em um
modelo de seleção de portfolios que busca ser melhor que o
modelo que minimiza o CVaR.
Este modelo é baseado em um conceito chamado dominância
estocástica.
A dominância estocástica tem potencial para não apenas
controlar o risco de queda (como o CVaR) mas também tirar
proveito do potencial de alta (ao contrário do CVaR).
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Pesquisa
A dominância estocástica é uma forma de dizer que uma variável
aleatória é “superior” a outra.
Um portfolio é uma variável aleatória (não sabemos ao certo o
que vai acontecer amanhã).
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Pesquisa
A dominância estocástica é uma forma de dizer que uma variável
aleatória é “superior” a outra.
Um portfolio é uma variável aleatória (não sabemos ao certo o
que vai acontecer amanhã).
Sejam X e Y dois portfolios diferentes (duas variáveis
aleatórias). No gráfico abaixo, X domina Y estocasticamente:
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Pesquisa
Em um modelo que usa dominância estocástica, precisamos
dominar alguma coisa (benchmark).
No mercado financeiro é bem comum escolhermos um ı́ndice
como benchmark.
Ex.: iBovespa, Dow Jones, S&P500, FTSE100, etc.
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Pesquisa
Em um modelo que usa dominância estocástica, precisamos
dominar alguma coisa (benchmark).
No mercado financeiro é bem comum escolhermos um ı́ndice
como benchmark.
Ex.: iBovespa, Dow Jones, S&P500, FTSE100, etc.
Construı́mos um modelo de Prog. Inteira que procura dominar o
ı́ndice escolhido.
Para ser justo, comparamos um portfolio de ações brasileiras
apenas com o ı́ndice iBov.
O modelo permite venda a descoberto (shorting).
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Pesquisa
max V
sujeito a:
P
xiL = 1 + α
i∈N
P
xiS = α
i∈N
ziL + ziS ≤ 1
∀i ∈ N
xiL ≤ (1 + α)ziL
∀i ∈ N
xiS ≤ αziS
∀i ∈ N
V + τ̂s ≤
1
S
P P
j∈Js i∈N
rij (xiL − xiS )
∀Js ⊂ {1, . . . , S}, |Js | = s, s ∈ S
V ∈ R, xiL ≥ 0, xiS ≥ 0 ∀i ∈ N
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Pesquisa - Resultados
Para fazer testes, é necessário desenvolver um ambiente de
simulação (backtesting).
Este ambiente simula o que teria acontecido caso tivéssemos
investido no passado.
Inclui custos de transação e outros detalhes para tornar o
problema realista.
Simulação é outra área da PO:
Muito usada quando o problema é muito difı́cil de ser modelado.
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Resultados, Inglaterra
Valor Ret. anualizado
Máximo
Max dias
Final em excesso (%) drawdown (%) recuperação
FTSE100
0.99
Equal Weights 1.98
-2.10
47.83
1517
5.81
27.62
662
Estratégia 1
3.33
12.14
17.98
446
Estratégia 2
3.00
10.82
13.14
430
Estratégia 3
4.38
15.60
18.09
616
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Resultados, Brasil
Valor Ret. anualizado
Máximo
Max dias
Final em excesso (%) drawdown (%) recuperação
iBovespa
0.71
-16.35
38.40
1029
100/100 s/
1.75
2.38
8.46
454
Long only
1.90
4.22
19.64
399
100/100 c/ 2.33
9.08
10.43
365
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