Condições Suficientes para a propriedade da dualidade

ISSN 1984-8218
Condições Sucientes para a propriedade da dualidade fraca para
o Problema Dual Multiobjetivo de Mond-Weir
Luiz L. de Salles Neto,
Instituto de Ciência e Tecnologia - UNIFESP,
12340-000, São José dos Campos, SP
E-mail: [email protected]
Resumo: Neste trabalho nós apresentamos um conjunto de condições sucientes para a dualidade fraca entre o problema de otimização vetorial com restrições de desigualdade e seu Dual de
Mon-Weir, generalizando os resultados encontrados na literatura. .
Palavras-chave:
Otimização Vetorial, Dual de Mond-Weir, Propriedade da Dualidade Fraca
1 Introdução
Nos últimos 30 anos vários trabalhos buscaram caracterizar e relacionar as soluções de um problema de otimização vetorial (POV) com as soluções dos duais associados [6], [1], [10], [2], [11],
[3], [12]. Um dos temas de interesse dos pesquisadores da área, por conta das aplicações, é a
propriedade da dualidade fraca. De forma geral, se a propriedade da dualidade fraca é válida,
uma solução viável do dual fornece um limite inferior para o primal. A propriedade da dualidade fraca para problema de otimização escalar diferenciável foi caracterizado por Martin em [5].
Recentemente Zhang et al. [13] apresentaram condições necessárias e sucentes para dualidade
fraca de um problema de otimização escalar não-diferenciável.
Nesse trabalho nós consideramos o seguinte problema de otimização vetorial (POV):
(POV)
M in
f (x),
s.a : g(x) 5 0,
x∈S
onde S é um conjunto aberto de Rn , f = (f1 , . . . , fp ) : S ⊆ Rn → Rp e g = (g1 , . . . , gm ) : S ⊆
Rn → Rm são diferenciáveis.
Para uma precisa denição de uma solução eciente (Pareto-otimal) para o (POV) [9], assumimos as seguintes convenções para igualdades e desigualdades:
Se x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn , então
x=y
x<y
x5y
x≤y
⇔
⇔
⇔
⇔
xi
xi
xi
xi
= yi ,
< yi ,
≤ yi ,
≤ yi ,
∀i = 1, . . . , n,
∀i = 1, . . . , n,
∀i = 1, . . . , n,
∀i = 1, . . . , n,
e existe j tal que xj < yj .
Similarmente para >, =, ≥.
Apresentamos a seguir a denição de solução eciente para o (POV).
Denição 1 Um ponto viável x̄ é chamado de solução eciente para o (POV) se não existe
outro ponto viável x, tal que f (x) ≤ f (x̄).
Posteriormente foi introduzido um conceito mais geral, chamado de solução fracamente eciente:
278
ISSN 1984-8218
Denição 2 Um ponto viável x̄ é chamado de solução fracamente eciente para o (POV) se não
existe outro ponto viável x, tal que f (x) < f (x̄).
É fácil ver que qualquer solução eciente também é fracamente eciente.
Chamamos X de conjunto viável do problema primal (POV):
X = {x ∈ S ⊆ Rn , tal que g(x) 5 0}
Denição 3
Chamamos de Problema Dual Multiobjetivo de Mond-Weir associado com o (POV)
ao problema formulado como:
(DMW)
M ax
f (u),
s.a : λT ∇f (u) + ȳ T ∇g(u) = 0,
ȳ T g(u) ≥ 0,
ȳ = 0,
λ > 0, λT e = 1,
u ∈ S.
onde λ e e = (1, 1, ..., 1)T ∈ Rp .
Usamos a notação UM W para o conjunto viável do Dual de Mond-Weir.
2 Propriedade da dualidade fraca
A denição de invexidade, abaixo, foi introduzido por Hanson [4] como uma generalização do
conceito de convexidade:
Denição 4
A função vetorial f : S → R é chamada de invex se existe uma função vetorial
η : Rn × Rn → Rn tal que ∀x, x̄ ∈ S
f (x) − f (x̄) = ∇f (x̄)η(x, x̄)
.
Martin [5] estabeleceu o conceito de dualidade fracamente invex (WD-invex) e mostrou que
essa condição é necessária e suciente para a propriedade da dualidade fraca ser válida em um
problema de otimização escalar diferenciável:
Denição 5
O problema (P) minimize f (x) para x ∈ S ⊆ Rn sujeito g(x) ≤ 0, onde f : S → R
and g : S → R são funções diferenciáveis em um conjunto aberto S em Rn é dito ser dual
fracamente invex (WD-invex) se existe uma função η : S × S → Rn tal que, para x, u ∈ S ,
g(x) ≤ 0:
Ou ∇f (u)η ≤ f (x) − f (u) e g(u) + ∇g(u)η(x, u) ≤ 0
ou ∇f (u)η < 0 e ∇g(u)η(x, u) ≤ 0
Nós generalizamos a denição de um problema WD-invex para o (POV):
Denição 6
O (POV) é chamado dual fracamente invex I (WD-invexI) se existe uma função
η:
→ Rn e dois conjuntos disjuntos I e J , I ∪J = {1, 2, . . . p}, tal que ∀x, u ∈ S, g(x) ≤ 0
uma das seguintes condições acontece:
Rn ×Rn
i) ∇f (u)η ≤ 0 e ∇g(u)η(x, u) 5 0.
ii) ∇fi (u)η ≤ fi (x) − fi (u) para todo i ∈ I , ∇fj (u)η ≤ 0 para todo j ∈ J , onde I 6= ∅ e
∇g(u)η(x, u) 5 0.
279
ISSN 1984-8218
iii) ∇f (u)η ≤ 0 e g(u) + ∇g(u)η(x, u) 5 0.
iv) ∇fi (u)η ≤ fi (x) − fi (u) para todo i ∈ I , ∇fj (u)η ≤ 0 para todo j ∈ J , onde I 6= ∅ and
g(u) + ∇g(u)η(x, u) 5 0.
Osuna et al. [7] demonstraram recentemente o seguinte resultado:
Teorema 1
Seja x ∈ X and (u, λ, ȳ) ∈ UM W . Se f e g são invex com respeito a mesma função
vetorial η , então não pode ocorrer:
f (x) < f (u).
O seguinte resultado generaliza o resultado acima e os demais publicadas na literatura:
Teorema 2 (Condições Sucientes para a Dualidade Fraca)
Seja x ∈ X e (u, λ, y) ∈ UM W quaisquer soluções viáveis. Se (POV) é WD-invexI então não
pode ocorrer f (x) < f (u).
Demonstração:
Temos que estudar quatro casos:
i) ∇f (u)η ≤ 0 e ∇g(u)η(x, u) 5 0. Seja x e u ∈ S . Nesse caso temos ∇fi (u)η(x, u) ≤ 0,
i = 1, . . . p, ∇fk (u)η(x, u) < 0 para algum k ∈ Z, 1 ≤ k ≤ p e ∇g(u)η 5 0, o que implica que não
pode ocorrer (λt ∇f (u)+y t ∇g(u))η = 0, visto que λ > 0 e y = 0. Portanto, λt ∇f (u)+y t ∇g(u) 6=
0.
ii) ∇fi (u)η ≤ fi (x) − fi (u) para todo i ∈ I , ∇fj (u)η ≤ 0 para todo j ∈ J , onde I 6= ∅ e
∇g(u)η(x, u) 5 0. Nesse caso para algum k ∈ Z, 1 ≤ k ≤ p ∇fk (u)η(x, u) − (fk (x) − fk (u)) ≤ 0.
Suponha que existam pontos viáveis x ∈ X , e (u, λ, ȳ) ∈ UM W tal que f (x) < f (u). Então
fi (x) − fi (u) < 0 para todo i. Temos:
0 < −(fk (x) − fk (u)) ≤ −∇fk (u)η
Como −∇g(u)η = 0, y = 0 e λk > 0:
0 < −(fk (x) − fk (u)) ≤ −∇fk (u)η − y t ∇g(u)η ⇒ 0 < −λk ∇fk (u)η − y t ∇g(u)η
Como −∇fi (u)η ≥ 0 para todo i 6= k temos:
0 < −λt ∇f (u)η − y t ∇g(u)η ⇒ λt ∇f (u) + y t ∇g(u) 6= 0
o que é um absurdo.
iii)∇f (u)η ≤ 0 e g(u) + ∇g(u)η(x, u) 5 0. Como y t ∇g(u)η 5 −y t g(u) ≤ 0, a demonstração é
similar ao caso anterior.
iv) ∇fi (u)η ≤ fi (x) − fi (u) para todo i ∈ I , ∇fj (u)η ≤ 0 para todo j ∈ J , onde I 6= ∅ e
g(u) + ∇g(u)η(x, u) 5 0.
Nesse caso existe k tal que:
∇fk (u)η(x, u) − (fk (x) − fk (u)) 5 0
.
Suponha que existam pontos viáveis x ∈ X , e (u, λ, ȳ) ∈ UM W tal que f (x) < f (u). Então
fi (x) − fi (u) < 0 para todo i. Temos:
280
ISSN 1984-8218
0 < −(fk (x) − fk (u) ≤ −∇fk (u)η
Como y t g(u) ≥ 0, temos:
0 < −(fk (x) − fk (u) + y t g(u) ≤ −∇fk (u)η − y t ∇g(u)η
Dado que −∇fi (u)η ≥ 0 para todo i 6= k temos:
0 < −λt ∇f (u)η − y t ∇g(u)η ⇒ λt ∇f (u) + y t ∇g(u) 6= 0
o que é absurdo.
3 Conclusão
Nesse trabalho nós apresentamos condições sucientes para dualidade fraca para o (POV) considerando o dual de Mond-Weir, generalizando resultados publicados na literatura.
Referências
[1] G. Bitran, Duality in nonlinear multiple criteria optimization problems, Journ. of Optimization Theory and Applications 35-3 (1981) 367-401.
[2] R.R. Egudo and M.A. Hanson, Duality with Generalized Convexity, J. Austral. Math. Soc.
Ser. B 28 (1986) 10-21.
[3] R.R. Egudo, Eciency and generalized convex duality for multiobjective programs. J. Math.
Anal. Appl. 138 (1989) 84-94.
[4] M.A. Hanson, On Suciency of Kuhn-Tucker Conditions, J. Math. Anal. Appl. 80 (1981)
545-550.
[5] D.H. Martin, The essence of invexity. Journ. of Optimization Theory and Applications. 47
(1985), 65-76.
[6] B. Mond and T. Weir, Generalized concavity and duality. In: Schaible, S. and Ziemba,
W.T. (eds.), Generalized Concavity Optimization and Economics. Academic Press, New
York, (1981), 263-280.
[7] R. Osuna-Gomez, B. H. Jimenez, L. L. Salles-Neto, Duality theory for the multiobjective
nonlinear programming involving generalized convex functions. In: Manuel Arana-Jimenez,
Antonio Ruán-Lizana, Gabriel Ruiz-Garzón. (Org.). Optimality Conditions in Vector Optimization. Bentham, 2010, v. 1, p. 105-118.
[8] O.L. Mangasarian, Nonlinear Programming, McGraw Hill Book Company, New York, 1969.
[9] V. Pareto, Course d'economie politique, Rouge, Lausanne, 1896.
[10] T. Weir, Proper eciency and duality for vector valued optimization problems. J. Austral.
Math. Soc. Ser. A 43 (1987) 21-34.
[11] T. Weir, A note on invex functions and duality in multiple objective optimization. Opsearch
25 (1988) 99-104.
[12] T. Weir and B. Mond, Generalized convexity and duality in multiobjective programming.
Bull. Aust. Math. Soc. 39 (1989), 287-299.
281
ISSN 1984-8218
[13] Y. Zhang, Y. Xu and F. Wang, Necessary and sucient conditions for Kuhn-Tucker type
optimality and for weak duality of nonsmooth programming. Nonlinear Analysis. 71 (2009),
4007-4011.
282