Números reais

Capítulo 1
Números reais
1.1
1.1.1
Álgebra dos números reais
O conjunto R
Neste curso vamos sempre se referir aos números reais cujo conjunto se nota R.
Principais subconjuntos de R:
• conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, . . . }
• conjunto dos números inteiros Z = {0, ±1, ±2, . . . }
• conjunto dos números racionais Q = {
p
: p, q ∈ Z, q �= 0}
q
N⊂Z⊂Q⊂R
Os números racionais têm uma expansão decimal finita ou periódoca (os decimais são repetidas):
1
2
= 0, 5 ;
= 0, 666 . . .
2
3
Um número tal que sua expansão decimal é infinita e não periódica é chamado
de número irracional.
Exemplos.
√
3, 14159 . . . , e = 2, 71828 . . . , ϕ =
√
1+ 5
2
√
p
com p, q ∈ N∗ ), π =
q
o número de ouro.
2 não é racional (mostre que
2 �=
A união dos conjuntos dos números racionais e dos números irracionais é o
conjunto dos números reais R. Sempre que falarmos em número, sem qualquer
qualificação, entendemos tratar-se de número real.
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6
CAPÍTULO 1. NÚMEROS REAIS
1.1.2
Operações
Os números reais vêm com as operações algébricas de adição (denotada +) e de
multiplicação ou produto (denotado × ou . ou sem notação), que satisfazem as
propriedades:
√
√
Fechamento: a, b ∈ R : a + b ∈ R, ab ∈ R (expl: 2, 2 ∈ R ; 2 + 2 ∈ R)
Comutatividade: a, b ∈ R : a + b = b + a, ab = ba
Distributividade: a, b, c ∈ R : a(b + c) = ab + bc
Associatividade: a, b, c ∈ R : a + (b + c) = (a + b) + c, a(bc) = (ab)c
Além disso, temos opostos (pela adição): para qualquer a ∈ R existe um único
número b tal que a + b = 0, chamado do oposto de a e denotado −a:
∀a ∈ R, ∃! − a ∈ R tal que a + (−a) = 0
Assim como inversos (pelo produto): para qualquer a ∈ R não nulo, existe um
1
único número b tal que ab = 1, chamado do inverso de a e denotado ou a−1 :
a
∀a ∈ R, a �= 0, ∃a−1 ∈ Rtalqueaa−1 = 1.
Observação. O conjunto dos números racionais Q também possui essas propriedades, mas não N, nem Z (1 ∈ N, −1 ∈
/ N ; 2 ∈ Z, 12 ∈
/ Z).
Com isso definimos a subtração (denotada −) e a divisão ou quociente (usamos a escritura fracionaria ou exponencial):
• a − b := a + (−b)
•
a
:= ab−1 , b �= 0
b
1.1.3
Expoentes, regras de cálculo
Expoentes inteiros
Por n um número natural e a um número real, introduzimos a notação
an = aa
· · · a�
� ��
n
para designar o produto de a com se-mesmo n vezes. Por convenção, definimos
a0 := 1 por qualquer a não nulo. Temos as seguintes propriedades:
• an am = an+m
1.1. ÁLGEBRA DOS NÚMEROS REAIS
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• (am )n = amn
• an bn = (ab)n
Estendemos a notação aos números inteiros escrevendo por a não nulo a−1 o
inverso de a. Se aplica então as mesmas regras de cálculo, em particular quando
an
a �= 0 temos m = a(n−m) .
a
Exemplos. Reduza numa fração inteira:
a) 3−2 =
1
1
=
2
3
9
b) 32 .6−4 = 32 (3.2)−4 = 3(2−4) 24 =
24
16
=
2
3
9
Raizes e expoentes racionais
Definição 1.1. Sejam a e b dois números reais positivos e n um número inteiro
(não nulo). Dizemos que b é a raiz enésima de a se temos bn = a. Denotamos
√
1
esse número b por n a ou por a n .
Observação. A positividade
� de
�nb força a unicidade da raiz de a quando n é
b
n
n
par. Com efeito, b = c ⇔
= 1 ⇔ b = ±c se n par. Veremos logo como
c
expressar isso por meio de valor absoluto.
Notação. Quando n = 2 escrevemos
quadrada de a.
√
a em vez de
√
2
a e chamamos-la de raíz
p
Definição 1.2. Por um número positivo a, escrevemos a q com p ∈ Z e q ∈ N∗
1
para designar o número (ap ) q .
Para todos a, b ∈ R positivos, p ∈ Z e q ∈ N∗ e r, r� ∈ Q, temos as
propriedades:
p
1
1
• a q = (ap ) q = (a q )p
• an am = an+m
• (an )m = anm
• (ab)n = an bn
•
an
= an b−m
bm
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CAPÍTULO 1. NÚMEROS REAIS
1.2
1.2.1
Geometria dos números reais
Reta dos números reais
Os números reais têm uma representação simples e muito útil, por meio dos
pontos de uma reta orientada. Escolhemos um ponto qualquer da reta e a ele
associamos o número zero; esse ponto é chamado de origem. Escolhemos em
seguida uma unidade de comprimento e ordenamos os números reais sobre a
reta associando a um ponto P a medida algébrica do segmento orientado OP
em função da unidade. O número x que marca o ponto P é chamado abscissa
de P .
−4
−3
−2
√
− 12
−1, 75
−1
0
2
1
π
2
3
4
A semi-reta da origem para a direita (resp. a esquerda) constitui o subconjunto
dos números positivos (resp. negativos).
Observação. É costume designar um número x pelo ponto que o representa.
Daí falarmos, freqüentemente, em ponto x em vez de número x.
Observação. Os números racionais Q não enchem totalmente a reta mas é
impossível de ver isso (literalmente, no entanto se demonstra...). De fato, os
números reais são definidos para encher a reta. Essa propriedade chama-se de
completude, é precisa para bem definir o conceito de limite.
Exercício 1.1. Coloque na reta dos números reais os números:
1.2.2
3
5 √ π
, e, , 3, .
4
3
2
Relação de ordem e valor absoluto
Devido as propriedades do subconjunto dos números positivos, uma relação de
ordem é definida sobre o conjunto R.
Definição 1.3. Relações de desigualdades estritas e não estritas, por a, b ∈ R:
• a ≥ b (a é maior ou igual a b) ⇔ a − b é positivo ou nulo
• a > b (a é maior que b) ⇔ a − b é positivo
• a ≤ b (a é menor ou igual a b) ⇔ b − a é positivo ou nulo
• a < b (a é menor que b) ⇔ b − a é positivo
1.2. GEOMETRIA DOS NÚMEROS REAIS
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Observação. O símbolo desigual tem as mesmas propriedades que o símbolo
igual exceto no caso da multiplicação de ambos lados por um número negativo.
Com efeito, temos por exemplo:
�
c.a ≤ c.b, se c ≥ 0
a≤b⇔
c.a ≥ c.b, se c < 0
.
Igualmente, define-se o valor absoluto de um número real como a parte
positiva da grandeza associada.
Definição 1.4. O valor absoluto de a um número real é
�
a se a ≥ 0
|a| =
−a se a < 0
O valor absoluto pode se interpretar em termos de distancia entre os pontos
a e b sobre a reta dos números reais.
Proposição. Para todo número real a,
√
a2 = |a|
Demonstração. Uma vez que a2 = (+a)2 = (−a2 ), os números +a e −a são
√
raízes quadradas de a2 e como a2 denota a raiz quadrada positiva de a2 ,
√
√
tem-se que a2 = +a se ≥ 0 e a2 = −a se a < 0.
Observação. Temos a propriedade a2 > b2 ⇔ |a|2 > |b|2 ⇔ |a| > |b| pois |a| e
|b| são positivos. Observe que seria errado escrever x2 > 4 ⇔ x > 2, porque não
temos informação prévia de que x seja positivo (experimenta com x = −3).
Exercício 1.2. Resolva |x − 3| = 4.
Exercício 1.3. Resolva |3x − 2| = |5x + 4|.
1.2.3
Intervalos
Os intervalos são subconjuntos infinitos de números reais que correspondem
a segmentos ou (semi-)retas (semi-)abertos ou (semi-)fechados. Por exemplo,
dado dois números a e b, com a < b, chamamos intervalo aberto de extremos
a e b o conjunto {x ∈ R : a < x < b} de todos os números compreendidos
estritamente entre a e b.
Utilizaremos a notação dos segmentos introduzindo os símbolos −∞ e +∞ para
designar as (semi-)retas: