UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS Unidade

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS
Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas
Curso de Licenciatura em Matemática
Probabilidade na Mega-Sena
Samuel Wesley da Silva Morais
ANÁPOLIS
2012
2
Samuel Wesley da Silva Morais
Probabilidade na Mega-Sena
Trabalho de Curso apresentado a Coordenação
Adjunta de TC, como parte dos requisitos para
obtenção do título de Graduado no Curso de
Licenciatura em Matemática da Universidade
Estadual de Goiás sob a orientação do
Professor Msc. Cleber Giugioli Carrasco.
ANÁPOLIS
2012
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4
AGRADECIMENTOS
A Deus, por ter me concedido a realização de mais esta etapa em minha vida, pois
sem Ele nada seria possível.
A minha mãe Ana, minhas irmãs Esther e Suméia, que sempre me incentivaram a
não desistir, e me concederam condições para que eu pudesse concretizar mais esta etapa em
minha carreira estudantil.
Aos meus grandes amigos Marcílio e Vando, que sempre me ajudaram e me
incentivaram a cada dificuldade.
Aos mestres desta instituição, que contribuíram para minha formação profissional,
em especial ao professor Msc. Cleber G. Carrasco, por sua dedicação e paciência, por sempre
ter mostrado comprometimento e auxílio durante sua orientação, muito obrigado.
Enfim, a todos que de forma direta ou indireta contribuíram para a concretização
deste trabalho. A todos um grande abraço.
5
LISTA DE QUADROS
Quadro 4.1: 50 resultados da Mega-Sena ................................................................................ 23
Quadro 4.2: Combinações e probabilidades do jogo com 4 números ...................................... 25
Quadro 4.3: Números que mais foram sorteados entre os concursos 1425 ao 1434................ 26
Quadro 4.4: Representação do sistema de rotação de 7 números. ........................................... 27
Quadro 4.5: Combinação 7 com 6 ........................................................................................... 27
Quadro 4.6: Jogos simples escolhendo 7 números .................................................................. 28
6
LISTAS DE FIGURAS
Figura 2.1: Volante lotérico da Mega-Sena. ............................................................................ 13
Figura 3.1: Ilustração da probabilidade condicional de A dado B. .......................................... 16
Figura 3.2: Diagrama de árvores para o sorteio sem reposição. .............................................. 17
Figura 3.3: Diagrama de árvores para o sorteio com reposição. .............................................. 18
Figura 4.1: Distribuição da soma. ............................................................................................ 24
7
RESUMO
Este trabalho apresenta o cálculo probabilístico de ganhar na Mega-Sena, através do modelo hipergeométrico.
Também são apresentados alguns métodos disponibilizados através da internet, onde seus autores prometem
aumentar a chance de ganhar na Mega-Sena, no entanto, através da teoria da probabilidade, é discutido que tais
métodos não são válidos.
Palavras-chave: Independência de eventos, Loteria, Modelo hipergeométrico.
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 09
2. LOTERIA E MEGA-SENA .............................................................................................. 11
2.1. História da loteria .......................................................................................................... 11
2.2. História da loteria no Brasil .......................................................................................... 11
2.3. Mega-Sena .................................................................................................................... 12
3. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE ........................................................................... 15
3.1. Definição de probabilidade clássica .............................................................................. 15
3.2. Probabilidade condicional e regra do produto .............................................................. 15
3.3. Independência de eventos ............................................................................................. 16
3.4. Análise combinatória .................................................................................................... 18
3.5. Modelo hipergeométrico ............................................................................................... 19
3.6. Probabilidade de ganhar na Mega-Sena ........................................................................ 20
4. MÉTODOS DE COMO JOGAR NA MEGA-SENA...................................................... 22
4.1. Os números mais e menos sorteados............................................................................. 22
4.2. Números vizinhos consecutivos .................................................................................... 22
4.3. O jogo balanceado ......................................................................................................... 24
4.4. Sistema de porcentagem................................................................................................ 25
4.5. Sistema de rotação numérica com 7 números ............................................................... 27
CONCLUSÃO ........................................................................................................................ 29
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 30
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INTRODUÇÃO
O otimismo é uma característica da humanidade em acreditar em várias coisas que
pareçam quase impossíveis. O ditado “sou brasileiro e não desisto nunca”, nos dá a ideia de
que mesmo que algo não seja provável, alguns sempre acreditam. Às vezes nos perguntamos
por que algumas pessoas ganham na loteria, será sorte ou puramente acaso? Segundo Santi e
Kist (2012), sorte é acaso, mas as pessoas podem influenciar esse acaso a seu favor.
Mas será que no caso da loteria, que são jogos de azar, as pessoas podem
influenciar a sorte e ganhar algum prêmio através dessa influência? A partir desse momento a
matemática, especificamente a probabilidade, assume um papel fundamental na vida das
pessoas, que é tentar mostrar que nem sempre buscar a sorte pode influenciar em ganhar ou
não, e ao mesmo tempo, a mesma matemática visa desenvolver o senso crítico da sociedade,
de modo que as pessoas pensem antes de alguma decisão e não sejam enganadas com
promessas falsas. E muitas dessas promessas podem ser encontradas na internet, e devido à
grande facilidade que atualmente a sociedade tem, qualquer pessoa pode acessá-las
livremente.
Existem atualmente diversos materiais em formato digital que se encontram na
internet, que possuem métodos que dizem aumentar as chances do jogador de ganhar na
loteria.
Um
exemplo
de
site
para
se
conseguir
tal
material,
pode
ser:
http://ganharnaloteria.com/, que segundo seus autores, dizem oferecer vários benefícios para
as pessoas que desejam aumentar suas chances de ganhar na loteria federal. Em geral, são
materiais que podem ser baixados sem custo algum e essa facilidade traz certa desconfiança
sobre as promessas destes autores, devido à chance de ganhar algum prêmio na loteria ser
pequena.
Ainda pode-se pensar que, se uma pessoa encontrasse a fórmula para ganhar na
loteria ela não compartilharia esse feito com ninguém. Logo, propõe-se neste trabalho uma
análise probabilística para verificar a veracidade desses materiais disponibilizados na internet,
e que dizem aumentar as chances dos jogadores de ganhar na loteria, em particular na MegaSena.
Este trabalho está dividido em quatro capítulos. O segundo capítulo refere-se à
breve história da loteria no mundo e no Brasil e ao jogo da Mega-Sena. O terceiro capítulo
apresenta a definição clássica de probabilidade, probabilidade condicional e independência de
eventos, análise combinatória, o modelo hipergeométrico e o cálculo da probabilidade de
10
ganhar na Mega-Sena. No último capítulo são apresentados alguns métodos que, segundo seus
autores aumentam a probabilidade de ganhar na Mega-Sena e a análise probabilística desses
métodos, verificando que tais métodos não são válidos.
11
2. LOTERIA E MEGA-SENA
Neste capítulo será apresentada uma breve história da loteria e o jogo da loteria da
Caixa Econômica Federal: Mega-Sena.
2.1. História da loteria
A palavra loteria tem sua origem no vocabulário italiano loteria e significa “ toda
espécie de jogo de azar em que se tiram à sorte, prêmios aos quais correspondem a bilhetes
enumerados”, segundo o dicionário Aurélio.
A maioria das pessoas tem gosto e simpatia por premiações, tanto que as
primeiras formas de sorteios, ainda que primitivas, segundo Monteiro (2007), surgiram há
milhares de anos atrás, entre hebreus, egípcios, hindus, chineses e romanos.
Os primeiros registros de loteria foram nos países baixos em 1291 e na Alemanha
em 1470. Foi em 1538 na França, que o estado francês tomou a iniciativa de promover
concursos em benefício dos cofres públicos. No início do século XX boa parte dos jogos de
azar, incluindo loterias, era ilegal na maioria dos países, incluindo a maior parte da Europa e
dos Estados Unidos; isto permaneceu até depois da Segunda Guerra Mundial.
Somente na década de 1960, cassinos e loterias passaram a aparecer ao redor do
mundo como maneira de governos levantarem fundos adicionais aos obtidos pelos impostos.
Segundo a pesquisa do World Lottery Association, divulgada em 2005 os EUA liderava a
lista de arrecadação das loterias, seguido pela Itália, com a Espanha vindo em terceiro lugar, e
o Brasil figurava apenas na vigésima segunda colocação (MONTEIRO, 2007).
2.2. História da loteria no Brasil
No Brasil, a primeira loteria de que se tem notícia foi realizada em 1784, em Vila
Rica (atual Ouro Preto), antiga capital de Minas Gerais. Com o dinheiro arrecadado foram
construídos os prédios da Câmara dos Vereadores e da cadeia pública. A prática foi adotada
em todo país, sendo que o governo dava concessões para sua exploração, preferencialmente às
Santas Casas, aos orfanatos e aos hospitais para evitar abusos, mas também a alguns
12
particulares. Foi o imperador D. Pedro II quem regulamentou o funcionamento das loterias,
por meio do decreto nº 357, de 27 de Abril de 1844 (APARECIDA, 2007).
Entretanto, somente no século XX é que o sistema lotérico foi aperfeiçoado no
sentido de ser transparente e ter maior credibilidade em todo processo de sorteios. Até a
década de 60 a administração das loterias eram feitas por particulares e somente em 1961 o
então presidente Jânio Quadros, determinou como única competente para regular sobre o
sistema de sorteios, a Caixa Econômica Federal como exploradora exclusiva das loterias.
Jânio ainda proibiu o funcionamento de cassinos, bingos e similares.
Atualmente a Caixa administra 10 jogos de loteria: Mega-Sena, Timemania,
Quina, Lotomania, Dupla-Sena, Federal, Instantânea, Loteca, Lotogol e Lotofácil.
2.3. Mega-Sena
A Mega-Sena surgiu em 1996 e logo se tornou um jogo bastante popular no
Brasil, no qual muitos brasileiros apostam e acreditam que um dia podem ganhar o prêmio
máximo e se tornarem milionários. Ela é o principal jogo da loteria do Brasil, é uma das
modalidades atuais de loterias da Caixa Econômica Federal, tem sorteios ordinários duas
vezes por semana (quartas-feiras e sábados). A Mega-Sena já premiou várias pessoas com
grandes prêmios em dinheiro, e o maior prêmio já pago a um único apostador foi, em
06/10/2010, de R$ 119.142.144,27 (SOBRAL, 2011), o ganhador era da cidade de Fontoura
Xavier no Rio Grande do Sul. O valor atual da aposta mínima é de R$ 2,00, sendo que quanto
maior for a quantidade de números jogados (no máximo 15), maior será o valor da aposta.
No concurso 1405 da Mega-Sena, um casal de Curitiba-PR ganhou R$
27.622.910,73. Segundo a Caixa Econômica Federal (2012), o casal jogou por dois anos os
mesmos números. São fatos como este, que enchem de esperança ainda mais os corações dos
brasileiros sonhadores.
O jogo da Mega-Sena consiste em escolher de 6 a 15 números dentre os 60
números possíveis, ordenados de 01 a 60, no qual o apostador para ganhar o prêmio máximo
(sena), precisa acertar os seis números distintos que são sorteados. A Mega-Sena também
premia o jogador que acertar a quina, ou seja, acertar cinco números dentre os seis números
sorteados, e a quadra, acertar quatro números dentre os seis números sorteados, mas sendo o
prêmio maior para o acertador da sena. O jogador pode marcar de 6 a 15 números dentre os 60
números no volante lotérico (Figura 2.1), ou pode deixar que o sistema escolha os números
13
(surpresinha) e ainda concorrer com o mesmo jogo por 2, 4 ou 8 concursos (teimosinha). Até
17/10/2012 a Mega-Sena estava no concurso 1434.
FIGURA 2.1: Volante lotérico da Mega-Sena.
Do total bruto arrecadado em cada sorteio da Mega-Sena, somente 46% são
repassados para os acertadores da quadra, quina e da sena, da seguinte maneira:

16,10% são distribuídos entre os acertadores dos 6 números sorteados; (sena)

8,74% são distribuídos entre os acertadores de 5 números dentre os 6 sorteados;
(quina)
14

8,74% são distribuídos entre os acertadores de 4 números dentre os 6 sorteados;
(quadra)

10,12% ficam acumulados e distribuídos aos acertadores dos 6 números nos concursos
final 0 ou 5.

2,3% ficam acumulados para a primeira faixa – sena – do último concurso do ano de
final 0 ou 5.
Não havendo acertador em qualquer faixa, o valor acumula para o concurso
seguinte, na respectiva faixa de premiação (CAIXA ECONÔMICA FEDERAL, 2012).
15
3. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
Este capítulo apresenta a definição de probabilidade clássica, probabilidade
condicional, independência de eventos, análise combinatória, modelo hipergeométrico e o
cálculo da probabilidade de ganhar na Mega-Sena.
3.1. Definição de probabilidade clássica
Suponha que um evento A possa ocorrer de n maneiras diferentes, em um total de
m modos possíveis, todos igualmente prováveis. Então, a probabilidade de ocorrência do
evento A (denominado sucesso) é definida por:
( )
(
)
A probabilidade de não ocorrência do evento A (denominado fracasso), ou seja, a
probabilidade complementar do evento A, denotada por Ac é definida por:
( )
( )
logo temos que, ( )
(
)
( ) = 1.
Na definição clássica de probabilidade todos os resultados tem a mesma chance de
ocorrência, isto é, os eventos são considerados equiprováveis, ou seja, quando todos os
elementos do espaço amostral1 tem a mesma chance de ocorrer, e o espaço amostral é finito.
3.2. Probabilidade condicional e regra do produto
Sejam A e B dois eventos associados a um espaço amostral S, com P(B) > 0. A
probabilidade condicional do evento A ocorrer, dado que o evento B ocorreu, denotado por
P(A|B), é definida como (DANTAS, 2000):
( | )
1
(
)
( )
Espaço Amostral: é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório.
(
)
16
A probabilidade condicional de A ocorrer, dado que B ocorreu, pode ser
observada na Figura 3.1 onde, se o evento B ocorrer, então o evento A só pode ocorrer, se
ocorrer a intersecção dos eventos A e B, ou seja, se ocorrer A∩B.
FIGURA 3.1: Ilustração da probabilidade condicional de A dado B.
Uma consequência importante da probabilidade condicional, segundo Meyer
(1982), é obtida isolando P(A∩B) na equação (3.3), conhecida como regra do produto e
definida como:
(
)
( | ) ( )
(
)
3.3. Independência de eventos
Um evento A é dito independente de um evento B, se a probabilidade de A
ocorrer não é influenciada pelo fato de B ter ocorrido ou não (LIPSCHUTZ, 1993), ou seja
P(A|B) = P(A). Dessa forma tem-se que dois eventos A e B são independentes se, e somente
se:
(
)
( ) ( )
(
)
Considere o seguinte exemplo: uma urna contém 5 bolas, sendo 2 brancas (B) e 3
vermelhas (V). Sorteiam-se duas bolas ao acaso sem reposição, e sejam os eventos: “B1: 1ª
bola sorteada é branca” e “B2: 2ª bola sorteada é branca”. As probabilidades desse
experimento estão apresentadas no diagrama de árvores na Figura 3.2, onde se pode observar
que a probabilidade de ser sorteada bola branca no 2º sorteio dado que foi sorteada vermelha
no 1º sorteio é diferente da probabilidade de ser sorteada bola branca no 2º sorteio dado que
foi sorteada bola branca no 1º sorteio. Isto é:
17
P(B2|V1) =
e P(B2|B1) =
(3.6)
logo, existe uma dependência entre os eventos, ou seja, dependendo da cor da bola sorteada
no 1º sorteio, temos uma probabilidade de sortearmos bola branca no 2ª sorteio.
FIGURA 3.2: Diagrama de árvores para o sorteio sem reposição .
Considere agora o mesmo exemplo, mas que o sorteio seja feito com reposição,
ou seja, repondo a bola que foi extraída da urna. Nestas condições, os eventos são
independentes, ou seja, o resultado de cada sorteio não tem influência no resultado do outro.
A Figura 3.3 apresenta o diagrama de árvores para os sorteios com reposição e
suas respectivas probabilidades, onde se observa que a probabilidade de ser sorteada bola
branca no 2º sorteio dado que foi sorteada bola vermelha no 1º sorteio é igual à probabilidade
de ser sorteada bola branca no 2º sorteio dado que foi sorteada bola branca no 1º sorteio, isto
é:
P(B2|V1) =
e P(B2|B1) =
(3.7)
18
logo, não há dependência entre os eventos, ou seja, a probabilidade de ser sorteada bola
branca no 2º sorteio é independente da cor da bola sorteada no 1º sorteio. Neste caso os
eventos são independentes.
FIGURA 3.3: Diagrama de árvores para o sorteio com reposição.
Segundo, Bussab (1987), se o evento A é independente do evento B, então B é
independente de A. A e B são independentes se, e somente se, a equação 3.5 for válida. E
ainda, se A e B não são independentes, diz-se que são dependentes.
3.4. Análise combinatória
A análise combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar o número
de elementos de um conjunto, sendo estes elementos formados sob certas condições
(HAZZAN, 1993).
Considere o conjunto M com m elementos, isto é, M = {a1, a2, ..., am}, chama-se
de combinações dos m elementos, tomados r a r, aos subconjuntos de M constituídos de r
elementos. Uma combinação de m objetos distintos tomados r a r, pode ser dado por:
19
( )
(
(
)
)(
)
(
)
Uma aplicação de combinação simples pode ser calculada para o jogo da MegaSena. A Mega-Sena consiste em uma cartela de 60 números dentre os quais devemos acertar 6
(prêmio principal), portanto temos uma combinação de sessenta números tomados seis a seis,
ou seja temos 50.063.860 de combinações distintas para o jogo da Mega-Sena, que é
calculado por:
(
)
(
)
(
)
Alguns casos particulares da análise combinatória:
1º caso: Quando temos uma combinação em que r = 0:
= 1; pois:
(
)
=
= 1 (o único subconjunto com 0 elemento é o vazio).
2º caso: Quando temos uma combinação em que r = m:
= 1; pois:
(
)
=
=
= 1(o único subconjunto do conjunto m com todos
elementos é ele próprio).
3º caso: Quando temos uma combinação em que m = 0 e r = 0:
= 1; pois:
(
)
= 1 (o único subconjunto do conjunto vazio é o próprio vazio).
3.5. Modelo hipergeométrico
Considere um conjunto de n elementos, dos quais m são do tipo A e n-m do tipo
B. Suponha um sorteio aleatório com r (r < n) elementos sem reposição. A variável aleatória
20
X que conta o número de elementos do tipo A, segue o modelo hipergeométrico se
(MAGALHÃES; LIMA, 2005):
(
)
( )(
)
(
( )
)
(
)
(
)
A esperança e a variância do modelo hipergeométrico são dadas respectivamente
por (MAGALHÃES; LIMA, 2005):
E(X) =
e Var(X) =
(
) (
(
)
(3.11)
)
3.6. Probabilidade de ganhar na Mega-Sena
Considere o jogo simples da Mega-Sena da loteria federal, onde se escolhe
quaisquer 6 números distintos dentre os 60 números do volante lotérico. A probabilidade de
um jogador ganhar na Mega-Sena jogando apenas um jogo simples no volante lotérico
(Figura 2.1), pode ser calculada através do modelo hipergeométrico dado por (3.10), onde
temos que: n = 60, m = 6, n-m = 54 e r = 6, logo:
(
( )( )
)
( )
(
)
Agora se o jogador jogar 7 números distintos no volante lotérico, a probabilidade
de ganhar na Mega-Sena é dada por:
(
)
( )( )
( )
(
)
onde n = 60, m = 7, n-m = 53 e r = 6.
Da mesma maneira, a probabilidade do jogador acertar a quina da Mega-Sena,
jogando apenas 6 números quaisquer, onde temos que n = 60, m = 6, n-m = 54 e r = 6 é dada
por:
21
(
)
( )( )
( )
(
)
De forma análoga, jogando 6 números quaisquer na Mega-Sena, a chance de
acertar a quadra é dada por:
(
)
( )( )
( )
(
)
onde n = 60, m = 6, n-m = 54 e r = 6.
Dessa forma, podemos utilizar o modelo hipergeométrico (3.10) para calcular a
probabilidade de se ganhar na quadra, quina e sena do jogo da Mega-Sena, jogando 6 ou mais
números.
22
4. MÉTODOS DE COMO JOGAR NA MEGA-SENA
Neste capítulo serão apresentados alguns métodos de como jogar na loteria,
exclusivamente na Mega-Sena, por ser o principal jogo da loteria nacional. Apresentaremos
tais métodos e discutiremos sobre cada método.
4.1. Os números mais e menos sorteados
Os sorteios da Mega-Sena acontecem duas vezes por semana atualmente e, dentre
esses sorteios tem-se os números que mais e menos foram sorteados. Até 17/10/2012
(concurso 1434) os 6 números que mais foram sorteados são: 5: 175 vezes; 54: 161 vezes; 33:
160 vezes; 51, 43 e o 53: 159 vezes. E ainda, os 6 números que menos foram sorteados são:
26: 115 vezes; 22: 122 vezes; 9: 126 vezes; 21: 127 vezes; 48 e o 45: 128 vezes.
Alguns apostadores da Mega-Sena pensam que se jogarem os números que mais
foram sorteados, terão maior probabilidade de acerto, pois esses números foram sorteados
com maior frequência, ou ainda, se jogarem em números que menos saíram, aumentarão suas
chances, pois pode ser que naquele jogo eles sejam sorteados. Porém, nos sorteios da MegaSena cada número tem a mesma probabilidade de ser sorteado, pois, neste caso os sorteios são
independentes, ou seja, não importa quantas vezes um número já foi sorteado, a probabilidade
dele ser sorteado no próximo sorteio da Mega-Sena é igual aos demais números, como em
(3.7).
4.2. Números vizinhos consecutivos
Dois números podem ser considerados vizinhos consecutivos quando são
sorteados no mesmo sorteio, como por exemplo: 32 e 33, se forem sorteados no mesmo
concurso. Segundo Cunha e Azevedo (2010), pelo menos 25% dos resultados da loteria de 6
números possuem no mínimo dois números vizinhos consecutivos, e o jogador terá vantagem
se jogar números consecutivos, mas não mais que dois números consecutivos, pois seria quase
impossível, por exemplo, um sorteio de seis números consecutivos. No concurso 1385 foram
sorteados 3 números consecutivos: 27, 35, 36, 37, 42, 59.
23
Podemos observar no Quadro 4.1, onde são apresentados os concursos de nº 1385
a 1434 em ordem decrescente, que de fato temos quinze sorteios com 2 números
consecutivos, porém a maioria não apresenta este fato, e isso se deve ao formato do jogo,
onde dos 50 resultados da Mega-Sena, tem-se 30% dos resultados com números consecutivos
e 70% sem números consecutivos. E ainda, qualquer combinação de seis números tem a
mesma probabilidade de ser sorteada, pois, esses eventos são equiprováveis. A probabilidade
de qualquer uma das combinações de 6 números é igual, portanto, tanto faz se essa
combinação tem números consecutivos ou não, pois os sorteios são independentes uns dos
outros.
QUADRO 4.1: 50 resultados da Mega-Sena
Nº do
Nº sorteado
concurso
1434
03, 18, 22, 34, 55, 58
1433
x04, 13, 14, 40, 46, 52
1432
x16, 24, 25, 42, 45, 59
1431
05, 09, 13, 33, 40, 54
1430
02, 19, 22, 30, 46, 52
1429
09, 12, 22, 39, 48, 60
1428
07, 15, 19, 34, 37, 55
1427
08, 39, 44, 47, 53, 56
1426
06, 15, 18, 24, 30, 44
1425
07, 16, 29, 36, 38, 50
1424
03, 07, 15, 29, 38, 60
1423
03, 08, 21, 25, 27, 43
1422
02, 05, 13, 17, 39, 44
1421
19, 31, 39, 44, 53, 59
1420
02, 11, 16, 18, 36, 45
1419
17, 21, 30, 48, 52, 58
1418
x07, 08, 10, 12, 27, 56
1417
05, 12, 45, 52, 56, 59
1416
03, 19, 22, 24, 35, 49
1415
26, 36, 40, 46, 49, 51
1414
21, 37, 44, 46, 49, 57
1413
13, 15, 33, 45, 54, 55
1412
06, 08, 24, 37, 41, 45
1411
08, 12, 32, 44, 46, 48
1410
18, 29, 40, 42, 50, 54
Soma
190
169
211
154
171
190
167
247
137
176
152
127
120
245
128
226
120
229
152
248
254
215
161
190
233
Nº do
concurso
1409
1408
1407
1406
1405
1404
1403
1402
1401
1400
1399
1398
1397
1396
1395
1394
1393
1392
1391
1390
1389
1388
1387
1386
1385
Nº sorteado
06, 19, 26, 47, 50, 58
x04, 19, 20, 24, 39, 43
x18, 29, 31, 42, 43, 53
07, 10, 17, 24, 38, 57
03, 14, 17, 32, 37, 39
x07, 08 ,27, 32, 31, 51
13,16, 20 ,26, 39, 42
x02, 09, 10, 21, 27, 38
x11, 12, 25, 33, 48, 54
x09, 26, 34, 43, 53, 54
x34, 39, 43, 56, 57, 60
x14, 32, 33, 40, 42, 51
x03,04, 07, 15, 27, 56
x29, 48, 52, 54, 55, 58
05, 11, 17, 19, 44, 48
11, 16, 24, 35, 46, 50
04, 18, 24, 28, 39, 44
02, 08, 12, 28, 33, 43
07, 12, 19, 34, 40, 53
x04, 19, 27, 28, 29, 31
01, 16, 28, 39, 44, 57
22, 29, 31, 43, 50, 54
18, 27, 32, 43, 50, 52
12, 28, 38, 39, 51, 56
x27, 35, 36, 37, 42, 59
Soma
206
149
216
153
142
156
156
107
183
219
289
212
112
296
144
228
157
126
165
138
185
229
222
224
236
24
4.3. O jogo balanceado
O jogo balanceado ou bem equilibrado é um jogo onde são escolhidos os números
a serem jogados de forma que a soma desses números seja próxima de 180, para se chegar a
esse valor divide-se a quantidade total de números do volante lotérico, neste caso 60, por 2, e
multiplica-se pela quantidade de números que podem ser jogados em um jogo simples, neste
caso 6, assim tem-se: (60/2)x6 = 180. Segundo Howard (2010), o resultado da soma dos
números escolhidos deve variar no máximo 20%, ou seja, a soma não deve exceder a 216 e
nem ficar abaixo de 144.
Considere o resultado do concurso 1434 do Quadro 4.1, somando os seis números
temos: 03 + 18 + 22 + 34 + 55 + 58 = 190; segundo Howard (2010), pode-se dizer que esse
jogo está bem equilibrado, pois, a soma dos seis números está próxima de 180.
Para Howard (2010), a explicação da teoria do jogo balanceado é que números
sorteados tem a tendência de serem igualmente distribuídos, e que a soma desses números tem
uma distribuição simétrica, em forma de sino, como apresenta a Figura 4.1. No caso da MegaSena, essa distribuição é simétrica em relação ao valor de 180, que é o valor com maior
probabilidade de ocorrer.
FIGURA 4.1: Distribuição da soma.
Pela distribuição da soma, parece interessante jogar numa sequência de números
em que a soma desses números esteja próxima de 180, mas considere um jogo que contenha
25
somente 4 números: 1, 2, 3 e 4, e que seja sorteado somente dois números em cada sorteio,
logo teria-se uma combinação de 4 números tomados 2 a 2. As possíveis combinações e
probabilidades desse jogo são apresentadas no Quadro 4.2.
QUADRO 4.2: Combinações e probabilidades do jogo de 4 números.
Probabilidade da soma das
Combinações
Probabilidades
Soma das combinações
1e2
1/6
3
1/6
1e3
1/6
4
1/6
1e4
1/6
5
2e3
1/6
5
2e4
1/6
6
1/6
3e4
1/6
7
1/6
combinações
2/6
Como se pode perceber no Quadro 4.2, cada combinação tem probabilidade 1/6 de
ser sorteada. A soma de cada combinação também tem probabilidade de 1/6, exceto a soma 5,
que tem probabilidade 2/6, pois, ocorre duas vezes e as demais somente uma. No entanto, a
probabilidade de ser sorteada qualquer combinação não se altera, ou seja, não importa se a
soma 5 tem maior probabilidade, a probabilidade de ocorrer qualquer uma das combinações é
1/6.
No caso da Mega-Sena também é assim, como está apresentado no Quadro 4.1, se
o jogador escolhesse a soma, onde a soma fosse próxima de 180, talvez pudesse achar que
teria alguma vantagem, pois a soma se distribuirá em torno de 180, mas, a probabilidade de
ser sorteada qualquer combinação de seis números na Mega-Sena é 1 em 50.063.860 e esta
probabilidade será a mesma de sorteio para sorteio.
4.4. Sistema de porcentagem
O sistema de porcentagem é um método usado para ajudar o jogador a encontrar
números quentes, ou seja, números que mais são sorteados, em sorteios passados. Esse
método consiste em pesquisar os 10 últimos sorteios, e dentre esses sorteios realizar uma
26
busca de quantos números repetidos ocorrem. Segundo Cunha e Azevedo (2010),
normalmente uma média de 87% de números sorteados, saíram nos últimos 10 sorteios.
Contêm no Quadro 4.3 números de 01 a 60, que representa o volante lotérico da
Mega-Sena, o jogador pode marcar todos os números sorteados nos últimos 10 sorteios, e
assim fazer o jogo no volante lotérico com os números que mais foram sorteados. No Quadro
4.3 estão apresentados todos os números sorteados do concurso 1425 ao 1434, que estão
apresentados no Quadro 4.1.
QUADRO 4.3: Números que mais foram sorteados entre os concursos 1425 ao 1434.
01
02x
03x
04x
05x
06x
07xx
08x
09xx
10
11
12x
13xx
14x
15xx
16xx
17
18xx
19xx
20
21
22xxx
23
24xx
25x
26
27
28
29x
30xx
31
32
33x
34xx
35
36x
37x
38x
39xx
40xx
41
42x
43
44xx
45x
46xx
47x
48x
49
50x
51
52xx
53x
54x
55xx
56x
57
58x
59x
60x
Pode-se perceber no Quadro 4.3 que o número 22 foi o que mais se repetiu, ou
seja, segundo Cunha e Azevedo (2010), esse número que teria maior chance de sair em um
próximo sorteio. O jogador pode usar também outros números que se repetiram, fazendo
assim um jogo com maior chance de se ganhar. O jogo poderia ser: 07, 13, 15, 22, 46 e 55.
Segundo Cunha e Azevedo (2010), pode-se escolher também um número pessoal,
ou seja, um número qualquer que o jogador tenha preferência, no caso do jogo acima pode-se
trocar por exemplo o número 55 pelo 57, ou outro da preferência do jogador. Esse método não
é o mais eficiente segundo o autor, mas, pode ser usado para aumentar as chances de o
jogador ganhar.
Esse método não funciona, pois, mesmo que um jogador fique atento aos números
que mais foram sorteados em alguns sorteios, isso não indica que lhe trará alguma vantagem.
Para os sorteios da Mega-Sena tem-se 50.063.860 combinações (3.9) e, cada sorteio é
independente do outro, ou seja, o fato do número ter sido sorteado ultimamente, não
influencia no próximo sorteio, isto é, todos os números continuam com a mesma
probabilidade de serem sorteados.
27
4.5. Sistema de rotação numérica com 7 números
Este método, segundo Cunha e Azevedo (2010), é uma das mais eficientes
ferramentas matemáticas que o jogador pode aprender. Este sistema numérico permite ao
jogador escolher um grupo de mais de seis números no volante lotérico, jogando assim, com
um arranjo especial de combinações, terá um ganho garantido segundo os autores.
O método consiste em construir um quadro, como o Quadro 4.4, preenchendo o
campo sistema de números de 1 a 7, no caso de uma rotação de sete números. E no campo
números escolhidos, coloca-se os números escolhidos pelo jogador, neste caso são sete
números quaisquer a serem escolhidos pelo jogador, como por exemplo: 12, 20, 27, 35, 43,
56, 59.
QUADRO 4.4: Representação do sistema de rotação de 7 números.
Sistema de números
1
2
3
4
5
6
7
Números escolhidos
12
20
27
35
43
56
59
Logo depois, constrói-se o Quadro 4.5, que representa todas as combinações
possíveis de 7 números escolhendo-se 6, onde cada coluna representa uma possível
combinação. Podemos observar no Quadro 4.5, que a primeira coluna é composta pelos 6
primeiros números do sistema de números do Quadro 4.4. A segunda coluna é construída
trocando o número 6 da primeira coluna pelo número 7. A terceira coluna é construída
substituindo o 5 por 7, a quarta trocando-se o 4 pelo 7, e assim por diante, até que a última
coluna é formada com a substituição do número 1 pelo 7.
QUADRO 4.5: Combinação 7 com 6.
1 1 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2 3 3
3 3 3 3 4 4 4
4 4 4 5 5 5 5
5 5 6 6 6 6 6
6 7 7 7 7 7 7
28
Dessa forma, substituindo os números de 1 a 7 do Quadro 4.5 pelos números
escolhidos pelo jogador no Quadro 4.4, tem-se todos os possíveis jogos simples ao escolher 7
números (Quadro 4.6). Ou seja, cada coluna do Quadro 4.6 representa um jogo simples da
Mega-Sena e prontos para serem passados para o volante lotérico (Figura 2.1).
QUADRO 4.6: Jogos simples escolhendo 7 números.
12 12 12 12 12 12 20
20 20 20 20 20 27 27
27 27 27 27 35 35 35
35 35 35 43 43 43 43
43 43 56 56 56 56 56
56 59 59 59 59 59 59
Nota-se, que neste caso, seria muito mais fácil e simples marcar 7 números no
volante lotérico (Figura 2.1), do que utilizar esse método para construir todas as combinações
possíveis ao jogar 6 números dentre 7 escolhidos.
Segundo Cunha e Azevedo (2010), desses jogos, se forem sorteados 4 números
dentre os 7 jogos, pode-se acertar de 2 a 3 quadras. Se forem sorteados 5 números entre os 7
jogos, pode se acertar de 1 a 2 quinas, e ainda, se forem sorteados 6 números entre os 7 jogos
pode-se acertar 6 quinas, podendo ocorrer a sena.
No caso do sistema de rotação numérica com 7 números os autores descrevem 7
jogos, e com isso afirmam aos jogadores que suas chances aumentam, mas, realmente quanto
mais jogos um jogador da Mega-Sena fizer, maiores serão suas chances, neste caso a chance
de ganhar na Mega-Sena passa a ser de 7 em 50.063.860, conforme visto em (3.9). Embora a
probabilidade aumente, ainda é pequena.
E ainda, seria mais uma forma de interpretação da pessoa que estiver lendo este
método, pois os autores colocam primeiro o “se”, já que se acontecesse o que eles dizem o
método seria válido, visto que, se fossem sorteados os números de acordo com esse sistema o
jogador teria alguma vantagem com relação à quadra ou a quina.
29
CONCLUSÃO
Mesmo acreditando um dia ficarmos milionários, desejar que a sorte nos alcance,
ou mesmo se pudéssemos alcançá-la, seria a realização de cada um de nós. Mas a realidade às
vezes é bem diferente da imaginação humana. A desconfiança de que alguns fatos possam ser
inverdade tem que nos levar a uma visão crítica de algumas promessas que parecem fáceis. É
nessa hora que a matemática, especificamente a probabilidade, nos auxilia, de modo a não
sermos enganados.
Neste trabalho conclui-se que esses tais materiais em formato digital que
apresentam métodos para aumentar as chances de ganhar na loteria, neste caso no jogo da
Mega-Sena, não são válidos, pois as probabilidades de cada jogo, não se alteram de um
sorteio para o outro. Não importa se um jogador utiliza tais métodos para a escolha dos
números a serem apostados na Mega-Sena, para qualquer combinação a probabilidade será a
mesma de sorteio para sorteio. Ainda foi apresentado o cálculo da probabilidade de um
jogador ganhar na Mega-Sena através do modelo hipergeométrico, verificando assim que a
chance de um jogador acertar os 6 números em um jogo simples da Mega-Sena, é
extremamente pequena.
Sendo assim, os jogadores de loterias devem estar atentos a tais materiais para não
desperdiçarem tempo e dinheiro na compra dos mesmos, uma vez que a promessa desses
autores em ter sucesso nos jogos, não se confirma.
30
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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