os elementos básicos da geometria

PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA - 2012
OS ELEMENTOS BÁSICOS DA GEOMETRIA
a
Os elementos básicos do estudo da Geometria são ideias de ponto, reta e plano. No nosso dia-adia usamos essas palavras em diversas ocasiões, e
com diversos significados, tais como:
plano a
A Semi-reta
Se pudéssemos cortar uma reta ao meio e ficar apenas com a sua metade, teríamos o que chamamos de semi-reta e o ponto onde a reta foi cortada
seria o ponto de origem da semi-reta.
Graficamente, uma semi-reta pode ser representada pela figura a seguir: A
– Esse é o ponto de partida para a execução do projeto.
– A que ponto chegamos!
– Estamos na reta final do trabalho.
– Eu tenho um plano!
O
Sob o ponto de vista da Geometria, no entanto, essas palavras têm significados muito específicos.
Contudo, apesar de serem conceitos importantes, são
difíceis de serem definidos por serem intuitivos.
Tente dar uma definição de um deles:
– O que é reta?
semi-reta OA
O Segmento de Reta
Vamos considerar a figura a seguir que representa
uma reta que contém os pontos A e B.
B
A
O
O PPO
ON
NTTO
O,, A
AR
REETTA
A EE O
O PPLLA
AN
NO
O
A parte da figura que fica entre os pontos A e B, incluindo os pontos A e B, é o que chamamos de segmento
de reta. Neste caso, A e B são chamados extremidades do segmento AB.
O ponto, a reta e o plano não existem no
mundo real: um grão de areia, uma vareta ou um tampo de mesa nos dão uma ideia de ponto, de reta e de
plano. Mas nunca vimos um grão que não tenha volume (por menor que ele seja), uma vareta que não
tenha espessura e se prolongue indefinidamente, ou
um tampo de mesa que se prolongue em todas as
direções.
Para trabalhar com esses conceitos, precisamos raciocinar de forma a evitar erros. Queremos
encontrar propriedades que sejam verdadeiras.
Justamente porque ponto, reta e plano não existem no mundo real, é importante que usemos certas regras que permitam dizer se nossas conclusões
são verdadeiras ou não. Nem sempre os nossos sentidos, ou o nosso bom senso, nos levam a conclusões
válidas, como você verá nos exemplos a seguir.
O ponto
Graficamente, um ponto pode ser representado pela figura “·”, e é indicado por letras maiúsculas
do nosso alfabeto. Assim, temos:
Na figura 1 a seguir, com o auxílio de uma régua, veja se as linhas que ligam M a N e P a Q são
linhas retas.
A reta
Uma reta é uma figura com infinitos pontos.
Graficamente, uma reta pode ser representada pela
figura a seguir, e é indicada por letras minúsculas do
u
nosso alfabeto.
N
M
reta u
Q
P
Podemos também indicar uma reta pelos pontos que pertencem a ela. Por exemplo: se uma reta
contém os pontos A e B, podemos indicá-la por:
Fig. 1
reta AB ou simplesmente reta AB, quando especificado
que AB é uma reta.
Na figura 2 abaixo, qual das linhas é maior: a
horizontal ou a vertical?
Quando três ou mais pontos pertencem à
mesma reta, eles são chamados de pontos colineares.
O plano
Graficamente, um plano pode ser representado pela figura a seguir (um paralelogramo), e é indicado por uma letra minúscula do alfabeto grego: a (alfa),
b (beta), g (gama), d (delta) etc.
Fig. 2: Qual é a maior linha?
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OBS.: Há um caso particular de retas concorrentes
que são as retas que se cruzam formando quatro ângulos congruentes (iguais); a representação deste
caso lembra a figura do sinal de mais (+).
Bem, se por um lado não podemos confiar apenas no bom senso e na intuição, por outro, eles são
muito importantes. Isto porque em Geometria, algumas afirmações são aceitas como sendo verdadeiras
sem quaisquer contestações, pois são situações bastante intuitivas.
Veja a seguir algumas dessas afirmações.
ü
u
v
representação Þ
Por um único ponto passam inúmeras retas.
ü Por dois pontos distintos (ou seja, diferentes),
passa uma única reta.
indicação Þ
Medida de um segmento de reta
Determinar a medida de um segmento de reta é medir
o seu comprimento, ou seja, dizer qual é o seu tamanho. Para isso, precisamos de uma unidade de medida, que é o que tomaremos por comparação (medir
quer dizer comparar), como por exemplo: o palmo, o
passo, a jarda, o metro, o quilômetro etc.
Observe a figura a seguir.
X
u^v
Retas Coincidentes
Duas retas são ditas coincidentes quando têm
mais de um ponto em comum.
representação Þ
v
uÇv=u
ou
uÇv=v
u
indicação Þ
Y
uºv
Retas Reversas
Duas retas são ditas reversas quando não
possuem pontos em comum e se encontram em plav
nos diferentes. Observe.
u
A
B
Q
P
u
Tomando como unidade de medida o segmento u,
você seria capaz de dizer as medidas dos segmentos:
XY Þ
PB Þ
PQ Þ
No desenho acima, temos um cubo, uma figura com várias faces. As retas u e v estão em faces
diferentes e não se cruzam.
PPO
OSSIIÇ
ÇÕ
ÕEESS R
REELLA
ATTIIVVA
ASS D
DEE D
DU
UA
ASS R
REETTA
ASS
E
EXXEERRCCÍÍCCIIO
OSS
Num mesmo plano, duas retas podem ser: paralelas, concorrentes ou coincidentes. E, quando em
planos diferentes, podem ser, também, reversas. Veja.
11.. Diga se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou
falsa.
··· Por um ponto passam infinitas retas.
··· Por três pontos dados passa uma reta.
··· Quatro pontos dados, todos distintos, determinam
duas retas.
··· Se dois pontos distintos A e B pertencem às retas r e
s, então r = s.
··· Duas retas distintas que têm um ponto em comum
são concorrentes.
··· Quatro pontos distintos, sendo três deles colineares,
determinam quatro retas.
Retas paralelas
Duas retas são ditas paralelas quando não
têm pontos em comum.
u
v
representação Þ
uÇv=Æ
indicação Þ
u // v
Retas Concorrentes (ou secantes)
Duas retas são ditas concorrentes (ou secantes) quando têm apenas um ponto em comum.
22.. Dados três pontos distintos de uma reta, quantos segmentos distintos eles determinam?
33.. Marque numa folha quatro pontos distintos, três a três
u
representação Þ
indicação Þ
u´v
P
não colineares. Quantas retas podemos traçar passando por
dois desses pontos?
v
44.. Dados dois pontos distintos, A e B, quantos segmentos
há com extremidades A e B? Quantos segmentos há que
passam pelos pontos A e B?
uÇv=P
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55.. Faça um desenho onde constem os pontos A, B, C, D e
E, e retas r e s, satisfazendo ao mesmo tempo os itens a
seguir:
··· r e s não são coincidentes;
··· A Î r e A Î s;
··· B Î r e C Î r;
··· B e C estão em semiplanos opostos com respeito a s;
··· D e E estão em semiplanos opostos com respeito a r,
e nenhum dos dois pontos pertence a s.
66.. Desenhe dois segmentos AB e CD tais que a interseção
de AB e CD é o conjunto vazio, mas AB e CD têm um ponto
em comum.
77.. Desenhe dois segmentos AB e CD tais que a interseção
de AB e CD é o conjunto vazio, mas AB = CD.
88.. Escreva o que significa dizer que três pontos não são
colineares.
99.. (ESA) Na figura abaixo, o segmento AB mede 14 cm e o
segmento MN mede 12 cm, M é o ponto médio de AB e N o
ponto médio de BC. A medida do segmento AC, em cm, é:
A
M
B
N
C
a) 28
b) 20
c) 12
d) 19
e) 24
1100..(ESA) Considere os pontos colineares A, B, O e C na
ordem OABC. Se AO = 3 cm, OB = 5 cm e 4AB + AC – 2BC
= 6, então a distância, em cm, entre os pontos O e C é igual
a:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
s
1111.. Observe a figura e leia com
atenção as afirmações
seguem a seu respeito.
r
que
u
I. As retas t e u são concorrentes oblíquas.
t
II. As retas s e u são reversas.
III. As retas s e t são concorrentes perpendiculares.
IV. As retas u e r são paralelas.
V. As retas t e s são coplanares.
De acordo com a figura anterior, a alternativa correta é:
a) todas as afirmações acima são verdadeiras
b) nenhuma das afirmações acima é verdadeira
c) As falsas são I, IV e V
d) as verdadeiras são II, III IV
e) as verdadeiras são II e IV
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