Análise Matemática II - Instituto Superior de Engenharia de Coimbra

INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE COIMBRA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA
SECÇÃO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA CURRICULAR
DISCIPLINA: ANÁLISE MATEMÁTICA II
➟
1ºAno
CURSO: Engenharia Informática e de Sistemas
DOCENTE: Arménio António da Silva Correia
ANO LECTIVO – 2001/2002
- 2ºSemestre - 3 h Teóricas e 2 h Práticas
1. CÁLCULO DIFERENCIAL EM IRn
1.1. Noções topológicas em IRn
1.1.1. Definições
1.2. Funções de várias variáveis
1.2.1. Definição
1.2.2. Determinação de domínios e sua representação geométrica
1.2.3. Casos particulares de funções com duas variáveis
1.2.3.1. Esboço de planos, esferas, elipsoides, cilindros, cones ,
paraboloides, outros ...
1.2.4. Limites
1.2.4.1. Definição, interpretação geométrica e propriedades
1.2.4.2. Limites Iterados
1.2.4.3. Limites Direccionais
1.2.5. Continuidade
1.2.5.1. Definição e propriedades
1.2.6. Derivadas Parciais
1.2.6.1. Definição. Interpretação geométrica e física
1.2.6.2. Regras de derivação parcial
1.2.6.3. Derivadas parciais de ordem superior à primeira
1.2.6.4. Teorema de Schwartz
1.2.6.5. Equação de Laplace
1.2.7. Acréscimos e Diferenciais
1.2.7.1. Definição. Interpretação geométrica e física
1.2.8. Derivada da Função Composta
1.2.8.1. Definição. Regra da cadeia
1.2.9. Derivada Direccional
1.2.9.1. Definição. Interpretação geométrica e física
1.2.9.2. Gradiente. Definição, propriedades, interpretação
geométrica e física.
1.2.10. Extremos
1.2.10.1.
Definições, propriedades e aplicações
1.2.10.2.
Extremos Simples
1.2.10.3.
Extremos Condicionados
Análise Matemática II
1/4
Eng. Informática e de Sistemas
2. INTEGRAIS MÚLTIPLOS
2.1. Integral Duplo
2.1.1. Definição e propriedades
2.1.2. Sistemas de coordenadas
2.1.2.1. Coordenadas Cartesianas
2.1.2.2. Coordenadas Polares
2.1.2.3. Coordenadas Elípticas
2.1.3. Inversão da ordem de integração
2.1.4. Aplicações do Integral Duplo
2.1.4.1. Áreas
2.1.4.2. Volumes de Sólidos
2.1.4.3. Centro de Massa
2.1.4.4. Momentos de Inércia
2.2. Integral Triplo
2.2.1. Definição e propriedades
2.2.2. Sistemas de coordenadas
2.2.2.1. Coordenadas Cilíndricas
2.2.2.2. Coordenadas Esféricas
2.2.3. Aplicações do Integral Triplo
3. MÉTODOS APROXIMADOS DE RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES
3.1. Método Gráfico
3.2. Métodos Aproximados
3.2.1. Método da Bissecção
3.2.2. Método do Ponto Fixo
3.2.3. Método de Newton Raphson
4. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
4.1. Definição de Polinómio Interpolador
4.2. Interpoladora de Lagrange
4.3. Fórmula de Newton das Diferenças Divididas
4.4. Diferenças Finitas
5. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
5.1. Regra dos Trapézios
5.2. Regra de Simpson
6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS – PROBLEMAS DE VALORES INICIAIS
6.1. Método de Euler
6.2. Método de Runge-Kutta
Análise Matemática II
2/4
Eng. Informática e de Sistemas
RESUMO DO PROGRAMA MÍNIMO
DISCIPLINA: ANÁLISE MATEMÁTICA II
➟
1ºAno
CURSO: Engenharia Informática e de Sistemas
DOCENTE: Arménio António da Silva Correia
ANO LECTIVO – 2001/2002
- 2ºSemestre - 3 h Teóricas e 2 h Práticas
• Cálculo Diferencial em IRn. Funções de várias variáveis: domínio, limites,
continuidade, derivadas parciais, acréscimos e diferenciais, derivada da função
composta, derivada direccional, gradiente e extremos.
• Integrais Múltiplos: integral duplo e triplo. Sistema de coordenadas:
cartesianas, polares, elípticas, cilíndricas e esféricas. Aplicações: cálculo de áreas,
volumes de sólidos, centro de massa e momentos de inércia
• Métodos aproximados de resolução de equações não lineares: método gráfico,
métodos aproximados: bissecção, ponto fixo, Newton Raphson.
• Interpolação polinomial: definição de polinómio interpolador, interpoladora de
Lagrange, fórmula de Newton das diferenças divididas, diferenças finitas.
• Integração numérica: regra dos trapézios e regra de Simpson.
• Equaçóes diferenciais: Método de Euler e de Runge-Kutta.
• Exploração e utilização de software matemático: Derive, Maple, Mathematica,
MatLab e outros; em aulas de laboratório criadas em substituição de algumas
aulas teórico-práticas.
OBJECTIVOS
A disciplina de Análise Matemática II, tem como objectivo principal fornecer aos
alunos conhecimentos de base científica - na área da análise matemática e análise
numérica - indispensáveis em qualquer área da engenharia.
O programa da disciplina está estruturado em duas partes: 1ª parte - Cálculo
Diferencial em IRn e Integrais Múltiplos; 2ª parte - Tópicos de Análise
Numérica/Métodos Numéricos.
Outros objectivos / científico-pedagógicos:
• Aulas de índole teórico/práticas, formatadas segundo princípios inerentes à
elaboração e manipulação de diagramas e algoritmos, redireccionadas para
aplicações práticas.
• Substituição de algumas aulas T e P por aulas Laboratoriais. Exploração de
software matemático aplicado à engenharia. Programação de alto nível.
• A orientação das aulas visa desenvolver o espírito crítico e a imaginação do
aluno na análise do problema, na escolha do método computacional mais
adequado em cada caso, na interpretação e discussão dos resultados.
• Mostrar aos alunos, futuros Eng. Informáticos e de Sistemas, que é impossível
programar correctamente um problema mal formulado, que possua ambiguidade
nos seus termos, ou para o qual não seja possível recolher os dados necessários .
• Desenvolvimento e aperfeiçoamento dos diferentes padrões de raciocino,
abstracção e demonstração.
• Incutir nos alunos, a necessidade de não só fazer mas também saber fazer,
usando para tal a matemática como uma ferramenta - que é necessário saber
usar.
Análise Matemática II
3/4
Eng. Informática e de Sistemas
BIBLIOGRAFIA ADOPTADA
1. Correia, Arménio A. S., Sebenta de Análise Matemática II, ISEC
2. Munem, Foulis, Cálculo, Editora Guanabara.
3. Leithold, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica, Editora Harper & Row do
Brasil.
4. Swokowski, Earl W., Cálculo com Geometria Analítica, McGraw Hill.
5. I.E. Kreyszig. Advanced Engineering Mathematics, 7a. Edic., J. Wiley.
6. Glyn James, Modern Engineering Mathematics, Addison – Wesley.
6. Azenha, Alcina, Elementos de Cálculo diferencial e Integral, McGraw Hill.
7. Grossman, Stanley I., Calculus, Sauders College Publishing.
8. R.V. Churchill. Operational Mathematics, 3a. Edic., McGraw-Hill.
9. Ruggiero, Márcia A. Gomes e Lopes, Vera Lúcia da Rocha, Cálculo Numérico Aspectos teóricos e computacionais, McGraw Hill.
10. Burden, Richard L., J. Douglas, Numerical Analysis, Pws-Kent Publishing
Company.
AVALIAÇÃO
SISTEMA DE AVALIAÇÃO ALTERNATIVO:
1ª Opção: AVALIAÇÃO TRADICIONAL
• Testes – com um peso de 100% - 20 valores
1ª Freq - Teste A
2ª Freq/1ªChamada – Teste A+B ou Teste B
Exame: 2ªChamada e Recurso
2ª Opção: AVALIAÇÃO CONTÍNUA
• Testes – com um peso de 80% - 16 valores
1ª Freq - Teste A
2ª Freq/1ªChamada – Teste A+B ou Teste B
Exame: 2ªChamada e Recurso
• Trabalho(s) – com um peso de 20% - 4 valores
+
: Se a assiduidade ás aulas é superior a 70%, então adicionar á nota
final 0,5 valores.
Coimbra, 18 de Fevereiro de 2002
(Arménio António da Silva Correia)
Análise Matemática II
4/4
Eng. Informática e de Sistemas