AULA Nº. V – QUERO GANHAR NA MEGA SENA Tenho obsessão

AULA Nº. V – QUERO GANHAR NA MEGA SENA
Tenho obsessão por escrever corretamente: o site da Caixa Econômica Federal se refere
à mega-sena, assim com o hífen. O Aurélio Eletrônico (última edição) não se manifesta.
Vou ficar com a grafia da Caixa e “cruzar os dedinhos” para estar correta: mega-sena.
Pois bem, vencido o trauma da grafia correta, tratemos os aspectos matemáticos
envolvidos no jogo.
Ora, qual a situação em que se enquadra o jogo da mega-sena: Permutação, Arranjo ou
Combinação. De cara, podemos descartar as permutações que só se aplicariam se todas
as dezenas de 0 a 60 fossem sorteadas em cada concurso. Por sua vez, os arranjos
também são descartados, pois, a ordem em que os números são extraídos não altera o
resultado do concurso. Então, a mega-sena deverá ser estudada através do uso de uma
combinação. O sorteio da mega-sena serve aqui como recurso didático para mostrar a
forma de se raciocinar, diante de um problema de Análise Combinatória. Qual é então o
nosso problema? Ora, trataremos de determinar quantas opções de jogos diferentes, de 6
números cada um, poderemos realizar com as 60 dezenas da mega-sena.
Poderíamos ir à solução diretamente, como fizemos no nosso site em data anterior.
Entretanto, a solução imediata do problema nos privaria de desenvolver métodos
efetivos para resolver questões de Análise Combinatória e/ou Probabilidades, sem a
necessidade de decorar fórmulas.
Antes de iniciarmos o raciocínio para solução do problema, vamos fixar 2 idéias: a
ordem em que as dezenas são extraídas não alteram o resultado do concurso e, não são
permitidas repetições de números.
Portanto, para a 1ª. bola a ser retirada, existem 60 opções possíveis de resultado.
Extraída a primeira bola, restam 59 no globo, portanto, a extração da 2ª. possui 59
opções diferentes para extração. Assim por diante para a 3ª (58 opções), para a 4ª (57),
para
a 5ª (56) e 6ª (55). Ora, então teremos 60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55 =
36.045.979.200 opções. Ou seja: trinta e seis bilhões, quarenta e cinco milhões,
novecentos e setenta e nove mil e duzentas opções de jogos possíveis. SERÁ QUE É
TUDO ISSO MESMO???.
Observe no exemplo simples abaixo, com 5 letras, combinadas de 2 em 2, que o valor
acima não corresponde à realidade. Lembre-se que estamos tratando de combinações,
portanto, a ordem diversa dos mesmos elementos não caracteriza grupos diferentes.
Vamos desenvolver o exemplo, com as letras A, B, C, D, E. Podemos formar: AB, AC,
AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. Os grupos mostrados constituem as 10 opções
possíveis para combinação de 5 letras, tomadas 2 a 2. Vamos usar o mesmo método
utilizado no raciocínio para a mega-sena e tentar resolver o problema atual. Ora, as
combinações seriam dadas por: 5 para 1ª. letra e 4 para a 2ª. Então, teríamos 5 x 4 = 20
opções e não as 10 mostradas acima. Por que isso ocorre. Ora, ao considerarmos que a
1ª. letra pode receber 5 valores, estes poderão ser A, B, C, D ou E. Digamos que a 1ª
posição seja ocupada pela letra A. A 2ª poderia ser ocupada pela letra B e teríamos o
grupo AB. Agora imagine que a 1ª posição fosse ocupada pela letra B. A 2ª posição
poderia ser ocupada pela outras 4 letras, incluindo a letra A. Ora, o nosso raciocínio está
nos levando a incluir o grupo AB na contagem e também o grupo BA. Ora, pela
definição de Combinações, os grupos AB e BA equivalem à mesma combinação (a
ordem não importa). Aplicando o mesmo raciocínio para todas as outras duplas de
letras, chegaremos à conclusão de que o resultado está multiplicado por 2. Portanto, o
resultado de 5 X 4 = 20, deve ser dividido por 2. Observe que o A(5,2) = 5! / (5 – 2)! =
120 / 6 = 20. E a C(5,2) = 5! / [(5 – 2)! X (2!)] = 120 / [6 X 2] = 10.
Veja o mesmo raciocínio para o caso de 5, tomado 3 a 3 (imagine o exemplo com as 5
letras mostradas no exemplo anterior). A(5,3) = 5! / (5 – 3)! = 120 / 2 = 60. A C(5,3) =
5! / [(5 – 3)! X (3!)] = 120 / [2 X 6] = 120 / 12 = 10.
Resumindo: a diferença entre o número de Arranjos e o de Combinações está na divisão
adicional pelo valor de “n!” nas combinações. Ora, “n” representa o número de
elementos de cada grupo. No caso do arranjo, alterando-se a posição dos elementos no
grupo de “n” elementos, os grupos serão diferentes. Ora, percebe-se facilmente que esse
número de grupos diferentes é dado por Permutação de “n”, ou seja, n!. Logo, nas
Combinações como a ordem não caracteriza grupos diferentes, o número de opções
deve ser dividido por n!.
Aplicando-se esse raciocínio ao caso da mega-sena, o número de opções será dado por:
(60 X 59 X 58 X 57 X 56 X 55) / 6! = 50.063.860.
Ora, o resultado acima pode ser obtido facilmente por C(60,6) = 60! / [(60 – 6)! X (6!)]
= 50.063.860.
Na aula nº. VI iremos analisar as opções de jogos com 7 a 15 palpites, aguardem.
Concluída às 16h03min, do dia 19.01.2012.
Responsável: Sebastião Alves da Silva Filho.